多元函数微分学课件
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《数学分析》第十七章多元函数微分学
06 曲线积分与曲面积分在多 元函数中的应用
曲线积分计算及其在电磁学中的应用
曲线积分的定义与计算方法
包括第一类曲线积分和第二类曲线积分的概念、性质及计算 方法。
曲线积分在电磁学中的应用
通过曲线积分可以计算电场强度、磁场强度等物理量，进而 研究电磁场的分布和变化规律。
曲面积分计算及其在流体力学中的应用
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，且$lim_{(x,y) to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称 函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。
如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$ 不连续，则称$P_0(x_0,y_0)$为函数 $f(x,y)$的间断点。
全微分概念与计算
全微分的定义
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，表示函数在某一点附 近的变化量可以近似地用一个线性函数来表示。
全微分的计算
全微分可以通过偏导数来计算，具体为将函数的增量表示为各自变 量增量的线性组合，系数即为偏导数。
全微分的几何意义
全微分表示函数在某一点附近的变化量，可以用来近似计算函数值 的增量。
多元反函数微分法
多元反函数存在定理
若函数$f: D subseteq mathbb{R}^n to mathbb{R}^n$在点$x_0$处可逆，即存在反函数$f^{-1}$，则$f^{1}$在点$f(x_0)$处也可微。
多元反函数微分法
设$y = f(x)$在点$x_0$处可微，且$f'(x_0)$可逆，则反函数$x = f^{-1}(y)$在点$y_0 = f(x_0)$处也可微，且其 导数为$[f^{-1}]'(y_0) = [f'(x_0)]^{-1}$。
高数课件21多元函数微分学
设两点为 P( x1, x2,, xn ), Q( y1, y2,, yn ),
| PQ | ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间
两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
1
2
重点
多元函数基本概念，偏导数， 全微分，复合函数求导，隐函 数求导，偏导数的几何应用， 多元函数极值。
难点
复合函数求导，多元函数极值。
函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质
上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上
函数则可以类推，
因此这里基
本上只讨论二元函数。
一、多元函数的概念
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4x ；
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
( x, y) x 0, x y x；
8、 ( x, y) y 2 2x 0 .
3 x2 y2 1 2 x2 y2 4
x y2 0
x
y2
f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) x y2
例1 求 解 所求定义域为
的定义域．
设函数z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z)， 当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
多元函数微分学
同样， 同样， 当固定 v = v0 或固定 u = u0 , 可分别得 曲线： 到一条 u曲线：r = r (u, v0 ) , 一条 v曲线： 曲线：
r = r (u0 , v) , 所有这样的 u曲线和 v曲线构
上的参数曲线网 参数曲线网， 成曲面 S 上的参数曲线网， 而影射 r 将
uov 平面上的区域 D 变成 R 3 中的曲面 S.
z
= R sin ϕ sin θ
ϕ
o
P( x, y, z)
z = OP cos ϕ
= R cos ϕ
R
ϕ R y
R
y
x
x
θ
M
( x , y, 0)
的球面参数方程： 于是得半径为 R 的球面参数方程：
r = r (ϕ ,θ ) = { R sin ϕ cosθ , R sinϕ sinθ , R cosϕ }
= rv′ ( u0 , v ) v0
19
曲面S 在点P (u0 , v0 )处的v曲线的切向量 0
r
v0
N
u = u0
P0 = r (u0 , v0 )
S
v = v0
o
20
满足
ru′ × rv′
P0
P0
( u0 , v 0 )
≠ 0,
′ 这说明 ru × rv′
n
P0
是个确定了方向的向量,且 是个确定了方向的向量 且
曲线： 得球面的 ϕ曲线： 一族以球心为圆心的大 的交线(经线 经线)。 圆——是球面与射面θ = θ 0 的交线 经线 。 是球面与射面 正螺面的参数方程。 例4 正螺面的参数方程。 或
x = u ⋅ cos( 0 .3 v ) y = u ⋅ sin( 0 .3 v ) z = 4v
r = r (u0 , v) , 所有这样的 u曲线和 v曲线构
上的参数曲线网 参数曲线网， 成曲面 S 上的参数曲线网， 而影射 r 将
uov 平面上的区域 D 变成 R 3 中的曲面 S.
