【真卷】2018年河南省驻马店市中考数学一模试卷和解析

2018年河南省驻马店市中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（3分）下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个2．（3分）如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（3分）截止2017年底，我省机动车保有量达到2350万辆，位居全国第三，按照我省人口计算，平均每五人就有一辆车，请问2350万用科学记数法表示为（）A．0.235×108B．23.5×107C．2.35×107D．2.35×104．（3分）郑州某中学在备考2018 河南中考体育的过程中抽取该校九年级20 名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：则下列叙述正确的是（）A．这些运动员成绩的众数是5B．这些运动员成绩的中位数是2.30C．这些运动员的平均成绩是2.25D．这些运动员成绩的方差是0.072 55．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG 交BC于点F，若BE=6，AB=5，则AF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．106．（3分）下列各式计算错误的是（）A．a2b﹣3ab2=﹣2ab B．x+2x=3xC．a2b+a2b=2a2b D．a2•a3=a57．（3分）不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，已知点A，B分别是反比例函数y=（x＜0），y=（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO=，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣49．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=16，∠B=60°，P是AB上一点，BP=10，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，则CQ的长为（）A．10 B．12 C．13 D．1410．（3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C 不重合），连结AE，作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F，设BE=x，△ECF的面积为y，下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分．11．（3分）﹣（3.14﹣π）0+2cos45°=．12．（3分）在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数．13．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过A（﹣2，0），O（0，0），B（﹣3，y1），C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是．14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，D，E分别是AB，AC边的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置，则整个旋转过程中线段DE所扫过部分的面积（即图中阴影部分面积）为．15．（3分）在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程2x2+x﹣3=0的解．17．（9分）“美丽郑州”是我们的共同愿景，空气质量备受人们关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2017年9月份至12月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了天的空气质量情况；（2）请将条形统计图补充完整；空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是；（3）环保兴趣小组4名同学（甲、乙、丙、丁），随即选择两名同学去空气质量检测站点参观，请用列表或树状图的方式判断恰好甲、乙两名同学被选中的概率是多少？18．（9分）如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG是⊙F的切线，CG交AD于点G．（1）求证：CG⊥AD．（2）填空：①若△BDA的面积为56，则△BCF的面积为；②当∠GCD的度数为时，四边形EFCD是菱形．19．（9分）如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=的图象交于C，D 两点，与x，y轴交于B，A两点，过C作CE⊥x轴，垂足为E，已知OE=2．（1）直接写出点B的坐标（，），求反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积；（3）根据图象，直接写出x+2≥的解集．20．（9分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距60（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（若结果有根号，请保留根号）．