第五章几何学的发展
几何学的发展过程
几何学的发展过程嘿，咱今儿就聊聊几何学这玩意儿的发展过程！你想想啊，这世界到处都是各种各样的形状和空间，那几何学不就是来研究这些的嘛！从古埃及人测量土地开始，几何学就已经踏上了它漫长的旅程啦。
那时候的人们啊，为了划分土地，就得搞清楚边长啊、角度啊这些东西，这就是几何学最初的模样。
就好像我们小时候搭积木，得知道怎么把那些小块儿摆得整整齐齐的，这其实也是一种简单的几何探索呢！后来啊，古希腊的那些大哲学家们可就登场啦！他们可不满足于就这么简简单单地量量土地。
他们开始深入思考那些形状背后的奥秘。
比如说毕达哥拉斯，他发现的那个勾股定理，哇，那可真是厉害得不行！这就好比是找到了一把打开几何大门的钥匙。
再往后，到了欧几里得时代，那简直就是几何学的一个高峰啊！他写的那本《几何原本》，就像是几何学的圣经一样。
里面的那些定理和证明，让人们对几何的理解一下子就上了好几个台阶。
你说这是不是很神奇？然后呢，随着时间的推移，几何学也在不断地发展和变化。
不同的文化、不同的时代都给它注入了新的活力。
就像阿拉伯人，他们也在几何学上有了自己的贡献，把几何知识传播得更远更广。
这就好像是一场接力赛，大家都在为几何学的发展努力奔跑着。
到了近代，几何学更是变得越来越复杂，越来越神奇啦！什么非欧几何啊，拓扑学啊，这些新的领域不断涌现出来。
就像是一个巨大的宝藏，等着人们去挖掘。
你看啊，几何学的发展不就像是我们人生的旅程吗？一开始是懵懵懂懂的，然后慢慢探索，不断发现新的东西，越来越深入，越来越精彩。
难道不是吗？它从最开始的简单实用，到后来的高深莫测，这中间经历了多少人的努力和智慧啊！我们现在能享受到这么丰富的几何知识，可都是前人一步一步走出来的呢！所以啊，我们可不能小看了几何学。
它不仅仅是那些书本上的定理和公式，更是人类智慧的结晶。
它让我们更好地理解这个世界，让我们的生活变得更加丰富多彩。
不管是建筑设计，还是艺术创作，几何学都在其中发挥着重要的作用。
几何学的发展史PPT
建筑设计
建筑设计是几何学应用的重要领域之一，建筑师利用几何 学原理设计出各种形状和结构的建筑物，以满足功能和审 美需求。
建筑设计中，几何学主要应用于空间布局、结构分析、材 料排布等方面，例如利用几何原理确定建筑物的平面和立 体布局，分析结构的稳定性和承重能力，以及合理排布建 筑材料以降低成本等。
工程绘图
• 文艺复兴时期的几何学：文艺复兴时期，随着科学和技术的进步，几何学也取 得了重大突破。达芬奇、伽利略和开普勒等科学家将几何学应用于天文学、物 理学和工程学等领域，推动了科学革命的发展。
• 现代几何学：19世纪以后，几何学逐渐向更高维度的空间拓展。非欧几何的 创立和发展，为几何学带来了新的研究方向和应用领域。现代几何学还包括拓 扑学、微分几何、代数几何等分支，它们在理论物理、计算机科学和数据科学 等领域中发挥着重要作用。
射影几何学的兴起
射影几何学是几何学的一个重要分支，其兴起与中世纪欧洲 的大学教育密切相关。射影几何学的研究对象是图形在投影 下的性质和问题，对于当时的建筑、绘画和工程等领域有着 重要的应用价值。
射影几何学的兴起也与当时的哲学思想有关，特别是唯理论 和经验论的争论。唯理论者认为几何学中的公理和定理是自 明的，而经验论者则强调实践和应用的重要性。射影几何学 的兴起体现了当时哲学思想的交锋和碰撞。
非欧几何学的发现
非欧几何学的发现
非欧几何学是指与欧几里得几何学不同的几何体系，其公理体系和欧几里得几何学有所 不同。在19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约 等人分别独立发现了非欧几何学。非欧几何学的发现打破了欧几里得几何学的唯一性，
使得人们开始认识到不同的公理体系可以导致不同的几何体系。
微分几何学的兴起
小学阶段几何直观概念的发展及培养探究
小学阶段几何直观概念的发展及培养探究小学阶段是儿童学习几何的重要时期，这一阶段的几何学习对于培养孩子的空间想象力、逻辑思维能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。
在小学阶段，如何引导孩子建立几何直观概念，成为了学校和家长共同关注的问题。
本文将重点介绍小学阶段几何直观概念的发展及培养探究，帮助家长和教师更好地了解孩子的几何学习过程，并为他们提供相应的指导和帮助。
1. 幼儿园到小学一年级：形状和空间方位的认知在幼儿园阶段，孩子开始接触简单的几何概念，如点、线、面、形状等。
在这个阶段，引导孩子通过观察周围的物体，了解不同的形状特征，如圆形、方形、三角形等，并学会用简单的词语描述这些形状。
随着孩子进入小学一年级，他们开始学习空间方位的认知，如左右、上下、前后等。
这个阶段的几何学习主要以感性认识为主，培养孩子对形状和空间的直观概念。
2. 小学二年级到四年级：图形的组成和转化随着孩子年龄的增长，他们的几何学习逐渐由感性认识向理性认识转变。
在这个阶段，孩子开始学习图形的组成和特征，如直线、曲线、角等。
他们还会学习图形的转化，如平移、旋转、对称等操作。
这些知识不仅可以帮助孩子更好地理解图形的形成和性质，还能够培养孩子的逻辑思维能力和空间想象力。
3. 小学五年级到六年级：初步引入几何证明小学五年级到六年级是几何学习的关键时期，这个阶段的学习内容主要包括角的度量、相似三角形、圆的性质等。
孩子还将初步接触几何证明的方法和技巧，开始学会用逻辑推理和数学语言描述几何问题。
