浙江省高考数学全真模拟试卷(二)解析版
浙江省高考数学全真模拟试卷(二)解析版
高考数学全真模拟试卷（二）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0}，B={x∈Z|1＜x＜5}，则A∩B=（）A. [2，3]B. （1，5）C. {2，3}D. {2，3，4}2.双曲线的焦距为（）A. B. C. D.3.已知i是虚数单位，复数z满足，则A. B. 2 C. 1 D.4.若x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A. B. C. D.5.将函数向左平移个单位后得函数g（x），则g（x）在上的取值范围是（）A. [-2，2]B. [3，4]C. [0，3]D. [0，4]6.设a＞0，b＞0，则“lg（ab）＞0”是“lg（a+b）＞0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.如图是二次函数f（x）=x2-bx+a的部分图象，则函数g（x）=e x+f′（x）的零点所在的区间是（）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）8.若，4，为等差数列的连续三项，则（）A. 1023B. 1024C. 2047D. 20489.设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x-b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围是（）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，3）D. （3，5）10.在△ABC中，已知•=•，若|+|=2，||=||且B∈[，]，则•的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.九章算术是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，股十五步。
问勾中容圆，径几何？”意思是：在两条直角边分别为八步和十五步的直角三角形中容纳一个圆，请计算该圆直径的最大值为________步．12.设，则a0=______，a8=______．13.某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的最长的棱长为________，体积为________.14.若函数（a＞0且a≠1）的值域为[4，+∞），则f（1）=______；实数a的取值范围为______．15.在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则∠B=______；若sin A=2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值为______．16.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是______（用数字作答）．17.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1，BC∥AD，已知Q为四边形ABCD内部一点，且二面角Q-PD-A的平面角大小为，若动点Q的轨迹将四边形ABCD分成面积为S1，S2（S1＜S2）的两部分，则S1：S2=______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．19.已知为正三棱锥，底面边长为2，设D为PB的中点，且，如图所示．Ⅰ求证：平面PAB；Ⅱ求二面角的平面角的余弦值．20.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列的前n项和T n．21.如图所示，曲线C由部分椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=-x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1所在椭圆的离心率为，（1）求a，b的值；（2）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（P，Q，A，B中任意两点均不重合），若AP⊥AQ，求直线l的方程．22.已知函数，g（x）=x+ln x，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|2≤x≤3}，B={2，3，4}；∴A∩B={2，3}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的定义．2.【答案】C【解析】解：由双曲线，易知c2=3+2=5，∴c=，∴双曲线的焦距为2．故选：C．由双曲线，易知c2=3+2=5，求出c，即可求出双曲线的焦距．本题考查双曲线的标准方程，双曲线标准方程中的参数a，b，c的关系：c2=a2+b2，双曲线焦距的概念．3.【答案】A【解析】解：复数z满足，所以z====-1-i，所以|z|==，故选：A．根据，求出z的代数形式，即可得到z的模．本题主要考查复数模长的计算，考查了复数的代数形式及复数的四则运算．比较基础．4.【答案】C【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数的几何意义，然后求解目标函数的取值范围．本题考查的知识点是简单线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如下图所示：则z=x+2y经过可行域的C点时，取得最小值．解得C（，）x=，y=时，z=x+2y=，由解得B（8，4），z=16∴z=x+2y的取值范围为[，16）．故选：C．5.【答案】D【解析】解：将函数向左平移个单位后得函数g（x）=2sin（2x+-）+2=2sin（2x+）+2，则在上，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[-1，1]，g（x）∈[0，4]，故选：D．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在上的取值范围．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：设a＞0，b＞0，则“lg（ab）＞0，得：ab＞1，由基本不等式可得：ab≤（）2，则a＞0，b＞0，“0＜lg（ab）≤lg（）2=2lg（a+b）-2lg2；即：lg（a+b）＞lg2＞0，故：a＞0，b＞0，则“lg（ab）＞0”能推出“lg（a+b）＞0”．若a＞0，b＞0，“lg（a+b）≥lg2=lg2+lg ab；lg（a+b）＞0，当a=2，b=时，lg（ab）=0，故：a＞0，b＞0，“lg（a+b）＞0”推不出“lg（ab）＞0”；∴a＞0，b＞0，则“lg（ab）＞0”是“lg（a+b）＞0”的充分不必要条件．故选：A．根据充分条件和必要条件的定义和基本不等式分别进行判断即可．题主要考查充分条件和必要条件的判断，基本不等式，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：由图象可知，0＜f（0）=a＜1①，f（1）=0，即1-b+a=0②，由①②可得1＜b＜2，g（x）=e x+2x-b，且g（0）=1-b＜0，g（1）=e+2-b＞0，又g（x）的图象连续不断，所以g（x）在（0，1）上必存在零点，故选：B．由图象可知，0＜f（0）=a＜1，f（1）=0，从而可得b的范围，然后根据零点判定定理可得结论．本题考查导数的运算、函数零点的判定定理，考查数形结合思想，属中档题．8.【答案】C【解析】解：由于a+3a=4a=2×4，解得a=2，故1+a+a2+…+a10=20+21+22+…+29+210==211-1=2047，故选：C．利用等差数列相邻三项的关系列出关于a的方程，先求出a的值，再求1+a+a2+…+a10的值，利用了等比数列的求和公式．本题考查等差中项的理解，考查等差数列的认识，利用方程思想确定出字母a的值，利用等比数列求和公式求出所要求的和．考查学生的运算能力．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解集和对应一元二次方程根的应用问题，是中档题．将不等式变形为[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0，求出不等式的解集，根据题意，由0＜b＜1+a求得a的取值范围．【解答】解：关于x的不等式（x-b）2＞（ax）2 ，等价于（a2-1）x2+2bx-b2＜0，转化为[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0，不等式的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，又0＜b＜1+a，∴不等式的解集为＜x＜＜1，∴解集里的整数是-2，-1，0 三个，∴-3≤-＜-2，∴2＜≤3，即2a-2＜b≤3a-3；又∵b＜1+a，∴2a-2＜1+a，解得a＜3，综上，a的取值范围是（1，3）．故选：C．10.【答案】A【解析】【分析】由B∈[，]，知cos B∈[-，]，设||=||=a，∵|+|=2，∴|+|2=4，∴a2+a2+2a2cos B=4，∴，由此能够求出•的取值范围．本题考查平面向量的综合运用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．【解答】解：∵B∈[，]，知cos B∈[-，]，设||=||=a，∵|+|=2，∴|+|2=4，∴a2+a2+2a2cos B=4，∴，•==a2cos B==2-∈[-2，]．故选：A．11.【答案】6【解析】解：由题意可知，因为=17，此直角三角形的三边分别为8，15，17，设该直角三角形内切圆的半径为r，得：,r=6该圆直径的最大值为6步，故答案为：6．由勾股定理及直角三角形内切圆半径的求法得：该直角三角形内切圆的半径r,则，所以该圆直径的最大值为6步，得解．本题考查了勾股定理及直角三角形内切圆半径的求法，属中档题．12.【答案】--【解析】解：令x=-，得a0=（-）9=-，令t=2x+1，则x=，则多项式等价为（）9=-（1-t）9=a0+a1t+a2t2+a3t3+…+a8t8+a9t9，则a8=-（-1）8=-，故答案为：-，-利用赋值法令x=-，可得a0的值，利用换元法设t=2x+1，结合展开式的通项公式进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法和换元法是解决本题的关键．13.【答案】；【解析】【分析】本题考查三视图求解几何体的体积以及最长棱长，考查空间想象能力以及计算能力．【解答】解：由题意可得几何体的直观图如图：是长方体的一部分，是四棱锥P-ABCD，AB=1，DC=2，AD=1，最长棱长为几何体的体积为V=故答案为：；．14.【答案】5 （1，2]【解析】解：f（1）=-1+6=5，当x≤2时，f（x）=-x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），则当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，即log a x≥1，若0＜a＜1，则不等式log a x≥1不成立，当a＞1时，则由log a x≥1=log a a，则a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，即a的范围为（1，2]，故答案为：5，（1，2]．先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．15.【答案】8【解析】解：∵，可得：，∴cos B===，∵B∈（0，π），∴B=，由sin A=sin（π-A）=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C，sin A=2sin B sin C，可得sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C，①由三角形ABC为锐角三角形，则cos B＞0，cos C＞0，在①式两侧同时除以cos B cos C可得tan B+tan C=2tan B tan C，又tan A=-tan（π-A）=-tan（B+C）=-②，则tan A tan B tan C=-•tan B tan C，由tan B+tan C=2tan B tan C可得tan A tan B tan C=-，令tan B tan C=t，由A，B，C为锐角可得tan A＞0，tan B＞0，tan C＞0，由②式得1-tan B tan C＜0，解得t＞1，tan A tan B tan C=-=-，=（-）2-，由t＞1得，-≤＜0，因此tan A tan B tan C的最小值为8，另解：由已知条件sin A=2sin B sin c，sin（B十C）=2sin B sin C，sin B cos C十cos B sin C=2sin B cos C，两边同除以cos B cos C，tan B十tan C=2tan B tan C，∵-tan A=tan（B十C）=，∴tan A tan B tan C=tan A十tan B十tan C，∴tan A tan B tan C=tan A十2tan B tan C≥2，令tan A tan B tan C=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tan B+tan C=4，tan B tan C=2，解得tan B=2+，tan C=2-，tan A=4，（或tan B，tan C互换），此时A，B，C均为锐角．故答案为：，8．由已知利用余弦定理可求cos B的值，结合B的范围可求B的值，由已知结合三角形关系和式子sin A=2sin B sin C可推出sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C，进而得到tan B+tan C=2tan B tan C，结合函数特性可求得最小值．本题主要考查了余弦定理的应用，考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想和函数思想，有一定的灵活性，属于中档题．16.【答案】266【解析】解：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本的杂志，共有C85=56②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有C84•C32=70×3=210，故不同买法的种数是210+56=266，故答案为266．根据题意，分两种情况讨论，①用10元钱买2元1本的杂志，②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本，分别求得可能的情况数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，注意分类讨论与分步进行，即先组合再排列．17.【答案】（3-4）：4【解析】解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴=（-2，0，1），=（-2，b，0）.=（2，0，0）．设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）则，．即，，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．∴=，，．∵二面角Q-PD-A的平面角大小为，∴cos＜＞==．即，解得b=．∴S△ADQ==．S梯形ABCD-S△ADQ=-=．∵S1＜S2，∴S1=-，S2=．∴S1：S2=（3-4）：4．故答案为（3-4）：4．建立空间坐标系，求出平面PAD和平面PQD的法向量，，令cos＜，＞=解出Q的轨迹与y轴的交点坐标，求出S1，S2得出比值．本题考查了二面角的计算，使用向量可比较方便的找到Q的轨迹．属于中档题．18.【答案】解：（1）∵从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是设“世博会会徽”卡有n张，由，得n=5，∴“海宝”卡有4张，∴抽奖者获奖的概率为；（2）由题意知本题的随机变量满足二项分布，即ξ～∴；∴．【解析】（1）要求求抽奖者获奖的概率，需要先求出海宝的个数，而海宝的个数要根据从盒中抽取两张都是“世博会会徽”的概率，由古典概型个数列出关于海宝个数的方程，通过方程求得结果．（2）由题意知本题的随机变量满足二项分布，根据二项分布的概率，写出变量的分布列，算出期望．本题考查古典概型和离散型随机变量的分布列，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．19.【答案】（Ⅰ）证明：以AB中点O为原点，OC为x轴，OA为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），B（0，-1，0），C（，0，0），由于点P在△ABC中的射影为△ABC 的中心，设P（，0，h），则=（，0，-h），=（0，-2，0），=×0+0×（-2）+（-h）×0=0，∴PC⊥AB，而PC⊥AD，∵AB∩AD=A，∴PC⊥平面PAB；（2）解：由中点坐标公式知，D（，-，），由，知：=，解得h=，设平面ACD的法向量为=（x，y，z），，=（，-1，0），由，取x=，得；平面ABC的法向量为=（0，0，1），设所求二面角的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角D-AC-B的平面角的余弦值为．【解析】（Ⅰ）以AB中点O为原点，OC为x轴，OA为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PC⊥平面PAB．（Ⅱ）求出平面ACD的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-B 的平面角的余弦值．本题考查线面垂直的判断，二面角的平面角的余弦值的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：（1）设数列{an}的公比为q，由=9a2a6．得=9a42．所以q2=．由条件可知q＞0，故q=．由2a1+3a2=1，得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（2）b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=log3（a1a2…a n）=log3（3-（1+2+3+…+n））=-（1+2+3+…+n）=-．故=-=-2（），数列{}的前n项和：T n===-．所以数列{}的前n项和为：T n=.【解析】本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力,为中档题．（1）利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列{a n}的通项公式．（2）利用对数运算法则化简b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，然后化简数列{}的通项公式，利用裂项相消法求和即可．21.【答案】解：（1）在C2的方程中令y=0可得b=1，由=及a2-c2=b2=1，得a=，∴a=，b=1．（2）由（1）知，上半椭圆C1的方程为y2+2x2=2（y≥0）．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为x=my+1 （m≠0），并将其代入C1的方程，整理得（2m2+1）y2+4my=0，故可解得点P的坐标为（，），显然m＜0，同理，将x=my+1 （m≠0）代入C2的方程，整理得m2y2+y+2my=0，得点Q的坐标为（，-），∵AP⊥AQ，∴•=（+1）（+1）-•=0，即8m2+2m=0，解得m=-，符合m＜0，故直线l的方程为4x+y-4=0．【解析】（1）在抛物线的方程中，令y=0，解得b=1，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a；（2）求得椭圆的方程，令直线的方程为x=my+1，代入椭圆方程和抛物线的方程，求得P，Q的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得m，进而得到所求直线的方程．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆、抛物线的位置关系，注意联立直线方程，求交点，同时考查向量垂直的条件，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵，g（x）=x+ln x，∴，其定义域为（0，+∞），∴，∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3-a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+ln x在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．【解析】本题是一道关于导数的综合题，考查极值、最值等基本知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1．利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．。
