第八章 多元函数微分学 第六节 多元函数的极值及其应用PPT课件
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多元函数微积分学
3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法
第六章
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值
定义1 设函数 z f x, y 在点 x0, y0 的某个邻
域内有定义，
对于该邻域内的任何点 x, y x0, y0 ，若总有
f x, y f x0, y0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
构造拉格朗日函数
31
F x, y, 100x4 y4 50000 150x 250y
由方程组
1 1
Fx 75x 4 y 4 150 0
Fy
3
25x 4
3
y4
250
0
F 50 000 150x 250 y 0
中的第一个方程解得
1
1
x4
1
y4
2
，将其代入第二
个方程中，得
3 3
1 1
其中 x ，y 就是函数在条件 x, y=0 下的可能
极值点的坐标.
（3）如何确定所求点是否为极值点，在实际问题中往 往可根据问题本身的性质来判定. 拉格朗日乘数法也可能推广到自变量多于两个而条件 多于一个的情形.
例如，求函数 u f x, y, z,t 在条件 x, y, z,t 0 ，
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值
定义1 设函数 z f x, y 在点 x0, y0 的某个邻
域内有定义，
对于该邻域内的任何点 x, y x0, y0 ，若总有
f x, y f x0, y0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
构造拉格朗日函数
31
F x, y, 100x4 y4 50000 150x 250y
由方程组
1 1
Fx 75x 4 y 4 150 0
Fy
3
25x 4
3
y4
250
0
F 50 000 150x 250 y 0
中的第一个方程解得
1
1
x4
1
y4
2
，将其代入第二
个方程中，得
3 3
1 1
其中 x ，y 就是函数在条件 x, y=0 下的可能
极值点的坐标.
（3）如何确定所求点是否为极值点，在实际问题中往 往可根据问题本身的性质来判定. 拉格朗日乘数法也可能推广到自变量多于两个而条件 多于一个的情形.
例如，求函数 u f x, y, z,t 在条件 x, y, z,t 0 ，
《多元函数微分学》课件
第二章：多元函数的连续性
多元函数的连续性概念
解释多元函数连续性的定义和特 点。
多元函数的间断点
探讨多元函数可能出现的间断点 情况。
多元函数在点和区间上的 连续性
讲解多元函数在点和区间上连续 的条件和性质。
第三章：多元函数的偏导数与全微分
1
多元函数的偏导数
介绍多元函数的偏导数概念和计算方法。
偏导数的计算方法
3 二重积分与三重积分的转化
探讨二重积分与三重积分的相互转化和应用。
第五章：多元函数积分学
1
多元函数积分的概念
解释多元函数积分的定义和性质。
2
多元函数积分的性质
讨论多元函数积分的基本性质和计算方法。
3
多元函数积分的计算方法
探索多元函数积分的计算技巧和应用。
第六章：多元函数积分学应用
1 二重积分的应用
介绍二重积分在实际问题中的应用。
2 三重积分的应用
讲解三重积分在科学和工程领域的重要应用。
《多元函数微分学》PPT 课件
欢迎来到《多元函数微分学》PPT课件！本课程将深入讲解多元函数的各个方 面，帮助您全面掌握多元函数微分学的知识。
第一章：多元函数及其极限
多元函数的概念
介绍多元函数的基本概念和定义。
多元函数的极限
讨论多元函数的极限概念和计算方法。
多元函数极限的运算法则
探讨多元函数极限的运算法则和性质。
2
讨论多元函数偏导数的计算方法和应用。
3
多元函数的全微分及其计算方法
探索多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数全微分的定义和计算方式。
第四章：多元函数的微分学应用
多元函数的极值及其判定方法
讲解多元函数极值的概念和判定方法。
8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用
M
z z0 (F , G) ( x , y )
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 例4. 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量有何特点? 2 3 1 xx 法平面方程为 答: : y ( x ) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , ) 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
T
M
利用
点向式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
为0, 则 在点M 的导向量为
z z0 (F , G) ( x , y )
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 例4. 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量有何特点? 2 3 1 xx 法平面方程为 答: : y ( x ) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , ) 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
T
M
利用
点向式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
为0, 则 在点M 的导向量为
《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
08多元函数微分法
x, x,
y y
0 0
x, y0
得x , y及λ,则 (x , y) 是 f(x , y) 在条件
x,y0 下的可能极值点。
2020/3/25
［例6］ 设生产某种产品的数量与 所用的两种原料A，B的数量x，y间 的关系式 f (x , y )= 0.00 5x2 y ，欲用150 元购料，已知A，B原料的单价分别 为1元，2元，问购进两种原料各多少， 可使生产数量最多？