通过这样的学习，可以帮助孩子建立起更为深入的几何直观概念，并为进一步学习高阶几何知识打下良好的基础。
1. 创设丰富多彩的几何情境在小学阶段，培养孩子的几何直观概念需要通过丰富多彩的几何情境来实现。
教师可以利用教学资源和学校周边环境，组织学生进行形状和空间的观察、分析和描述，让孩子通过多种感官接受几何知识，激发他们的学习兴趣。
家长也可以在生活中引导孩子观察各种具有几何特征的事物，如建筑物、家具、玩具等，帮助孩子将课堂学习与日常生活相结合，增强几何直观概念的培养效果。
几何发展简史
论文：数学的发展简史作者：学号：班级：指导教师：日期：几何学发展简史几何,英文为Geometry ,是由希腊文演变而来,其原意是土地测量;“依据很多的实证,几何是埃及人创造的,并且产生于土地测量;由于尼罗河泛滥,经常冲毁界限,这样测量变成了必要的工作;无可置疑的,这类科学和其它科学一样,都发生于人类的需要;”引自1;明代徐光启1562~1633和天主教耶酥会传教士利玛窦Matteo Ricci,1552~1610翻译欧几里得的几何原本时将Geometry 一词译为几何学;几何学是研究形的科学,以视觉思维为主导,培养人的观察能力、空间想象能力与空间洞察力;几何学最先发展起来的是欧几里得几何;到17世纪的文艺复兴时期,几何学上第一个重要成果是法国数学家笛卡儿R..descartes, 1596~1650和费马 Fermat,1601~1665的解析几何;他们把代数方法应用于几何学,实现了数与形的相互结合与沟通;随着透视画的出现,又诞生了一门全新的几何学——射影几何学;到19世纪上半叶,非欧几何诞生了;人们的思想得到很大的解放,各种非欧几何、微分几何、拓扑学都相继诞生,几何学进入一个空前繁荣的时期;1 从欧几里得几何到非欧几何欧几里得Euclid,约公元前330~275的几何原本是一部划时代的着作,其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范;公元7世纪以前的所谓几何学,都只限于一些具体问题的解答,并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的;当积累起来的几何知识相当丰富时,把这一领域的材料系统地整理,并阐明它们的关系,就显得十分必要了;由于几何学本来的对象是图形,研究它必然要借助与空间的直观性;但是直观性也有不可靠的时候,因而在明确地规定了定义和公理的基础上,排除直观性,建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始;欧几里得就是在这种思想的基础上,编着完成了他的几何原本;几何原本的第一卷是全书逻辑推理的基础,给出全书最初出现的23个定义,5条公设,5条公理：定义（1）点没有部分;（2）线有长度,而没有宽度;（3）线的界限是点注：几何原本中没有伸展到无穷的线;（4）直线是同其中各点看齐的线;（5）面只有长度和宽度;（6）面的界限是线;（7）平面是与其上的直线看齐的面;（8）平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度;（9）当形成一角的两线是一直线时,这个角叫做平角;（10）~22略是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义;23平行直线是在同一个平面内,而且往两个方向无限延长后,在这两个方向上都不会相交的直线;关于几何的基本规定的5条公设：（1）从每个点到每个其它的点必定可以引直线;（2）每条直线都可以无限延伸;（3）以任意点作中心,通过任何给定的点另一点,可以作一个圆;（4）所有的直角都相等;（5）同平面内如有一条直线与另两条直线相交,且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角,则后两条直线无限延长后必在这一侧相交;关于量的基本规定的5条公理：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量,总量相等；（3）等量减等量,余量相等；（4）彼此重合的量是全等的；（5）整体大于部分;欧几里得在此基础上运用逻辑推理,导出了许许多多的命题在几何原本中包含了465个命题,从而构成了欧几里得几何学;由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图,因此这两件仪器被称为欧几里得工具,使用它们可以完成的作图称为欧几里得作图,即尺规作图;这种作图增加了几何学的趣味性;人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题：（1）倍立方问题：求作一个立方体,使体积为已知立方体的二倍；（2）三等分角问题：三等分一个任意的已知角；（3）化圆为方问题：求作一个正方形,使其面积为已知圆的面积;尽管是徒劳的,但从各方面推动了数学的发展;将公设、公理分开是从亚里士多德开始的,现代数学将公设、公理都叫做公理;第五条公设与“在平面内过已知直线外一点,只有一条直线与已知直线不相交平行”相等价;现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理;自几何原本问世以来,直到19世纪大半段以前,数学家一般都把欧几里得的着作看成是严格性方面的典范,但也有少数数学家看出了其中的严重缺点,并设法纠正;首先,欧几里得的定义不能成为一种数学定义,完