2023年浙江省宁波市高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2023年浙江省宁波市高考数学二模试卷1. 若集合，，则( )A. B. C. D.2. 设i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为( )A. B. C. 1 D. 23. 设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为( )A. B. C. D.4. 已知非零向量满足，则( )A. B.C. D.5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积( )A. 寸B. 2寸C. 寸D. 3寸6. 已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为( )A. 2B. 4C. 6D. 107. 设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点.若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.8. 已知函数，，则的零点个数为( )A. 2023B. 2025C. 2027D. 20299. 根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据单位：绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是( )A. 5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B. 9号的最高气温与最低气温的差值最大C. 最高气温的众数为D. 5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大10. 已知函数与及其导函数与的定义域均为R，是偶函数，的图象关于点对称，则( )A. B.C. D.11. 已知平面于点O，A，B是平面上的两个动点，且，，则( )A. SA与SB所成的角可能为B. SA与OB所成的角可能为C. SO与平面SAB所成的角可能为D. 平面SOB与平面SAB的夹角可能为12. 三支不同的曲线交抛物线于点，，F为抛物线的焦点，记的面积为，下列说法正确的是( )A. 为定值B.C. 若，则D. 若，则13. 若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则______ .14. 写出一个半径为1，且与圆和圆均外切的圆的方程______ .15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“”.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成简称为8步“雹程”猜想的递推关系如下：已知数列满足为正整数，若，则m 所有可能取值的集合为______ .16. 正四面体ABCD 的棱长为3，P 在棱AB 上，且满足，记四面体ABCD 的内切球为球，四面体PBCD 的外接球为球，则______ .17. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且若，求；若的最大角为最小角的2倍，求a 的值.18. 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性.某品牌推出2款盲盒套餐，A 款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X ；B 款盲盒套餐包含2款不同单品，有的可能性出现隐藏款为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐.开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：A 款盲盒套餐B 款盲盒套餐合计年龄低于30岁183048年龄不低于30岁221032合计404080根据列联表，判断是否有的把握认为A ，B 款盲盒套餐的选择与年龄有关；甲、乙、丙三人每人购买1件B 款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X 的个数，求的分布列和数学期望；某消费者在开售首日与次日分别购买了A 款盲盒套餐与B 款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X ，求该隐藏款来自于B 款盲盒套餐的概率.附：，其中，19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面求证：平面ABCD；设，，，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，求BC的长.20. 已知等比数列的前n项和满足求首项的值及的通项公式；设，求满足的最大正整数n的值.21. 已知双曲线E：，点与双曲线上的点的距离的最小值为求双曲线E的方程；直线l：与圆C：相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程.22. 已知函数讨论函数的单调性：若，是方程的两不等实根，求证：；答案和解析1.【答案】B【解析】解：由，得，即，，由，得，，故选：求解不等式化简A与B，再由交集运算的定义得答案．本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，则，其虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，且，则，由正态曲线得，所以故选：根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得本题考查正态分布的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：，，，，，当时，，，A错误；，，B错误；，，C错误；，，，，D正确．故选：对两边平方，进行数量积的运算可得出，然后可得出：，时，，从而可判断出A的正误；，从而可判断出B的正误；，从而可判断出C的正误；根据得出，从而可判断出D的正误．本题考查了向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．积水深9寸，水面半径为寸，则盆中水的体积为立方寸平地降雨量等于寸故选：由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．本题考查柱、锥、台体的体积求法，正确理解题意是关键，属基础题．6.【答案】A【解析】解：函数的图象关于直线对称，，，即，在上没有最小值，，，综合可得，故选：由题意，利用正弦函数的图象的对称性和最小值，求出的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：取P，Q的中点为M，连接OM，PF，则由题意可得，，，所以∽，所以，因为直线PQ，PF的斜率之积为，所以，设，，则有，两式相减可得，即，即，即，所以椭圆的离心率为故选：利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率．本题考查了椭圆的离心率问题，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：，当时，，，等价于，得或，得或由，得或，由，得，进一步可得，由，可得或或依次类推，可得，，1，2，…，又，，可知当时，，当时，，的增区间为，，减区间为又，，可得的图象如图：由图可知，的图象与，，1，2，…，2023共有个交点．故选：由，得当时，，问题等价于与直线族，，1，2，…，2023的交点问题，再由导数研究函数的单调性，作出图象，数形结合得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，训练了利用导数研究函数的单调性，属难题．9.【答案】AC【解析】解：对于A，由折线图可知，5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关，故A正确；对于B，由折线图可知，6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误；对于C，由折线图可知，最高气温的众数为，故C正确；对于D，5号到15号的最低气温的极差大约为，最高气温的极差大约为，故D错误．故选：根据折线图逐个判断各个选项即可．本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：选项A，因为是偶函数，所以，所以，即A 正确；选项B，因为的图象关于点对称，所以，又是偶函数，所以，即B正确；选项C，因为的图象关于点对称，所以，两边求导得，，令，则，所以，即C正确；选项D，因为是偶函数，所以，两边求导得，，令，则，因为不一定是偶函数，所以不一定成立．故选：选项A，由偶函数的性质知，得解；选项B，易知，结合是偶函数，得解；选项C，由函数的对称性知，，两边求导，推出，得解；选项D，由，两边求导，推出，而不一定是偶函数，得解．本题考查函数奇偶性的应用，导数的运算法则，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】AC【解析】解：如图，，，，，且对于A，当B位于线段OB上时，SA与SB所成角最小，为，当B位于线段BO的延长线上时，SA与SB所成角最小，为，可得SA与SB所成的角的范围为，故A正确；对于B，SA与平面所成角为，即SA与平面所有直线所成角的最小值为，则SA与OB所成的角不可能为，故B错误；对于C，由已知可得，在中，有为锐角，过O作AB所在直线的垂线OD，连接SD，则SO在平面SAB上的射影落在SD上，即为SO与平面SAB所成的角，可知，则，即SO与平面SAB所成的角可能为，故C正确；对于D，若平面SOB与平面SAB的夹角为，过A作，垂足为E，则平面SOB，，又，可得，这与矛盾，故D错误．故选：由题意画出图形，结合已知可得，，且，然后结合线面角、二面角的定义，以及三角形中大边对大角逐一分析四个选项得答案．本题考查空间角的大小比较，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】AD【解析】解：如图，设直线与抛物线的交于点，，则与关于x轴对称，设，，则，联立，消x得，则，又，则，则，对于A，，，故A正确；对于B，，因为不是定值，所以不是定值，故B错误；对于C，设直线的倾斜角为，则，则，所以，又因，所以，所以，故C错误；对于D，因为，所以，所以，故D正确．故选：设直线与抛物线的交于点，，则与关于x轴对称，设，，则，联立，利用韦达定理求得，，进而可求得，，结合焦半径公式即可判断A；判断是否为定值即可判断B；求出，即可判断本题考查了抛物线的性质，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：函数在区间上单调递增，所以，解得或2，又，故答案为：利用指数函数的单调性求解．本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题．14.【答案】或【解析】解：设圆的方程为，由于该圆与圆和圆均外切，故，解得或故圆的方程为或故答案为：或直接利用两圆的位置关系建立方程组，进一步求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆的方程的求法，两点间的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：若，则，则或，当时，则，则或，则或；当时，则或舍，若，则，则或；即m所有可能取值的集合为故答案为：根据递推公式逆向寻找结果即可．本题考查归纳推理和数列递推公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：如图，设点H为的中心，则平面BCD，连接BH，并延长BH交CD 于点E，则点E为CD的中点，，则四面体ABCD的内切球的球心在AH上，且四面体PBCD的外接球的球心在AH上，设四面体ABCD的内切球的半径为r，，，，则，又，则，解得，即，由四面体PBCD的外接球的球心在AH上，得，记BP的中点为M，则，，，所以，则，所以故答案为：设点H为的中心，四面体ABCD的内切球的球心在AH上，且四面体PBCD的外接球的球心在AH上，利用等体积法求出四面体ABCD的内切球的半径，根据比例关系求出，得出，即可得解．本题考查几何体的内切球，外接球问题，属于中档题．17.【答案】解：当时，，，在中，由余弦定理，得，所以；由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，由正弦定理得，即，又，所以，将，代入上式得，解得【解析】在中，由余弦定理求得，即可求解；由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，利用正弦定理和余弦定理即可求解．本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．18.【答案】解：零假设为：：A，B款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；的所有可能取值为0，1，2，3，，所以的分布列为：0 1 2 3P或；设事件A：随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，设事件：随机抽取的1件单品来自于A款盲盒套餐，设事件：随机抽取的1件单品来自于B款盲盒套餐，，故由条件概率公式可得【解析】根据独立性检验计算，再进行判断即可；根据二项分布的概率公式，进行计算得分布列及数学期望即可；根据全概率公式及条件概率公式分析计算即可．本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．19.【答案】证明：在平面ABCD内任取一点不在直线AB与直线AD上，过G分别作AD、AB的垂线GE、GF，已知平面平面ABCD，平面平面ABCD，由平面与平面垂直的性质定理可得，平面PAD，平面PAB，则，，而，则平面ABCD；解：由知，平面ABCD，又，以A为坐标原点，分别以AB、DA、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．由已知得：，，，设，则，，，设平面PBC与平面PDC的一个法向量分别为，，由，取，得；由，取，得平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，，解得：即BC的长为【解析】在平面ABCD内任取一点不在直线AB与直线AD上，过G分别作AD、AB的垂线GE、GF，由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面PAD，平面PAB，得到，，则平面ABCD；由知，平面ABCD，又，以A为坐标原点，分别以AB、DA、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设，则，然后分别求出平面PBC与平面PDC的一个法向量，再由平面PBC与平面PCD 的夹角的余弦值为列式求解m值，则答案可求．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：，，，，，数列为等比数列，公比，又，，，；由知，，，，，，设，，当时，单调递增，又，又，，满足题意的最大正整数n为【解析】先根据题意求出公比，从而可求出，从而可得的通项公式；先根据求出，再根据题意解不等式，即可求解．本题考查等比数列的通项公式的求解，利用数列的单调性求解不等式问题，化归转化思想，属中档题．21.【答案】解：设是双曲线上的任意一点，则，所以当时，的最小值为，所以，得，所以双曲线E的方程为；由直线l：与圆C：相切得，由直线交双曲线的左、右支于A，B两点，设，，联立，消y整理得，则，所以，所以，即，解得，又，则，解得或，所以，所以，又点到AB的距离，故，设，，联立方程组，消y整理得，则，所以，所以，又点O到MN的距离，故，所以当时，有，整理得，即，又，则，即，解得舍去，所以，则，所以直线方程为【解析】设是双曲线上的任意一点，先求得，再结合题意即可求得的值，进而即可求出双曲线E的方程；先根据直线l与圆C相切得到，设，，再联立直线l的方程和双曲线E的方程，求得，，根据题意求得m的取值范围，设点到AB的距离为，从而求得，再联立直线l的方程和双曲线E的渐近线的方程，求得，，设点O到MN的距离为，从而求得，再结合即可求得k的值，进而即可求得直线l的方程．本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，属于难题．22.【答案】解：，当时，，在上单调递增，当时，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．证明：因为，是方程的两个不等实数根，即，是方程的两个不等实数根，令，则，，即，是方程的两个不等实数根，令，则，令得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，，当时，；当时，且，所以，即，令，要证明，只需证明，设，，则，，令，则，所以在上单调递增，，所以，所以，所以，所以，所以，所以得证．要证，只需证，只需证，只需证，只需证，因为，令得，即①，令得，即②，①+②得，所以，得证．【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，进而可得的单调性．根据题意可得，是方程的两个不等实数根，令，则，，即，是方程的两个不等实数根，令，求导分析单调性，最值，只需与有两个交点可得，令，要证明，只需证明，设，，令，求导分析单调性，可得，即可得出答案．要证，只需证，只需证，只需证，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。
