几何学的未来发展.doc
掌握初中数学几何知识的重要性
掌握初中数学几何知识的重要性数学几何是初中阶段的一门重要学科，它不仅仅是为了应付考试，更是为了培养学生的逻辑思维能力、观察分析能力和解决问题的能力。
掌握初中数学几何知识对于学生的学业发展和未来的职业规划都具有重要的意义。
首先，掌握初中数学几何知识可以培养学生的逻辑思维能力。
几何学是一门涉及形状、结构和空间关系的学科，学生在学习几何知识的过程中需要运用逻辑推理和思维分析的能力。
例如，学生需要通过观察和分析图形的特征，推导出相应的性质和定理。
这种思维方式可以帮助学生培养逻辑思维的能力，提高他们的分析问题和解决问题的能力。
其次，掌握初中数学几何知识可以提高学生的观察分析能力。
几何学是一门需要学生观察、分析和推理的学科，学生在学习几何知识的过程中需要观察图形的特征、分析图形的性质，并通过推理得出结论。
这种观察分析的能力不仅可以帮助学生更好地理解和掌握几何知识，还可以培养学生的观察力和分析能力，提高他们对问题的洞察力和解决问题的能力。
此外，掌握初中数学几何知识对于学生的学业发展和未来的职业规划也具有重要的意义。
几何知识是数学的重要组成部分，它与其他学科如物理、化学和计算机科学等有着密切的联系。
掌握几何知识可以为学生今后学习这些学科打下坚实的基础。
同时，几何知识在许多职业中也具有广泛的应用。
例如，建筑师、设计师、工程师等职业都需要运用几何知识进行设计和计算。
掌握初中数学几何知识可以为学生未来选择职业提供更多的机会和发展空间。
为了更好地掌握初中数学几何知识，学生和家长可以采取一些有效的学习方法和策略。
首先，学生可以通过做题来巩固和应用所学的知识。
几何学是一门需要实践的学科，通过做大量的练习题可以帮助学生更好地理解和掌握几何知识。
其次，学生可以利用互联网资源和学习工具来辅助学习。
现在有许多优质的数学学习网站和手机应用程序可以提供丰富的几何学习资源和练习题，学生可以根据自己的需求选择合适的学习工具进行学习。
此外，学生还可以参加数学兴趣班或者请家教进行辅导，以加强对几何知识的学习和理解。
五年级几何知识的学习对未来有哪些帮助
五年级几何知识的学习对未来有哪些帮助在小学五年级的数学学习中，几何知识占据了重要的一席之地。
对于孩子们来说，这不仅是当前数学课程的一部分，更是对未来学习和生活有着深远影响的基石。
首先，五年级的几何知识为未来的数学学习打下了坚实的基础。
几何作为数学的一个重要分支，其知识体系是层层递进、逐步深入的。
在五年级时，孩子们开始接触三角形、平行四边形、梯形等基本图形的性质和面积计算。
这些基础概念和计算方法是进一步学习初中和高中几何的前置知识。
比如，到了初中，会学习更复杂的三角形全等和相似的判定，以及多边形的内角和与外角和等知识。
而如果在五年级没有扎实掌握基本图形的性质，那么后续的学习将会变得困难重重。
高中阶段的立体几何、解析几何等内容更是建立在早期几何知识的基础之上。
只有在五年级打好了几何基础，才能在未来的数学学习中轻松应对各种挑战，理解和掌握更高级、更抽象的几何概念和定理。
其次，几何知识的学习有助于培养孩子们的逻辑思维能力。
在解决几何问题的过程中，孩子们需要通过观察图形、分析条件、推理证明等一系列步骤来得出结论。
例如，计算一个梯形的面积，就需要先理解梯形的定义和特征，然后运用相应的公式进行计算。
在这个过程中，孩子们需要思考如何将梯形转化为已经熟悉的图形（如平行四边形或三角形），从而找到解决问题的方法。
这种思维训练能够让孩子们学会有条理地思考问题，从已知条件出发，通过合理的推理和论证，得出正确的结论。
这种逻辑思维能力不仅在数学学习中至关重要，在日常生活和未来的工作中也是不可或缺的。
无论是解决实际问题、制定计划还是进行决策，都需要清晰的逻辑思维来支撑。
再者，几何知识能够提高孩子们的空间想象力。
五年级的几何学习会涉及到图形的旋转、平移和对称等变换。