全不是在逻辑意义下的定义,有的不过是几何对象的直观描述比如点,线,面等,有的含混不清;这些定义在后面的论证中根本是无用的;其次,欧几里得的公设和公理是远不够的;因而在几何原本中许多命题的证明不得不借助直观,或者无形中引用了欧几里得的5个公理之外的公设或公理的东西;针对欧氏几何的上述缺陷,数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷;到19世纪末,德国数学家希尔伯特D. Hilbert,1862~1943于1899年发表了几何基础,书中成功地建立了欧几里得几何的一套完整的公理系统;首先他提出了8个基本概念,其中三个是基本对象：点、直线、面；5个是基本关系：点属于或关联直线,点属于或关联平面,一点在两点之间,两线段合同,两角合同;这些基本概念应服从5组公理：关联公理；顺序公理；合同公理；连续公理；平行公理;参见2或3;另外,人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题,即平行公理可否能用其它公理推导出来;虽然有很多学者包括一些很有名的数学家曾宣称已经证明平行公理能用其它公理推导出来,但最后发现这些论证都是不正确的;于是从意大利数学家Saccheri1733开始,人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的,即它不能从其它公理推导出来;罗巴切夫斯基Лобачевский,Н.И.,1792~1856和波尔约J,Bolyai, 1802~1860分别在1829年和1832年独立地用平行公理的反命题,即用“过给定直线外一点,存在着至少两条直线与给定的直线不相交”来代替欧几里得平行公理,并由这套新的体系演绎出一套与欧几里得几何迥然不同的命题,但并没有导致任何的矛盾,非欧几何就这样产生了;但是要人们真正信服这种纯理性的几何体系,还是应该将这种“虚”的几何学真正地构造出来,即提供这种“虚”几何的现实模型;19世纪70年代,德国数学家克莱因F. Klein, 1849~1925提出了Klein 模型,庞加莱J．H．Poincare, 1854~1912提出了上半平面Poincare模型;这些模型都能将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来;这样的非欧几何叫做双曲几何;1两个不同的点至少确定一条直线；2直线是无界的；3平面上任何两条都相交;就可得到一种相容的几何学,称为黎曼的非欧几何椭圆几何;这样的几何可以在球面上实现;由于罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何的发现,几何学从传统的束缚中解放出来了,从而为大批新的、有趣的几何的发展开辟了广阔的道路,并有广泛的应用,如：在爱因斯坦发现的广义相对论中,用到黎曼几何；由1947年对视空间从正常的有双目视觉的人心理上看到的空间所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基的双曲几何来描述;如果实数系是相容的,则可以证明以上几种几何的公理系统都是各自相容的、独立的,但都不是完全的;然而奥地利数学家哥德尔K. Godel, 1906~1978证明了“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F,存在F中的不可判定命题;”及“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F,F的相容性不能在F中被证明;”因而想证明数学的内部相容性问题也就无望了;2 解析几何的诞生欧氏几何是一种度量几何,研究的是与长度和角度有关的量的学科;它的方法是综合的,没有代数的介入,为解析几何的发展留下了余地;解析几何的诞生是数学史上的一个伟大的里程碑;它的创始人是17世纪的法国数学家笛卡儿和费马;他们都对欧氏几何的局限性表示不满：古代的几何过于抽象,过多地依赖于图形;他们对代数也提出了批评,因为代数过于受法则和公式的约束,缺乏直观,无益于发展思想的艺术;同时,他们认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理,而代数学能用来对抽象的未知量进行推理,是一门潜在的方法科学;因此,把代数学和几何学中的精华结合起来,取长补短,一门新的学科——解析几何诞生了;解析几何的基本思想是用代数方法研究几何学,从而把空间的论证推进到可以进行计算的数量层面;对空间的几何结构代数化,用一个基本几何量和它的运算来描述空间的结构,这个基本几何量就是向量,基本运算是指向量的加、减、数乘、内积和外积;向量的运算就是基本几何性质的代数化;将几何对象数量化需要一座桥,那就是“坐标”;在平面上引进所谓“坐标”的概念,并借助这座桥,在平面上的点和有序实数对x,y之间建立一一对应的关系;每一对实数x,y都对应于平面上的一个点；反之,每一个点都对应于它的坐标x,y ;以这种方式可以将一个代数方程fx,y=0与平面上一条曲线对应起来,于是几何问题便可归结为代数问题,并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果;借助坐标来确定点的位置的思想古来有之,古希腊的阿波罗尼奥斯Apollonius of