第2章 地球物理中常用数值解法的基本原理-2

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第二节 偏微分方程的有限元解法
几个念
线性空间： 设 k 是实（或复）数域，若下列条件成立，便称 X 为一实（复） 线性空间： 1）可以在集合 X 中定义加法运算，即对任何 x, y , z X ，则
x y X ，且满足 x y y x （交换律） ， ； x y z x y z （结合律） 2）对任何 , k ， x, y X ，定义数乘，即 x X ，且满足 x x ; x x x ;
3）若 x, y , z R ，则必有 x, z x, y y, z （三 点不等式） ， 则 x, y 称为 x，y 之间的距离，R 称为距离空间。 设 f x 是距离空间 X 到 R (数轴)的映射，则称 f x 为泛函。
可测集——设 E 是有界点集，当 E 的内测度 m*E = E 的外 测度 m*E 时，称 E 为勒贝格可测集，简称 L 可测集。 可测函数：设 f x 是可测集 E 上的函数，若对于任意实 数 a，集合 E x f x a 也是可测集，则称 f x 是可测 函数。


第二节 偏微分方程的有限元解法
I
i 1

i
E ， inf 表
示最左边的意思。 有界集 E 的内测度——有界集 E 所包含的一切有界闭 集的测度的上确界，称为 E 的内测度，记为 m*E 。 上 确界表示最右边的意思。
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念 m*(E)=inf{G|E包含于G且G为开集}，此乃外测度。 m*(E)=sup{F|E包含F且F为闭集} ，此乃内度。 从外面测，用一个最小的集合来套它，从内部测，用一个最 大的集合来充填它。无论内外力求严丝密缝。
第二节 偏微分方程的有限元解法
有限元法的基本问题可归纳为： （1）把问题转化成变分形式； （2）选定单元的形状，对求解域作剖分； （3）构造基函数或单元形状函数； （4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）； （5）提供有限元方程的有效解法； （6）收敛性及误差估计。
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
泛函：简单地说， 泛函就是定义域是一个函数，而值域是一个 实数，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。 设{y(x)}是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数 y(x) 恒有某个确定的数与之对应， 记为 П(y(x))， 则 П(y(x))是定义 于集合{y(x)}上的一个泛函。 泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自 变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。 抽象空间中定义的函数。
计算地球物理
第二章 地球物理中常用数值解法 的基本原理
地球物理与信息工程学院 周 辉 2013年 物探系
第二节 偏微分方程的有限元解法
有限元法，实质上就是Ritz-Galerkin法。它 和传统的Ritz-Galerkin法的主要区别在于，它应 用样条函数方法提供了一种选取“局部基函数”或 “分片多项式空间”的新技巧，从而在很大程度上 克服了Ritz-Galerkin法选取基函数的固有困难。 有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力 学，以后又用于流体力学、物理学和其它工程科学。 有限元法和差分法一样，已成为求解偏微分方程， 特别是椭圆型偏微分方程的一种有效数值方法。
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
距离空间： 设 R 为一个非空集合，对于 R 中的任意一对元素 x，y，若有 一个确定的实数 x, y 满足 1） x, y 0 （非负性） ，当且仅当 x=y 时取等号； 2） x, y y , x （对称性） ；
第二节 偏微分方程的有限元解法
伽辽金（Galerkin）法是由俄罗斯数学家伽辽金发明 的一种数值分析方法。应用它可以将求解微分方程问题 （通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组 的求解问题，从而达到求解微分方程的目的。 伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过 选取有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠 加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数 为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的 线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。 必须强调指出的是，伽辽金法所得到的只是在原求解 域内的一个近似解。
3） x y x y （三角不等式） 称 x 为 x 的范数，称 X 为线性赋范空间。 在线性赋范空间中，可以用范数定义距离： 若 x, y X ,则 x, y x y
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
内积空间： 1 设 H 是实数域 R 上的线性空间， 若对其中任意元素 x, y H , 可以定义一个实数，记为 x y ，它满足以下四条公理： 1） ax y a x y （ a R 的任意实数） ；
几个概念
测度：有界开集和有界闭集的测度是区间长度的直接 推广。 E 是有界集 存在常数 M ，使对任意的 x ( x1 , x2 , , xn ) E ，都有 | xi | M (i 1, 2, , n) . 有界集 E 的外测度—— m E inf Ii ,
* i 1
x y x y ;
x0 x
1 x x ;
3）在 X 中存在零元素，记为“0” ，它满足 4）对每个 x X ，存在 x 的加法逆元素，记为“-x” X ，使
x x 0
第二节 偏微分方程的有限元解法
几个概念
线性赋范空间： 设 X 是线性空间，若对其中任一元素 x X ,可以引入一个与 之对应的数，记为 x ，它满足以下条件： 1） x 0 （非负性） ，等号只在 x 0 时成立； 2） x x （正齐次性） ， 为绝对值或模；