（2）已知据观测点D处75海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）21．（10分）某学校为改进学校教室空气质量，决定引进一批空气净化器，已知有A，B两种型号可供选择，学校要求每台空气净化器必须多配备一套滤芯以便及时更换．已知每套滤芯的价格为200元，若购买20台A型和15台B型净化器共花费80000元；购买10台A型净化器比购买5台B型净化器多花费10000元；（1）求两种净化器的价格各多少元？（2）若学校购买两种空气净化器共40台，且A型净化器的数量不多于B型净化器数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．22．（10分）【问题提出】如图1，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于E，连接CD，F，G，H分别是线段CD，DE，BC的中点，则线段FG，FH的数量关系是（直接写出结论）．【类比探究】将图1中的△ADE绕点A旋转到如图2位置，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点E在BC上，且BE=，过点E作ED⊥AB，垂足为D，将△BDE绕点B顺时针旋转，连接AE，取AE的中点F，连接DF．当AE与AC垂直时，线段DF的长度为（直接写出结果）．23．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过原点O和B（﹣4，4），且对称轴为直线x=．（1）求抛物线的函数表达式；（2）D是直线OB下方抛物线上的一动点，连接OD，BD，在点D运动过程中，当△OBD面积最大时，求点D的坐标和△OBD的最大面积；（3）如图2，若点P为平面内一点，点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，直接写出满足△POD∽△NOB的点P坐标．2018年河南省驻马店市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（3分）下列各数中：，，，﹣π，，﹣0.1010010001，无理数有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【分析】利用无理数是无限不循环小数分析求解即可求得答案．【解答】解：，，﹣π，是无理数，故选：B．2．（3分）如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是左右并排的三个矩形，中间的矩形大，故选：B．3．（3分）截止2017年底，我省机动车保有量达到2350万辆，位居全国第三，按照我省人口计算，平均每五人就有一辆车，请问2350万用科学记数法表示为（）A．0.235×108B．23.5×107C．2.35×107D．2.35×10【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：2350万用科学记数法表示为2.35×107，故选：C．4．（3分）郑州某中学在备考2018 河南中考体育的过程中抽取该校九年级20 名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：则下列叙述正确的是（）A．这些运动员成绩的众数是5B．这些运动员成绩的中位数是2.30C．这些运动员的平均成绩是2.25D．这些运动员成绩的方差是0.072 5【分析】根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、这些运动员成绩的众数是2.35，错误；B、这些运动员成绩的中位数是2.30，正确；C、这些运动员的平均成绩是2.30，错误；D、这些运动员成绩的方差不是0.0725，错误；故选：B．5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG 交BC于点F，若BE=6，AB=5，则AF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】先判定△ABH≌△AEH，得出∠AHB=∠AHE=90°，∠ABH=∠AEH=∠FBH，BH=HE=3，再根据勾股定理可得AH的长，进而得出AF的长．【解答】解：∵AF平分∠BAD，AD∥BC，∴∠BAF=∠DAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AE=AB，AH=AH，∴△ABH≌△AEH，∴∠AHB=∠AHE=90°，∠ABH=∠AEH=∠FBH，BH=HE=3，∴Rt△ABH中，AH==4，∴AF=2AH=8，故选：C．6．（3分）下列各式计算错误的是（）A．a2b﹣3ab2=﹣2ab B．x+2x=3xC．a2b+a2b=2a2b D．a2•a3=a5【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘法法则结合选项求解．【解答】解：A、a2b和3ab2不是同类项，不能合并，故本选项正确；B、x+2x=3x，计算正确，故本选项错误；C、a2b+a2b=2a2b，计算正确，故本选项错误；D、a2•a3=a5，计算正确，故本选项错误．故选：A．7．（3分）不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x＜2，故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．在数轴上表示为：．故选：D．8．