z
= R sin ϕ sin θ
ϕ
o
P( x, y, z)
z = OP cos ϕ
= R cos ϕ
R
ϕ R y
R
y
x
x
θ
M
( x , y, 0)
的球面参数方程： 于是得半径为 R 的球面参数方程：
r = r (ϕ ,θ ) = { R sin ϕ cosθ , R sinϕ sinθ , R cosϕ }
= rv′ ( u0 , v ) v0
19
曲面S 在点P (u0 , v0 )处的v曲线的切向量 0
r
v0
N
u = u0
P0 = r (u0 , v0 )
S
v = v0
o
20
满足
ru′ × rv′
P0
P0
( u0 , v 0 )
≠ 0,
′ 这说明 ru × rv′
n
P0
是个确定了方向的向量,且 是个确定了方向的向量 且
曲线： 得球面的 ϕ曲线： 一族以球心为圆心的大 的交线(经线 经线)。 圆——是球面与射面θ = θ 0 的交线 经线 。 是球面与射面 正螺面的参数方程。 例4 正螺面的参数方程。 或
x = u ⋅ cos( 0 .3 v ) y = u ⋅ sin( 0 .3 v ) z = 4v
17-3——华东师范大学数学分析课件PPT
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
数学分析第十七章多元函数微分学
第17章 多元函数微分学
§1 可微性
一、 可微性与全微分
f(x)在点 x0可微 : f(x0x)f(x0)Axo(x)
其中 Af(x0).
定义1. 设函数z f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U(P0)
内有定义, 对于U(P0)中点P(x, y) (x0 x, y0 y),
若函数f在点P0处的全增量 z可表示为:
若(x,y)属于该邻,则 域存在 x0 1(x-x0)和y0 2(yy0),01,2 1,使得
f(x,y) f (x0,y0) fx(,y)(xx0) fy(x0,)(yy0).(12
偏导数连续
可微 连续
偏导数存在
练 :考 习 f(x察 ), y x y e x的 y 可 ,求 (微 2 1 在 )的 , 性 全 .
y)
x2 y2,
0,
在原点的可微.性
x2 y2 0, x2 y2 0
这个例子 :函说 数明 即使在一 存点 ,在 也偏 不导 一 在该点(但 可一 微元函数在 与一 导点 数可 存).微 在
编辑ppt
7
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2).
作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0)
AxByo(),
(1)
其中A,B是仅与点P0有关的常数 , x2 y2, o()
是较高阶的无穷小,量 则称函数在P点0可微. 并称(1)式
编辑ppt
1
中关 x,y 于 的线A 性 xB 函 y为 数 函 f在数 P 0 点 的 全微 ,记 分 作
f (x, y0)在x0的某邻域内有定 ,则义当极限
§1 可微性
一、 可微性与全微分
f(x)在点 x0可微 : f(x0x)f(x0)Axo(x)
其中 Af(x0).
定义1. 设函数z f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U(P0)
内有定义, 对于U(P0)中点P(x, y) (x0 x, y0 y),
若函数f在点P0处的全增量 z可表示为:
若(x,y)属于该邻,则 域存在 x0 1(x-x0)和y0 2(yy0),01,2 1,使得
f(x,y) f (x0,y0) fx(,y)(xx0) fy(x0,)(yy0).(12
偏导数连续
可微 连续
偏导数存在
练 :考 习 f(x察 ), y x y e x的 y 可 ,求 (微 2 1 在 )的 , 性 全 .
y)
x2 y2,
0,
在原点的可微.性
x2 y2 0, x2 y2 0
这个例子 :函说 数明 即使在一 存点 ,在 也偏 不导 一 在该点(但 可一 微元函数在 与一 导点 数可 存).微 在
编辑ppt
7
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2).