2019届浙江省新学考高三全真模拟卷(二)数学试题(解析版)
2019届浙江省新学考高三全真模拟卷（二）数学试题（解析版）一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}答案 D解析 利用数轴可求得A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}，故选D. 2．函数y ＝2－x ＋ln(x －1)的定义域为( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，1)D ．[2，＋∞) 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x≥0，x －1＞0，得1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]．故选A.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，y≥x表示的平面区域是( )答案 Cx＝y 的下方，直线2＝y ＋x 可知不等式组表示的平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，y≥x由不等式组 解析的上方，故选C.4．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(0,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝1C ．(a ＋b )⊥bD ．a ∥b 答案 C错误；A ，故1＝|b |，2＝|a |因为 解析 a ·b ＝－1，故B 错误；(a ＋b )·b ＝(1,0)·(0,1)＝0，故C 正确；a ，b 不平行，故D 错误．故选C.5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列结论正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α∥γ，β∥γ，则α∥βC ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n答案 B解析 对于选项A ，若m ，n ⊂β，m ∩n ＝P ，α∥β，则m ∥α，n ∥α，此时m 与n 不平行，故A 错；对于选项B ，由平面平行的传递性可知B 正确；对于选项C ，当α⊥β，α∩β＝l ，m ∥l ，m ⊄α时，有m ∥α，此时m ∥β或m ⊂β，故C 错；对于选项D ，位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定，故D 错．故选B.6．不等式x ＋3>|2x －1|的解集为( )⎝⎛⎭⎪⎫－4，23A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4B. )4，∞．(－C⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞D. 答案 B解析 不等式x ＋3>|2x －1|等价于－(x ＋3)<2x －1<x ＋3，B.，故选<4x <23由此解得－ 7．命题p ：x ∈R 且满足sin 2x ＝1.命题q ：x ∈R 且满足tan x ＝1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C，Z ∈k ，πk 2＋π2＝x 2，得1＝x 2 sin 由 解析 ；Z ∈k ，πk ＋π4＝x 即 ，Z ∈k ，πk ＋π4＝x ，得1＝x tan 由 所以p 是q 的充要条件，故选C.)(等于)B －A (则sin ，45＝B cos ，35＝A cos ，中ABC △在．8 925D.925．－C 725B. 725．－A 答案 B，35＝B sin ，45＝A sin ∴，)π，0(∈B ，A ∵ 解析 .725＝B sin A cos －B cos A sin ＝)B －A (sin ∴ 9．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1,4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( )13＝2y ＋2)2－x ．(A 17＝2y ＋2)2＋x ．(B40＝2y ＋2)1＋x ．(C20＝2y ＋2)1－x ．(D 答案 D，圆的半径1＝m ，解得错误!＝错误!，得|CB |＝|CA |，则由)0,m (的圆心坐标为C 设圆 解析 D.，故选20＝2y ＋2)1－x (，所以其方程为52为 10．已知a <0，－1<b <0，则下列结论正确的是( ) 2b a >ab >a ．A 2ab >a >ab ．Ba >2ab >ab ．Ca >ab >2ab ．D 答案 C，>0)b －1(ab ＝2ab －ab 由题意得 解析 ，>0)1－b )(1＋b (a ＝a －2ab ，2ab >ab 所以 C.，故选a >2ab 所以 11．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则这个几何体的侧面积是( )2cm )2＋1．(A 2cm )2＋3．(B2cm )2＋4．(C2cm )2＋5．(D 答案 CC.故选.2cm )2＋4(由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以侧面积为 解析a x1x2＋2x ＋1x 则)，2x ，1x (的解集为)>0a (<02a 3＋ax 4－2x 的不等式x 已知关于．12的最小值是( )263D.433C.233B.63A.答案 C，2a 3＝2x 1x ，a 4＝2x ＋1x 由题意得 解析 ，13a＋a 4＝ax1x2＋2x ＋1x 则 ，433≥13a ＋a 4，所以>0a 因为 ．时等号成立36＝a 当且仅当 C.，故选433的最小值是ax1x2＋2x ＋1x 所以 错误!f ＝y 若函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x≤0，2x －4，x ＞0，)＝x (f 已知函数．13有四个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－2,2) B ．[1,5) C ．[1,2)D ．[－2,5) 答案 C有四个零点，错误!f ＝y 函数 解析 有四个解，0＝错误!f 则 则方程f (x )＋a ＝－1与f (x )＋a ＝2各有两个解，⎩⎪⎨⎪⎧－3＜－a －1≤1，－3＜2－a≤1，可得)图略(的图象)x (f 作出函数 C.故选2.＜a ≤1所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a＜2，1≤a＜5，解得 )(等于6S 则，72＝3S 若，n S 项和为n 前，2＝q }的公比n a 已知等比数列{．14 312A.632B.63．C1272D.答案 BB.，故选632＝)32＋1(×72＝)3q ＋1(3S ＝6S 由题意得 解析)(的值为9a 3a )＋3a 2＋1a (7a 则，10＝6a ＋4a 若，}为等比数列n a 已知数列{．15 A ．10 B ．20 C ．100 D ．200答案 CC.，故选100＝210＝2)6a ＋4a (＝26a ＋6a 4a 2＋24a ＝9a 3a ＋3a 7a 2＋1a 7a ＝9a 3a ＋)3a 2＋1a (7a 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x>a ，x2＋5x ＋2，x≤a，)＝x (f 已知函数．16函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2) 答案 D⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x>a ，x2＋3x ＋2，x≤a，＝)x (g 由题意知 解析 因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2.，2＝－x 或1＝－x ，得0＝2＋x 3＋2x 由 则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)，故选D.y2b2－x2a2分别为双曲线)0,c (2F )，0,c (－1F 已知．1712＝－PF2—→·PF1—→为双曲线上的一点且满足P ，右焦点、的左)>0b ，>0a (1＝)(则此双曲线的离心率的取值范围是，2c )∞，＋2．[A)∞，＋3．[B ) ∞，＋2．[C⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5＋12，＋∞D. 答案 C，2c －20y ＋20x ＝20y ＋)0x －c )(0x －c －(＝PF2—→·PF1—→，则)0y ，0x (P 设 解析 .2c 12＝－2c －20y ＋20x 所以，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y20b22a ＝20x ，所以1＝y20b2－x20a2又 ，2c 12＝－2c －20y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y20b22a 所以 ，2a －c22＝c2y20b2整理得 C.，故选2≥e ，a 2≥c ，所以0≥2a －c22所以点，上的动点1AC 为对角线P 点，1＝1AA ＝BC ，2＝AB ，中1D 1C 1B 1A －ABCD 在长方体．18)(的最小值为PQ ＋P 1B 则)，可以重合Q ，P 点(上的动点ABCD 为底面Q 2．D 3C.2B.32A. 答案 A上，ABCD 在底面Q 上，1AC 在对角线P 解析PQ 取最小值时P 在平面ABCD 上的射影落在AC 上，，P ′1B ＝P 1B 在同一平面内，1ACC 与平面1C ′1AB ，使平面1C ′1AB △翻折到1AC 沿1C 1AB △将 .Q ′1B 距离的AC 到′1B 为min )PQ ＋P ′1B (所以 ＝′1AB ，60°＝AC ′1B ∠的直角三角形，30°为有一个角为1C ′1AB △和1ACC △由题意知，，3.32＝60° ·sin 3＝Q ′1B 所以 二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)焦点坐标为_______；________＝m 则，的准线的距离为22y 2m ＝－x 若坐标原点到抛物线．19_．)0,2(－ 24±答案 ，14m2＝x ，得准线方程为x 1m2＝－2y 由 解析，18＝2m ∴，2＝14m2∴ ，x 8＝－2y ∴，24±＝m 即 ∴焦点坐标为(－2,0)．________.＝017 2S 则，项和n }的前n a 为{n S 记)，1＋n a (n )1＝(－＋1n a ，1＝1a ，}中n a 在数列{．20 答案 －1 007，)1＋n a (n )1－(＝1＋n a ，1＝1a 由 解析 ，1＝5a ，0＝4a ，1＝－3a ，2＝－2a 可得 该数列是周期为4的循环数列，007.1＝－1＋)2－(×504＝1a ＋)4a ＋3a ＋2a ＋1a (504＝017 2S 所以 21．已知向量a ＝(－5,5)，b ＝(－3,4)，则a －b 在b 方向上的投影为________．答案 2解析 由a ＝(－5,5)，b ＝(－3,4)，则a －b ＝(－2,1)，(a －b )·b ＝(－2)×(－3)＋1×4＝10，|b |＝2.＝错误!＝错误!方向上的投影为b 在b －a ，则5＝9＋16 的解s )＜x (f 的不等式x 若关于)，∞，＋1[－的值域为)R ∈q ，p (q －px ＋2x )＝x (f 已知函数．22集为(t ，t ＋4)，则实数s ＝________.答案 3，1＝－q －p24，所以－)∞，＋1－[的值域为q －p24－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2＝q －px ＋2x ＝)x (f 因为函数 解析＝1x 的两根为0＝s －q －px ＋2x ，所以方程)4＋t ，t (的解集为s ＜)x (f 因为不等式4.＝q 4＋2p 即错误!＝错误!＝1x －2x ，则4＋t ＝2x ，t 3.＝s ，解得4＝4＋4s ＝p2＋4q ＋4s ＝ 三、解答题(本大题共3小题，共31分)16.＝4a ，2＝1a 已知，}中n a 等比数列{)10分．(23 ；}的通项公式n a 求数列{)1( .n S 项和n }的通项公式及前n b 试求数列{，}的第3项和第5项n b 分别为等差数列{5a ，3a 若)2( 2.＝q ，解得3q 2＝16，由已知得q 的公比为}n a {设)1( 解 ．)*N ∈n (n 2＝1－n 2·2＝n a 所以 ，32＝5a ，8＝3a 得)1(由)2( 32.＝5b ，8＝3b 则⎩⎪⎨⎪⎧b1＋2d ＝8，b1＋4d ＝32.，则有d 的公差为}n b {设 ⎩⎪⎨⎪⎧ b1＝－16，d ＝12.解得 28.－n 12＝)1－n (12＋16＝－n b 所以 错误!＝n S 项和n 的前}n b {所以数列 ．)*N ∈n (n 22－2n 6＝ x2a2已知椭圆，如图)10分．(24P A切线，轴上时x 点在P 当，A 切点为，作椭圆的切线P 2上一点＝x ：l 过直线)，>1a (1＝2y ＋.22的斜率为±(1)求椭圆的方程；(2)设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值．解 (1)当P 点在x 轴上时，．)2－x (22±＝y ：P A ，)0,2(P 错误!联立，0＝1＋x 2－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋12化简得 ，2＝2a ，解得0＝Δ由 1.＝2y ＋x22所以椭圆的方程为 ，)1y ，1x (A ，)0y ，2(P ，m ＋kx ＝y 设切线方程为)2( ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x2＋2y2－2＝0，则 ，0＝2－2m 2＋kmx 4＋2x )2k 2＋1(化简得 ，1＋2k 2＝2m ，解得0＝Δ由 ，m ＋k 2＝0y ，m 1＋2k2＝1y ，－2km 1＋2k2＝1x 且 ，|y0x1－2y1|y20＋4＝d 的距离PO 到直线A ，则点x y02＝y 的方程为PO ，直线y20＋4＝|PO |则 设△POA 的面积为S ，|1y 2－1x 0y |12＝d |·PO |12＝S 则 错误!12＝ |.m ＋k |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k2＋km 1＋2k2m ＝ |.1＋2k2＋k |＝S 时，2k2＋1＝m 当 ，0＝1＋2S －Sk 2＋2k ，则2k 2＋1＝2)k －S ( .22＝－k 时22＝S ，当22≥S ，解得0≥4－2S 8＝Δ ，22≥S 时，可得2k2＋1＝－m 同理当 .22＝k 时22＝S 当.22面积的最小值为POA △所以 )．1－a (a －|a －x |＋2)a －x )＝(x (f 函数，为实数a 设)11分．(25 (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围；(2)讨论f (x )的单调性；．内的零点个数)∞＋，0(在区间4x)＋x (f 讨论，2时≥a 当)3( ，显然成1≤0时，0≤a ，当1≤a ＋|a |，所以1≤)0(f ，因为a ＋|a |＝a ＋2a －|a |＋2a ＝)0(f )1( 解立；当a >0时，则有|a |＋a ＝2a ≤1，.12≤a 0<，所以12≤a 所以 .⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12的取值范围是a 综上所述， 错误!＝)x (f )2( 上单)∞，＋a (在)x (f ，开口向上，所以a <12－a ＝2a －12＝x ，其对称轴为x )1－a 2(－2x ＝1u 对于调递增；，开口向上，a >12＋a ＝2a ＋12＝x ，其对称轴为a 2＋x )1＋a 2(－2x ＝2u 对于 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减．综上所述，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减．.2a －a ＝)a (f ＝min )x (f ，所以上单调递减)a ，0(上单调递增，在)∞，＋a (在)x (f 得)2(由)3( ，2＝－)2(f ＝min )x (f 时，2＝a 当① ⎩⎪⎨⎪⎧x2－3x ，x≥2，x2－5x ＋4，x<2，＝)x (f ，)>0x (4x＝－)x (f ，即0＝4x ＋)x (f 令 因为f (x )在(0,2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2，，2＝－)2(g <)x (g 上单调递增，所以)2,0(在4x＝－)x (g 而 上无交点；)2,0(在4x＝－)x (g 与)x (f ＝y 所以 ，0＝4＋2x 3－3x ，即4x ＝－x 3－2x ＝)x (f 时，2≥x 当 ，0＝)1＋x (2)2－x (，所以0＝4＋2x －2x 2－3x 所以 因为x ≥2，所以x ＝2，2.＝x 有一个零点4x＋)x (f 时，2＝a 综上当 ，2a －a ＝)a (f ＝min )x (f 时，>2a 当② ，2a －a ＝)a (f ，>4a 2＝)0(f 时，)a ，0(∈x 当 上单调递增，)a ，0(在4x＝－)x (g 而 的大小，4a与－2a －a ＝)a (f ，下面比较4a ＝－)x (g 时，a ＝x 当 错误!＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a －2a －a 因为 ，<0错误!＝ .4a－<2a －a ＝)a (f 所以 ．有两个交点4x＝－)x (g 与)x (f ＝y 时，>2a 结合图象不难得到当；2＝x 内有一个零点)∞，＋0(在区间4x＋)x (f 时，2＝a 综上所述，当 ．内有两个零点)∞，＋0(在区间4x ＋)x (f 时，>2a 当。