（3分）如图，已知点A，B分别是反比例函数y=（x＜0），y=（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO=，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A，B分别在反比例函数y=（x＜0），y=（x＞0）的图象上，即=，S△AOC=|k|，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得S△OBD即可求出k的值．【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO=∠ODB=90°，∴∠OBD+∠BOD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠OBD=∠AOC，∴△OBD∽△AOC，又∵∠AOB=90°，tan∠BAO=，∴，∴，即，解得k=±4，又∵k＜0，∴k=﹣4，故选：D．9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=16，∠B=60°，P是AB上一点，BP=10，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，则CQ的长为（）A．10 B．12 C．13 D．14【分析】由A′P=6可知点A′在以P为圆心以PA′为半径的弧上，故此当C，P，A′在一条直线上时，CA′有最小值，过点C作CH⊥AB，垂足为H，先求得BH、HC 的长，则可得到PH的长，然后再求得PC的长，最后依据折叠的性质和平行线的性质可证明△CQP为等腰三角形，则可得到QC的长．【解答】解：如图所示：过点C作CH⊥AB，垂足为H．在Rt△BCH中，∠B=60°，BC=16，则BH=BC=8，CH=sin60°•BC=×16=8．∴PH=2．在Rt△CPH中，依据勾股定理可知：PC==14．由翻折的性质可知：∠APQ=∠A′PQ．∵DC∥AB，∴∠CQP=∠APQ．∴∠CQP=∠CPQ．∴QC=CP=14．故选：D．10．（3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C 不重合），连结AE，作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F，设BE=x，△ECF的面积为y，下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】过F作FG⊥BC于G，求出FG=CG，求出△BAE∽△GEF，得出=，求出FG=x，代入y=×CE×FG求出解析式，根据解析式确定图象即可．【解答】解：过F作FG⊥BC于G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG=90°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG=∠DCG=45°，∵∠G=90°，∴∠GCF=∠CFG=45°，∴FG=CG，∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B=∠G=∠AEF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，∴∠BAE=∠FEG，∵∠B=∠G=90°，∴△BAE∽△GEF，∴=，∵BE=x，∴EG=BC﹣BE+CG=4﹣x+FG，∴=，解得：FG=x，∴y=×CE×FG=×（4﹣x）•x，即：y=2x﹣x2，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分．11．（3分）﹣（3.14﹣π）0+2cos45°=﹣1+3．【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式=2﹣1+2×=2﹣1+=3﹣1．故答案为：3﹣1．12．（3分）在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数6．【分析】设黄球的个数为x个，根据概率公式得到=，然后解方程即可．【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得=，解得x=6，所以黄球的个数为6个．故答案为6．13．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过A（﹣2，0），O（0，0），B（﹣3，y1），C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是y1＜y2．【分析】由已知可得抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、O（0，0）两点，开口向上，对称轴为x=﹣1，可知B、C两点在对称轴的两边，点B离对称轴较近，再根据抛物线图象进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、O（0，0）两点，∴抛物线对称轴为x==﹣1，∵B（﹣3，y1）、C（3，y2），点B离对称轴较近，且抛物线开口向上，∴y1＜y2．故答案为y1＜y2．14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，D，E分别是AB，AC边的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置，则整个旋转过程中线段DE所扫过部分的面积（即图中阴影部分面积）为．【分析】根据题意可以作出合适的辅助线，求出BE、BD的长，从而可以求得阴影部分的面积．