Perga,约公元前262~190关于圆锥曲线性质的推导；阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究,都蕴涵着这种思想;解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆,1323-1382,他在论形态幅度这部着作中提出的形态幅度原理或称图线原理,甚至接触到函数的图像表示,在此,他借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来描述他的图线,相当于横坐标和纵坐标;到了16世纪,对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题;这就迫切地需要一种新的数学工具,导致了变量数学即近代数学的诞生;笛卡儿1637年发表了着名的哲学着作更好地指导推理与寻求科学真理的方法论,该书有三个附录：几何学、折光学和气象学,解析几何的发明包含在几何学这篇附录中;笛卡儿的出发点是一个着名的希腊数学问题——帕普斯问题：费马和笛卡儿研究解析几何的方法是大相径庭的,表达形式也截然不同：费马主要继承了希腊人的思想;尽管他的工作比较全面系统,正确地叙述了解析几何的基本思想,但他的研究主要是完善了阿波罗尼奥斯的工作,因此古典色彩很浓,并且沿用了韦达以字母代表数类的思想,这就要求读者对韦达的代数知识了解甚多;而笛卡儿则是从批判希腊的传统出发,决然同这种传统决裂,走的是革新古代方法的道路;他的方法更具一般性,也适用于更广泛的超越曲线;费马是从方程出发来研究它的轨迹；而笛卡儿则从轨迹出发建立它的方程;这正是解析几何中一个问题的正反两个方面的提法;但各有侧重,前者是从代数到几何,而后者是从几何到代数;从历史的发展来看,后者更具有突破性见5;解析几何解决的主要问题是见6：1通过计算解决作图问题;例如,分线段成已知比例;2求具有某种几何性质的曲线或曲面的方程;3用代数方法证明新的几何定理;4用几何方法解代数方程;例如,用抛物线与圆的交点解三次和四次代数方程;解析几何的诞生具有以下的伟大意义见6：1数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转为以代数和分析为主导的数学;2以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学,为微积分的诞生奠定了基础;3使代数和几何融合为一体,实现了几何图形的数量化;4代数的几何化和几何的代数化,使人类摆脱了现实的束缚,带来了认识新空间的需要,帮助人类从现实世界进入虚拟世界：从3维空间进入到更高维的空间;3 十八、十九世纪的几何对于几何学,十八世纪数学家们着眼于分析方法的应用,及与此相联系的坐标几何的发展;虽然早先已有部分结果,但形成为独立的学科主要是在十八世纪;伯努利兄弟以及欧拉、拉格朗日等在确定平面曲线曲率、拐点、渐伸线、渐屈线、测地线及曲线簇包络等方面做出许多贡献；蒙日自1771年起发表的一系列工作,则使微分几何在十八世纪的发展臻于高峰; 解析几何的基本课题是对称的坐标轴概念、平面曲线的系统研究等;帕伦于1705年、1713年将解析几何推广至三维情形,该项工作被克莱罗所继续;解析几何突破了笛卡儿以来作为求解几何难题的代数技巧的界限;对综合几何的兴趣直到十八世纪末才被重新唤起,这主要归功于蒙日的画法几何学;蒙日指出画法几何只是投影几何的一个方面,这促进了更一般的投影几何学与几何变换理论的发展;投影几何在十九世纪整整活跃了一个世纪,而几何变换则已成为现代几何学的基本概念;十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代;复变函数论的创立和数学分析的严格化,非欧几何的问世和射影几何的完善,群论和非交换代数的诞生,是这一世纪典型的数学成就;它们所蕴含的新思想,深刻地影响着二十世纪的数学;十九世纪最富革命性的创造当属非欧几何;自古希腊时代始,欧氏几何一直被认为是客观物质空间惟一正确的理想模型,是严格推理的典范;16世纪后的数学家在论证代数或分析结果的合理性时,都试图归之为欧氏几何问题;但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持久的关注,以弄清它和其他公理、公设的关系;这个烦扰了数学家千百年的问题,终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决;高斯在1816年已认识到平行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明,得到在逻辑上相容的非欧几何,其中平行公设不成立,但由于担心受人指责而未发表;1825年左右,波尔约和罗巴切夫斯基分别得到同样的结果,并推演了这种新几何中的一些定理;罗巴切夫斯基1829年的文章论几何基础是最早发表的非欧几何着作,因此这种几何也称为罗巴切夫斯基几何;这项发现的技术细节是简单的,但观念的变革是深刻的,欧氏几何不再是神圣的,数学家步入了创造新几何的时代;非欧几何对人们认识物质世界的空间形式提供了有力武器,但由于它背叛传统,创立之初未受到数学界的重视;只是当高斯有关非欧几何的通信和笔记在他1855年去世后出版时,才因高斯的名望而引起数学家们的关注;十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何;1822年,彭赛列发表论图形的射影性质,这是他1813～1814年被俘关在俄国时开始研究的总结;他探讨几何图形在任一投影下所有截影共有的性质,他的方法具有象解析几何那样的普遍性;1827年左右,普吕克等人引进齐次坐标,用代数方法研究射影性质,丰富了射影几何的内容;对纯几何问题兴趣的增长,并未减弱分析在几何中的应用;高斯从1816年起参与大地测量和地图绘制工作,引起他对微分几何的兴趣;1827年他发表的关于曲面的一般研究,为这一数学分支注入了全新的思想,开创了微分几何的现代研究;参考书目1КостинВ.