2020年2月普通高考数学(浙江卷)全真模拟卷(2)(解析版)
2020年2月普通高考（浙江卷）全真模拟卷（2）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
选择题部分（共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集,{|22},{|1}U R M x x N x x ==-≤≤=<,则()U C M N I 等于（ ） A ．{}|1x x < B ．{}|21x x -<<C ．{}|2x x <-D ．{|21}x x -≤<【答案】C 【解析】由题意可得：{}|22U C M x x x =><-或， 结合交集的定义可得：(){}|2U C M N x x =<-I 故选C.2．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．14y x =±D ．4y x =±【答案】A 【解析】由题得双曲线的a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为1.2b y x x a =±=±故答案为：A3．若实数x y ，满足不等式组2402300x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，则x y +的最小值是（ ）A ．83B ．3C ．4D ．6【答案】A 【解析】画出可行域2402300x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，表示的区域如图，要求x y +的最小值，就是x y +在直线240x y +-=与直线0x y -=的交点44,33N ⎛⎫⎪⎝⎭处，目标函数x y +的最小值是83． 故选：A ． 4．由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π3B ．π2C ．πD ．2π【答案】C 【解析】由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2， 则21122V ππ=⋅⨯=， 故答案选C 。
浙江省高考数学二模试卷(理科)含答案解析
浙江省高考数学二模试卷（理科）（解析版）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A⊗B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U={x|1＜x＜10}，集合A={x|2＜x＜6}，B={x|5＜x＜7}，则（∁U A）⊗B=（）A．[6，7）B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）C．（1，6）D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）2．下列说法正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．“∃x0∈R，使得”的否定是“”C．若A∧B是假命题，则A∨B是假命题D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”3．已知数列{a n}满足a1=1，若n为奇数时，a n+1=2a n+1；若n为偶数时，a n+1=a n+n．则该数列的前7项和为（）A．103 B．102 C．100 D．984．设三条不同的直线分别为m，n，l，两个不同的平面分别为α，β．则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥βD．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为．若，则函数f（x）在上的值域为（）A．[﹣1，2]B．C．D．6．已知平面向量，满足，，．则对于任意的实数m，的最小值为（）A．2 B．1 C．D．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若左焦点F1关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）A． B．3 C． D．58．在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2．若点M在△ABC所在平面上运动，且使得△AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（6分）（浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为．10．（6分）（浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=； =．11．（6分）（浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a的值为．12．（6分）（浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为；表面积为．13．（4分）（浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为．14．（4分）（浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．15．（4分）（浙江二模）已知函数，若函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（浙江二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，试求边b的最小值．17．（15分）（浙江二模）如图所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE，，BE=CD=2，AB⊥BC，M，N分别为DE，AD中点．（1）证明：平面MNC⊥平面BCDE；（2）若EC⊥CD，点P为棱AD的三等分点（近A），平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，求棱AB的长度．18．（15分）（浙江二模）已知二次函数f（x），若f（x）＜0时的解集为{x|﹣1＜x＜4}，且f（6）=28．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数在区间上是单调递增函数，试求函数g （x）在该区间上的最大值的取值范围．19．（15分）（浙江二模）已知椭圆经过点，其离心率为，设A，B，M是椭圆C上的三点，且满足，其中O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：△OAB的面积是一个常数．20．（15分）（浙江二模）已知数列{a n}满足a n+1=ca n2+1﹣c，n∈N*，其中常数c∈（0，）．（1）若a2＞a1，求a1的取值范围；（2）若a1∈（0，1），求证：对任意n∈N*，都有a n∈（0，1）；（3）若a1∈（0，1），设数列{a n2}的前n项和为S n，S n＞n﹣．浙江省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A⊗B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U={x|1＜x＜10}，集合A={x|2＜x＜6}，B={x|5＜x＜7}，则（∁U A）⊗B=（）A．[6，7）B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）C．（1，6）D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）【分析】可进行补集、交集的运算求出∁U A={x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，（∁U A）∩B={x|6≤x＜7}，从而便可根据A⊗B的定义进行⊗的运算即可．【解答】解：∵∁U A={x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，B={x|5＜x＜7}，∴（∁U A）∩B={x|6≤x＜7}；∴（∁U A）⊗B={x|x∈∁U A或x∈B且x∉（∁U A）∩B}={x|1＜x≤2，或5＜x＜6，或7≤x ＜10}=（1，2]∪（5，6）∪[7，10）．故选：B．【点评】考查描述法表示集合，区间表示集合，以及补集、交集的运算，理解集合A⊗B的定义．2．下列说法正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．“∃x0∈R，使得”的否定是“”C．若A∧B是假命题，则A∨B是假命题D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．B．根据含有量词的命题的否定进行判断．C．根据复合命题真假关系进行判断．D．根据否命题的定义进行判断．【解答】解：A．由a2＞9得a＞3或a＜﹣3，则“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件，故A 错误，B．“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，sinx+＜2”，故B 错误，C．若A∧B是假命题，则A，B至少有一个为假命题，当A假，B真时，满足A∧B是假命题，但A∨B是真命题，故C错误，D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”，正确，故D 正确故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．3．已知数列{a n}满足a1=1，若n为奇数时，a n+1=2a n+1；若n为偶数时，a n+1=a n+n．则该数列的前7项和为（）A．103 B．102 C．100 D．98【分析】由递推公式化简可得a1=1，a2=2a1+1=3，a3=a2+2=5，…，从而求和．【解答】解：由题意，a1=1，a2=2a1+1=3，a3=a2+2=5，a4=2a3+1=11，a5=a4+4=15，a6=2a5+1=31，a7=a6+6=37；故和为1+3+5+11+15+31+37=103，故选：A．【点评】本题考查了数列的递推公式的应用及前n项和的求法．4．设三条不同的直线分别为m，n，l，两个不同的平面分别为α，β．则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥βD．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：A．若m∥n，n⊂α，则m∥α或n⊂α，故A错误，B．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥β不成立，故B错误，C．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥β或n∥β或n⊂β，故C错误，D．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l成立，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为．若，则函数f（x）在上的值域为（）A．[﹣1，2]B．C．D．【分析】求出f（x）的表达式，从而求出f（x）在闭区间上的值域问题．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，∴函数的周期是π，ω=2，由f（﹣）=0，，得：，解得A=，φ=，∴f（x）=sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[0，π]，显然x=时，f（x）最大，x=π时，f（x）最小，则函数f（x）在上的值域为[﹣，]，故选：B．【点评】本题考查了求三角函数的表达式问题，考查三角函数的值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．6．已知平面向量，满足，，．则对于任意的实数m，的最小值为（）A．2 B．1 C．D．【分析】根据进行数量积的运算可得到，而配方即可求得，从而便可得出的最小值．【解答】解：根据条件：=4m2+2m（2﹣4m）+（2﹣4m）2=12m2﹣12m+4=；∴；∴的最小值为1．故选B．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，掌握本题要求的最小值，而求的范围的方法，不等式的性质，以及配方求二次函数最值的方法．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若左焦点F1关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）A． B．3 C． D．5【分析】设左焦点F1（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F1（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且n=，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8．在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2．若点M在△ABC所在平面上运动，且使得△AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】确定M到AC1的距离为，利用AC1与平面ABC所成角为45°，可得动点M 的轨迹．【解答】解：由题意，AC1=2，∵△AC1M的面积为1，∴M到AC1的距离为，∴M在以AC1为旋转轴，半径为的圆柱上，∵AC1与平面ABC所成角为45°∴动点M的轨迹为椭圆．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程，考查圆柱与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（6分）（浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=2；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为（﹣1，0）．【分析】根据分段函数的表达式利用代入法即可求f（3），解不等式即可得到结论．【解答】解：由分段函数的表达式得f（3）=f（1）=22﹣1=2，当x＜0时，由f（x）＜2得＜2，即2x2﹣1＜1，即2x2＜2，x2＜1，得﹣1＜x＜1，此时﹣1＜x＜0，即不等式的解集是（﹣1，0），故答案为：2，（﹣1，0）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用代入法和直接法是解决本题的关键．比较基础．10．（6分）（浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=； =2+．【分析】直接利用周期公式T=，求出实数ω的值，利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：因为函数的最小正周期为2π，所以=2π，解得：ω=．=tan（×+）===2+．故答案为：，2+．【点评】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，是常考题型，属于基础题．11．（6分）（浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为27；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a 的值为1．【分析】由题意作出其平面区域，求出三个点的坐标，从而求三角形的面积，再结合函数图象求目标函数Z=2x﹣y的最小值．【解答】解：由题意作出实数x，y满足不等式组，实数平面区域，x=1，y=4﹣x，x=2y﹣4两两联立解得，A（1，3），B（1，﹣），C（4，0）；故S△ABC=×3×（3+）=27；目标函数z=4x+3y的最大值为15，可知，解得，即：C（3，1），C满足ax﹣y﹣2=0，3a﹣1﹣2=0，解得a=1．故答案为：27；1．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了直线交点的求法及三角形的面积公式应用，属于中档题．12．（6分）（浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4；表面积为．【分析】由三视图知用平面DEGF截棱长为2的正方体所得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是：用平面DEGF截棱长为2的正方体所得到的几何体，如图：E、F分别是中点，其中四边形DEGF是棱形，边长为，对角线EF=、DG=，∴几何体的体积：V=V正方体﹣V D﹣ABGE﹣V D﹣BCGF=2×2×2﹣﹣=4，几何体的表面积：S=+2×2++=故答案为：4；．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图结合正方体正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．13．（4分）（浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．【分析】求出B点的坐标，得到BC的中点E的坐标，从而求出直线AE的斜率，得到其垂线的斜率，求出线段AE的中点坐标，进而求出折线的方程即可．【解答】解：由题意得：A（2，1），B（2，﹣3），C（6，﹣3），D（6，1），则BC的中点E（4，﹣3），∴K AE=﹣2，AE的垂线的斜率是：，AE的中点是（3，﹣1），故折线的方程是：x﹣2y﹣5=0．故答案为：x﹣2y﹣5=0．【点评】本题考查了垂直直线的斜率问题，考查求直线方程问题，是一道基础题．14．（4分）（浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．【分析】由题意化简可得原式=++，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数3x+4y+5z=6，∴+=+=+=++≥2+=当且仅当=时，取等号故答案为：【点评】本题考查基本不等式，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．