通过对这些内容的学习，孩子们可以在脑海中构建出不同的空间图形，并想象它们在不同状态下的样子。
这种空间想象力对于未来学习物理、工程学等学科非常有帮助。
比如在物理中，理解物体的运动轨迹和空间位置关系就需要较强的空间想象力。
四年级几何知识对学生未来发展的重要性
四年级几何知识对学生未来发展的重要性在学生的学习生涯中，四年级是一个关键的阶段，而几何知识的学习更是在这个时期占据了重要的地位。
几何作为数学的一个重要分支，不仅能够培养学生的逻辑思维和空间想象能力，还对他们未来的发展有着深远的影响。
首先，四年级的几何知识为学生提供了认识世界的新视角。
我们生活的世界充满了各种形状和空间结构，通过学习几何，学生能够更加敏锐地观察和理解周围的事物。
比如，他们能够明白为什么三角形的稳定性在建筑中被广泛应用，为什么车轮是圆形而不是方形。
这种对现实世界的深入理解，有助于培养学生的观察力和解决实际问题的能力。
其次，几何知识有助于培养学生的逻辑思维能力。
在学习几何的过程中，学生需要通过推理、证明来解决问题。
例如，在证明三角形内角和为 180 度的过程中，学生需要运用已有的知识和逻辑推理，逐步推导得出结论。
这种逻辑思维的训练对于学生未来学习其他学科，如物理、化学等，以及解决生活中的复杂问题都具有重要意义。
再者，空间想象能力是几何学习中培养的另一个关键能力。
学生需要在脑海中构建和想象各种几何图形的形状、位置和关系。
这种能力的提升不仅在数学学习中有帮助，对于未来从事与设计、建筑、工程等相关的职业也至关重要。
想象一下，如果一个建筑师没有良好的空间想象能力，如何能够设计出美观且实用的建筑呢？此外，学习几何知识还能够培养学生的耐心和细心。
在解决几何问题时，往往需要仔细审题、认真画图、精确计算。
一个小小的错误可能导致整个问题的答案错误。
通过不断地练习和纠错，学生能够养成严谨认真的学习态度，这对于他们未来的学习和工作都将是一笔宝贵的财富。
四年级的几何知识也是后续数学学习的重要基础。
在初中和高中的数学课程中，几何的内容会更加深入和复杂。
如果在四年级没有打好坚实的基础，那么学生在后续的学习中可能会感到吃力。
比如，在高中的立体几何中，需要运用到大量的平面几何知识和空间想象能力。
只有在四年级就建立起良好的几何概念和思维方式，才能在未来的学习中轻松应对。
四年级几何知识的学习对孩子未来有何影响
四年级几何知识的学习对孩子未来有何影响在孩子的学习生涯中，四年级是一个重要的转折点，尤其是在数学学科中，几何知识的学习开始占据一定的比重。
这一阶段的几何学习不仅仅是为了应对当下的学业要求，更对孩子的未来发展产生着深远的影响。
首先，四年级的几何知识学习有助于培养孩子的空间想象力。
几何本身就是研究空间和形状的学科，通过学习点、线、面、体等基本元素以及它们之间的关系，孩子能够在脑海中构建出各种几何图形的形象。
这种空间想象力对于未来学习更复杂的数学知识，如立体几何、解析几何等，是至关重要的基础。
而且，空间想象力不仅仅局限于数学领域，在物理、工程、建筑等学科中也有着广泛的应用。
比如，在理解物理中的电磁场分布、在工程设计中构思机械零件的形状和结构、在建筑设计中规划建筑物的布局等方面，良好的空间想象力都能让孩子更轻松地理解和解决问题。
其次，几何知识的学习能够锻炼孩子的逻辑思维能力。
在解决几何问题时，孩子需要运用推理、证明和演绎等逻辑方法。
他们要从已知的条件出发，通过一系列的逻辑步骤，得出结论。
例如，证明两个三角形全等，需要孩子清晰地理解全等的定义和判定条件，并能够有条理地进行推理。
这种逻辑思维的训练不仅有助于孩子在数学学科中取得更好的成绩，还能迁移到其他学科和生活中的问题解决中。
一个具有较强逻辑思维能力的孩子，在处理事情时会更加有条理、更加严谨，能够清晰地分析问题的本质，找到有效的解决办法。
再者，几何知识的学习可以提高孩子的观察力和注意力。
几何图形具有丰富的特征和细节，孩子在学习过程中需要仔细观察图形的形状、大小、位置关系等。
