高考函数的图像专题讲义

2015年高考函数的图像专题讲义河南省三门峡市卢氏县第一高级中学山永峰图像是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据。

在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度。

主要以选择题、填空题的形式出现，属于中偏高档题。

主要考查形式有：知图选式、知式选图、图像变换（平移、对称、翻折、伸缩变换），以及自觉的运用图像解题。

因此要注意识图、读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用。

笔者以近几年高考题为载体，结合自己的教学经验整理如下，不足之处敬请斧正！[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：y ＝f (x )―――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x )1011ωωωω−−−−−−−−→＜＜，伸长为原来的倍＞1，缩短为原来的 y ＝f (ωx )； y ＝f (x )―――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )；y ＝f (x )――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|.[探究] 1.函数y＝f(x)的图象关于原点对称与函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称一致吗？2．一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称有何区别？提示：一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称不是一回事．函数y＝f(x)的图象关于y轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，是两个函数的图象对称．3．若函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)(a>0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示：向左平移a个单位即可；解析式变为y＝f(x＋a)．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车行驶的路程s看作时间t的函数，其图象可能是()2．函数y＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是()3．函数y＝ln(1－x)的图象大致为()4．已知下图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；④y＝f(－|x|)．5．(2012·镇江模拟)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x<0的解集为________．考点一：作函数的图象[例1]分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论. 强化训练： 1．分别画出下列函数的图象．(1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1x ＋1；(3)y ＝10|lg x |. 考点二：识图与辨图[例2] (1)(2012·山东高考)函数y ＝cos 6x 2x －2－x的图象大致为( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )例3:[2014年福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( )图1-1 A BC D寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法(1)知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．(2)知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；结合图像的特殊点（极值点、与坐标轴的交点等）。

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．强化训练：2．函数y＝x2－2sin x的图象大致是()3．(2013·杭州模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2－2ln |x| B．f(x)＝x2－ln |x|C．f(x)＝|x|－2ln |x| D．f(x)＝|x|－ln |x|４.[2014年浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图像可能是()AC考点三：函数图象的应用[例4](2012·天津高考)已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．互动探究：若将“y＝kx－2”改为“y＝kx”，k的取值范围是什么？[例5]：[2013·江西卷] 如图1－3所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG的长为x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图像大致是()1－31.利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.2.利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值.强化训练：5．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]6．已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是________．1个易错点——图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．3个关键点——正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：(1)正确求出函数的定义域；(2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x 的函数；(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．3种方法——识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：(1)定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；(2)定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.易误警示——作图不准确或数与形不吻合致误[典例6] (2011·新课标全国卷)函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[易误辨析]1．如果作出的函数图象比较粗糙，极易造成区间(1,2)上的两个交点遗漏，从而误选B.2．如果作函数y ＝11－x的图象不够准确，只注意到图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，极易忽视区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2上的交点，从而误选C. 3．如果不能正确地挖掘函数y ＝11－x及y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象均关于点(1,0)对称，从而无法求出交点横坐标的和．4．解决此类问题，避免在解题过程中出现失误，应关注以下几点：(1)平时涉及函数图象的问题时，要规范准确地画出图象，切忌不用尺规草草完成．(2)加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力．(3)训练由图分析其函数性质的解题技巧．强化训练：1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x <2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)2．已知a ，b ，c 依次是方程2x ＋x ＝0，log 2x ＝2－x 和log 12x ＝x 的实数根，则a ，b ，c 的大小关系是________．2015届高考函数的图像专题检测题一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x <0)，2x －1(x ≥0)的图象大致是( )2．函数y ＝log 2 |x |x 的大致图象是( )3．(2013·太原模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则函数f (x )的大致图象为( )4．已知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )5．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.5]＝－2，[1.5]＝1，若直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，13B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 7.[2013·四川卷] 函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )二、填空题8．函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c＝________.9．(2013·盐城模拟)若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 11．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．12．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求实数a 的取值范围．13．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a 的值．教师复习备选题1．为了得到函数y＝4·2x的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向上平移2个单位长度B．向下平移2个单位长度C．向左平移2个单位长度D．向右平移2个单位长度2．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是()3．作出下列函数的图象．(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝|x2－2|x|－3|.2015届高考函数的图像专题复习讲义答案前侧：１.B 2.A 3.C 4.④ 5.：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2例1：变式1：例2：:[答案] (1)D (2)B 例3：Ｂ 变式：2.C 3.B ４.Ｄ3.解析：选B 由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x >0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2,1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln |x |符合条件．例４：[答案] (0,1)∪(1,4) 互动：解：函数可表示为y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x >1或x <－1，－x －1，－1≤x <1，图象为如图所示的实线部分，数形结合可知，要使两函数图象有两个交点，则k ∈(0,1)∪(1,2)．变式5：Ｂ6.解析：由题知，当x ∈(－1,1)时，f (x )＝x 2－a x<12，即x 2－12<a x.在同一坐标系中分别作出二次函数y ＝x 2－12，指数函数y ＝a x 的图象，如图，当x∈(－1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是12≤a ＜1或1＜a ≤2. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]典例5：D [解析] 设l ，l 2距离为t ，cos x ＝2t 2－1，得t ＝cos x ＋12.△ABC 的边长为23，BE 23＝1－t 1，得BE ＝23(1－t)，则y ＝2BE ＋BC＝2×23(1－t)＋23＝23－433cos x ＋12，当x ∈(0，π)时，非线性单调递增，排除A ，B ，求证x ＝π2的情况可知选D.典例6：[解析] 由题意知y ＝11－x ＝－1x －1的图象是双曲线，且关于点(1,0)成中心对称，又y ＝2sin πx 的周期为T ＝2ππ＝2，且也关于点(1,0)成中心对称；因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，再结合图象(如图所示)可知两图象在[－2,4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x 8＝4×2＝8 [答案] D变式：1.Ｄ 2.答案：a <c <b检测题答案1-7：ＢＣＢＡＤD C６.解析：选D依题意作出函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0与直线y ＝13(x ＋1)，y ＝14(x ＋1)的部分图象，如下图所示．从图象中我们可以看出当k ＝14时，函数f (x )与直线y ＝14(x ＋1)的图象有三个交点，当k ＝13时，函数f (x )与直线y ＝13(x ＋1)的图象有两个交点，所以当14≤k <13时，直线y ＝k (x ＋1)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．8.133 9.解析：在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示．若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切，由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，2.10.４ 11.解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |4－x |＝⎩⎨⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4.f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]． (4)由图象可知，f (x )>0的解集为{x |0<x <4，或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，∴由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．12.解：设f (x )＝(x －1)2，g (x )＝log a x ，在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，要使x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数f (x )的图象在g (x )的图象下方即可．当0<a <1时，由两函数的图象知，显然不成立；当a >1时，如图，使x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f (2)≤g (2)，即(2－1)2≤log a 2，解得1<a ≤2. 综上可知，1<a ≤2.13.解：(1)设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点，则y 0＝f (x 0)． 又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )，得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)] ＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上． ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称．(2)对定义域内的任意x ，有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立．又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.备选题：1.Ｃ ２.Ｄ ３．解：(1)函数化为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94 (x ≥2)，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94(x <2)，图象如图(1)所示．(2)y ＝x 2－2x －3→y ＝x 2－2|x |－3→y ＝|x 2－2|x|－3|.图象变换如图(2)所示．。