15．（4分）（浙江二模）已知函数，若函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5．【分析】先求出f（x）的零点，然后求出f（x）﹣a的值，作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及排除法进行求解即可．【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：当x≤0时，由f（x）=0得=0，得x=0，当x＞0时，由f（x）=0得﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，由y=f[f（x）﹣a]=0得f（x）﹣a=0或f（x）﹣a=1，或f（x）﹣a=5，即f（x）=a，f（x）=a+1，f（x）=a+5，a=﹣1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有3个根，f（x）=a+5有1个根，此时共有6个根a=﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根若a＞4，则f（x）=a有0个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有0个根若a=4，则f（x）=a有1个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有1根若4＞a＞3，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有2个根若a=3，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有1个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有3个根若3＞a＞1，则f（x）=a有3个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根若a=1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有4个根若1＞a＞0，则f（x）=a有3个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根；若a=0，则f（x）=0有3个根，f（x）=1有2个根，f（x）=5有0个根，此时共有5个根；﹣1＜a＜0时，f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有3个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根；若﹣4＜a≤﹣1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根；若a=﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根；若﹣5≤a＜﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有3个根，此时共有7个根；a＜﹣5，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根故﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5，函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点故答案为：﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（浙江二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，试求边b的最小值．【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，利用两角和公式整理可求得tanB的值，结合角的范围，进而求得B．（2）根据三角形面积求得ac的值，利用余弦定理，基本不等式即可解得边b的最小值．【解答】解：（1）∵．∴sinBcosC+=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴由sinC≠0，求得tanB=，∴由B∈（0，π），可得：B=．（2）S=acsinB=ac=，∴ac=4，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c时等号成立），∴边b的最小值为2．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，正弦定理，余弦定理的在解三角形中的应用．解题的关键是利用正弦定理对边和角的问题进行转换，属于中档题．17．（15分）（浙江二模）如图所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE，，BE=CD=2，AB⊥BC，M，N分别为DE，AD中点．（1）证明：平面MNC⊥平面BCDE；（2）若EC⊥CD，点P为棱AD的三等分点（近A），平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，求棱AB的长度．【分析】（1）连结BM，ON，推导出ON∥AB，AB⊥平面BCDE，从而ON⊥平面BCDE，由此能证明平面MNC⊥平面BCDE．（2）以C为原点，CE为x轴，CD为y轴，过C作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱AB的长度．【解答】证明：（1）连结BM，ON，由题意四边形BMDC是菱形，∴O是BD中点，∵N是AD中点，∴ON∥AB，∵AB⊥BC，平面ABC⊥平面BCDE，∴AB⊥平面BCDE，∴ON⊥平面BCDE，∵ON⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCDE．解：（2）以C为原点，CE为x轴，CD为y轴，过C作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设A（，﹣1，t），（t＞0）由题意D（0，2，0），P（，0，），E（2，0，0），D（0，2，0），M（），B（，0），C（0，0，0），=（，0，），=（），=（），=（），设平面PMC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，﹣3，﹣），设平面ABC的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（，0），∵平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜＞|===，解得t=3．∴棱AB的长度为3．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查棱长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（15分）（浙江二模）已知二次函数f（x），若f（x）＜0时的解集为{x|﹣1＜x＜4}，且f（6）=28．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数在区间上是单调递增函数，试求函数g （x）在该区间上的最大值的取值范围．【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，结合f（6）=28，求出f（x）的解析式；（2）由f（x）的解析式，求出f（x﹣m），根据g（x）的解析式求出g（x）在[8，16]上单调递增的条件，求出m的取值范围，再求出函数g（x）在[8，16]上的最大值g（16）的解析式，从而求出它的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是二次函数，且不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，4），∴﹣1，4是方程f（x）=0的两个根，且抛物线开口向上，设f（x）=a（x+1）（x﹣4），a＞0．f（6）=a（6+1）（6﹣4）=28，解得a=2，∴f（x）=2（x+1）（x﹣4）；（2）由f（x）=2（x+1）（x﹣4），得f（x﹣m）=2（x﹣m+1）（x﹣m﹣4），g（x）===2[x+﹣（2m+3）]；当m＞1时，m2+3m﹣4＞0恒成立，∴当x≥时，g（x）是单调增函数，x≤﹣时，g（x）是单调减函数；又g（x）在[8，16]上是单调增函数，∴≥8；化简得m2+3m﹣196≥0，解得m≥或m≤（不合题意，舍去）；又函数g（x）在区间上是单调递增函数，∴函数g（x）在该区间上的最大值为g（16）==（17﹣m）（12﹣m）=（m﹣17）（m﹣12）；由m≥知，12＜＜13，且（m﹣17）（m﹣12）的对称轴为m=14.5，所以（m﹣17）（m﹣12）有最小值﹣，它的取值范围是[﹣，+∞）．故所求的取值范围是[﹣，+∞）．【点评】本题考查了二次函数与对应不等式的应用问题，也求函数的取值范围的应用问题，是难题．19．（15分）（浙江二模）已知椭圆经过点，其离心率为，设A，B，M是椭圆C上的三点，且满足，其中O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：△OAB的面积是一个常数．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解得a=2，b=1，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n），可得x12+4y12=4，x22+4y22=4，m2+4n2=4，由向量的坐标表示，求得m，n，再平方相加，可得x1x2+4y1y2=0，再由椭圆的参数方程，结合两角差的正弦和余弦公式，化简整理，即可得到常数1．【解答】解：（1）由题意可得e==，将点代入椭圆方程，可得+=1，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n），可得x12+4y12=4，x22+4y22=4，m2+4n2=4，由，可得（m，n）=cosα（x1，y1）+sinα（x2，y2），即有m=cosαx1+sinαx2，n=cosαy1+sinαy2，可得m2+4n2=cos2α（x12+4y12）+sin2α（x22+4y22）+2cosαsinα（x1x2+4y1y2）=4cos2α+4sin2α+sin2α（x1x2+4y1y2），即有sin2α（x1x2+4y1y2）=0，由α∈（0，），可得x1x2+4y1y2=0，又S△ABO=|OA||OB|sin∠AOB===|x1y2﹣x2y1|，由x1=2cosβ，y1=sinβ，x2=2cosγ，y2=sinγ，x1x2+4y1y2=0，即为4（cosβcosγ+sinβsinγ）=0，即cos（β﹣γ）=0，又S△ABO=|x1y2﹣x2y1|=|2cosβsinγ﹣2cosγsinβ|=|sin（β﹣γ）|=1．则△OAB的面积是一个常数1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积为常数，注意点在椭圆上满足椭圆方程，以及平方相加，同时结合椭圆的参数方程和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．20．（15分）（浙江二模）已知数列{a n}满足a n+1=ca n2+1﹣c，n∈N*，其中常数c∈（0，）．（1）若a2＞a1，求a1的取值范围；（2）若a1∈（0，1），求证：对任意n∈N*，都有a n∈（0，1）；（3）若a1∈（0，1），设数列{a n2}的前n项和为S n，S n＞n﹣．【分析】（1）令n=2，由a2＞a1，结合条件c∈（0，），由二次不等式的解法即可得到；（2）运用数学归纳法，结合不等式的性质，即可得证；（3）先证n=1成立；再证当n≥2时，由a n+1=ca n2+1﹣c，可得a n＞1﹣（2c）n﹣1＞0，运用不等式的性质和等比数列的求和公式，即可得证．【解答】解：（1）由a n+1=ca n2+1﹣c，可得a2=ca12+1﹣c，由a2＞a1，可得（a1﹣1）（a1+1﹣）＞0，由c∈（0，），可得＞2，则a1＞﹣1或a1＜1；（2）证明：对n∈N*用数学归纳法证明a n∈（0，1），当n=1时，a1∈（0，1）．假设a k∈（0，1）（k≥1）则a k+1=ca k2+1﹣c＜c+1﹣c=1，且a k+1=ca k2+1﹣c＞1﹣c＞0，∴a k+1∈（0，1），由数学归纳法知a n∈（0，1）对所有n∈N*成立；（3）证明：由于0＜c＜，当n=1时，a12＞1﹣=，结论成立；当n≥2时，a n+1=ca n2+1﹣c，即有1﹣a n+1=c（1﹣a n）（1+a n）＜2c（1﹣a n），）＜…＜（2c）n﹣1，即1﹣a n＜2c（1﹣a n﹣1a n＞1﹣（2c）n﹣1＞0∴a n2＞（1﹣（2c）n﹣1）2=1﹣2（2c）n﹣1+（2c）2（n﹣1）＞1﹣2（2c）n﹣1∴a12+a22+…+a n2=a22+…+a n2＞n﹣1﹣2[2c+（2c）2+…+（2c）n﹣1]=n﹣1﹣2=n﹣1﹣2=n+1﹣2＞n+1﹣＞n﹣．故S n＞n﹣成立．【点评】本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用证明方法．。
浙江省杭州市高考数学二模试卷解析版
高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x＞1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（ ）A. （1，2）B. （1，2]C. （0，2]D. （1，+∞）2.已知复数z=1+i（i是虚数单位），则=（ ）A. iB. -iC. 1+iD. 1-i3.二项式的展开式的常数项为（ ）A. 20B. -20C. 160D. -1604.设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于（ ）A. 3B. 5C. 6D. 126.函数y=（x-1）2（x-2）e x（其中e为自然对数的底数）的图象可能是（ ）A. B.C. D.7.已知a≠c，随机变量ξ，η的分布列如表所示．ξ123P a b cη123P c b a命题p：Eξ=Eη，命题q：Dξ=Dη，则（ ）A. p真q真B. p真q假C. p假q真D. p假q假8.设函数，则函数y=f（f（x））（ ）A. 是偶函数也是周期函数B. 是偶函数但不是周期函数C. 不是偶函数是周期函数D. 既不是偶函数也不是周期函数9.已知数列{a n}满足2a n≤a n-1+a n+1（n∈N*，n≥2），则（ ）A. a5≤4a2-3a1B. a2+a7≤a3+a6C. 3（a7-a6）≥a6-a3D. a2+a3≥a6+a710.已知椭圆，直线x+y=1与椭圆Γ交于M，N两点，以线段MN为直径的圆经过原点，若椭圆Γ的离心率不大于，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.双曲线的焦距为______；渐近线方程为______．12.设函数，若，则实数a=______，f（f（2））=______．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则sin C=______；当a=2，2sin A=sin C时，则b=______．14.设实数x，y满足不等式组则x+2y的最小值是______；设d=x2+y2，则d的最小值等于______．15.已知集合A={1，3，5}，B={0，2，4}，分别从A，B中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是______（用数字作答）．16.已知向量，平面向量满足，则的最小值等于______．17.如图，已知矩形ABCD，，AD=1，AF⊥平面ABC，且AF=3．E为线段DC上一点，沿直线AE将△DAE翻折成△D'AE，M为BD'的中点，则三棱锥M-BCF体积的最小值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当时，求函数f（x）的值域．19.如图，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=1，点P在线段DF上．（1）证明：AF⊥平面ABCD．（2）若二面角DF-AP-C的余弦值为，求PF的长度．20.设等差数列{a n}前n项和为A n，等比数列{b n}前n项和为B n．若B n+3=8B n+7，a1=b2，a4=b4．（1）求b n和A n；（2）求数列{b n-A n}的最小项．21.如图，已知P（1，1）为抛物线y=x2上一点，斜率分别为k，-k（k＞2）的直线PA，PB分别交抛物线于点A，B（不与点P重合）．（1）证明：直线AB的斜率为定值；（2）若△ABP的内切圆半径为，（i）求△ABP的周长（用k表示）；（ii）求直线AB的方程．22.已知函数f（x）=（x-1）e x．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若方程f（x）=ax+b（a，b∈R）有非负实数解，求a2+4b的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={x|-2≤x≤2}；∴A∩B=（1，2]．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：∵z=1+i，∴===i．故选：A．把z=1+i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】D【解析】解：二项式（2x-）6的展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•26-r•x6-2r，令6-2r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项是-8•=-160，故选：D．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立；②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为-a•a＞-b•b，即a2＜b2，此时成立；③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞-b•b，即a2＞-b2，此时成立，即充分性成立；若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a-b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a-b＞0，即a＞b；②当a＞0，b＜0时，a＞b；③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a-b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a-b ＞0，即a＞b，即必要性成立.