И.,几何学基础,苏步青译,商务印书馆,19562沈纯理等,经典几何,科学出版社,20043郑崇友等,几何学引论第二版,高等教育出版社,20054李文林,数学史概论第二版,高等教育出版社,20025吴文俊主编,世界着名数学家传记,科学出版社,20036张顺艳,数学的美与理,北京大学出版社,2004。
高等几何
第五章高等几何第一节课程概论1、本课程的起源与发展早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。
法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。
继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。
出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。
到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。
在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。
英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。
射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。
克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。
在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。
如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。
正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。
这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。
更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。
演变几何学的起源与发展
演变几何学的起源与发展演变几何学是数学的一个重要分支，研究的对象是几何结构的变化。
从古希腊到现代，演变几何学经历了漫长的发展过程，本文将介绍演变几何学的起源和发展历程。
第一部分：古代演变几何学的起源古希腊是演变几何学的起源地，早在公元前6世纪，希腊数学家就开始研究几何变换。
其中最著名的数学家之一是希克塔斯，他首次提出了几何结构中的平移、旋转和缩放等概念。
希克塔斯的研究为后来的数学家们奠定了基础，开启了演变几何学的大门。
第二部分：欧几里得几何学的发展欧几里得几何学是演变几何学的重要里程碑。
公元前3世纪的希腊数学家欧几里得发表了他的《几何原本》，将几何学建立在严密的公理体系之上。
而在几何结构的变换方面，欧几里得提出了一系列定理和推理方法，如镜像变换、反射变换等。
这些成果为后来的数学家们提供了重要的参考，使得演变几何学在欧洲得以快速发展。
第三部分：近代演变几何学的突破随着科学技术的进步和数学方法的不断发展，演变几何学在近代取得了突破性的进展。
18世纪，法国数学家拉格朗日提出了拉格朗日变换，该变换可以描述物体在空间中的不同位置和形态。
这一理论成果为后来的数学家们提供了重要的研究方法和思路。
20世纪初，德国数学家伽罗瓦发现了一类特殊的几何变换，称为伽罗瓦变换。
伽罗瓦变换在代数方程的研究中发挥了重要作用，并为演变几何学在代数学中的应用提供了奠基之作。
第四部分：现代演变几何学的研究方向如今，演变几何学已经成为数学的一个重要分支，拥有广泛的研究领域和应用价值。
现代演变几何学的研究方向包括但不限于以下几个方面：1. 刚体运动的几何描述：研究物体在空间中的平移、旋转和缩放等运动，以及描述这些运动的数学方法。
2. 图像处理中的几何变换：应用演变几何学的理论和方法，对图像进行平移、旋转、放缩等图像变换操作。
3. 机器学习中的几何学习：利用演变几何学的理论和模型，研究机器学习中的几何学习问题，如图像分类、模式识别等。
4. 生物学中的几何结构变化：研究生物体在生长和发育过程中的几何结构变化规律，探索生物学中的演变几何学问题。
浅谈几何的发展历程
前言：
几何学是一门古老而实用的科学,是自然科学的 重要组成部分。在史学中,几何学的确立和统一经 历了二千多年,数百位数学家做出了不懈的努力。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何这个词最早来自于希腊语“γ ε ω μ ε τ ρ ία ”，由“γ έα ”
（土地）和“μ ε τ ρ ε ĭν ”（测量）两个词合成而来，指土地的测量
