第七章 三角函数及其有关概念

第七章 函数及其有关概念

一、角的概念：

1、正角、负角、零角：逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。

2、象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角。

3、轴线角：角的终边落在坐标轴上的角。终边在x 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈⨯=,180| ββ；终边在y 轴上的角的集合： {}

Z k k ∈+⨯=,90180| ββ；终边在坐标轴上的角的集合：{}

Z k k ∈⨯=,90| ββ。 4、终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+。

5、与α终边反向的角： (21)x k απ=++；终边在y=x 轴上的角的集合：{}

Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ；终边在x y -=轴上的角的集合：{}

Z k k ∈-⨯=,45180| ββ

6、若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180

7、成特殊关系的两角：（1）若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360；（2）若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ；（3）若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 二、弧度制：l

R

α=

角度与弧度的换算公式： 360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

弧长公式：R l θ= ； 扇形面积：S=α2

2

12

1r r l =⋅

任意角三角函数： （一）任意角的三角函数定义：

三角函数 定义域

=)(x f sinx {}R x x ∈| =)(x f cosx {}R x x ∈|

=)(x f tanx ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且

=)(x f cotx {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且

=)(x f secx ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且

=)(x f cscx

{}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且

（二）三角函数在各象限内的符号规律：

正弦函数余弦函数正切函数（三）常用三角函数的图像和性质：

图像：

（1）正弦函数：

（2）余弦函数：

（3）正切函数：

（4）余切函数：

性质：

定义域 R

R

值域

R R 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

奇函数

对称性

图象关于坐标原点对

称

图象关于 轴对称 图象关于坐标原点对称 图象关于原点对称

单调性

在区间

上单调递增； 在区间

上单调递减。

在区间

上单调递增； 在区间

上单调递减。

在区间

上单调递增。

在区间

上单调递减。

（四）同角三角函数关系式：

(1)乘积关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα (2)商数关系：

αααtan cos sin = αα

α

cot sin cos = (3)平方关系：1cos sin 2

2

=+αα，αα2

2

sec tan 1=+，αα2

2

csc cot 1=+ （五）诱导公式：（

2

k

πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数）

，符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.

sin(πα-)＝sin α,cos(πα-)＝－cos α,tan(πα-)＝－tan α sin(πα+)＝－sin α,cos(πα+)＝－cos α,tan(πα+)＝tan α sin(α-)＝－sin α,cos(α-)＝cos α,tan(α-)＝－tan α

sin(2πα-)＝－sin α,cos(2πα-)＝cos α,tan(2πα-)＝－tan α

sin(2k πα+)＝sin α,cos(2k πα+)＝cos α,tan(2k πα+)＝tan α，()k Z ∈

sin(2

π

α

-)＝cos α,cos(2

π

α

-)＝sin α

sin(2

π

α

+)＝cos α,cos(2

π

α

+)＝-sin α

（六）和角公式：

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ；β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-

β

αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

（七）倍角与半角公式：ααα

cos sin 22sin =；2

cos 12

sin α

α

-±

= ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；2

cos 12

cos α

α+±

= αα

α2

tan 1tan 22tan -=

；1cos sin 1cos tan 21cos 1cos sin ααααααα

--=±==++

（八）万能公式：2

tan

12

tan 2sin 2

α

α

α+=

；

2

tan

12

tan 1cos 2

2

ααα+-=

；

2tan 12

tan

2tan 2

ααα-=

（九）三角函数的积化和差与和差化积：

()()()()()()()()1

sin cos sin sin 21

cos sin sin sin 21

cos cos cos cos 21

sin sin cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=

++-⎡⎤⎣⎦=+--⎡⎤⎣⎦=++-⎡⎤⎣

⎦=-+--⎡⎤⎣⎦

sin sin 2sin

cos

2

2

αβ

αβ

αβ+-+=

sin sin 2cos

sin

2

2

αβ

αβ

αβ+--=cos cos 2sin

sin

2

2

αβ

αβ

αβ+--=-

（十）辅助角公式：

)cos sin (

cos sin 2

2

2

2

22ααααb

a b b

a a

b a b a ++

++=+

（十一）正弦函数图象的变换：

()()αωαωω+=−−−→−+=−−

−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换

平移变换

横伸缩变换

四、常见结论： 1.x y sin =与x y cos =的周期是π。

2.)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y (0≠ω)的周期ω

π

2=

T 。

3.2

tan

x

y

=的周期为2π.。