综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．由已知中的三视图，可知该几何体是组合体，由一个三棱柱和两个相同的四棱锥构成，分别求出体积累加得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=×3×1×2=3，四棱锥的体积V2=×1×3×1=1，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴此刍甍的体积V=V1+2V2=5（立方丈），故选B．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合特殊值的符号的对应性是解决本题的关键．利用特殊值以及函数零点，函数值的符号的对应性进行判断即可．【解答】解：由y=0得x=2或x=1，当x=3时，y=4e3>0，排除C，D，且当1＜x＜2时，y＜0，排除B，故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了离散型随机变量的分布列，期望与方差，抓住a+b+c=1，是解决问题的关键，属于难题．根据题意分别计算出ξ，η的期望与方差，比较即可得到结果．【解答】解：依题意Eξ=a+2b+3c，Eη=c+2b+3a，Eξ-Eη=2c-2a，a≠c，故Eξ-Eη≠0，即p为假命题．E（ξ2）=a+4b+9c，所以D（ξ）=E（ξ2）-E2（ξ）=a+4b+9c-（a+2b+3c）2．同理：D（η）=c+4b+9a-（c+2b+3a）2，∴D（ξ）-D（η）=8（c-a）+（2a-2c）（4a+4b+4c）因为a+b+c=1，所以D（ξ）-D（η）=8（c-a）-8（c-a）=0，即D（ξ）=D（η），故q真．综上p假q真，故选C．8.【答案】A【解析】解：根据题意，f（x）==，则有f（-x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，则f（f（-x））=f（f（x）），即函数y=f （f（x））为偶函数；又由f（x）==，当x＜-1时，f（x）=2-2x+1，有-＜f（x）＜，当-1≤x≤1时，f（x）=-，当x＞1时，f（x）=2-（）x-1，有-＜f（x）＜，综合可得：-＜f（x）＜，则f（f（x））=-，其函数值为常数，y=f（f（x））为周期函数；故y=f（f（x））为偶函数且是周期函数；故选：A．根据题意，将f（x）的解析式写成分段函数的形式，分析可得f（x）为偶函数，进而分析f（x）的值域，由此可得f（f（x））=-，其函数值为常数，即可得y=f（f（x））为周期函数；综合即可得答案．本题考查分段函数的应用，涉及函数奇偶性与单调性的综合应用，属于综合题．9.【答案】C【解析】解：∵2a n≤a n-1+a n+1（n∈N*，n≥2），∴a n-a n-1≤a n+1-a n，∴a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6，∴a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6），即3（a7-a6）≥a6-a3，故选：C．由已知可得a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6，则a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6），答案可求．本题考查数列递推式，考查不等式的性质，是中档题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题.由题意可得a＞1，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，直径所对的圆周角为直角，化为x1x2+y1y2=0，化简整理，结合离心率公式和不等式的解法，可得a的范围．【解答】解：椭圆，直线x+y=1与椭圆Γ交于M，N两点，可得a＞1，由x+y=1联立椭圆方程可得（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，线段MN为直径的圆经过原点，可得OM⊥ON，即有x1x2+y1y2=0，可得x1x2+（1-x1）（1-x2）=0，化为2x1x2+1-（x1+x2）=0，则2•+1-=0，化为a2+b2=2a2b2，由e≤，可得1-≤，即b2≥a2，可得≥a2，即有2a2-1≤4，解得a≤，可得1＜a≤，故选：D．11.【答案】；y=【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题.由双曲线方程求得a，b，c的值，则其焦距与渐近线方程可求．【解答】解：由题知，a2=4，b2=1，故c2=a2+b2=5，∴双曲线的焦距为：，渐近线方程为：．故答案为；．12.【答案】；【解析】解：函数，若，可得，解得a=；f（2）==-．f（f（2））=f（-）===．故答案为：；．利用分段函数的解析式通过，求解a的值，利用分段函数逐步求解f（f（2））即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法函数解析式的求法，考查计算能力．13.【答案】或2【解析】解：因为cos2C=1-2sin2C=-，及0＜C＜π，所以解得：sin C=．当a=2，2sin A=sin C时，由正弦定理，解得：c==4．由cos2C=2cos2C-1=-，及0＜C＜π得cos C=±．由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，得b2±b-12=0，解得b=，或b=2．故答案为：，或2．根据角C的范围，利用二倍角公式求得sin C的值；利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cos C，用余弦定理解方程求边长b．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】5 10【解析】解：依题意作出实数x，y满足不等式组可行性区域如图，目标函数z=x+2y在点（3，1）处取到最小值：5．d=x2+y2，由图形可知，A到原点的距离最小，则d的最小值等于：10故答案为：5；10．先画出实数x，y满足不等式组的平面区域，然后分析平面区域里各个整点，然后将其代入x+2y中，求出x+2y的最小值．判断最优解A然后求解d=x2+y2，则d的最小值．在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15.【答案】32【解析】【分析】本题主要考查排列组合的应用，结合能被3整除的四位偶数的数字规律进行讨论是解决本题的关键．根据能被3整除的四位数相加是3的倍数，结合偶数进行讨论求解即可．【解答】解：若A选1，3，则B中只能选0，2，若个位是0，则有A=6；若个位是2，则有C A=4种，此时有6+4=10种；若A选1，5，则B中只能选4，2，此时偶数有C A=12种；若A选3，5，则B中只能选0，4，若个位是0，则有A=6；若个位是4，则有C A=4种，此时有6+4=10种，综上共有10+12+10=32种，故答案为32．16.【答案】20【解析】【分析】本题考查向量的数量积的性质，考查二次函数的最值求法，属于基础题．由向量的数量积的性质，可得•=||-10，再由二次函数的最值求法，可得最小值．【解答】解：向量，平面向量满足，可得22+•=10+•=||，可得•=||-10，则=2-4•=||2-4||+40=（||-2）2+20，当||=2，可得的最小值为20．故答案为20.17.【答案】【解析】解：选固定点E，可知D′在圆上运动，现E在线段DC上运动，且AD′=1，∴D′的运动轨迹为以A为球心，半径为AD′=1的球面的一部分，∵S△BCF===，∴求三棱锥M-BCF体积的最小值只需求M到面BCF的距离d1的最小值，即求D′到面BCF的距离d的最小值，过A作BF的垂线，垂足为H，当D′为AH与球面的交点G时，D′到面BCF的距离最小，此时点E在DC上，d=AF-1=，d1==，∴三棱锥M-BCF体积的最小值为：V min=S△BCF×d1=．故答案为：．选固定点E，可知D′在圆上运动，现E在线段DC上运动，且AD′=1，从而D′的运动轨迹为以A为球心，半径为AD′=1的球面的一部分，求出S△BCF==，从而求三棱锥M-BCF体积的最小值只需求M到面BCF的距离d1的最小值，即求D′到面BCF的距离d的最小值，过A作BF的垂线，垂足为H，当D′为AH与球面的交点G时，D′到面BCF的距离最小，由此能求出三棱锥M-BCF体积的最小值．本题考查三棱锥的体积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】（本题满分为14分）解：（1）∵=2sin（2x-）+1，…5分∴2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-，kπ+]，k∈Z，…9分（2）因为，∴2x-∈[-，]，∴sin（2x-）∈[-1，]，∴函数f（x）的值域为：[-1，2]．…14分【解析】（1）利用两角差的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-）+1，利用正弦函数的单调性即可得解．（2）由，可求2x-∈[-，]，利用正弦函数的图象和性质可求函数f（x）的值域．本题主要考查了两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．19.【答案】（I）证明：∵∠BAF=90°，∴AB⊥AF．又平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AF⊂平面ABEF，∴AF⊥平面ABCD．（II）解：以A为原点，以AB，AD，AF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示，则B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），∵AB⊥平面ADF，∴=（1，0，0）为平面ADF的一个法向量，设=λ，则P（0，2λ，1-λ），∴=（0，2λ，1-λ），=（1，2，0）．设平面APC的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（-2，1，），∴|cos＜＞|=||=||=，解得λ=，∴PF=．【解析】（I）根据面面垂直的性质即可得出AF⊥平面ABCD；（II）建立空间坐标系，设=λ，求出平面PAD和平面APC的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于求出λ．本题考查了面面垂直的性质，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，等比数列的公比设为q，B n+3=8B n+7，可得b1+b2+b3+（b4+…+b n+3）=b1+b2+b3+q3B n=8B n+7，则q3=8，b1+b2+b3=7，解得q=2，b1=1，则b n=2n-1；a1=b2=2，a4=b4=8，可得d==2，A n=2n+•2•n（n-1）=n2+n；（2）设c n=b n-A n=2n-1-n2-n，c n+1-c n=2n-（n+1）2-n-1-（2n-1-n2-n）=2n-1-2（n+1），当n≤4时，c n+1＜c n；当n≥5时，c n+1＞c n，可得数列{b n-A n}的最小项为c5=-14．【解析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，等比数列的公比设为q，运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公比，可得所求；由等差数列的通项公式和求和公式，可得所求；（2）设c n=b n-A n=2n-1-n2-n，判断单调性，可得最小值为c5．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的单调性的判断和运用，以及方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】证明：（1）设直线PA的方程为y=k（x-1）+1，与抛物线联立可得x2-kx+k-1=0，易知A（k-1，（k-1）2），B（-k-1，（k+1）2），∴直线AB的斜率k AB==-2为定值．（2）由（1）可得直线AB的方程为y=-2（x-k+1）+（k-1）2，∴点P到直线AB的距离d=，|AP|=•（k-2），|BP|=（k+2），|AB|=2k，（i）△ABP的周长l=2k+2k，（ii）设△ABP的内切圆半径为r，则r=-，即r===-，即-=-，解得k=5，∴直线AB的方程为y=-2x+24．【解析】（1）设直线PA的方程为y=k（x-1）+1，求出点A，B的坐标，即可证明，（2）（i）由（1）可得直线AB的方程为y=-2（x-k+1）+（k-1）2，根据点到直线的距离，弦长公式，即可求出三角形的周长，（ii）设△ABP的内切圆半径为r，可得-=-，解得即可．本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由f（x）=（x-1）e x，的f′（x）=xe x，由f′（x）=xe x＞0，得x＞0，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（2）设g（x）=（x-1）e x-ax-b，则g′（x）=xe x-a．当a≤0时，g′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，可得g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（0）=-1-b≤0，得b≥-1，故a2+4b≥-4；当a＞0时，存在x0＞0，使g′（x0）=0，即，且g（x）在[0，x0]上单调递减，在[x0，+∞）上单调递增．∴≤0，解得．因此，．设h（x）=x2e2x-4（x2-x+1）e x，则h′（x）=2（x2+x）e x（e x-2）．∴h（x）在[0，ln2]上单调递减，在[ln2，+∞）上单调递增．∴h（ln2）＜h（0）=-4，h（x）≥h（ln2）=-4ln22+8ln2-8．∴当a=2ln2，b=-2ln22+2ln2-2时，a2+4b取到最小值-4（ln2-1）2，此时方程f（x）=ax+b有非负实数解ln2．综上所述，a2+4b的最小值为-4．【解析】（1）求出原函数的导函数，由导函数大于0可得原函数的单调增区间；（2）设g（x）=（x-1）e x-ax-b，则g′（x）=xe x-a．当a≤0时，由导数得到g（x）在[0，+∞）上单调递增，结合g（0）=-1-b≤0，得b≥-1，故a2+4b≥-4；当a＞0时，存在x0＞0，使g′（x0）=0，即，且g（x）在[0，x0]上单调递减，在[x0，+∞）上单调递增．由g（x0）≤0得到，可得．设h（x）=x2e2x-4（x2-x+1）e x，利用导数求其最小值得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。
2019届浙江省高三新高考仿真演练卷(二)数学试题解析
绝密★启用前2019届浙江省高三新高考仿真演练卷（二）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2},{|}A B x y x A =--==∈，则A B =ð（）A ．{1,0,1}-B ．{2,2}-C ．{2,1,0,1}--D ．{2}答案：A列出不等式220x -≥，结合x A ∈，可得集合B ，根据补集的定义即可得结果. 解：由220x -≥，得x ≤x ≥又x A ∈，所以{2,2},{1,0,1}A B B =-=-ð， 故选：A ． 点评：本题主要考查集合的运算、函数的定义域及二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知复数13iz i-=则(1)i z -=（） A ．42i -+ B ．42i --C ．42i +D ．42i -答案：A根据复数的乘除法求解即可. 解：1324(24)(1)(1)1i i i i i z i i i ------=-⋅===-42421ii -=-+-. 故选：A ． 点评：本题考查复数的运算,属于基础题.3．已知双曲线222:13x y C a -=的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程是（）A ．3y x =± B ．13y x =±C ．y =D ．3y x =±答案：C由题意双曲线的离心率2，求得1a =，得出双曲线的标准方程，进而可求得渐近线的方程，得到答案. 解：由题意,双曲线222:13x y C a -=的离心率2，即232ca e a a+===，解得1a =， 即双曲线的方程为2213y x -=，可得1,3a b ==，所以双曲线的渐近线方程为3by x x a=±=±. 故选：C 点评：本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 4．如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A 1687π+ B ．16873π+ C ．8716π+D ．1687π+答案：C由三视图可知，得到该几何体是由圆柱与正四棱锥组合体，且圆柱的底面圆的直径为4，高为4；正四棱锥的底面正方形的边长为227. 解：由三视图可知，该几何体是由圆柱与正四棱锥组合而成的一个组合体，且圆柱的底面圆的直径为4，高为4；正四棱锥的底面正方形的边长为27， 故该几何体的体积2218724(22)71633V ππ=⨯⨯+⨯=+. 故选:C ． 点评：本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 5．下列命题错误的是A ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 平行B ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 异面C ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 垂直D ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 相交 答案：D分析：利用空间中线线、线面间的位置关系求解．详解：A.若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 平行，正确； B.若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 异面，正确；C.若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 垂直，正确，可能异面垂直；D.