当x=1,y=2,z=3
>> syms x y z
>> z=x^4+y^4-4*x^2*y^2;
>> zxx=diff(z,x,2)
>> zyy=diff(z,y,2)
>> zxy=diff(diff(z,x),y) >> x=1;y=2; >> eval(zxy)
2020/3/25
zxx =12*x^2-8*y^2 zyy =12*y^2-8*x^2 zxy =-16*x*y
法线方程为：
F xx x 0 ,y x 0 0 ,z0F yx y 0 ,y y 0 0 ,z0F zx z0 ,y z0 0 ,z0
2020/3/25
[例8]求曲面 ez-z+xy=3 在点 ( 2, 1, 0) 处的切平面及法线方程。
>> syms x y z >> F=exp(z)-z+x*y-3; >> n=[diff(F,x) diff(F,y) diff(F,z)]; %求曲 面的法向量 >> x=2; y=1; z=0; >> n0=eval(n)
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微积分教学课件第8章多元函数微积分学第6节多元函数的极值与最值
则构造拉格朗日函数为
L( x, y, z;, ) f ( x, y, z) g( x, y, z) h( x, y, z) .
f x ( x, y, z) gx ( x, y, z) hx ( x, y, z) 0
令
f f
y ( x, z( x,
y, y,
z) z)
gy ( x, gz ( x,
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
12
定理2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
设 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 ，
最大利润为 L(4.8,1.2) 229.6 .
16
二、条件极值与拉格朗日乘数法
实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域 的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极 值问题称条件极值问题.
例8 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V, 问怎么做用料最省？
解 即表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为x, y, z ,则
11 5x2 48x 10 y2 24 y ，
令
Lx
Ly
10x 20x
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 24
0， 0
解得唯一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
B2 AC 0 , A 0 , 唯一驻点为极大值点，
即为最大值点，
播放 3
极值的求法
定理1（必要条件）
高数二多元函数微分学课件
条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再 通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要 将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常 见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中， 得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后， 利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限 存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用 在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向， 全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数
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则 f(x在, y点) 处(x是0,否y0取) 得极值的条件如下:
(1) A C 时B2 具有0极值 ,
当 A时有0极大值 , 当 时有A极0小值;
(2) A CB20时没有极值; (3) A C B20时可能有极值 , 也可能没有极值,
还需另作讨论.
例4 求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0 确定的函数 zf的(x极,y值).
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
2x2zzx24zx0 2y2zzy24zy0
由函数取极值的必要条件知 , 驻点为 P(1,1),
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数 ,
A z x |P x 2 1 z ,B z x |P y 0 ,C z y |P y 2 1 z ,
第六节 多元函数的极值及其应用
一、问题的提出 实例：某商店卖两种牌子的果汁 , 本地牌子每瓶进 价1元 , 外地牌子每瓶进价1.2元 , 店主估计 , 如果本 地牌子的每瓶卖 x 元 , 外地牌子的每瓶卖 y 元 , 则每天 可卖出 70 5x + 4y 瓶本地牌子的果汁 , 80 + 6x 7y 瓶外地牌子的果汁 , 问：店主每天以什么价格卖两种 牌子的果汁可取得最大收益?
例2 函数z x2y2
(2)
在(0,0)处有极大 . 值
例3 函数zxy
在(0, 0)处无极.值
(3)
2. 多元函数取得极值的条件
定理1 (必要条件) 设函数 z在f(点x,y)具 (x0, y0) 有偏导数 , 且在点 (x0处, y有0)极值 , 则它在该点的偏 导数必然为零 : 即
f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ,f y ( x 0 ,y 0 ) 0 . 证 不妨设 zf(在x点,y) 处有(x极0, 大y0)值 , 则对于 (x0,的y0某) 邻域内任意 (x ,y) (x 0,y 0)都有
例5
求
z
的x最y大值和最小值 x2 y2 1
.