【解答】解：连接OE、OF，如右图所示，由题意可得，△BDE≌△BCF，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，D，E分别是AB，AC边的中点，∴AB=12，AC=6，∴EC=3，BD=6，∴BE=，∴图中阴影部分面积是：=，故答案为：．15．（3分）在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为8或8﹣2．【分析】由折叠的性质得，∠EC′D′=∠C=90°，C′E=CE，在Rt△BC′E中，由=2，得到∠C′BE=30°，①当点C′在BC的上方时，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD 于H，则四边形ABEG是矩形根据等边三角形的性质和矩形的性质，即可得到AF的长；②当点C′在BC的下方时，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得四边形ABGF是矩形根据矩形的性质和等边三角形的性质，即可得到AF的长．【解答】解：由折叠的性质得，∠EC′D′=∠C=90°，C′E=CE，∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E=90°，∵BC=12，BE=2CE，∴BE=8，C′E=CE=4，在Rt△BC′E中，=2，∴∠C′BE=30°，①当点C′在BC的上方时，如图1，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG=AB=6，AG=BE=8，∵∠C′BE=30°，∠BC′E=90°，∴∠BEC′=60°，由折叠的性质得，∠C′EF=′CEF，∴∠C′EF=∠CEF=60°，∵AD∥BC∴∠HFE=∠CEF=60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG=6，∴GF=2，∴AF═8+2；②当点C′在BC的下方时，如图2，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，∴AF=BG，FG=AB=6，∠FEH=60°，在Rt△EFG中，GE=2，∵BE=8，∴BG=8﹣2，∴AF=8﹣2，综上所述，AF的长是8+2或8﹣2．故答案为：8或8﹣2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程2x2+x﹣3=0的解．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后根据a是方程2x2+x ﹣3=0的解，可以求得a的值，从而可以解答本题．【解答】解：===，∵a是方程2x2+x﹣3=0的解，∴2a2+a﹣3=0解得，a1=﹣1.5，a2=1，∵原分式中a≠0且a﹣1≠0，得a≠0且a≠1，∴a=﹣1.5，当a=﹣1.5时，原式=﹣=．17．（9分）“美丽郑州”是我们的共同愿景，空气质量备受人们关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2017年9月份至12月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了100天的空气质量情况；（2）请将条形统计图补充完整；空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是72°；（3）环保兴趣小组4名同学（甲、乙、丙、丁），随即选择两名同学去空气质量检测站点参观，请用列表或树状图的方式判断恰好甲、乙两名同学被选中的概率是多少？【分析】（1）由良有70天，占70%，即可求得统计图共统计了几天的空气质量情况；（2）由条形统计图中，可得空气质量为“良”的天数为100×20%=20（天），空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是：20%×360°=72°，（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好甲、乙两名同学被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵良有70天，占70%，∴统计图统计的空气质量情况的天数为：70÷70%=100（天），故答案为：100；（2）如图：条形统计图中，空气质量为“优”的天数为100×20%=20（天），空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是：20%×360°=72°，补全图形如下：故答案为：72°；（3）画树状图得：∵所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．=．18．（9分）如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG是⊙F的切线，CG交AD于点G．（1）求证：CG⊥AD．（2）填空：①若△BDA的面积为56，则△BCF的面积为14；②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠D=∠BCF，证出CF∥AD，由已知条件得出CG⊥CF，即可得出结论；（2）①根据平行线的性质得出△BCF∽△BDA，得出，△BCF的面积：△BDA的面积=1：4，即可得出结果；②证出△BCF是等边三角形，得出∠B=60°，CF=BF=AB，证出△ABD是等边三角形，CF=AD，证出△AEF是等边三角形，得出AE=AF=AB=AD，因此CF=DE，证出四边形EFCD是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB=AD，FB=FC，∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，∴∠D=∠BCF，∴CF∥AD，∵CG⊥AD，∴CG⊥CF，∴GC是⊙F的切线；（2）①∵CF∥AD，∴△BCF∽△BDA，∴，△BCF的面积：△BDA的面积=1：4，∴△BCF的面积=△BDA的面积=×56=14；故答案为：14；②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形．