若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 相交，错误，l 平行于平面α，l 与平面α 没有公共点. 故选D.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题． 6．已知函数(),()f x g x 的图象如图所示，则函数()1()f x yg x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：A根据函数图象，分别从定义域，特殊值角度分析，可快速鉴别出正确答案. 解：由函数()g x 的图象可知0x ≠，值域{|0}y y ≠， 所以函数()1()f x yg x =+的定义域为{|0}x x ≠，观察图象可排除B ，C ； 因为(2)(2)0f g >>，所以(2)12(2)f g +>，排除D. 故选：A 点评：本题主要考查了函数的图象与性质，有些函数图象题，从完整的性质并不好去判断，作为选择题，可以利用特殊值法（特殊点）特性法（奇偶性、单调性、最值）结合排除法求解，既可以节约考试时间，又事半功倍，属于中档题.7．已知某口袋中有2个白球和2个黑球，若从中随机取出1个球，再放回1个不同颜色的球，此时袋中的白球个数为X ；若从中随机取出2个球，再放回2个不同颜色的球（若取出的是1个黑球1个白球，则放回1个白球1个黑球），此时袋中的白球个数为Y ，则（）A ．()(),()()E X E Y D X D Y ==B ．()(),()()E X E Y D X D Y =≠C ．()(),()()E X E YD X D Y ≠= D ．()(),()()E X E Y D X D Y ≠≠答案：B由题意随机变量X 的可能取值为1,3，随机变量Y 的可能取值为0,2,4，由古典概型求出其概率，计算期望、方差即可求解. 解：由题意得X 的可能取值为1，3，且11(1),(3)22P X P X ====， 则11()13222E X =⨯+⨯=，2211()(12)(32)122D X =-⨯+-⨯=， Y 的可能取值为0，2，4，且1(0)6P Y ==，21(2),(4)36P Y P Y ====，则12()0263E Y =⨯+⨯+1426⨯=，2221214()(02)(22)(42)6363D Y =-⨯+-⨯+-⨯=，所以()(),()()E X E Y D X D Y =≠， 故选：B 点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.8．如图，已知四边形ABCD 是底角为60o 的等腰梯形，且2AB CD =，沿直线AC 将ADC V 翻折成AD C 'V ，所成二面角D AC B '--的平面角为θ，则（）A ．D AB θ'∠≥ B ．D AB θ'∠≤C ．D CB θ'∠≥ D ．D CB θ'∠≤答案：B 作出图形，设2CD a =，作出二面角D AC B '--的平面角，由余弦定理求出D AB '∠、θ、D CB '∠的余弦值，结合余弦函数的单调性可得出D AB '∠、θ、D CB '∠的大小关系. 解：设AB 的中点为点F ，连接DF 交AC 于点E ，在底面ABCD 内，过点D 、N 分别作DM AB ⊥、CN AB ⊥，垂足分别为点M 、N ，设2CD a =，由四边形ABCD 为底角为60o 的等腰梯形，且2AB CD =，可得2AB CDAM BN a -===，2AD BC a ∴==，//AB CD Q ，F 为AB 的中点，则//AF CD 且AF CD =，∴四边形AFCD 为菱形，所以，DF 为线段AC 的垂直平分线，则AC DF ⊥，AC D E '⊥，DF D E E '=I ，AC ∴⊥平面DD F '， 在翻折的过程中，点D ¢在底面ABCD 内的投影在线段DF 上， 所以，D EF '∠为二面角D AC B '--的平面角，即D EF θ'=∠， 当点D ¢在底面ABCD 内的投影在线段DE 上时，90D EF '∠≥o ， 而60D AB DAB '∠≤∠=o ，所以此时D AB θ'>∠；当点D ¢在底面ABCD 内的投影在线段EF 上时，则D E DE EF a '===，2D A DA AF a '===，D F ⎡⎤'∈⎣⎦，则在D EF 'V 中，由余弦定理得22222cos 12||2D E EF D F D FD EF DE EF a '''+-'∠==-'⋅， 在D AF 'V 中，由余弦定理得22222cos 128D A AF D F D FD AF D A AF a'''+-'∠==-'⋅， 则cos cos D EF D AF ''∠≤∠，当且仅当0D F '=时，等号成立， 所以此时D EF D AF D AB θ'''=∠≥∠=∠． 综上所述，D AB θ'≥∠. 故选：B ． 点评：本题考查二面角、余弦定理，正确作出二面角的平面角是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．正ABC ∆边长为2，点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足BP =AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+的最小值是（）A ．12B C ．2D 答案：A以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 垂直于BC 为y 轴，将向量都坐标化，由AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v 可得：1333xy λμλμ-=-+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，故31y λμ+=-+，进而得到最值. 解：如图：以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 垂直于BC 为y 轴则(3A ，，()00B ，，()20C ， 设()P x y ，，32BP =Q 则P 点轨迹为2234x y +=由AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v 可得：1333x y λμλμ-=-+⎧⎪⎨=⎪⎩故31y λμ+=+ 当3y =时，()12min λμ+=故选A 点评：这个题目考查了向量坐标化以及建系方法在向量中的应用，(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10．定义：若向量列123,,,,n a a a a r r r rL ，满足条件：从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量（即坐标都是常数的向量），即1n n a a d -=+r r u r（2n …，且*n N ∈，d u r为常向量），则称这个向量列{}n a r 为等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差，且向量列{}n a r 的前n 项和为n S ．已知等差向量列{}n a r满足124(1,1),(6,10)a a a =+=r r r，则向量列{}n a r 的前n 项和n S =（）A ．22,2n n n ⎛⎫+⎪⎝⎭ B ．22,(1)2n n n ⎛⎫+-⎪⎝⎭C ．22,(1)2n n n ⎛⎫++⎪⎝⎭D ．22(1)(1),(1)2n n n ⎛⎫++++⎪⎝⎭答案：A根据题意分析等差数列的性质对于等差向量列也适合，再由等差数列的通项公式和前n 项和公式，可类比出等差向量列的通项公式和前n 项和公式，求解即可． 解：由题易知等差数列的性质对于等差向量列也适合，类比等差数列的性质得3242(6,10)a a a =+=r r r ，解得3(3,5)a =r，所以等差向量列{}n a r 的公差为31(1,2)2a a d -==r r u r ．类比等差数列的通项公式，得等差向量列{}n a r 的通项公式为n a =r 1(1)(1,1)(1)(1,2)(1,1)(1,22)(11,122)(,21)a n d n n n n n n n +-=+-=+--=+-+-=-r u r．进而再类比等差数列的前n 项和公式，可以得到等差向量列{}n a r的前n 项和公式为()12nn n a a S +==r r 22,2n n n ⎛⎫+⎪⎝⎭．故选：A 点评：本题考查向量的坐标运算、等差数列的性质及前n 项和公式，考查学生类比推理的应用． 二、双空题11．已知a ，b R ∈，2()4a bi i +=（i 是虚数单位），则||a bi +=______，ab =_______. 答案：22由复数运算法则求出a 、b 的值再代入|i |a b +和ab 计算即可. 解：解：因为222()24a bi a b abi i +=-+=， 所以220a b -=且2ab =， 所以2a b ==或2a b ==-，则||2a bi +=，2ab =. 故答案为：2；2. 点评：本题主要考查复数的基本运算和复数的模长计算，属于基础题.12．若变量,x y 满足约束条件30,240,2,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪⎩…则x z y =的最小值为______，最大值为______． 答案：272根据题意，作出不等式组表示的可行域，利用00y y u x x -==-，即点(),x y 与原点()0,0连线的斜率的最值，再取倒数即可得到结论. 解：由题意，不等式组表示的可行域如图中阴影部分（含边界）所示，欲求x z y =的最小（大）值，只需求yu x=的最大（小）值，即在可行域内找一点，使得该点与原点连线所在直线的斜率取得最大（小）值．由30240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得2373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以27,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由302x y x +-=⎧⎨=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以()2,1C ．当直线x z y =经过点27,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取得最小值27；当直线xz y=经过()2,1C 时，z 取得最大值2． 点评：本题考查简单的线性规划问题，属于基础题．线性规划的目标函数主要有三种形式：①截距式：即z ax by =+，主要根据目标函数在y 轴上的截距判断最值；②斜率式：即y bz x a-=-，主要根据可行域内的点与定点(,)a b 连线所在直线的斜率判断最值；③距离式：即z =据可行域内的点与定点(,)a b 的距离判断最值． 13．在ABC ∆中，3B π=，设,,A B C 所对的三边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，且6ac =，则ABC S ∆=_____，b =______．答案：2直接根据三角形面积公式，再利用余弦定理得等式解得即可. 解：由题意得ABC S =V 11sin 6sin 223ac B π=⨯⨯=因为,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，在ABC ∆中，由余弦定理得22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac +-+--==，即22(2)26cos 326b b π-⨯-=⨯，即2318b =，解得b =．. 点评：本题考查等差数列的概念、三角形的面积公式、余弦定理，熟记三角形的面积公式是解题的关键．14．若等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，关于x 的不等式21022d d x a x c ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭的解集为[]0,10，则c =_____，使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是_____． 答案：05根据题意列方程组解得数列{}n a 为首项为正的递减数列，再由560,022d da a =->=<，可得数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数5n =. 解：因为关于x 的一元二次不等式21022d d x a x c ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭的解集为[]0,10， 所以212102000221010022dd d a c d d a c ⎧<⎪⎪⎪⎛⎫⨯+-⨯+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⨯+-⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得100902d c a d ⎧⎪<⎪=⎨⎪⎪=->⎩则数列{}n a 为首项为正的递减数列，且560,022d da a =->=<， 所以使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数5n =． 故答案为：0，5. 点评：本题考查等差数列的性质、一元二次不等式的解法，根据一元二次不等式的解集得到数列{}n a 的首项和公差的关系是解题的关键． 三、填空题15．设20292100129012101010(12)(1)(1)x b b x b x b x a a x a x a x x x +++++=+++++++L L ，则10a =______．答案：202将原等式变形，再利用左右边的系数，建立方程，即可得到结论. 解： 由题意，()()()()201021029012100129121x a a x a x a x x b b x b x b x +=++++++++++L L ，所以，等式左边20x 的系数为202，等式右边20x 的系数为1010101010a x C x ⋅⋅⋅， 所以20102a =．故答案为：202. 点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的突破点在于利用等式左、右边20x 的系数相等，建立方程．16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则当[2,6]x ∈-时，方程1()2f x =-的所有根之和为_____． 答案：4根据题意，得函数关于直线1x =对称，进而得()f x 是以4为周期的函数，再得其单调性，再分段探究方程的根的情况，即可得到结论. 解：由(1)(1)f x f x +=-，得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(2)()f x f x +=-，又因为()f x 是奇函数，则有(2)()f x f x +=-=()f x -，从而有(4)()f x f x +=，所以()f x 是以4为周期的函数，由周期性知，函数()f x 的图象关于直线21()x k k Z =+∈对称．由题意，()f x 在[0,1]上单调递增，其值域为[0,1]，此时方程1()2f x =-无解， 由对称性知()f x 在[1,2]上单调递减，其值域为[0,1]，此时方程1()2f x =-也无解，由函数()f x 的图象关于原点成中心对称知，方程1()2f x =-在[2,1]--和[1,0]-上各有一根，由对称性知两根之和为2-． 由周期性知方程1()2f x =-在[2,3]和[3,4]上各有一根，由对称性知两根之和为6．在区间[4,6]上无解．所以()f x 在[2,6]-上共有4个根，其和为4． 故答案为：4. 点评：本题考查函数性质的应用、函数的零点．函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：①函数单调性与奇偶性结合，注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性；②周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；③周期性、奇偶性与单调性结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.17．有一堆大小和形状完全相同的红球、蓝球，从中选7个球排成一列，要求相邻两个球不都为红球，共有_____种不同的排列方法．（用数字作答） 答案：34根据题意，可得红球的个数可能为0，1，2，3，4，再分类讨论，利用插空法即可. 解：由题意，得红球的个数可能为0，1，2，3，4， 当红球个数为0时，有1种排列方法； 当红球个数为1时，有71C 种排列方法； 当红球个数为2时，有26C 种排列方法； 当红球个数为3时，有35C 种排列方法； 当红球个数为4时，有1种排列方法.综上所述，不同的排列方法共有1237651134C C C ++++=． 故答案为：34. 点评：本题考查计数原理，根据题意合理分类是解题的关键． 四、解答题18．已知函数()2sin cos 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1()2c f C ==．若sin 2sin B A =，求边,a b 的值．答案：（Ⅰ）最大值为12，最小正周期为π（Ⅱ）2,4a b ==． （Ⅰ）用二倍角公式、差角的正弦公式把()f x 化为()()sin f x A x k ωϕ=++的形式，再利用三角函数的图象与性质求解；（Ⅱ）根据已知条件求角C ，再利用正弦定理、余弦定理列出关于,a b 的方程组，解方程组即可． 解：解：（Ⅰ）21cos 21()cos cos 2sin 22262x f x x x x x x π+⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭Q ()f x ∴的最大值为12，最小正周期为π （Ⅱ）由（1）知11()sin 2622f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．110,022,2666C C C πππππ<<∴<<∴-<-<Q ， 2,623C C πππ∴-=∴=．sin 2sin ,2B A b a =∴=Q ，①由余弦定理得2222cos3ca b ab π=+-，即2212a b ab +-=，②由①②解得2,4a b ==． 点评：本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理．利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，其试题为基础题，考查有以下三个命题角度：①由已知求边和角；②解三角形与三角函数性质结合；③解三角形与三角恒等变换结合． 19．