解 令 zx(x2(yx 22 1y ) 2 21 x)(2 xy)0,
(x2y21)2y(xy)
zy (x2y21)2
0,
得驻点 ( 1 ,和1 ) ( 1 , 1 ),
22
22
因为
xy
lx im x2
y2
0, 1
即边界上的值趋近于零 .
y
又 z( 1 , 1) 1 , z(1,1)1,
每天的收益为 f ( x , y ) ( x 1 ) 7 5 x ( 4 y 0 ) ( y 1 . 2 ) 8 6 x ( 7 y 0 ) ,
求最大收益即为求二元函数的最大值.
二、多元函数的极值和最值 观察二z元 ex 函 x2yy2的 数图形
END
1. 二元函数极值的定义
设函数 zf(x,y)在点 (x0, y0)的某邻域内有定义 , 对于该邻域内异于(x0, y0)的点 (x, y): 若满足不等式
f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 , f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 , f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 .
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，
均称为函数的驻点.
注意： 驻点
具有偏导数的函数的极值点
例如, 点 (0是, 0函) 数 的z驻点xy, 但不是极值点.
U(x , y) = ln x + ln y . 设每张磁盘 8 元 , 每盒磁带 10 元 , 问他如何分配这 200 元以达到最佳效果 .
问题的实质: 求 U (x ,y ) 在l条x n 件 ly n
问题：如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2 (充分条件) 设函数 z在f(点x,y)的 (x0, y0) 某邻域内连续 , 且有一阶及二阶连续偏导数 , 又
f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ,f y ( x 0 ,y 0 ) 0 , 令 fx(x x 0,y0)A , fx(yx0,y0)B, fy(yx0,y0)C,
f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 ), 故当 yy0,xx0时 , 有 f(x ,y 0 ) f(x 0 ,y 0 ),
说明一元函数 f(x,在y0) 处x有极x大0 值 ,
必有 fx(x0,y0)0;
类似地可证 fy(x0,y0)0.
证毕
推广: 如果三元函数 u在f(点x,y,z) P(x0,y0,z0) 具有偏导数 , 则它在 P(x0,有y0极,z值0)的必要条件为
22 2
22 2
所以最大值为 1 , 最小值为 1 .
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并 无其他条件 . 上例即为无条件极值的问题 . 下面我们讨论条件极 值的问题 .
三、条件极值、拉格朗日乘数法
实例: 小王有 200 元钱 , 他决定用来购买两种急需 物品，计算机磁盘和录音磁带 , 设他购买 x 张磁盘 , y 盒录音磁带达到最佳效果 , 效果函数为
第一步 解方程组 fx(x,y)0, fy(x,y)0,
求出实数解 , 得驻点 . 第二步 对于每一个驻点 (x0, y0),
求出二阶偏导数的值 A , B , C .
第三步 定出 A的C符B号2 , 再判定是否是极值 .
二、二元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求 函数的最大值和最小值 . 求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界 上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大 值，最小者即为最小值 .
故
A CB2(2 1z)20(z2)
函数在 P 有极值 .
将 P(1,代1入)原方程 ,
有 z 1 2 ,z , 4
所以 zf(1 ,为 1 极) 小 值2 ;
当 z2 时6,
A 1 0, 4
所以 zf(1 ,为 极1 )大6 值 .
求函数 zf(x,y)极值的一般步骤：
f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 ), 则称函数在(x0, y0)有极大值 ; 若满足不等式
f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 ), 则称函数在(x0, y0)有极小值 ;
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数z3x24y2
在(0,0)处有极小 . 值
(1)
(1) A C 时B2 具有0极值 ,
当 A时有0极大值 , 当 时有A极0小值;
(2) A CB20时没有极值; (3) A C B20时可能有极值 , 也可能没有极值,
还需另作讨论.
例4 求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0 确定的函数 zf的(x极,y值).
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
2x2zzx24zx0 2y2zzy24zy0
由函数取极值的必要条件知 , 驻点为 P(1,1),
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数 ,
A z x |P x 2 1 z ,B z x |P y 0 ,C z y |P y 2 1 z ,
第六节 多元函数的极值及其应用
一、问题的提出 实例：某商店卖两种牌子的果汁 , 本地牌子每瓶进 价1元 , 外地牌子每瓶进价1.2元 , 店主估计 , 如果本 地牌子的每瓶卖 x 元 , 外地牌子的每瓶卖 y 元 , 则每天 可卖出 70 5x + 4y 瓶本地牌子的果汁 , 80 + 6x 7y 瓶外地牌子的果汁 , 问：店主每天以什么价格卖两种 牌子的果汁可取得最大收益?
