2019高考数学一轮复习第10章概率统计和统计案例章末总结分层演练文
近年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.4随机事件的概率课后作业理(20
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10．4 随机事件的概率［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·湖南十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( ）A。
错误! B.错误! C。
错误! D.错误!答案B解析分别记《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》为A1,A2，A3，A4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A 2A4，A3A4,共6个，其中A1未被选取的结果有3个，所以所求概率P＝错误!＝错误!。
故选B.2．(2018·广东中山模拟)从1，2，3，4,5这5个数中任取两个,其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数,上述事件中，是对立事件的是（）A．① B．②④ C．③ D．①③答案C解析从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，有三种情况：一奇一偶,两个奇数，两个偶数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶,两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件,故选C。
2019版高考数学一轮复习第10章概率10.1随机事件的概率课后作业文
4•把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 点数为b ,向量1 11 A. — B. 6 12 a ,第二次出现的 m= (a , b ), n = (1,2),贝U 向量m 与向量n 不共线的概率是( c11C. D.—12 18 答案解析 若m 与n 共线,贝U 2a — b = 0.而(a , b )的可能性情况为6X 6= 36 个. 3 1符合2a = b 1 1110. 1随机事件的概率E 课后作业脊荣［基础送分提速狂刷练］、选择题1 . (2017 •湖南十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》 《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )1 1 2A .3 B. 2 C. 3 D. 答案 B解析 分别记《爱你一万年》 《十年》《父亲》《单身情歌》为 A, A A A,从这四首 歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为AA, AA , AA, AA, AA, AA ,共6个，其中 3 1A 1未被选取的结果有 3个，所以所求概率.故选B.6 22.(2018 •广东中山模拟)从1,2,3,4,5 这5个数中任取两个，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是 偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是( )A .①B .②④C .③D .①③ 答案 C解析 从1,2,3,4,5 这5个数中任取两个，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶 数•其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立 事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.3. (2017 •安徽“江南十校”联考)从｛1,2,3,4,5｝中随机选取一个数为a ,从｛1,2,3｝中随机选取一个数为 b ,贝U b >a 的概率是()4 32 1A - B. -C. -D.- 5 5 5 5答案 D解析 令选取的a , b 组成实数对(a , b ),则有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2), (2,3) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (5,1) , (5,2) , (5,3)共 15 种情况,其中b >a 的有(1,2) , (1,3) , (2,3)3种情况，所以b >a 的概率为* = 5.故选D.故选B.5.—个袋子里装有编号为 1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球•若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后 再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是27 3至少有一次号码是偶数的情况共有 6X 6-3X 3= 27种可能，故其概率为 --=—.故选B.144 166. (2018 •湖南常德模拟)现有一枚质地均匀且表面分别标有1,2,3,4,5,6 的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( )答案 D解析 将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为6X 6= 36(个)，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有(1,1) ,(1,2) ,(1,3) ,(1,4) ,(1,5) ,(1,6) ,(2,1) ,(3,1), (4,1) , (5,1) , (6,1),共 11 个.11•••这两次出现的点数之和大于点数之积的概率 P=-.故选D.7. (2018 •安徽黄山模拟)从1,2,3,4,5 这5个数中任取3个不同的数，则取出的3个数 可作为三角形的三边边长的概率是( )A? 10 1 1 B. C. 一 D. 5 23 5答案A解析从 1,2,3,4,5 这5个数中任取3个不冋的数的基本事件有 (1,2,3) , (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4) , (1,3,5) , (1,4,5) , (2,3,4) , (2,3,5) , (2,4,5) ,(3,4,5),共 10 个,取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4) , (2,4,5) , (3,4,5),共3个,3偶数的概率是( )1 3 1 7 A. B. C. — D. ■—1616 4 16 答案B解析 据题意由于是有放回地抽取，故共有12X 12= 144种取法，其中两次取到红球且 1 1 2 A. 3 B. 2 C. 3 D. 11 36故所求概率P= 10.故选A.& (2018 •河南开封月考)有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为()1 2 7A.3B. 3C.后D.答案C解析从5张卡片中随机抽 2 张的结果有(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) ,(2,3) , (2,4), (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5),共10种，2张卡片上的数字之积为偶数的有7种，故所求概率P=—率10.19. (2018 •河南商丘模拟)已知函数f (x ) = -x 3 + ax 2+ b 2x + 1,若3 一个数，b 是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为7 1 5 A.9 B. 3 C. 9 D. 答案 D解析 f '(x )= x 2+ 2ax + b 2,要使函数f (x )有两个极值点，则有a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9 个，即(1,0) , (1,1) , (1,2) , (2,0) , (2,1) , (2,2),(3,0) , (3,1) , (3,2),其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值•满足a 2>b 2的 有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为 2=3.故选D. 310. (2017 •湖南郴州三模)从集合A= { - 2, - 1,2}中随机抽取一个数记为={ - 1,1,3}中随机抽取一个数记为2141A ・'B. C. m D.