通过不断地观察和比较，孩子的观察力会得到显著的提升。
同时，为了准确地理解和解决几何问题，孩子需要集中注意力，排除干扰，这对于培养他们的专注力也是非常有益的。
在未来的学习和工作中，敏锐的观察力和高度的专注力是孩子能够快速获取信息、发现问题和提高效率的关键因素。
此外，几何知识的学习有助于培养孩子的创新能力。
几何发展现状及未来趋势分析
几何发展现状及未来趋势分析概述：几何学是数学的一个分支，研究空间、形状、大小、相对位置以及其他属性的图形和物体。
它被广泛应用于建筑、工程、地理、计算机图形学和许多其他领域。
本文将探讨几何学的发展现状以及未来的趋势。
一、几何学的发展历程几何学的起源可追溯至古埃及和古希腊时期。
古埃及人利用几何学来测量土地和建筑物的面积和体积。
古希腊人如毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德等人奠定了几何学的基本原理和定理，这些原理和定理成为后世几何学研究的基础。
随着科学方法的发展，几何学逐渐从实证研究转变为抽象研究。
在19世纪，非欧几何学的出现打破了传统几何学的框架，引发了对几何学基本概念的重新思考。
同时，向量和矩阵等代数方法的引入也为几何学的发展带来了新的契机。
二、几何学的现状几何学在不同领域有着广泛的应用。
以下是几个领域中几何学的现状：1. 建筑与设计：几何学在建筑和设计领域中扮演着重要角色。
通过几何分析和建模，设计师可以将二维和三维几何形状转化为具体的建筑和产品。
2. 工程：几何学在工程领域中被广泛应用于测量和设计。
通过几何分析，工程师可以确定建筑和结构的尺寸、角度和形状，确保设计的准确性和可靠性。
3. 地理信息系统（GIS）：GIS利用几何学和地理数据，帮助我们理解和分析地球表面的空间关系。
它在城市规划、环境管理和农业等领域起着重要作用。
4. 计算机图形学：计算机图形学利用几何学和计算机算法来生成和处理图像。
它在电影、游戏开发和虚拟现实等领域发挥着重要作用。
5. 生物学：生物学中的形态学研究了生物体的结构和形状。
通过几何学的应用，可以揭示生物体的内部和外部结构之间的关系，并帮助解决生物学领域中的许多问题。
三、几何学的未来趋势几何学作为一门学科，仍然在不断发展和演变。
以下是几何学未来发展的几个趋势：1. 三维几何学的发展：随着三维扫描和建模技术的进步，三维几何学成为几何学研究的一个重要方向。
三维几何学的应用不仅包括建筑和设计领域，还包括医学、机器人技术和虚拟现实等领域。
七年级几何知识在升学中的重要性是什么
七年级几何知识在升学中的重要性是什么在初中学习阶段，七年级的几何知识犹如一座基石，对于学生未来的升学之路起着至关重要的作用。
那么，它的重要性究竟体现在哪些方面呢？首先，几何知识能够培养学生的逻辑思维能力。
七年级的几何学习涉及到点、线、面、角等基本概念，以及图形的性质、判定和证明等内容。
在这个过程中，学生需要通过观察、分析、推理和判断来解决问题。
例如，在证明三角形全等或相似的过程中，学生需要仔细梳理已知条件，找出隐含的信息，运用相应的定理和公理进行推理，最终得出结论。
这种思维训练有助于学生养成严谨、有条理的思考习惯，提高逻辑推理能力。
而这种能力在数学学科以及其他理科学科的学习中都是不可或缺的。
在升学考试中，无论是数学还是物理、化学等科目，都需要学生具备较强的逻辑思维能力来应对复杂的问题和难题。
其次，几何知识有助于提高学生的空间想象能力。
七年级的几何学习会涉及到各种平面图形和立体图形，如三角形、四边形、正方体、圆柱体等。
学生需要通过观察图形、想象图形的变换和组合，来理解和解决问题。
比如，在计算几何体的表面积和体积时，学生需要在脑海中构建出相应的图形，分析其结构和特点。
这种空间想象能力的培养，不仅对数学学习有帮助，在物理学科中，对于理解力学、光学等知识，以及在地理学科中，对于地图的阅读和地形的理解等方面，都具有重要意义。