例2 函数z x2y2
(2)
在(0,0)处有极大 . 值
例3 函数zxy
在(0, 0)处无极.值
(3)
2. 多元函数取得极值的条件
定理1 (必要条件) 设函数 z在f(点x,y)具 (x0, y0) 有偏导数 , 且在点 (x0处, y有0)极值 , 则它在该点的偏 导数必然为零 : 即
f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ,f y ( x 0 ,y 0 ) 0 . 证 不妨设 zf(在x点,y) 处有(x极0, 大y0)值 , 则对于 (x0,的y0某) 邻域内任意 (x ,y) (x 0,y 0)都有
例5
求
z
的x最y大值和最小值 x2 y2 1
.
解 令 zx(x2(yx 22 1y ) 2 21 x)(2 xy)0,
(x2y21)2y(xy)
zy (x2y21)2
0,
得驻点 ( 1 ,和1 ) ( 1 , 1 ),
22
22
因为
xy
lx im x2
y2
0, 1
即边界上的值趋近于零 .
y
又 z( 1 , 1) 1 , z(1,1)1,
每天的收益为 f ( x , y ) ( x 1 ) 7 5 x ( 4 y 0 ) ( y 1 . 2 ) 8 6 x ( 7 y 0 ) ,
求最大收益即为求二元函数的最大值.
二、多元函数的极值和最值 观察二z元 ex 函 x2yy2的 数图形
END
1. 二元函数极值的定义
设函数 zf(x,y)在点 (x0, y0)的某邻域内有定义 , 对于该邻域内异于(x0, y0)的点 (x, y): 若满足不等式
f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 , f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 , f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 .
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，
均称为函数的驻点.
注意： 驻点
具有偏导数的函数的极值点
例如, 点 (0是, 0函) 数 的z驻点xy, 但不是极值点.
U(x , y) = ln x + ln y . 设每张磁盘 8 元 , 每盒磁带 10 元 , 问他如何分配这 200 元以达到最佳效果 .
问题的实质: 求 U (x ,y ) 在l条x n 件 ly n
问题：如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2 (充分条件) 设函数 z在f(点x,y)的 (x0, y0) 某邻域内连续 , 且有一阶及二阶连续偏导数 , 又
f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ,f y ( x 0 ,y 0 ) 0 , 令 fx(x x 0,y0)A , fx(yx0,y0)B, fy(yx0,y0)C,
f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 ), 故当 yy0,xx0时 , 有 f(x ,y 0 ) f(x 0 ,y 0 ),
说明一元函数 f(x,在y0) 处x有极x大0 值 ,
必有 fx(x0,y0)0;
类似地可证 fy(x0,y0)0.
证毕
推广: 如果三元函数 u在f(点x,y,z) P(x0,y0,z0) 具有偏导数 , 则它在 P(x0,有y0极,z值0)的必要条件为
22 2
22 2
所以最大值为 1 , 最小值为 1 .
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并 无其他条件 . 上例即为无条件极值的问题 . 下面我们讨论条件极 值的问题 .
三、条件极值、拉格朗日乘数法
实例: 小王有 200 元钱 , 他决定用来购买两种急需 物品，计算机磁盘和录音磁带 , 设他购买 x 张磁盘 , y 盒录音磁带达到最佳效果 , 效果函数为
第一步 解方程组 fx(x,y)0, fy(x,y)0,
求出实数解 , 得驻点 . 第二步 对于每一个驻点 (x0, y0),
求出二阶偏导数的值 A , B , C .
第三步 定出 A的C符B号2 , 再判定是否是极值 .
二、二元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求 函数的最大值和最小值 . 求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界 上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大 值，最小者即为最小值 .
故
A CB2(2 1z)20(z2)
函数在 P 有极值 .
将 P(1,代1入)原方程 ,
有 z 1 2 ,z , 4
所以 zf(1 ,为 1 极) 小 值2 ;
当 z2 时6,
A 1 0, 4
所以 zf(1 ,为 极1 )大6 值 .
求函数 zf(x,y)极值的一般步骤：
f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 ), 则称函数在(x0, y0)有极大值 ; 若满足不等式
f(x ,y ) f(x 0 ,y 0 ), 则称函数在(x0, y0)有极小值 ;
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数z3x24y2
在(0,0)处有极小 . 值
(1)