—9 3 9 4(-2, - 1) , ( - 2,1) , ( - 2,3) , ( - 1, - 1) , ( - 1,1), 共9种.a 是从1,2,3中任取的2 2△ = (2 a ) - 4b >0，即a ,从集合b ,则直线ax - y + b = 0不经过第四象限的概率为 ( 答案 A解析 (a , b )所有可能的结果为 (-1,3) , (2 , - 1) , (2,1) , (2,3)a > 0 , 由 ax - y +b = 0 得 y = ax + b ,当|b>0时，直线不经过第四象限，符合条件的(a ， b )的结果为(2,1) , (2,3),共2种，.••直线ax -y + b = 0不经过第四象限的概率P = | ,故选A.二、填空题11. (2017 •陕西模拟)从正方形四个顶点及其中心这 5个点中，任取 点的距离不小于该正方形边长的概率为 ____________ .2个点，则这答案35(A , C )，…， (D,解析如图，从代B, C, D, O这5个点中任取2个，共有(A, B),Q10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A B) , (A,G QC ) , (B,D ) , (C D )共6种，因此所求概率 P =-=-.10 512. (2017 •云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单 3 1打比赛，甲夺得冠军的概率为 7，乙夺得冠军的概率为4，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为答案 19 28解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式 进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为-+1=18.13. 一只袋子中装有 7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次概率为 ________ ；至少取得一个红球的概率为 __________ .… 8 14 答案石诣解析 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件， 因此事件C “取得两7 1个同色球”，只需两互斥事件有一个发生即可， 因而取得两个同色球的概率为P (C ) = +15 158 =15.(2)由于事件A “至少取得一个红球”与事件 B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取1 14得一个红球的概率为A = 1-RB ) = 1 — 15=厉.14.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率： 先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数， 指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下 20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 _____________ . 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是 191,271,932,812,393 ，其频率5为20= 0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.三、解答题15. (2017 •全国卷川)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完•根据往只取一个，取得两个红球的概率为取得两个绿球的概率为 1 15,则取得两个同颜色的球的年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C)有关•如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 ［20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于 20,需求 量为200瓶•为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下 面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1) 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率；(2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为单位：元)•当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25,由表格数据知，最高气温低于25的频率为1 2 3 +更+ 36 = 0.6 ,所以这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450瓶时，若最高气温不低于 25,则Y = 6X 450— 4X 450=900;若最高气温位于区间［20,25)，贝U Y = 6X 300+ 2X (450 — 300) — 4X 450= 300; 若最高气温低于 20,贝U Y = 6X 200+ 2X (450 — 200) — 4X 450=— 100. 所以，Y 的所有可能值为900,300，— 100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36+乡］7+ 4 = 0.8，因此 Y 大于零的概率的估计值为0816. (2015 •北京高考)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四 种商品的情况，整理成如下统计表，其中"V”表示购买，"x”表示未购买.1 估计顾客同时购买乙和丙的概率；2 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3种商品的概率；3 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 200 1000=0.2.⑵从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 硕厂=。
2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第10章概率、统计和统计案例第1讲(含答案解析)
[学生用书P273(单独成册)]一、选择题1．设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件解析：选B ．因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件．故选B ．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0．95B ．0．97C ．0．92D ．0．08解析：选C ．记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0．92．3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A ．110B ．310C ．710D ．35解析：选C ．“取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310．因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710．4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1．49元，1．31元，2．19 元，3．40元，0．61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )A ．12B ．25C ．34D ．56解析：选B ．设事件A 为“甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元”，甲、乙两人抢到红包的所有结果为{1．49，1．31}，{1．49，2．19}，{1．49，3．40}，{1．49，0．61}，{1．31，2．19}，{1．31，3．40}，{1．31，0．61}，{2．19，3．40}，{2．19，0．61}，{3．40，0．61}，共10种情况．其中事件A 的结果一共有4种情况，根据古典概型概率计算公式，得P (A )＝410＝25，即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是25．故选B ．5．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A ．15B ．25C ．16D ．18解析：选B ．如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25．6．已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．18解析：选C ．