柏拉图主张:"只有循数学一途,才能了解实体世界 的真面目,而科学之成为科学,在於它含有数学的份." 就是因为希腊时代的一些学者对於自然的这种看法和 确立了依循数学研究自然的做法,给食腊时代本身及后 来世世代代的数学创见提供了莫大的诱因.而在数学的 领域中,几何学是最接近实际的描述.对希腊人而言,几 何学的原则是宇宙结构的具体表现,本身正一门实际空 间的科学.几何学就是数学,研究的中心.
，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最
早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并
未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译
，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也
可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、
解析几何的诞生
解析几何是变量数学最重要的体现。解析几何的基本 思想是在平面上引入“坐标”的概念,并借助这种坐标在 平面上的点和有序实数对(x,y)建立一一对应的关系,于是 几何问题就转化为代数问题。
解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费 马。1637年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的 方法论》的附录《几何学》中清晰的体现了解析几何的思 想。而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析 几何的原理,他在书中提出并使用了坐标的概念,同时建立 了斜坐标系和直角坐标系。
几何学发展史简介
“几何”一词，拉丁文是geometric，其源于希腊文ycouerpua（土地测量术）。
我国明末科学家徐光启（1562-1637）与意大利传教士利玛窦（R.Matteo，1553- 1610）1607年合译《几何原本》时首次采用。
几何学是一门古老而崭新的数学分支，其产生可追溯到距今8000年前的新石器时代。
最早始于人类生存及生产的需要，在长期生活、生产实践中，人们逐渐对图形有了一定的认识，形成了一些粗略的几何概念，归纳出一些有关图形的知识和经验，产生了初步的几何。
再经历代数学家的提炼和加工，逐渐形成了一门研究现实世界空间形式，即物体形状、大小和位置关系的数学分支，进而发展成为研究一般空间结构的数学分支。
几何学的发展大致经历了4个基本阶段。
1.实验几何的形成与发展几何学最早的产生可以用“积累几何事实，并企图建立起各个事实间的某种联系”来概括和描述。
源于人们观察天体位置、丈量土地、测量容积、制造生产工具等实践活动。
据考古资料记载，出土的十万年前的一些器皿上已出现的简略几何图案。
相传公元前2000年前大禹治水时，就已经能够使用规和矩等绘图工具进行测量和设计工作。
另外，从现存的古埃及、古巴比伦等国的史料可看出，在天文、测量中也大量地反映了几何图形与计算的知识。
然而，这一历史时期，尽管人们在观察实验的基础上积累了丰富的几何经验。
但在现存的史料中，未见这一时期总结出几何知识真实性的推理证明；某些计算公式仅是粗略和近似的；直至公元前7世纪以前，可以说是单纯地由经验积累，通过归纳而产生几何知识的阶段，被称为实验（归纳）几何阶段。
2.理论几何的形成与发展到了公元前7世纪，随着古埃及、古希腊之间贸易与文化的交流，埃及的几何知识逐渐传入希腊并得到巨大的发展。
这一时期，人们对几何知识开始了逻辑推理与论证，古希腊的泰勒斯（Thales，约公元前625一前547）首先证明了“对顶角相等”、“等腰三角形两底角相等”、“半圆上的圆周角是直角”等，因而被人们称为第一位几何学家；毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580一前501）学派首先证明了“三角形内角和等于二直角”、“勾股定理”、“只有五种正多面体”等。
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• 阿基米德的双重方法——用力学原理发现公式， 再用穷竭法加以证明
• 如图5.11抛物线有内接
• 三角形PQq，其中P与Qp
• 中点V的连线平行于抛
• 物线的轴。阿基米德从
•图5. 11 阿基米德的双 •重方法求面积
• 物理的方法发现：抛物线被Qp截得的抛物线弓形 的面积，与三角形QPq的面积之比是4：3。阿基米
轨迹是一曲线，它上面的任意三点都不在一条直线上。 在任一角内，至少存在这样一点，通过它不能做出一条同时与两
边相交的直线。 圆内接正六边形的边大于此圆半径
•23
5.7 几何学的统一性与现实性 5.7.1黎曼几何
德国数学家年提出另一种非欧几何学——黎
曼几何（黎曼。1854年）直接起源于微分几何
的研究黎曼几何的平行公理，是假设过 直线外一点不存在与已知直线平行的直线
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5.3.1 《原本》的公理化体系
《原本》的公理化体系：全书 先给出若干条定义和公理，再按由 简到繁的顺序编排出一系列的定理 (465个命题)。使整个几何知识形成 了一个演绎体系