作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0)
AxByo(),
(1)
其中A,B是仅与点P0有关的常数 , x2 y2, o()
是较高阶的无穷小,量 则称函数在P点0可微. 并称(1)式
编辑ppt
1
中关 x,y 于 的线A 性 xB 函 y为 数 函 f在数 P 0 点 的 全微 ,记 分 作
f (x, y0)在x0的某邻域内有定 ,则义当极限
高数二多元函数微分学课件
条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再 通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要 将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常 见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中， 得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后， 利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限 存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用 在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向， 全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数
第八章 多元函数的微分学
y y0 y y0
二元函数偏导数的定义可以类推到三元或三元以上的 函数. 如果函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内每一点处，对 x 的偏 导数都存在， 那么在 D 内定义了一个函数， 称为 z f ( x, y ) 的偏导函数，记作 z f 或 或 z x ( x, y ) 或 f x ( x, y ) x x 类似地，函数 z f ( x, y ) 对 y 的偏导函数,记作 z f 或 或 z y ( x, y ) 或 f y ( x, y ) . y y 偏导函数简称为偏导数.
x x0 y y0
上面定义的二元函数的极限又称二重极限,二重极限 是一元函数极限的推广,有关一元函数的运算法则和定理 均可类推到二重极限.
例 4 求极限 lim
x2 y 2 1 x2 y 2 1
x x0 y y0
解 显然，当 x 0, y 0 时, x 2 y 2 0 ,根据极限的 加法法则及有关复合函数的极限定理,有 lim 1 x 2 y 2 lim1 lim( x 2 y 2 ) 1 0 1,
x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0
所以
lim
x0 y 0
x2 y 2 1 x2 y 2 1 ( x 2 y 2 )( 1 x 2 y 2 1) ( 1 x 2 y 2 1)( 1 x 2 y 2 1)
lim
x0 y 0
例 6 求极限 lim
x0 y 1
ex y2 1 x2 Leabharlann 2 ex y21 x y
2 2
解 函数 f ( x, y ) 续的， 所以
在点(0,1)处有定义,是连
1 x2 y 2 1 02 12 在有界区域上连续的二元函数有以下性质:
二元函数偏导数的定义可以类推到三元或三元以上的 函数. 如果函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内每一点处，对 x 的偏 导数都存在， 那么在 D 内定义了一个函数， 称为 z f ( x, y ) 的偏导函数，记作 z f 或 或 z x ( x, y ) 或 f x ( x, y ) x x 类似地，函数 z f ( x, y ) 对 y 的偏导函数,记作 z f 或 或 z y ( x, y ) 或 f y ( x, y ) . y y 偏导函数简称为偏导数.
x x0 y y0
上面定义的二元函数的极限又称二重极限,二重极限 是一元函数极限的推广,有关一元函数的运算法则和定理 均可类推到二重极限.
例 4 求极限 lim
x2 y 2 1 x2 y 2 1
x x0 y y0
解 显然，当 x 0, y 0 时, x 2 y 2 0 ,根据极限的 加法法则及有关复合函数的极限定理,有 lim 1 x 2 y 2 lim1 lim( x 2 y 2 ) 1 0 1,
x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0
所以
lim
x0 y 0
x2 y 2 1 x2 y 2 1 ( x 2 y 2 )( 1 x 2 y 2 1) ( 1 x 2 y 2 1)( 1 x 2 y 2 1)
lim
x0 y 0
例 6 求极限 lim
x0 y 1
ex y2 1 x2 Leabharlann 2 ex y21 x y
2 2
解 函数 f ( x, y ) 续的， 所以
在点(0,1)处有定义,是连
1 x2 y 2 1 02 12 在有界区域上连续的二元函数有以下性质:
多元函数微分学
d
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在 不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的 法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例 讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、 可微性与全微分
定义 设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在 不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的 法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例 讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、 可微性与全微分
定义 设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.
高等数学二第一章多元函数微分学
则称 X0 为 E 的孤立点. 如图.
X0
显然, E的孤立点X0总是E的边界点, 但不是聚点.
邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开 区域, 闭区域, 聚点，孤立点这些概念都可毫 无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似 的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空 间中去, 但不再有几何意义.
内至少含有 E 中一个异于X0 的点. 则称 X0 为
E 的 一个聚点. (自证). 2.E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E . 3.E 的内点一定是 E 的聚点.