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且直线PA ABCD ⊥平面，又棱2PA AB ==，E 为CD 的中点，60.ABC ∠=︒ (Ⅰ)求证：直线AE PAB ⊥平面； (Ⅱ)求直线AE 与平面PCD 的正切值.答案：（1）见解析（2）23试题分析：（1）由线面垂直的判定定理证明，EA⊥AB，EA⊥PA，得EA⊥平面PAB；（2）∠AEP为直线AE与平面PCD所成角，所以23 tan3PAAEPAE∠===．试题解析：解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2 ∴△AED是以∠AED为直角的Rt△又∵AB∥CD,∴EA⊥AB又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,∴EA⊥平面PAB,（2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点∵CD⊥EA,CD⊥PA∴CD⊥平面PAE,∴AH⊥CD，又AH⊥PE∴AH⊥平面PCD∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角在Rt△PAE中，∵PA=2，AE3∴tan3PAAEPAE∠===20．已知数列{}n a，12a=，26a=，且满足1121n nna aa+-+=+（2n≥且*n N∈）（1）求证：{}1n na a+-为等差数列；（2）令()10112nnnba+=-，设数列{}n b的前n项和为n S，求{}2n nS S-的最大值.答案：（1）见解析；（2）42296S S--.(1)将式子变形得到()()112n n n na a a a+----=，故得到数列{}1n na a+-是公差为2的等差数列；（2）通过第一问的结论，以及累加法的应用得到()1na n n=+，代入表达式得到n b，设2n n nM S S=-，()()110121222n nM Mn n+-=-++，将此式和0比即可得到最大项.解：（1）1122n n na a a+-+=+，则()()112n n n na a a a+----=.所以{}1n na a+-是公差为2的等差数列.（2）()()()()12111 2242212n n nn nn a a a a a a n n nL L，-+≥=-++-+=+++=⋅=+. 当11,2n a==满足.则()1na n n=+.()()1011101!22nnbn n n+=-=-+∴1110122nnSn⎛⎫=+++-⎪⎝⎭L，∴211111210121222nnSn n n n⎛⎫=+++++++-⎪++⎝⎭L L，设2111101222n n nnM S Sn n n⎛⎫=-=+++-⎪++⎝⎭L，∴121111111023221222n n n n M SS n n n n n ++⎛⎫=-=+++++-⎪++++⎝⎭L ， ∴()()1111111110110102122122122221222n n M M n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=+--=--=- ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭，∴当1n =时，11010342n n M M +-=->⨯， 即12M M <，当2n ≥时，10n n M M +-<，即234M M M >>>L ，∴()2max 1129101346n M M ⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭， 则{}2n n S S -的最大值为42296S S -- 点评：数列最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列{}n a 的最大值，可通过解不等式组11{n n n n a a a a +-≥≥()2,n n Z ≥∈求得n 的取值范围；求数列{}n a 的最小值，可通过解不等式组11{n n n n a a a a +-≤≤()2,n n Z ≥∈求得n 的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式n a 对应函数()y f x =的特点，借助函数()y f x =的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过1n n a a +-差值的正负确定数列{}n a 的单调性．21．已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ，,A B 是E 上两点，且||||AF BF m +=.（1）若4m =，求线段AB 中点M 到x 轴的距离；（2）若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值. 答案：（1）32M y =.（2）3m =. 试题分析：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线定义求得AB 中点M 到x 的距离；（2）设:AB l y kx n =+，联立方程组，得到122x x k +=，即2(,)M k k n +，进而求得2221k n m ++=，根据垂直，即可求解实数m 的值.试题解析：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义可知：1234232M M y y p y y ++=⇒=⇒=. （2）设:AB l y kx n =+（显然斜率存在），联立222202y kx nx kx n x y=+⎧⇒--=⎨=⎩， 所以122x x k +=，得()2,M k k n +，又1212121y y m kx kx n m ++=⇒+++=，得2221k n m ++=（）， 又212MCk n k k k+-=-⇒211k n k =-⇒=-， 代入（）式，得：3m =.22．已知函数()()()2f x x 1aln 2x 1blnx =-+-+，a,b 为常数（Ⅰ）若a 0=时，已知()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求b 的取值范围； （Ⅱ）若b 2a =-，已知[)x 1,∞∈+，()f x 0≥恒成立，求a 的取值范围. 答案：（1）12b <（2）1a ≤ ⑴将0a =代入，求出()f x 的表达式，求导，然后综合只有一个极值点即可求出结果； ⑵法一：将2b a =-代入，求导后利用单调性来求解；法二：整体思想，采用放缩法进行求 解：（Ⅰ）当0a =时，()()21ln f x x b x =-+，()()22221b x x bf x x x x='-+=-+，12x > 因为()f x 在定义域内有且只有一个极值点，所以2220x x b -+=在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内有且仅有一根，则有图知0∆>，所以12b <（Ⅱ）2b a =-，()()()21ln 212ln f x x a x a x =-+-- 法1：()()()()()()()21222121211212121a x a a af x x x x x x x x x x ⎡⎤-=-+-=-+=--⎢⎥---⎢⎣⎦'⎥ ()()222121x x a x x x ⎡⎤--=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦因()10f =，[)1,x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，则[)1,x ∈+∞内，先必须递增，即()f x '先必须0≥，即()22h x x x a =--先必须0≥，因其对称轴14x =，有图知()10h ≥（此时在[)1,x ∈+∞()0f x '≥），所以1a ≤法2：因()0f x ≥，所以()221ln 212ln 0x x a x a x -++--≥，所以()()22ln 21ln 21x a x x a x -≥---，令()ln g x x a x =-，因()1,x ∈+∞，221x x >-， 所以()g x 递增，()0g x '≥，所以10ax-≥，1a ≤ 点评：本题考查了含有参量的导数极值问题和恒成立问题，在解答此类题目时将参数代入，然后根据题意进行转化，结合导数的单调性进行证明，本题有一定难度.。
2024年浙江省宁波第二学期高考模拟考试(宁波二模)数学试卷(含答案详解)
宁波市2023~2024学年第二学期高考模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足()2i 5z +=，则z =（）A B C ．2D2．若α为锐角，4sin 5α=，则πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C D 3．已知平面,,,l αβγαβ⋂=，则“l γ⊥”是“αγ⊥且βγ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线:10l x y -+=与圆22:20C x y x m +--=相离，则实数m 的取值范围是（）A ．1m <B ．11m -<<C ．1m >D ．1m >-5．某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高()cm y 与父亲身高()cm x 之间的关系，抽样调查后得出y与x 线性相关，且经验回归方程为ˆ0.8529.5yx =+.调查所得的部分样本数据如下：父亲身高()cm x 164166170173173174180儿子身高()cm y 165168176170172176178则下列说法正确的是（）A ．儿子身高()cm y 是关于父亲身高()cm x 的函数B ．当父亲身高增加1cm 时，儿子身高增加0.85cmC ．儿子身高为172cm 时，父亲身高一定为173cmD ．父亲身高为170cm 时，儿子身高的均值为174cm6．已知数列{}n a 满足2n a n n λ=-，对任意{}1,2,3n ∈都有1n n a a +>，且对任意{}7,N n n n n ∈≥∈都有1n n a a +<，则实数λ的取值范围是（）A ．11,148⎡⎤⎢⎣⎦B ．11,147⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,157⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,158⎛⎤ ⎥⎝⎦7．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,===AB A B AA O 与上底面1111D C B A 以及棱,,,AB BC CD DA 均相切，则球O 的表面积为（）A ．9πB ．16πC ．25πD ．36π8．已知集合(){4,|20240P x y x ax =+-=且}2024xy =，若P 中的点均在直线2024y x =的同一侧，则实数a 的取值范围为（）A ．()(),20232023,-∞-+∞B ．()2023,+∞C ．()(),20242024,-∞-+∞ D ．()2024,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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1.【答案】C
答案和解析
【解析】解：A={x|2≤x≤3}，B={2，3，4}； ∴A∩B={2，3}． 故选：C． 可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的定义．
2.【答案】C
【解析】解：由双曲线
，易知 c2=3+2=5，
∴c= ，
（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用 ξ 表示获奖的人数，求 ξ 的分布列及 Eξ 的值 ．
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19. 已知 示．
为正三棱锥，底面边长为 2，设 D 为 PB 的中点，且
，如图所
Ⅰ 求证： 平面 PAB；
Ⅱ 求二面角
的平面角的余弦值．
20. 等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1+3a2=1，a32=9a2a6． （1）求数列{an}的通项公式；
高考数学全真模拟试卷（二）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）
1. 已知集合 A={x|x2-5x+6≤0}，B={x∈Z|1＜x＜5}，则 A∩B=（ ）
A. [2，3]
B. （1，5）
C. {2，3}
D. {2，3，4}
2. 双曲线
的焦距为（ ）
A.
B.
C.
（2）设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列 的前 n 项和 Tn．
21. 如图所示，曲线 C 由部分椭圆 C1： + =1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线 C2： y=-x2+1（y≤0）连接而成，C1 与 C2 的公共点为 A，B，其中 C1 所在椭圆的离心率为 ，
（1）求 a，b 的值； （2）过点 B 的直线 l 与 C1，C2 分别交于点 P，Q（P，Q，A，B 中任意两点均不 重合），若 AP⊥AQ，求直线 l 的方程．
股十五步。问勾中容圆，径几何？”意思是：在两条直角边分别为八步和十五步的 直角三角形中容纳一个圆，请计算该圆直径的最大值为________步．
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12. 设
，则 a0=______，a8=______．
13. 某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的最长的棱长为________， 体积为________.
C. （1，3）
D. （3，5）
10. 在△ABC 中，已知 • = • ，若| + |=2，| |=| |且 B∈[ ， ]，则 • 的 取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分） 11. 九章算术 是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，
相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图 案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获 奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行． （1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，
从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是 ，求抽奖者获奖的概率；
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22. 已知函数
，g（x）=x+lnx，其中 a＞0．
（1）若 x=1 是函数 h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数 a 的值； （2）若对任意的 x1，x2∈[1，e]（e 为自然对数的底数）都有 f（x1）≥g（x2）成立， 求实数 a 的取值范围．
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16. 某书店有 11 种杂志，2 元 1 本的 8 种，1 元 1 本的 3 种，小张用 10 元钱买杂志（ 每种至多买一本，10 元钱刚好用完），则不同买法的种数是______（用数字作答）
．
17. 四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC= AD=1，BC∥AD，
已知 Q 为四边形 ABCD 内部一点，且二面角 Q-PD-A 的平面角大小为 ，若动点 Q
的轨迹将四边形 ABCD 分成面积为 S1，S2（S1＜S2）的两部分，则 S1：S2=______． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分） 18. 某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有 9 张大小
根据
，求出 z 的代数形式，即可得到 z 的模．
本题主要考查复数模长的计算，考查了复数的代数形式及复数的四则运算．比较基础．
6. 设 a＞0，b＞0，则“lg（ab）＞0”是“lg（a+b）＞0”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 如图是二次函数 f（x）=x2-bx+a 的部分图象，则函数 g（x）
=ex+f′（x）的零点所在的区间是（ ）
A. （-1，0）
14. 若函数
（a＞0 且 a≠1）的值域为[4，+∞），则 f（1）=______
；实数 a 的取值范围为______．
15. 在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c．若
，
则∠B=______；若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值为______．
∴双曲线
的焦距为 2 ．
故选：C．
由双曲线
，易知 c2=3+2=5，求出 c，即可求出双曲线
的焦距．
本题考查双曲线的标准方程，双曲线标准方程中的参数 a，b，c 的关系：c2=a2+b2，双 曲线焦距的概念．
3.【答案】A
【解析】解：复数 z 满足
，所以 z= = =
=-1-i，
所以|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ|=
=，
故选：A．
B. （0，1）
C. （1，2）
D.
（2，3）
8. 若 ，4， 为等差数列的连续三项，则
A. 1023
B. 1024
C. 2047
（）
D. 2048
9. 设 0＜b＜1+a，若关于 x 的不等式（x-b）2＞（ax）2 的解集中的整数解恰有 3 个，
则 a 的取值范围是（ ）
A. （-1，0）
B. （0，1）
D.
3. 已知 i 是虚数单位，复数 z 满足
，则
A.
B. 2
C. 1
D.
4. 若 x，y 满足约束条件
，则 z=x+2y 的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
5. 将函数
向左平移 个单位后得函数 g（x），则 g（x）在
上的取值范围是（ ）
A. [-2，2]
B. [3，4]
C. [0，3]
D. [0，4]