易知过点(0，0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14．二、填空题7．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35．答案：358．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0．42－0．28＝0．3．设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15．答案：159．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率为________．解析：将2名男生记为A 1，A 2，2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1，A 2A 1共12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2这4种情况，则其发生的概率为412＝13．答案：1310．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N －表示“A 1和B 1全被选中”，由于N －＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N －)＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－16＝56．答案：56三、解答题11．如图，从A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0．44． (2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为(3)设A 1，A 2121，B 2L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0．1＋0．2＋0．3＝0．6，P (A 2)＝0．1＋0．4＝0．5，因为P (A 1)＞P (A 2)，所以甲应选择L 1 ． 同理，P (B 1)＝0．1＋0．2＋0．3＋0．2＝0．8， P (B 2)＝0．1＋0．4＋0．4＝0．9， 因为P (B 1)＜P (B 2)，所以乙应选择L 2．12．根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于等于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2017年10月上旬的空气质量指数情况：(1)(2)一外地游客在10月上旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率． 解：(1)该试验的基本事件空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，基本事件总数n ＝10． 设事件A 为“市民不适合进行户外活动”，则A ＝{3，4，9，10}，包含基本事件数m ＝4．所以P (A )＝410＝25， 即10月上旬市民不适合进行户外活动的概率为25．(2)该试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)}，基本事件总数n ＝9，设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”，则B ＝{(1，2)，(5，6)，(6，7)，(7，8)}，包含基本事件数m ＝4， 所以P (B )＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49．1．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“”表示未购买．(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0．2．(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0．3．(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0．2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0．6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0．1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．2．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10个青蒿人工种植地，得到如下结果：(2)从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取2个，求这2个人工种植地的综合指标ω均为4的概率．解：(1)计算10个青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指标1446245353由上表可知，长势等级为三级的种植地只有A1一个，其频率为110，用样本的频率估计总体的频率，可估计这些种植地中长势等级为三级的个数约为180×110＝18．(2)由(1)可知，长势等级是一级的青蒿人工种植地有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，从中随机抽取2个，所有的可能结果为(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A6)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A3，A4)，(A3，A6)，(A3，A7)，(A3，A9)，(A4，A6)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A6，A7)，(A6，A9)，(A7，A9)，共计15个，综合指标ω＝4的有A2，A3，A6，共3个，则符合题意的可能结果为(A2，A3)，(A2，A6)，(A3，A6)，共3个，故所求概率P＝315＝1 5．。
全国通用近年高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例、概率第2节用样本估计总体学案文新人教A版(20
（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例、概率第2节用样本估计总体学案文新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例、概率第2节用样本估计总体学案文新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2节用样本估计总体最新考纲1。
了解分布的意义和作用,能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；2。
理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；3。
能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释；4。
会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想；5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.知识梳理1。
频率分布直方图(1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝错误!；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图)横轴表示样本数据，纵轴表示错误!，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.2.茎叶图统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.3。
样本的数字特征（1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数。
2019高考数学文一轮分层演练第10章 概率、统计和统计案例 第1讲 Word版含解析
