多元函数微分学基础PPT课件

y
O
x
例 6 求二元函数 z ln(9 x2 y2 ) x2 y2 1的定
义域．
解 这个函数是由ln(9 x2 y2 ) 和 x2 y2 1 两部
分构成，所以要使函数 z 有意义，x, y 必须同时满足
9 x2 y2 0,

x
2

y2
1

0,
y)趋近于点P0 (x0 ,y0 )的方式是多种多样的,如果用表示点P(x
, y)与点P0 (x0 ,y0 )之间的距离
(x x0 )2 ( y y0 )2
那么(x, y) (x0 ,y0 )的过程不论多么复杂,总可以用x x0, y y0
或 0来表示自变量的变化过程(x, y) (x0, y0 ).这样,可以提出
一、二元函数的定义 先看下面的例子.
例1 圆柱体的体积V 和它的底面积半径r及高h之间的关系
为V r 2h
这里,V是随着r, h的变化而变化的.当r, h在一定范围内(r 0, h 0)内取定一对数值(r,h)时,V的对应值就随之确定.
例2 三角形面积(见图6-11)
C
S

1 2
bc
开区域：不包括边界内的区域叫开区域. 一般没有必要区分开或闭时,通称区域,用字母D表示.
例如,由x y 0所确定的区域是无界开区域(见图6 13) 而由x2 y2 1所确定的区域是有界闭区域(见图6 14)
y
y
1
O
x
x y 0 图6 13 x y 0所确定区域
1
(b)有界区域
(c)有界区域
图6-12 区域示意
若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如 图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中 心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图612(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.
闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.
对于一元函数，一般假定在某个区间上有定义进行讨论.对 于二元函数，类似地假定它在某平面区域内有定义进行讨论.
所谓区域（平面的）是指一条或几条曲线围成具有连通性的 平面一部分（见图6-35），所谓的连通性是指如果一块部分平面 内任意两点可用完全属于此部分平面的折线连结起来.
D1
D2
D3
(a)有界区域
二元函数z f (x, y)在点(x0, y0 )处的函数值记为
f (x0 , y0 )或z
(x0 , y0 ), z
x x0 y y0
例3 设z x2 2xy 3y2 ,求z . (2,3)
解 z (2,3) (2)3 2 (2) 3 3 32 31.
为方便使用，将开区域内的点称为内点，将区域边界上的点 称为边界点.
例 4 求来自百度文库元函数z a2 x2 y2 的定义域．
解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域 为满足 x2 y2 a2 的x, y, 即定义域为
D (x, y) | x2 y2 a2 .
这里D 在xOy 面上表示一个以原点为圆心，a 为半 径的圆域．它为有界闭区域（如下图所示）.
(如右图所示)．
二、二元函数的几何意义
已经知道,一元函数y f (x)的图形,是平面上的一条曲线; 对于二元函数z f (x, y)的图形,则为空间的一个曲面.在前面 讲过的平面和曲面,都可以为二元函数图形的例子.
例6 函数z R2 x2 y2的图形是以原点为中心, R为半径, 在xOy平面上的半个球面(见图6 15.)
y
a x2 y2 a2
O ax
例 5 求二元函数z ln(x y)的定义域．
解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x y 0 , 即定义域为
D (x, y) | x y 0.
点集D 在 xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x y 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域．
即1 x2 y2 9 ,函数定义域为
D (x, y) |1 x2 y2 9.点集 D
在 xOy平面上表示以原点为圆
心，半径为 3 的圆与以原点为
y
O1 3 x
圆心的单位圆所围成的圆环
域(包含边界曲线内圆 x2 y2 1， 但不包含边界曲线外圆x2 y2 9 )
式中,x, y叫作自变量; z叫作因变量.x, y的变化范围叫作函数 的定义域.
类似,可定义三元函数W f (x, y, z)及三元以上的函数.二元 及二元以上的函数称为多元函数.
类似一元函数y f (x),用数轴上点P来表示数值x,而二元函数 z f (x, y)也可以用xOy平面上的点P(x, y)来表示一对有序实数x, y,于时函数z f (x, y)可简记为z f (P),这时z也可称为点P的函 数.(三元函数是否也可以看作点的函数)
z
O
R
y
x 图6-15 例6示意图
三、二元函数的极限和连续性
1.二元函数的极限
函数的极限是研究当自变量变化时，函数的变化趋势， 但是二元函数的自变量有两个，所以自变量的变化过程比 一元函数要复杂得多.
现在把一元函数的极限概念推广到二元函数上.考虑当点 (x,y)趋近于点(x0,y0 )时函数z f (x, y)的变化趋势.虽然点P(x,
O
1x
1 图6 14 x2 y2 1所确定区域
某点的邻域是指以该点为中心的一个圆形开区域.如点P0
(x0 , y0 )的一个 ( 0)邻域是指 {(x, y)|(x x0 )2 +(y y0 )< 2}
记作U (P0, ),在不需要强调邻域的半径的时,也可简记为U (P0 )
sin
A
b
a
其面积S依赖于三角形的两条 A
c
B
边b, c及其夹角A.
图6-11 例2示意图
一般地，二元函数的定义如下.
定义1 设有变量x,y,z,如果当变量x,y,在一定范围内任意 取定一对数值时,变量z按照一定法则,总有惟一确定的数值 与之对应,则称z是x, y的二元函数,记作z f (x, y)
二元函数极限的定义如下.