理由如下：∵CG⊥CF，∠GCD=30°，∴∠FCB=60°，∵FB=FC，∴△BCF是等边三角形，∴∠B=60°，CF=BF=AB，∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，CF=AD，∴∠A=60°，∵AF=EF，∴△AEF是等边三角形，∴AE=AF=AB=AD，∴CF=DE，又∵CF∥AD，∴四边形EFCD是平行四边形，∵CF=EF，∴四边形EFCD是菱形；故答案为：30°．19．（9分）如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=的图象交于C，D 两点，与x，y轴交于B，A两点，过C作CE⊥x轴，垂足为E，已知OE=2．（1）直接写出点B的坐标（4，0），求反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积；（3）根据图象，直接写出x+2≥的解集．【分析】（1）将y=0代入y=x+2，求出x=4，得到点B的坐标；再求出C点坐标，把C点坐标代入y=，用待定系数法求出反比例函数的解析式；（2）联立一次函数和反比例函数的解析式可得交点D的坐标，从而根据△OCD 的面积=△BOD的面积+△BOC的面积即可求解；（3）根据函数的图象和交点坐标即可求解．【解答】解：（1）∵一次函数y=x+2的图象与x轴交于B点，∴y=0时，x+2=0，解得x=4，∴点B的坐标为（4，0）；∵CE⊥x轴，垂足为E，OE=2，∴C点横坐标为﹣2，∵点C在一次函数y=x+2的图象上，∴当x=﹣2时，y=×（﹣2）+2=3，∴点C的坐标为（﹣2，3）．∵反比例函数y=的图象过C，∴k=﹣2×3=﹣6．∴该反比例函数的解析式为y=﹣．故答案为4，0；（2）联立反比例函数和直线AB的解析式，得，可得交点D的坐标为（6，﹣1），则△BOD的面积=4×1÷2=2，△BOC的面积=4×3÷2=6，故△OCD的面积为2+6=8；（3）由图象得，x+2≥的解集为x≤﹣2或0＜x≤6．20．（9分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距60（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（若结果有根号，请保留根号）．（2）已知据观测点D处75海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】（1）作CE⊥AB，设AE=x海里，则BE=CE=x海里．根据AB=AE+BE=x+x=60（+1），求得x的值后即可求得AC的长；（2）作DF⊥AC于点F，根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与75比较，即可得到答案．【解答】解：（1）如图，作CE⊥AB于E，由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=x；在Rt△BCE中，BE=CE=x．∴AE+BE=x+x=60（+1），解得：x=60．AC=2x=120，CE=60．在△ACD中，∵∠DAC=60°，∠ADC=75°，∴∠ACD=45°=∠ABC．∴△DAC∽△CAB，∴，∴AD=120（﹣1）．答：A与C之间的距离AC为120海里，A与D之间的距离AD为120（﹣1）海里；（2）如图，过点D作DF⊥AC于点F，由（1）可得，，∴DF=60（3﹣）≈76.2＞75，答：巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．21．（10分）某学校为改进学校教室空气质量，决定引进一批空气净化器，已知有A，B两种型号可供选择，学校要求每台空气净化器必须多配备一套滤芯以便及时更换．已知每套滤芯的价格为200元，若购买20台A型和15台B型净化器共花费80000元；购买10台A型净化器比购买5台B型净化器多花费10000元；（1）求两种净化器的价格各多少元？（2）若学校购买两种空气净化器共40台，且A型净化器的数量不多于B型净化器数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．【分析】（1）设每台A型空气净化器的销售利润为a元，每台B型空气净化器的销售利润为b元，根据给定条件“销售20台A型和15台B型空气净化器的利润为80000元，10台A型比5台B型空气净化器多花费10000元，可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）根据一函数的性质，可得答案．【解答】解：设每台A型净化器的价格为a元，每台B性净化器的价格为b元，由题意，的，解得每台A型净化器的价格为2000元，每台B型净化器的价格为2200元；（2）设购买台A型净化器x台，B型净化器为（40﹣x）台，总费用为y元，由题意，得x≤3（40﹣x），解得x≤30，y=（2000+200）x+（2200+200）（40﹣x）化简，得y=﹣200x+96000∵﹣200＜0，y随x的增大而减小，当x=30时，y取最小值，y=﹣200×30+96000=9000，40﹣x=10，买台A型净化器30台，B型净化器为（10台，最少费用为9000元．22．