[学生用书(单独成册)]一、选择题．设事件，，已知()＝，()＝，(∪)＝，则，之间的关系一定为( )．两个任意事件．互斥事件．对立事件．非互斥事件解析：选．因为()＋()＝＋＝＝(∪)，所以，之间的关系一定为互斥事件．故选．．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是和，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )．．．．．．．．解析：选．记抽检的产品是甲级品为事件，是乙级品为事件，是丙级品为事件，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为()＝－()－()＝－－＝＝．．．从个红球、个白球中随机取出个球，则取出的个球不全是红球的概率是( )．．．．解析：选．“取出的个球全是红球”记为事件，则()＝．因为“取出的个球不全是红球”为事件的对立事件，所以其概率为()＝－()＝－＝．．“微信抢红包”自年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为元，被随机分配为．元，．元，．元，．元，．元，共份，供甲、乙等人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率是( )．．．．解析：选．设事件为“甲、乙二人抢到的金额之和不低于元”，甲、乙两人抢到红包的所有结果为{．，．}，{．，．}，{．，．}，{．，．}，{．，．}，{．，．}，{．，．}，{．，．}，{．，．}，{．，．}，共种情况．其中事件的结果一共有种情况，根据古典概型概率计算公式，得()＝＝，即甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率是．故选．．在正六边形的个顶点中随机选择个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( )．．．．解析：选．如图，在正六边形的个顶点中随机选择个顶点，共有种选法，其中构成的四边形是梯形的有，，，，，，共种情况，故构成的四边形是梯形的概率＝＝．．已知集合＝{，，，}，＝{(，)∈，∈}，是集合中任意一点，为坐标原点，则直线与＝＋有交点的概率是( )．．．．解析：选．易知过点(，)与＝＋相切的直线为＝(斜率小于的无需考虑)，集合中共有个元素，其中使斜率不小于的有(，)，(，)，(，)，(，)，共个，由古典概型知概率为＝．二、填空题．某城市年的空气质量状况如下表所示：微污染，则该城市年空气质量达到良或优的概率为．解析：由题意可知年空气质量达到良或优的概率为＝＋＋＝．答案：．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出个球，摸出红球的概率是．，摸出白球的概率是．，若红球有个，则黑球有个．解析：摸到黑球的概率为－．－．＝．．设黑球有个，则＝，故＝．答案：．从名男生和名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率为．解析：将名男生记为，，名女生记为，，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动有，，，，，，，，，，，共种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有，，，这种情况，则其发生的概率为＝．答案：．现有名数理化成绩优秀者，分别用，，，，，，表示，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则和不全被选中的概率为．解析：从这人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各名，所有可能的结果组成的个基本事件为：(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)．设“和不全被选中”为事件，则其对立事件表示“和全被选中”，由于＝{(，，)，(，，)}，所以()＝＝，由对立事件的概率计算公式得()＝－()＝－＝．答案：三、解答题。
近年高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例第4讲用样本估计总体演练文(2021年整理)
2019高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例第4讲用样本估计总体分层演练文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例第4讲用样本估计总体分层演练文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第4讲用样本估计总体一、选择题1．(2018·长春质量检测(二）)如图是民航部门统计的2017年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( ）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门解析:选D．由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高,故A正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下,故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B 正确;由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C 正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D错误．选D．2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（)A．200，20 B．100，20C．200，10 D．100,10解析：选A．该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000,则样本容量为10 000×2%＝200,其中抽取的高中生近视人数为2 000×2％×50%＝20，故选A．3．（2017·高考山东卷）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件）．若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等，则x和y的值分别为( )A．3，5 B．5，5C．3,7 D．5,7解析:选A．根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y,解得y＝5，又它们的平均值相等，所以错误!＝错误!，解得x＝3．故选A．4．某高校从参加今年自主招生考试的1 000名学生中随机抽取100名学生的成绩进行统计,得到如图所示的样本频率分布直方图．若规定60分及以上为合格，则估计这1 000 名学生中合格的人数是（）A．600 B．650C．700 D．750解析：选C．样本中合格的频率是1－0．1－0．2＝0．7，故估计这1 000名学生中合格的人数是1 000×0．7＝700．故选C．5．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：87794010x91则7个剩余分数的方差为( )A．1169B．错误!C．36 D．错误!解析：选B．根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99，则错误![87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，所以x＝4．所以s2＝错误!［(87－91)2＋(94－91）2＋（90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋（94－91)2＋（91－91)2］＝错误!．6．若正数2，3,4，a，b的平均数为5,则其标准差的最小值为（）A．2 B．错误!C．3 D．错误!解析：选B．由已知得2＋3＋4＋a＋b＝5×5，整理得a＋b＝16．其方差s2＝错误!［(5－2）2＋（5－3）2＋(5－4)2＋(5－a)2＋（5－b）2］＝错误![64＋a2＋b2－10(a＋b)］＝错误!（a2＋b2－96)＝错误!［a2＋(16－a)2－96]＝错误!（2a2－32a＋160）＝错误!(a2－16a)＋32＝错误!（a－8)2＋错误!，所以当a＝8时，s2取得最小值，最小值为错误!，此时标准差为错误!．故选B．二、填空题7．已知样本数据x1,x2，…，x n的均值错误!＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1,…，2x n＋1的均值为________．解析：由条件知错误!＝错误!＝5,则所求均值错误!0＝错误!＝错误!＝2错误!＋1＝2×5＋1＝11．答案:118．(2018·湖南长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0~50为优；51～100为良;101～150为轻度污染;151~200为中度污染；201～300为重度污染;大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI记录数据中,随机抽取10个，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为________．(该年为365天）解析：该样本中AQI大于100的频数是4，频率为错误!，由此估计该地全年AQI大于100的频率为错误!，估计此地该年AQI大于100的天数约为365×错误!＝146．答案：1469．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列｛a n}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．