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公设：（1） 从任一点到任一点 作直线是可能的。（2） 把有限直 线不断循直线延长是可能的。（注 意，这里所谓的直线，相当于今天 我们所说的线段。）（3） 以任一 点为中心和任一距离为半径作一圆 是可能的。（4） 所有直角彼此相 等。（5） 若一直线与两直线相交 ，且若同侧所交两内角之和小于两 直角，则两直线无限延长后必相交 于该侧的一点（现今称为平行公理 ）。
体的体积公式：
V = (1/3) h (a2 + ab +b2)
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5.2.2 求积方法
勾股术与图证 “析理以辞，解体
用图”—— “弦图”
•图5.5 伏羲手持规，女娲手持矩
大方 = 弦方 + 2矩形，
（1）
大方 = 勾方 + 股方 + 2矩形，
（2）
比较（1）与（2），得
弦方 = 勾方 + 股方。
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公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相 等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系 存在着以下一些缺陷。 没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念 . 但是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的 例如, 每一个三角形都是等腰的“证明” [插入图5.18]
∠B1AB= －a＞∠CAB= － ，（因为α＜
）。
于是，作得一个△ABB1,而直线AC经过其内部 ，所以AC必与底边BB1相交。这与AC与a不
相交的假设矛盾
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5.6.2 非欧几何学的先兆
从反面证明第五公设，意大利耶稣会教士、数学家萨凯 里（1667~1733）于1733年第一次发表了其极具 特色的成果。
罗巴切夫斯基非欧几何命题
三角形内角和都是小于π的，而且其和量因三角形而异，并非
一个常量。 同一直线的垂线及斜线，并不总是相交的。 不存在相似而不全等的两个三角形。 如果两个三角形的各内角对应相等，则它们必定是全等的。 存在着没有外接圆的三角形。 三角形三边的中垂线并非必定交于一点。
在平面上一条已知直线a的同一侧，与已知线a有给定距离的点的
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5.2.1 经验公式
古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积 的方法 三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示
圆面积的计算公式是A = (8d/9)2，其中d是
直径。这就等于取π为3.1605。
四边形的面积公式：（a + c）（b + d）/4 （其中a、b、c、d依次表示边长）。 高为h、底边长为 a和 b的方棱锥的平头截
找到它存在的“合理性”黎曼几何在相对论中的现 实应用。 爱因斯坦说：“我特别强调刚才所讲的这种几何学的 观点，因为要是没有它，我就不能建立相对论。 ”
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5.7.3 爱尔兰根纲领
19世纪初，运用欧几里得综合方法，创造出与解析几何 相媲美的射影几何学
爱尔兰根纲领（克莱因，1872年）：所谓几何学，就是 研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质 的学问，或者说任何一种几何只是研究与特定 的变换群有关的不变量。
克莱因以射影几何为基础、对几何学做了如下的分类：
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利用不变性研究图形的性质，为初等几何 的研究提供了新的方法。
例如，由于在仿射交换下椭圆可以变成 圆，相应地椭圆中心变为圆心，椭圆的切 线变为圆的切线。我们不妨将原命题应用 仿射变换转化为相应的圆的命题：设
△ABC为圆内接三角形，以其顶点作切线 构成了切线三角形A1B1C1。如果 A1B1∥AB. B1C1∥BC。那么A1C1∥AC。一
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5.9 学校中欧氏几何的教育
一种情况，CP＜CQ。根据戴德金的公设
，在AB上存在一个点R，使得：所有位
于它之前的点属于第一类，并且所有位
于它之后的点属于第二类。于是OR不小于r，否则我们能 在R和B之间选AB上的点S，使得RS＜r－OR，但是，因为 OS＜OR+RS，这意味着谬论：OS＜r。类似地，能证明： OR不大于r。因此，我们必定有OR = r，于是定理得证
。在黎曼几何中，三角形的内角和大于两直角 ，圆周率小于π
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5.7.2非欧几何学的“现实性”
直到19世纪初，所有的数学家都认为欧氏几何是物 质空间和此空间内图形性质的正确描述。并且“空间