在升学考试中，一些涉及空间几何的题目往往需要学生凭借良好的空间想象能力才能准确解答。
再者，几何知识可以增强学生的数学应用能力。
在现实生活中，几何知识有着广泛的应用。
比如建筑设计、工程制图、地图绘制等领域都离不开几何原理的运用。
通过七年级的几何学习，学生能够将所学的知识与实际生活联系起来，学会用数学的眼光去观察和解决生活中的问题。
例如，在装修房屋时，计算房间的面积、地板的用料等；在制作家具时，设计合适的尺寸和形状等。
这种数学应用能力的培养，不仅能够激发学生学习数学的兴趣，还能让学生认识到数学的实用性，从而更加积极主动地学习。
数学几何模型的发展趋势及应用前景
数学几何模型的发展趋势及应用前景引言数学几何模型是数学与几何学相结合的产物，它通过数学的抽象和几何的形象，为我们提供了一种描述和解决现实世界问题的工具。
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，数学几何模型的发展正变得越来越重要。
本文将探讨数学几何模型的发展趋势及其在各个领域的应用前景。
一、数学几何模型的发展趋势1. 多维度拓展传统的数学几何模型主要是基于二维或三维空间的描述，但随着科学技术的进步，我们对于更高维度空间的研究需求也越来越大。
因此，未来的数学几何模型将会朝着多维度拓展的方向发展。
这种发展趋势将为我们提供更加准确和全面的描述和分析工具，有助于解决更加复杂和抽象的问题。
2. 数据驱动随着大数据时代的到来，数据在各个领域中的重要性不断凸显。
数学几何模型也不例外，未来的发展趋势将会更加注重数据的驱动。
通过对大量数据的分析和挖掘，我们可以发现其中的规律和模式，从而构建更加精确和实用的数学几何模型。
数据驱动的数学几何模型将为我们提供更加准确的预测和决策支持。
3. 融合学科交叉数学几何模型的发展离不开与其他学科的交叉融合。
未来的发展趋势将会更加注重与计算机科学、物理学、生物学等学科的融合。
通过与其他学科的交叉合作，数学几何模型可以更好地应用于不同领域，解决复杂问题。
这种跨学科的融合将进一步推动数学几何模型的发展。
二、数学几何模型的应用前景1. 工程建模数学几何模型在工程领域中有着广泛的应用前景。
例如，在建筑设计中，数学几何模型可以帮助工程师更好地理解和描述建筑物的结构和形态，从而提高设计的效率和质量。
此外，在制造业中，数学几何模型可以用于产品设计和加工过程的优化，提高生产效率和产品质量。
2. 医学影像医学影像是医学领域中重要的诊断工具，而数学几何模型在医学影像处理中有着广泛的应用前景。
例如，通过对医学影像数据的分析和处理，可以构建三维模型来辅助医生进行疾病的诊断和治疗。
数学几何模型的应用可以提高医学影像的分辨率和准确性，有助于提高医疗水平和患者的生活质量。
关注图形与几何领域教学,发展学生空间观念
关注图形与几何领域教学，发展学生空间观念1. 引言1.1 重视图形与几何领域教学在当今社会，图形与几何领域教学逐渐受到人们重视。
作为数学的一个重要分支，图形与几何不仅具有理论性强、抽象性高的特点，更是与实际生活密切相关，能够帮助学生培养空间观念和解决实际问题。
重视图形与几何领域教学，意味着我们将更多地关注学生在空间思维、空间认知和空间推理方面的发展，提高他们的数学素养和综合运用能力。
通过图形与几何的教学，学生不仅可以了解几何图形的性质和变换规律，还能够培养他们的逻辑思维能力和创新思维能力，这对于他们未来的学习和生活都具有重要的意义。
重视图形与几何领域教学不仅能够提高学生的数学水平，还能够为他们的综合素养和终身学习打下良好的基础。
我们应该更加重视图形与几何领域教学，使学生在学习中掌握更多的知识和技能，为他们的未来发展注入更多的动力和可能性。
1.2 重视发展学生空间观念在教育学界，越来越多的研究显示，发展学生空间观念对其未来学习与生活具有重要的影响。