解析：因为小长方形的面积由小到大构成等比数列｛a n}，且a2＝2a1,所以样本的频率构成一个等比数列，且公比为2,所以a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝1，所以a1＝错误!,所以小长方形面积最大的一组的频数为300×8a1＝160．答案:16010．某电器公司对5 000名购物者2017年度的消费情况进行统计,发现消费金额（单位:万元)都在区间[0．3，0．9]内，其频率分布直方图如图所示，在这些购物者中，消费金额在区间[0．4,0．7）内的购物者的人数为________．解析：在这些购物者中，消费金额在区间［0．4，0．7）内的频率为2．5×0．1＋3．0×0．1＋2．0×0．1＝0．75，所以消费金额在区间［0．4,0．7）内的购物者的人数为0．75×5 000＝3 750．答案:3 750三、解答题11．(2018·西安模拟）随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了40人，并将调查情况进行整理后制成下表：年龄/岁[15,25)［25，35)［35，45)［45，55)[55，65]频数51010510赞成人数46849态度人员的平均年龄约为多少岁?(2)若从年龄在［15，25),[45,55)的被调查人员中各随机选取1人进行调查．请写出所有的基本事件，并求选取的2人中恰有1人持不赞成态度的概率．解:（1）被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示．被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄错误!＝错误!≈42．6(岁)．（2）设年龄在[15，25）的被调查人员中持赞成态度的4人分别为A1，A，A3，A4，持不赞成态度的1人为a，2设年龄在［45，55)的被调查人员中持赞成态度的4人分别为B1，B2，B3，B，持不赞成态度的1人为b．基本事件为(A1，B1），(A1,B2)，（A1,B3），(A1，4B)，(A1，b），（A2，B1），(A2，B2),（A2，B3），(A2，B4)，(A2,b）,(A3，B1),(A3，4B)，(A3，B3），(A3，B4）,(A3，b），（A4，B1)，（A4，B2)，（A4,B3）,(A4，B4），2（A4，b），(a，B1）,（a，B2),（a，B3)，（a,B4)，(a,b），共有25个，其中恰有1人持不赞成态度的基本事件有8个,所以恰有1人持不赞成态度的概率为错误!．12．(2018·惠州第一次调研）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y（单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；（2)将y表示为x的函数；(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率．解:（1）由频率分布直方图得,这个开学季内市场需求量x的众数是150盒，需求量在［100，120）内的频率为0．005 0×20＝0．1，需求量在［120,140)内的频率为0．010 0×20＝0．2,需求量在［140，160）内的频率为0．015 0×20＝0．3,需求量在[160,180)内的频率为0．012 5×20＝0．25，需求量在[180，200］内的频率为0．007 5×20＝0．15．则平均数错误!＝110×0．1＋130×0．2＋150×0．3＋170×0．25＋190×0．15＝153（盒）．（2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品,每盒亏损10元，所以当100≤x〈160时，y＝30x－10×(160－x)＝40x－1 600，当160≤x≤200时，y＝160×30＝4 800，所以y＝错误!(3）因为利润y不少于4 000元，所以当100≤x<160时,由40x－1 600≥4 000，解得160〉x≥140．当160≤x≤200时，y＝4 800>4 000恒成立，所以200≥x≥140时，利润y不少于4 000元．所以由（1)知利润y不少于4 000元的概率P＝1－0．1－0．2＝0．7．1．(2018·长春模拟）某销售公司为了解员工的月工资水平，从 1 000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2）该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4 500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工,进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资"“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中,每位员工若营销成功,将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大?解：(1）估计该公司员工的月平均工资为0．000 1×1 000×2 000＋0．000 1×1 000×3 000＋0．000 2×1 000×4 000＋0．000 3×1 000×5 000＋0．000 2×1 000×6 000＋0．000 1×1 000×7 000＝4 700（元）．(2）抽取比为错误!＝错误!,从工资在［1 500,4 500)内的员工中抽出100×(0．1＋0．1＋0．2）×错误!＝2人，设这两位员工分别为1,2；从工资在[4 500，7 500]内的员工中抽出100×（0．3＋0．2＋0．1）×错误!＝3人，设这三位员工分别为A,B，C．从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2),(1，A)，（1，B),(1,C)，(2，A）,（2,B）,(2，C),(A,B),(A,C），（B，C)．两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：（A，B)，（A，C)，(B，C)，概率为错误!；其中一人营销成功,一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A)，（1,B)，(1，C），（2，A),（2，B），(2，C），概率为错误!＝错误!；两人营销都失败，公司收入－2万元，即损失2万元,有1种结果：（1，2)，概率为错误!．因为错误!<错误!〈错误!，所以公司收入2万元的可能性最大．2．(2018·佛山模拟)某市户籍人口约有400万，其中老年人（年龄60岁及以上)约有66万，为了了解老年人的健康状况，政府从老年人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表．（1）若采用分层抽样的方法再从样本中不能自理的老年人中抽取16人,进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？(2)估算该市80岁及以上老年人占全市户籍人口的百分比；（3)政府计划为80岁及以上老年人或生活不能自理的老年人每人购买1 000元/年的医疗保险,为其余老年人每人购买600元/年的医疗保险,不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．解：（1)数据整理如下表：健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上2045201580岁以下2002255025错误!错误!16人中不能自理的80岁及以上老年人的人数为16×错误!＝6．抽取的80岁以下的老年人的人数为16－6＝10．（2)在600人中80岁及以上老年人在老年人中的占比为错误!＝错误!．用样本估计总体，该市80岁及以上老年人共有66×16＝11万．所以80岁及以上老年人占全市户籍人口的百分比为错误!×100％＝2．75%．2019高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例第4讲用样本估计总体分层演练文（3）先计算抽样的600人的预算，其中享受1 000元/年的人数为15＋25＋20＋45＋20＝125．享受600元/年的人数为600－125＝475人．抽样的600人的预算为125×1 000＋475×600＝4．1×105元．用样本估计总体,全市老年人的总预算为4．1×105×错误!＝4．51×108元．故政府执行此计划的年度预算约为4．51亿元．11 / 1111。
(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例、概率第4节随机事件的概率学案文新人教A版
（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例、概率第4节随机事件的概率学案文新人教A版
最新考纲 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
知识梳理
1.概率与频率
(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率.