4.若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点.
若 E E E 为闭 .则 E 中 区每 域 E 的 一.聚 点
R2中的点X只可能有三种情形.
(1)X为E的内点. (3)X为E的外点.
(2)X为E的边界点.
4. 开集
设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点. 即 E E0, 则称 E 是一个开集. 规定, , R2为开集. 由于总有 E0 E, 因此, E E0 E = E0 故也可说, 若E = E0 , 则称 E 是一个开集.
9.聚点
设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点.
若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E .
则称 X0 是E 的一个聚点. 从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指
在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.
如图
X0
1.聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域
称为闭区域.
如图.
易见,例2中的D是闭
区域. 从几何上看,闭区域
E
X0
显然, E的孤立点X0总是E的边界点, 但不是聚点.
邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开 区域, 闭区域, 聚点，孤立点这些概念都可毫 无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似 的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空 间中去, 但不再有几何意义.
内至少含有 E 中一个异于X0 的点. 则称 X0 为
E 的 一个聚点. (自证). 2.E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E . 3.E 的内点一定是 E 的聚点.
4.若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点.
若 E E E 为闭 .则 E 中 区每 域 E 的 一.聚 点
R2中的点X只可能有三种情形.
(1)X为E的内点. (3)X为E的外点.
(2)X为E的边界点.
4. 开集
设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点. 即 E E0, 则称 E 是一个开集. 规定, , R2为开集. 由于总有 E0 E, 因此, E E0 E = E0 故也可说, 若E = E0 , 则称 E 是一个开集.
9.聚点
设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点.
若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E .
则称 X0 是E 的一个聚点. 从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指
在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.
如图
X0
1.聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域
称为闭区域.
如图.
易见,例2中的D是闭
区域. 从几何上看,闭区域
E
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的距离定义为
PQ ? ( x1 ? y1 )2 ? ( x2 ? y2 )2 ? ? ? ( xn ? yn )2
n 维空间中点 P0 的?邻域为
U? (P0 ) ? U ( P0, δ ) ? {P PP0 ? δ , P ? Rn}.
n 维空间中内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．11
P0 P0
概 念
连通的开集称 区域 或开区域.
如 {( x, y)1 ? x2 ? y2 ? 4},
{( x, y) x ? y ? 0}
都是区域 .
?
?
y
y
x? y? 0
?
x? y? 0
O?
x
o
x
8
开区域连同其边界 ,称为 闭区域. y
多
如{( x, y)1 ? x2 ? y2 ? 4},
元 函
都是闭区域 .
也有不属于 E的点, 称P为E的边界点. ( P3 )
E的边界点的全体称为 E的边界, 记作 ?E .
5
聚点 如果对于任意给定的 ? ? 0,点P的去心邻域 多
元
U ( P ,? ) 内总有E中的点 (P本身可属于 E,也可不
函 数
属于E ), 则称P是E的聚点.
的 基
本
例如, 设点集 E ? {( x, y)1 ? x 2 ? y2 ? 2},
. P0
?
注
O
x
① 将邻域去掉中心 , 称之为去心邻域 . U (P0 ,? )
② 也可将以 P0为中心的 某个矩形内 (不算周界)
的全体点称之为点 P0邻域.
4
任意一点 P ? R2 与任意一点集 E ? R2 之间
必有以下三平面点集 ,点P ? E , 若存在
? ? ?
y1 ?
f1 ( x1 ,? ?
, xn )
?? ym ? fm(x1,? , xn )
13
第二节、多元函数的极限
多
1. 二元函数的定义
元 函
数
(1) 定义
的 基
例 理想气体的状态方程是 pV ? RT
（3）Rn 中的集合到 Rm的映射
多 元
设D为Rn 中的一个集合 . 那么对D中每一个点
函 数 的
( x1, x2 ,? , xn ) 在 Rn 中都有一个惟一的点
基 本 概
( y1, y2,?
, yn )
与之对应，映射
f :D?