（10分）【问题提出】如图1，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于E，连接CD，F，G，H分别是线段CD，DE，BC的中点，则线段FG，FH的数量关系是FG=FH（直接写出结论）．【类比探究】将图1中的△ADE绕点A旋转到如图2位置，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点E在BC上，且BE=，过点E作ED⊥AB，垂足为D，将△BDE绕点B顺时针旋转，连接AE，取AE的中点F，连接DF．当AE与AC垂直时，线段DF的长度为或（直接写出结果）．【分析】【问题提出】结论：FG=FH．首先证明BD=EC，再根据三角形的中位线定理即可证明；【类比探究】结论仍然成立．理由全等三角形的性质证明BD=CE即可解决问题；【拓展延伸】分两种情形利用上面结论分别求解即可；【解答】解：【问题提出】结论：FG=FH．理由：如图1中，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴BD=CE，∵DG=GE，DF=CF，BH=CH，∴GF=EC，FH=∠BD，∴FG=FH．故答案为FG=FH．【类比探究】结论仍然成立．理由：如图2中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵DG=GE，DF=CF，BH=CH，∴GF=EC，FH=∠BD，∴FG=FH．【拓展延伸】①如图3﹣1中，作EK⊥BC于K，延长AC到H，使得CH=AC，连接BH、EH，延长ED到G，使得DG=DE，连接BG、AG．易证△ABH，△EBG都是等腰三角形，∠ABH=∠EBG，△BHE≌△BAG，∴EH=AG，∵AE∥CK，AC∥EK，∴四边形ACKE是平行四边形，∵∠ACK=90°，∴四边形ACKE是矩形，∴AC=EK=5，∠CAE=90°，在Rt△EBK中，BK==6，∵BC=12，∴AE=CK=6，在Rt△AEH中，EH==2，∵AF=FE，ED=DG，∴DF=AG=EH=．②如图3﹣2中，同法可证EH=AG，四边形ACKE是矩形，AC=EK=5，CK=AE=BC+BK=18，在Rt△AEH中，HE===2，同法可得：DF=AG=EH=，综上所述，线段DF的长度为或．故答案为或．23．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过原点O和B（﹣4，4），且对称轴为直线x=．（1）求抛物线的函数表达式；（2）D是直线OB下方抛物线上的一动点，连接OD，BD，在点D运动过程中，当△OBD面积最大时，求点D的坐标和△OBD的最大面积；（3）如图2，若点P为平面内一点，点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，直接写出满足△POD∽△NOB的点P坐标．【分析】（1）利用对称性得到A（﹣3，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）过D点作DC∥y轴交OB于C，如图1，易得直线OB的解析式为y=﹣x，设D（m，m2+3m）（﹣4＜m＜0），则C（m，﹣m），则DC=﹣m2﹣4m，根据三角形面积公式，利用S△BOD=S△BCD+S△OCD可得到△OBD的面积与x的二次函数关系式，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）作BK⊥y轴于K，BI⊥x轴于I，BN交y轴于M点，如图2，先证明Rt△BIA ≌Rt△BKM得到KM=AI=1，则M（0，3），再利用待定系数法求出直线BN的解析式为y=﹣x+3，则通过解方程组得N（，），接着利用=得到△POD与△NOB的相似比为1：2，过OB的中点E作EF∥BN交ON于F，如图2，则△FOE∽△NOB，它们的相似比为1：2，易得F（，），然后利用对称的性质，点P′与点F关于x轴对称时，△P′OD≌△FOE；作P′点关于OD的对称点P″，则△P″OD≌△P′OD，则△P″OD∽△NOB，最后利用对称的坐标特征写出P′和P″的坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=．∴A（﹣3，0），设抛物线解析式为y=ax（x+3），把B（﹣4，4）代入得a•（﹣4）•（﹣4+3）=4，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x（x+3），即y=x2+3x，（2）过D点作DC∥y轴交OB于C，如图1，直线OB的解析式为y=﹣x，设D（m，m2+3m）（﹣4＜m＜0），则C（m，﹣m），∴DC=﹣m﹣（m2+3m）=﹣m2﹣4m，=S△BCD+S△OCD=•4•DC=﹣2m2﹣8m=﹣2（m+2）2+8，∴S△BOD有最大值，最大值为8，此时D点坐标为（﹣2，﹣2）；当m=﹣2时，S△BOD（3）作BK⊥y轴于K，BI⊥x轴于I，BN交y轴于M点，如图2，易得四边形BIOK为正方形，∵∠NBO=∠ABO，∴∠IBA=∠KBM，而BI=KM，∴Rt△BIA≌Rt△BKM，∴KM=AI=1，∴M（0，3），设直线BN的解析式为y=px+q，把B（﹣4，4），M（0，3）代入得，解得，∴直线BN的解析式为y=﹣x+3，解方程组得或，∴N（，），∵OB=4，OD=2，∴=，∴△POD与△NOB的相似比为1：2，过OB的中点E作EF∥BN交ON于F，如图2，∴△FOE∽△NOB，它们的相似比为1：2，∴F点为ON的中点，∴F（，），∵点E与点D关于x轴对称，∴点P′与点F关于x轴对称时，△P′OD≌△FOE，则△P′OD∽△NOB，此时P′（，﹣）；作P′点关于OD的对称点P″，则△P″OD≌△P′OD，则△P″OD∽△NOB，此时P″（﹣，），综上所述，满足条件的P点坐标为（，﹣）或（﹣，）．。