(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
2.事件的关系与运算
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
[常用结论与微点提醒]
1.频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数.
2.对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.( )
(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.()
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的。
2019年高考数学文一轮分层演练：第10章概率、统计和统计案例第2讲(1)
[学生用书P275(单独成册)]一、选择题1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A ．如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )． 2．设a ∈[0，10]，则函数g (x )＝a －2x 在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为( )A ．12B ．15C ．16D ．18解析：选B ．因为函数g (x )＝a －2x在区间(0，＋∞)内为增函数，所以a －2＜0，解得a ＜2，所以函数g (x )＝a －2x 在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为210＝15．3．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB ．4－63πC ．13－32πD ．23解析：选B ．设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B ．4．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为()A ．34B ．23C ．13D ．12解析：选D ．由题图可知V F AMCD ＝13×S AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 312a 3＝12．5．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14解析：选C ．当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C ．6．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23解析：选C ．如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C ． 二、填空题 7．某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ， 则正三角形的面积为34a 2． 由正弦定理得2R ＝a sin 60°，即R ＝33a ，所以圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2．由几何概型的概率计算公式得概率P ＝34a 213πa 2＝334π．答案：334π8．如图所示，OA ＝1，在以O 为圆心，OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则△AOB 的面积小于14的概率为________．解析：因为OA ＝1，若△AOB 的面积小于14，则12×1×1×sin ∠AOB <14，所以sin ∠AOB <12，所以0<∠AOB <π6或5π6<∠AOB <π，所以△AOB 的面积小于14的概率为13．答案：139．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的概率为________．解析：如图，△ABC 为直角三角形，且BC ＝5，AC ＝12．图中阴影部分是三个分别以A ，B ，C 为圆心，2为半径的扇形，所以S 阴＝12π×22＝2π．所以昆虫到三角形顶点的距离小于2的概率P ＝S 阴S △ABC ＝2π12×12×5＝π15．答案：π1510．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是________． 解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2， 所以x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π12，3π4， 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[1，2]， 得22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1， 所以x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 故要求的概率为π2－0π2－⎝⎛⎭⎫－π6＝34．答案：34三、解答题11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ． (1)求四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率；(2)求M 落在三棱柱ABC -A 1B 1C 1内的概率．解：(1)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M -ABCD 的高为h ，令13×S 四边形ABCD ×h ＝16．因为S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12．若体积小于16，则h <12，即点M 在正方体的下半部分， 所以P ＝12V正方体V 正方体＝12．(2)因为V 三棱柱ABC -A 1B 1C 1＝12×12×1＝12，所以所求概率P 1＝V 三棱柱ABC -A 1B 1C 1V 正方体＝12．12．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8． 因为x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8．(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，故所求概率为P 2＝S2S ＝12．1．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12．(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ．①记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．解：(1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2．(2)①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13．②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2>4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4．2．已知关于x 的二次函数f (x )＝b 2x 2－(a ＋1)x ＋1．(1)若a ，b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y ＝f (x )恰有一个零点的概率；(2)若a ，b ∈[1，6]，求满足y ＝f (x )有零点的概率．解：(1)设(a ，b )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36个．用A 表示事件“y ＝f (x )恰有一个零点”，即Δ＝[－(a ＋1)]2－4b 2＝0，则a ＋1＝2b ．则A 包含的基本事件有(1，1)，(3，2)，(5，3)，共3个，所以P (A )＝336＝112．即事件“y ＝f (x )恰有一个零点”的概率为112．(2)用B 表示事件“y ＝f (x )有零点”，即a ＋1≥2b ．试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6，1≤b ≤6}， 构成事件B 的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6，1≤b ≤6，a －2b ＋1≥0}， 如图所示：所以所求的概率为P (B )＝12×5×525×5＝14．即事件“y ＝f (x )有零点”的概率为14．。