念
Rm相当于
m个 n 元函数: Function of Many Variables
3
R2
邻域 (Neighborhood)
多
设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点 , ? ? 0, 令
元 函
U (P0 ,? ) ? {( x, y) ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ? }
数 的
基
称之为 点P0的?邻域, 有时简记为 U (P0).
本 概 念
y
几何表示：
数
o
x
的
基
有界区域
本 概
念
总可以被包围在一个以原点为中心、半径
适当大的圆内的区域 , 称此区域为 有界区域.
否则称为 无界区域 (可伸展到无限远处的区域 ).
9
y
O
x
有界开区域
y
y
多
元
函
数
的
O
x
基 本
有界闭区域
概 念
y
O
x
有界半开半闭区域
O
x
无界闭区域
10
(2) n 维空间 n 元有序数组 ( x1, x2 ,? , xn )的全体
第六章 多元函数微分学
z
z ? f (x, y)
?M
y
O
y
x
P
D
x
1
多元函数 多元函数的极限 多元函数的连续性 偏导数与全微分
复合函数与隐函数的微分法 方向导数与梯度
多元函数的微分中值定理与泰勒公式
隐函数存在定理 极值问题
2
第六章 多元函数微分学
第一节、多元函数
多
1. 平面点集 n 维空间
元 函
函 数
? ? 0,使U ( P ) ? E, 称P为E的 内点.( P1 )
的 基
显然, E的内点属于 E.
P3 ?
? P1
本 概
念
(2) 外点 如果存在点 P的某个邻域 U (P ),
E
使U(P) ∩ E = ? , 则称P为E的 外点.( P2 )
? P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于 E的点,
一元函数
R1
数 的
平面点集
R2
基 本
n 维空间
Rn
概 念
(1) 平面点集
建立了坐标系的平面称为坐标面 . 二元有序
实数组(x, y)的全体, 即
R2 ? R? R ? {( x, y) x, y? R} 坐标面
坐标平面上具有某种性质 P的点的集合 , 称为
平面点集 , 记作 E ? {( x, y) ( x, y)具有性质P}.
多
称为 n 维空间. 记作 Rn ; 即
元 函
Rn ?
R? R??
? R ? {( x1, x2 ?
, xn ) xi ?
R, i ? 1,2,?
}.
数 的
n 维空间中的每一个元素 ( x1, x2 ,?
, xn )称为空间中
基 本 概
的一个点 ,数xk称为该点的第 k个坐标.
念
n维空间中两点 P ( x1, x2 ,? , xn )及 Q( y1, y2 ,? , yn )
边界上的点都是聚点也都属于集合．
7
开集 若E的任意一点 都是内点 , 称E为开集.
例 E1 ? {( x, y)1 ? x2 ? y2 ? 4} ? E1为开集.
多 元
函
平面区域 (重要)
数 的
设D是开集. 如对D内任何两点 , 都可用折线连
基 本
结起来
,且该折线上的点都属于
D,
称开集
D是连通的
.
6
说明：
1. 内点一定是聚点； 2.边界点可能是聚点；
例 {( x, y) | 0 ? x2 ? y2 ? 1}
(0,0)既是边界点也是聚点． 3. 点集E的聚点可以属于 E，也可以不属于 E．
例如, {( x, y) | 0 ? x2 ? y2 ? 1} (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如, {( x, y) | x2 ? y2 ? 1}
称为 称为
E E
的内点：如果存在一个正数 的外点：如果存在一个正数
?使得 ?使得
U?
(P0
)
?
E
U? (P0 ) ? E ? ?
? P0 称为 E 的边界点：如果对任意一个正数 使得
? U? (P0 ) 中即有E中点又有非E中点 P0 即不是E的内点也不是 E的外点
闭区域： G ? G ? ?G
12
概 念
点P( x0 , y0 ) ? R2 ,若1 ? x02 ? y02 ? 2,则P为E的内点;
若 x02 ? y02 ? 1或 x02 ? y02 ? 2,则P为E的边界点 , 也是 E的聚点 .
E的边界 ?E 为集合
{( x, y) x2 ? y2 ? 1} ? {( x, y) x 2 ? y2 ? 2}.