”也专指当时人们所唯一了解的欧几里得空间 罗巴切夫几何自诞生之日起，其命题的合理性就不断
引起人们的怀疑。非欧几何早期的发现者们为了验证它 的合理性，曾作过一些实际的测定。历史的事实却残酷 的告诉我们，罗氏几何迟至今日也没能在物理空间找到 应用，只有在逻辑的范畴内，利用公理化的思想与方法
旦我们证明了这个有关圆的命题，再利用 仿射变换下“平行”为不变性，便可知原 命题成立。
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5.8 几何基础与公理化方法
5.8.1 公理化方法
非欧几何、非交换代数（如四元数）的出现，使数学 家注意到古希腊把公理当作自明的真理的局限 性。分析的算术化研究不断深入，逐渐形成了 科学的公理化方法。
公理集合的性质
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笛卡尔的工作
几何学》是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果
首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图
实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可 以用代数的术语表示。假定某几何问题归结为寻求一
个未知长度x，经过代数运算知道x满足
x=
，
ห้องสมุดไป่ตู้
他画出x的方法如下：如图5.27作直角三角形NLM，其 中LM=b , NL=a/2, 延长MN到O，使NO=NL=a/2。于是x 就是OM 的长度。
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5.3.2 《原本》中的几何方法
《原本》在证明相关结论中使用了多种 几何方法，如,叠合法,归谬法,代数式 的几何证法,等等。这些方法是人类早 期研究图形性质的数学方法，在现代基 础教育中仍发挥着积极的作用。
举例如下： 毕德哥拉斯定理，《原本》使用几何的证
法如下：
如图5.19，先证明△ABD△FBC，推得矩形 BL与正方形GB等积。同理推得矩形CL与 正方形AK等积。
德进而使用穷竭法证明
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5.2.3 多边形数
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最早的演绎几何学
《几何原本》（约公元前300年，古 希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学 理论体系——几何学。标志着人类科学研 究的公理化方法的初步形成，
《几何原本》共十三卷，其中第一 、三、四、六、十一和十二卷，是我们今 天熟知的平面几何和立体几何的知识，其 余各卷则是数论和（用几何方法论证的） 初等代数知识。全书证明了465个命题。
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一。个等价命题的证明：如果任意三角形内角和
都等于π，那么过线a外一点A只能引进 一条直线与a不交。
[证明] 过A引a的垂线AB，并过A引AB的垂线b ，则a与b必定不交。
假如另有一条直线AC
与a不交，记锐角∠BAC为
－ ，在直线a上取点B1，使
B1、C在AB同侧，且使
∠AB1B=α＜
。
按假设，直角△ABB1内角和等于π，所以
第五章几何学的发展
2020年7月26日星期日
图5.1由鱼形演化出的不规则的几何图形
从立体图形到平面图形 图腾崇拜和宗教礼仪
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5.2 测量与几何
在几何发展最早的古代埃及，几何 一词具有“土地测量”的含义。在古 希腊几何学传入中国之后，汉字用 几何一词来称谓这门学科，而汉语 中“几何”具有“多少”的意思。
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5.8.2 欧氏几何公理体系的严密化
希尔伯特几何公理体系被划分为五组，用五组 公理联结三种对象及其间的三种关系（ 六个原始概念）。如果在这个公理体系 中去掉第三种几何基本对象（“平面”） 以及与它有关的各条公理，余下来的公 理和五个原始概念就可以构成一个“平 面几何的公理系统”。
希尔伯特公理集可以排除欧氏几何证明中的直 观成分。
离开了求证第五公设的目标，朝向创造非欧几何的目标 靠拢但是，他们没有认识到欧几里得几何并不是 在经验可证实的范围内描述物质空间性质的唯一 几何
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5.6.3 奇异的罗巴切夫斯基几何学
罗巴切夫斯基非欧几何的平行公理：设a是任一直线，A是a外任一定点
。在a与A所决定的平面上，过点A而与a不相交的直线，至少有两 条
。
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5.8.3 公理集合的相容性
形式公理体系的相容性证明的模型方法 例如，平面几何公理系统的解析模型
罗巴切夫斯基几何学的模型相对相容性的解决方 法选用一个，大家都相信它具有逻辑相容性 的领域（比如上面这个代数领域），用这里 的材料来保证陌生公理体系的相容性。