全国通用近年高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例、概率第1节随机抽样学案文新人教A版(2021年
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第1节随机抽样最新考纲 1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题。
知识梳理1。
简单随机抽样（1)定义：设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法.2.系统抽样(1)定义：当总体中的个体数目较多时,可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。
(2）系统抽样的操作步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本。
①先将总体的N个个体编号；②确定分段间隔k，对编号进行分段，当错误!(n是样本容量)是整数时，取k＝错误!；③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）;④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k)，再加k得到第3个个体编号（l＋2k),依次进行下去,直到获取整个样本。
推荐2019高考数学一轮复习第10章概率统计和统计案例第3讲随机抽样分层演练文
第3讲 随机抽样一、选择题1．(2018·西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)⎭⎪⎬⎪⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎪⎬⎪⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行 A ．07 B ．25 C ．42D ．52解析：选D ．依题意得，依次选出的个体分别是12，34，29，56，07，52，…因此选出的第6个个体是52，选D ．2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为( )A ．10B ．12C ．18D ．24解析：选A ．根据分层抽样的特征，从C 学校中应抽取的人数为90180＋270＋90×60＝10．3．(2018·福州综合质量检测)在检测一批相同规格共500 kg 航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品约为( )A ．2．8 kgB ．8．9 kgC ．10 kgD ．28 kg解析：选B ．由题意，可知抽到非优质品的概率为5280，所以这批航空用耐热垫片中非优质品约为500×5280≈8．9 kg ，故选B ．4．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A ．13B ．19C ．20D ．51解析：选C ．由系统抽样的原理知抽样的间隔为524＝13，故抽取的样本的编号分别为7，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，从而可知选C ．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：选C ．由题意知应将960人分成32组，每组30人．设每组选出的人的号码为30k ＋9(k ＝0，1，…，31)．由451≤30k ＋9≤750，解得44230≤k ≤74130，又k ∈N ，故k ＝15，16，…，24，共10人．6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在A 营区，从301到495在B 营区，从496到600在C 营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26，16，8B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，9解析：选B ．依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此A 营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此B 营区被抽中的人数是42－25＝17．结合各选项知B 正确．二、填空题7．(2018·贵阳检测)某高校有教授120人，副教授100人，讲师80人，助教60人，现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为n 的样本．已知从讲师中抽取的人数为16，那么n ＝________．解析：依题意得，80120＋100＋80＋60＝16n ，由此解得n ＝72． 答案：728．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．解析：因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37号．答案：379．网络上流行一种“开心消消乐”游戏 ，为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01，02，03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57．答案：5710．(2018·云南省第一次统一检测)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有________人．解析：设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x 、x 、3x ，由题意得3x －x ＝12，x ＝6，所以持“喜欢”态度的有6x ＝36人．答案：36 三、解答题11．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：． (1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 解：(1)因为x2 000＝0．19，所以x ＝380．(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12(名)．12．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n ．解：总体容量为 6＋12＋18＝36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数， 即n ＝6，12，18．当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6．即样本容量n ＝6．1．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)其中从B 组抽取6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；(2)在(1)的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：(2)记从A 12312B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，共4种，故所求概率P ＝418＝29．2．