空间观念是人们对于空间关系的认识和理解能力，包括方位感、距离感、大小感等。
在当今社会，如何培养学生的空间观念已经成为教育工作者们的重要任务之一。
空间观念的发展不仅在数学领域具有重要意义，在日常生活中也扮演着重要角色。
通过对学生进行空间观念的培养，可以提高他们的空间思维能力、创造力和解决问题的能力。
重视发展学生空间观念已经成为教育教学的重要方向之一。
教师们需要不断探索和提供各种有效的方法，以帮助学生在图形与几何领域教学中发展出较强的空间观念，从而为其未来的学习与生活奠定良好的基础。
2. 正文2.1 图形与几何在教学中的重要性图形与几何作为数学领域的重要组成部分，在学生的学习中扮演着至关重要的角色。
图形与几何是培养学生空间能力的重要途径。
通过学习各种形状和几何关系，学生能够更好地理解空间结构和布局，进而提高他们的空间想象和创造能力。
图形与几何对学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的促进作用。
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几何学的未来发展丘成桐校长、院长、及各位同学：今天很荣幸能够在这里演讲，尤其今年是交通大学一百年校庆纪念，能到一-个比较注至•工程的学校来讲数学，表示交通大学也注重理科方而的匚作，这是很有意义的。
因为基本科学对于工程学有很重要的启发性。
今天我讲的题目是林松山教授给我的。
但是学术的未来很难猜测，很多有学问的人都曾经得出错误的结论。
所以我不作任何猜测，我只能够根据以而的历史来做一•些建议。
今天要讲的历史主要是从个人的体验来看。
我不是一个历史学家，我讲的很可能是错误的。
可是这不里要，因为我想讲的是我从做学问得出来的观念，希望能够以我自己的经验来做一些建议。
清华大学跟交通大学都曾赠予杨振宁先生荣誉博士，我看过杨先生写的一篇文章，杨先生讲做物理好像画图画一样。
我想做几何也跟画图画差不多，不过我们i田i的图画更广泛一点。
物理学家要画的基本上只有一张图画，就是自然界的现象。
但是儿何学家可以随意去画，我们可以画广告画，画工程学需要的画，也可以画印象派的画和写实的画。
广告画可以在商业上有很大的用处，过儿年后可能成为收藏的对象。
但是山于商业气氛浓厚，一般画家不大愿意认同它们的价值。
广告画或工程画却可能对写实派的画和印象派的画产生相当的影响。
不过画印象派的画或山水画，一•定要有很深的技术、功力和想法才能画得好。
出名的画家往往花很多时间在磨练、在猜测，将他的工具不停地推进，在好的气质修养下，才能够画出好的印象派的画或山水画。
一般数学家和几何学家也有同样的经验，有意义的工作即使是个很小的观察(observation),往往花了数学家很大的精力去找寻。
找寻的方法不单是从大自然吸取，也从美学和工程学来吸取。
怎样去寻找有意义的工作，跟我们气质的培养有密切的关系。
现在我想谈几何的历史，看看从前，再预测未来。
因为我没有想到林松山教授给我这么长的时间，所以会讲长一点。
从前我们念中学的时候，念国文、念文学批评，总会说一•个时代有一个时代的感慨。
数学基本上也是一样，文学上有古义学、有诗经、有汉书、有唐诗、有宋词，从一个时代去学习一-个时代，很少能够学得刚好一样。
我们现在看诗经写得好得不得了，可是我们学不到诗经里面的情怀意念。
时代不同，感慨也不同了。
随着时代的变迁，因为时代不同的需要，我们培养出不同的感情，取舍自然不一样。
我们可以很羡慕从前大数学家做的工作，可是我们不可能也不一定要跟他们一模一样。
就好像我们现在学苏东坡的诗和词，我们不可能也不需要学得一样，但是我们可以从他的诗词里得到想法，帮助我们去理解大自然，找寻表达自己感情的方法。
从几何来说，我们所要寻找的跟物理学一样，就是真和美这两个观念。
还有一个很重要而容易忽略的动力，是山工程学对数学需求所产生的。
这三个想法推动了几何学的发展。
