第七章 三角函数及其有关概念

第七章 函数及其有关概念一、角的概念：1、正角、负角、零角：逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。

2、象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角。

3、轴线角：角的终边落在坐标轴上的角。

终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ；终边在y 轴上的角的集合： {}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ；终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ。

4、终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+。

5、与α终边反向的角： (21)x k απ=++；终边在y=x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ；终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ6、若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 1807、成特殊关系的两角：（1）若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360；（2）若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ；（3）若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 二、弧度制：lRα=角度与弧度的换算公式： 360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′弧长公式：R l θ= ； 扇形面积：S=α22121r r l =⋅任意角三角函数： （一）任意角的三角函数定义：三角函数 定义域=)(x f sinx {}R x x ∈| =)(x f cosx {}R x x ∈|=)(x f tanx ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且=)(x f cotx {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且=)(x f secx ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且=)(x f cscx{}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且（二）三角函数在各象限内的符号规律：正弦函数余弦函数正切函数（三）常用三角函数的图像和性质：图像：（1）正弦函数：（2）余弦函数：（3）正切函数：（4）余切函数：性质：定义域 RR值域R R 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数奇函数对称性图象关于坐标原点对称图象关于 轴对称 图象关于坐标原点对称 图象关于原点对称单调性在区间上单调递增； 在区间上单调递减。

在区间上单调递增； 在区间上单调递减。

在区间上单调递增。

在区间上单调递减。

（四）同角三角函数关系式：(1)乘积关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα (2)商数关系：αααtan cos sin = αααcot sin cos = (3)平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+ （五）诱导公式：（2kπα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.sin(πα-)＝sin α,cos(πα-)＝－cos α,tan(πα-)＝－tan α sin(πα+)＝－sin α,cos(πα+)＝－cos α,tan(πα+)＝tan α sin(α-)＝－sin α,cos(α-)＝cos α,tan(α-)＝－tan αsin(2πα-)＝－sin α,cos(2πα-)＝cos α,tan(2πα-)＝－tan αsin(2k πα+)＝sin α,cos(2k πα+)＝cos α,tan(2k πα+)＝tan α，()k Z ∈sin(2πα-)＝cos α,cos(2πα-)＝sin αsin(2πα+)＝cos α,cos(2πα+)＝-sin α（六）和角公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ；βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-（七）倍角与半角公式：αααcos sin 22sin =；2cos 12sin αα-±= ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=；1cos sin 1cos tan 21cos 1cos sin ααααααα--=±==++（八）万能公式：2tan12tan 2sin 2ααα+=；2tan12tan 1cos 22ααα+-=；2tan 12tan2tan 2ααα-=（九）三角函数的积化和差与和差化积：()()()()()()()()1sin cos sin sin 21cos sin sin sin 21cos cos cos cos 21sin sin cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦=+--⎡⎤⎣⎦=++-⎡⎤⎣⎦=-+--⎡⎤⎣⎦sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-（十）辅助角公式：)cos sin (cos sin 222222ααααba b ba ab a b a ++++=+（十一）正弦函数图象的变换：()()αωαωω+=−−−→−+=−−−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换横伸缩变换四、常见结论： 1.x y sin =与x y cos =的周期是π。

2.)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y (0≠ω)的周期ωπ2=T 。

3.2tanxy=的周期为2π.。

4.)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x (Z k ∈)，对称中心(0,πk )；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =(Z k ∈)，对称中心(0,21ππ+k )；)tan(ϕω+=x y 的对称中心(0,2πk )。

5.当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；当αtan ·tan 1,β=-()2k k Z παβπ-=+∈。

6.函数x y tan =在R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的。

7.奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f 。

(x ∉0的定义域，则无此性质)。

8. x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数(π=T )；x y cos =是周期函数(如图)；x y cos =为周期函数(π=T )；212cos +=x y 的周期为π(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：五、形如sin()y A x ωϕ=+的函数的性质： （1）几个物理量：A ―振幅；1f T=―频率（周期的倒数）；x ωϕ+―相位；ϕ―初相； （2）函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，如()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2πϕ<的图象如图所示，则()f x ＝（3）函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的▲yxy=cos |x|图象▲1/2yxy=|cos2x +1/2|图象23题图2π9YX-223图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象； ③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象； ④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图象。

要特别注意：若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。

六、解三角形—正弦定理与余弦定理：1、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，这个比值是三角形外接圆的半径，即 A a s i n =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径），如下图所示：正弦定理的推广：（1）sin sin a A b B =，sin sin b B c C =，sin sin c C a A=（2）2sin sin a b R A B +=+，2sin sin b cR B C +=+，2sin sin c a R C A +=+，2sin sin sin a b cR A B C++=++（和比性质）（3）2sin sin a bR A B-=-（a 和b 不相等）（差比性质） 2、余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bc a c b A 2cos 222-+=B ca a c b cos 2222-+=⇔ca b a c B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔ab c b a C 2cos 222-+=3、面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.如ABC ∆中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状（答：直角三角形）。