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行的数据)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 (2)抽取的100人的数学与地理的测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有20＋18＋4＝42．②在地理成绩及格的学生中，已知a ≥11，b ≥7．求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．解：(1)785，567，199．(2)①7＋9＋a100×100%＝30%，所以a ＝14，b ＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝17．②a ＋b ＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31． 因为a ≥11，b ≥7，所以a ，b 所有可能的取值为：(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，12)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，(23，8)，(24，7)，共14种．当a ≥7，b ≥7时，设“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A ，则a ＋5＜b ． 事件A 包括：(11，20)，(12，19)，共2个基本事件． 所以P (A )＝214＝17，。
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第10章概率、统计和统计案例
章末总结
经计算得x －＝116∑i ＝1
16
x i ＝9．97，s ＝
116∑i ＝1
16 （x i －x －）2
＝．(2016·高考全国卷Ⅲ，T 18，
附注：参考数据：
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝
表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与
一、选择题
1．(必修3 P 64A 组T 5改编)某校高一、高二、高三学生共有1 290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为( )
A ．84
B ．78
C ．81
D ．96
解析：选B ．因为高一480人，高二比高三多30人，所以设高三有x 人，则x ＋x ＋30＋480＝1 290，解得x ＝390，故高二420人，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为96
480
×390＝78(人)．
2．(选修12 P 6例2改编)一只红铃虫的产卵y 和温度x 有关，根据收集的数据散点分布在曲线y ＝c 1e c 2x
的周围，若用线性回归模型建立回归关系，则应作下列哪个变换( )
A ．t ＝ln x
B ．t ＝x 2
C ．t ＝ln y
D ．t ＝e y
解析：选C ．由y ＝c 1e c 2x
得c 2x ＝ln y c 1
＝ln y －ln c 1，令t ＝ln y ，得t ＝c 2x ＋ln c 1，故选C ．
3．(必修3 P 70内文改编)
如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16．8，则x ，y 的值分别为( )
A ．2，5
B ．5，5
C ．5，8
D ．8，8
解析：选C ．由于甲组数据的中位数为15＝10＋x ， 所以x ＝5．
又乙组数据的平均数为9＋15＋（10＋y ）＋18＋24
5
＝16．8，所以y ＝8．所以x ，y 的值分别为5，8．
4．(必修3 P 79练习T 3改编)在一段时间内有2 000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90～120 km/h ，试估计这2 000辆车中，以正常速度通过该处的汽车有( )
A ．30辆
B ．300辆
C ．170辆
D ．1 700辆
解析：选D ．直方图中速度为90～120 km/h 的频率为0．03×10＋0．035×10＋0．02×10＝0．85．
用样本估计总体，可知2 000辆车中，以正常速度通过该处的汽车约有0．85×2 000＝1 700(辆)．故选D ．
二、填空题
5．(必修3 P 95B 组T 1改编)某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得如下统计数据．
回归方程为y ＝b x ＋a (其中已算出b ＝－20)；该产品的成本为4．5元/件，为使科研所获利最大，该产品的定价应为________元/件．
解析：依题意：
x －＝1
6(8＋8．2＋8．4＋8．8＋8．6＋9)＝8．5，
y －＝1
6(90＋84＋83＋75＋80＋68)＝80．
又b ^
＝－20，
所以a ^＝y －－b ^
x －＝80＋20×8．5＝250， 所以回归直线方程为y ^
＝－20x ＋250． 设科研所所得利润为W ，定价为x ，
所以W ＝(x －4．5)(－20x ＋250)＝－20x 2
＋340x －1 125，
所以当x ＝340
40
＝8．5时，W max ＝320．
故当该产品定价为8．5元/件时，W 取得最大值． 答案：8．5
6．(选修12 P 15练习改编)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
则有________ 附：
K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
，
解析：K 2
＝60×50×60×50≈7．8>6．635．可知我们在犯错误的概率不超过
0．01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
答案：99% 三、解答题
7．(必修3 P 94A 组T 3改编)经调查得出，某型号的轿车使用年限x 和所支出的维修保养费y (万元)的统计资料如下表(注：第一年该型号的轿车的维修保养费由商家负责，消费者不承担)．
(1)求y 关于x (2)若每年维修保养费超过10万元，该型号轿车就作报废处理，问该型号轿车最多使用年限为多少年？
附：
解：(1)列表如下
于是
＝112.3－5×4×5
90－5×42＝1．23．
a ^
＝y －－b ^x －
＝5－1．23×4＝0．08．
所以线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^
＝1．23x ＋0．08．
由回归直线方程y ^＝1．23x ＋0．08知，回归直线的斜率b ^
＝1．23>0，所以x 与y 是正相关，即轿车使用年限越多，维修保养费越多．
(2)若每年维修保养费超过10万元，该型号轿车就作报废处理，则该型号轿车最多使用年限x 应满足
1．23x ＋0．08≤10，解得x ≤8．07， 故该型号轿车最多使用8年就应作报废处理．
8．(必修3 P 39练习T 3、选修12 P 19B 组T 2改编)某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：
(1)求直方图中a 的值；
(2)设生产成本为y ，质量指标值为x ，生产成本与质量指标值之间满足函数关系y ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧0.4x ，x ≤2050.8x －80，x ＞205，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．
解：(1)由已知，得(0．002＋0．009＋0．022＋a ＋0．024＋0．008＋0．002)×10＝1，
解得a＝0．033．
(2)由题设条件及食品的质量指标值的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：
70×0．02＋74×0．09＋78×0．22＋82×0．33＋92×0．24＋100×0．08＋108×0．02＝84．52．。