美的观点在不停地改变，改变的方式跟我们当时认识的自然界有很大的关系。
一、二千年前我们认识的自然界跟现在我们理解的自然界完全不同，所以数学或者几何学不停地受到这个变动的影响。
在儿何学来说，美可分为两方而：静态的美和动态的美。
静态的美,譬如一朵花或雅致的山水，我们大致知道怎样准确地去描述他们，甚至将我们的感受表达出来。
如何描述动态的美对我们来说是一个很困难的问题，例如水在流或天在下雪，在不同的时间、空间，事物会产生激变，这是一个相当美的图画。
可是到目前为止，激变的研究对理论物理学家、数学家跟几何学家都是一个很大的挑战°为了对时空作深入的描述，几何学家有不同的研究的路径：有人从物理学的角度去了解，有人从微分方程的角度去了解，这都成为几何学的更要课题。
从古至今大家都讲美，但是没有很客观的标准来决定什么叫美或者不美。
最重要的观念只有一个，就是简洁simplicity。
这往往是我们审美的一个主要标准。
在做儿何、做数学、做物理的研究时，我们都在描述一个很复杂的几何现象。
假如我们没有办法将几何现象用很简洁的语言表达出来的话，我们不算有一•个好的定理或者好的文章。
用很简洁的语言来推导和描述繁杂的几何现象，在欧几里得的时代就归纳为用三段论证方法得出的过程。
当时有很多定理，从希腊或埃及早期就发现了很多不同的平面几何现象，但是没有办法有系统地放在—•起。
欧氏很重要的页献，就是能够将定理统一起来，用公理来解释所有当时发现的定理。
例如两点之间可以用唯一的直线连接起来这个事实，可以推导出很多定理。
追求用简洁的语言来解释复杂的几何现象，是几何学家的目标。
物理学也是一样，物理上很复杂的现象也希望用统一场论来描述。
从前•中国也发展了平面几何，可是始终没有办法发展成完美的严格数学理论。
这是中国数学不如西方数学的一•个原因。
公理化以后我们才能够统一处理和了解繁复的现象，也因此知道欧氏几何所能解释的只是很简单的理想化的几何现象。
我们在自然界里面发现的现象远比平面几何要复杂得多，阿基米得和牛顿开始用微积分的方法来描述变动的曲线和曲面。
引进了微积分以后，几何学有长足的进步，我们开始知道直线或是圆以外的图形都可以用严格的数学来描述。
牛顿从物理的观点来看质点怎么变动成—•条曲线，从而发展了微积分。
儿何学家发现描述儿何图形非靠微积分不可，儿何学从希腊的公理化到牛顿的微积分是一个很大的进步。
古典力学无论在阿基米得，牛顿或是现代，对几何学的影响力都是很深远的。
它引进了变分法的观念，例如我们研究一个简单的问题：两点之间最短的线是直线。
这是平面几何要求的。
可是假如中间有障碍,就不再是一条直线，并旦最短的路径并不唯一。
这是简单的变分问题，问两点间最短的线是什么？怎么找这些曲线及它的分布情形，到现在为止还是微分几何的一个有趣问题。
我们知道在圆球上所有的测地线(geodesic)都是大圆。
假设我们将圆球变形一下，变成凸曲面:convex surface,这问题就变成一个很复杂的数学问题。
它的测地线分布状态并不明显，到目前为止没有办法处理这个问题，只有在简单的椭圆体时可以全部解决这个问题。
古典力学帮忙我们发现很多不同的工具来解释测地线的问题。
到了二十世纪，我们又发觉古典力学和量子力学有密切的关系。
一•个重要的问题问，当普朗克常数趋向于零的时候，古典力学和量子力学中间的关系如何描述，在这方面有很多至要的工作，例如：WKB的近似方法。
它在几何上产生了有趣的影响。
例如Hamiltonian Mechanics里面的classical pa th和光谱的关系，引起了微分几何学家和微分方程学家企图联系Laplace算子的谱和测地线长度的工作。
古典力学通过geodesic，量子力学通过Laplace 算子得到很多儿何现象，如何将他们联系是一个很有趣的儿何问题。
我想这方而的研究会有很大的发展。
从古典力学到量子力学，更进一步，就是量子场论，这里有无穷多个质点，相空间变成无穷维空间。
山于在古典的量子力学里，有限维流形上的谱分析和classical path有关，在无限维空间时，我们就期望某种极小曲面和量子场论出现的partition function有关系。
在这方面,弦理论已经得到相当大的进步。
可是物理学家讨论场论的时候，遇到很多困难，起源于无穷维流形算子的谱分析不知如何处理。
一个重要例子是loop space,这是将给定的流形上的所有封闭曲线放在一起的空间，我们要寻求在它上而的谱分析，这是一个很困难的问题。
量子场论还缺乏严格的数学基础。
用Renormalization的方法,出现很多无穷的cancellation问题。
在物理上出现的问题在数学上会更为困难。
因为物理学家愿意接受直观的证明的观念，而数学家难以接受。
W•是从晨子力学，量子场论推导出来的数学，几何学家往往惊叹他们如魔术般的奇妙直觉(intuition)0在有限维空间时,由物理学引起的几何,我们大致上都可以理解和证明。
可是在无穷维空间里血，我们发觉古典几何学的直觉与真理有相当远的距离，没有办法将有限维空间的想法简单地推导到无穷维空间几何上去。
这十五年来，自从弦理论产生以后，我们惊讶地发觉从物理宜觉产生的儿何结论往往是正确的。
虽然量子场论本身的基础不够精确, 它的物理意义也不见得能够说服所有的物理学家，可是得出来的儿何结论即使不能以物理学的思维来严格证明，却意义深厚且往往可以用不同的数学方法来验证。
现在举一个例子，这是一个很深奥而古典的问题，已经有一百多年的历史：一个五次方程，它有五个变数，这是中学生都看得憧的方程。
我们要解这个方程，我们问一个很简单的问题，假如要求寻找这个方程的函数解，它是可以写成一个参数t的有理函数，问这个方程有多少个这样的函数解。
这是一个很古典的问题，跟Fermat问题很相似。
我们的解可以分为不同的类别，我们可以用t的阶数来将解分类，一•般来说解有无穷个。
可是我们可以问阶数等于一的时候有多少个解，等于二时有多少个解。
古典的几何学家算出来阶数等于一•的时候有2875个，等于二的时候也可以算出来，等于三是近几年才找出来的，我们猜想它有无穷多个解，阶数越大时解可能越多。
数学家没有办法解答这个问题，连猜测都没有办法做。
这个问题在十年前，用弦理论的镜对称猜测到一-个公式，来表达所有解的个数。
这个镜对称理论是十年前我的一个博士后研究员和在德州的一个教授跟他们的同事们建立的。
镜对称没有办法严格地去证明这个公式，当时用古典方法一个一个地去检查，发觉阶数小时公式基本上是对的。
可是这种检验不是公式的证明，从量子场论得来的结果一•般来说不能当作定理。
今年年初这个公式终于山刘克峰、连帮豪和我、以及俄国数学家Giventai用数学的方法给出严格的证明。
虽然最后的证明跟路径积分的想法无关，但是得到这个公式的过程有很大的意义，因为在量子场论找到这个公式以前，数学家连怎样找这个公式都不知道。
等到这个公式找出来以后，我们才有办法从公式本身去看想，得到它的证明。
我为什么要讲这个问题呢？因为无穷维空间在物理上有许多直•观的想法，从数学的观点来看，几乎是不可能接受的。
这种公式往往是从路径积分加上正规化的观念导出来的，在严格上和直观上数学家都不能够接受，但却得出正确的答案。
因此，我们要追究物理学家在量子场论的直观是怎样训练出来的，我们儿何学家缺乏这方而的训练。
近十年来，从量子场论得出来的重要观念，解决了很多我们以前没有办法解决的问题，可以看出古典力学、量子力学、量子场论对几何的影响是很深远的。
我想这个发展会继续下去，二十一世纪的上半叶, 无穷维空间的几何要不断地受到量子场论的影响。
如果单从数学出发，我们很容易地定义什么叫做无穷维空间上的几何，可是往往没有办法得出任何有意义的结论。
这是因为几何学家对现代物理的观念搞得不清•楚，而无穷维的几何往往不是古典的直观可以得到的。
所以我们要接受从现代物理或其它自然界供给的观念。
这是一-个很更要的交汇，数学家自以为很漂亮的工具，往往不能够解决任何问题。