2008年北京市中考数学试卷(含答案)

2008年北京市中考数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）1．6-的绝对值等于（）A．6B．16C．16-D．6-【解析】A2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（）A．50.21610⨯B．321.610⨯C．32.1610⨯D．42.1610⨯【解析】D3．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解析】C4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（）A．50，20B．50，30C．50，50D．135，50【解析】C5．若一个多边形的内角和等于720o，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8【解析】B6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）A．15B．25C．12D．35【解析】B7．若230x y++-=，则xy的值为（）A．8-B．6-C．5D．6【解析】B8．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）【解析】D二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．在函数121yx=-中，自变量x的取值范围是．OPMOMPA．OMPB．OMPC．OMPD．【解析】 12x ≠10．分解因式：32a ab -= ．11．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，若2cm DE =，则BC = cm ． 【解析】 412．一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．【解析】 207b a-、31(1)n n n b a --三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）计算：1182sin 45(2)3-⎛⎫-+-π- ⎪⎝⎭o．【解析】 10182sin 45(2π)3-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭o2222132=-⨯+- ·········································································· 4分 22=-． ························································································ 5分14．（本小题满分5分）解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来．【解析】 去括号，得51286x x --≤． 1分移项，得58612x x --+≤． ································································· 2分 合并，得36x -≤． ············································································ 3分 系数化为1，得2x -≥． ····································································· 4分 不等式的解集在数轴上表示如下：······································································································ 5分15．（本小题满分5分） 已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．【解析】 AB ED Q ∥，B E ∴∠=∠． ···················································································· 2分 A CEDB 1 2 3 0 1 2 3 0 CA E DB在ABC △和CED △中， AB CE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ABC CED ∴△≌△． ··········································································· 4分 AC CD ∴=． ···················································································· 5分16．（本小题满分5分）如图，已知直线3y kx =-经过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标． 【解析】 由图象可知，点(21)M -，在直线3y kx =-上，1分231k ∴--=．解得2k =-． ···················································································· 2分 ∴直线的解析式为23y x =--．····························································· 3分 令0y =，可得32x =-．∴直线与x 轴的交点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ····················································· 4分 令0x =，可得3y =-．∴直线与y 轴的交点坐标为(03)-，． ······················································ 5分17．（本小题满分5分）已知30x y -=，求222()2x yx y x xy y +--+g 的值． 【解析】 222()2x yx y x xy y +--+g22()()x yx y x y +=--g ··············································································· 2分 2x yx y+=-． ······················································································· 3分 当30x y -=时，3x y =． ···································································· 4分原式677322y y y y y y +===-． ····································································· 5分四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=o ，2AD =，42BC =，求DC 的长．【解析】 解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ，yxOM 11 A B CDDF BC ⊥于点F ．···························· 1分 ∴AE DF ∥． 又AD BC ∥，∴四边形AEFD 是矩形．2EF AD ∴==． ···························· 2分 AB AC ⊥Q ，45B ∠=o，42BC =，AB AC ∴=． 1222AE EC BC ∴===． 22DF AE ∴==，2CF EC EF =-= ············································································ 4分 在Rt DFC △中，90DFC ∠=o ，2222(22)(2)10DC DF CF ∴=+=+=．········································ 5分 解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，． ························ 1分 AB AC ⊥Q ，90AED BAC ∴∠=∠=o ．AD BC Q ∥，18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=o o ．在Rt ABC △中，90BAC ∠=o ，45B ∠=o ，42BC =，2sin 454242AC BC ∴==⨯=o g ·························································· 2分 在Rt ADE △中，90AED ∠=o ，45DAE ∠=o ，2AD =，1DE AE ∴==．3CE AC AE ∴=-=． ········································································· 4分 在Rt DEC △中，90CED ∠=o ，22221310DC DE CE ∴=+=+=． ··················································· 5分19．（本小题满分5分）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O e 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．【解析】 ⑴ 直线BD 与O e 相切． 1分证明：如图1，连结OD ．OA OD =Q ， A ADO ∴∠=∠． 90C ∠=oQ ， 90CBD CDB ∴∠+∠=o． 又CBD A ∠=∠Q ， 90ADO CDB ∴∠+∠=o．D CO A BE A B C DF E图2A BCDFE 图1DCOABE 图190ODB ∴∠=o．∴直线BD 与O e 相切． ································································· 2分 ⑵ 解法一：如图1，连结DE ．AE Q 是O e 的直径， 90ADE ∴∠=o ． :8:5AD AO =Q ，4cos 5AD A AE ∴==．3分90C ∠=o Q ，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ································································· 4分 2BC =Q ， 52BD ∴=． ························································ 5分 解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 12AH DH AD ∴==． :8:5AD AO =Q ，4cos 5AH A AO ∴==． ······ 3分 90C ∠=o Q ，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ···················· 4分 2BC =Q ， 52BD ∴=．·················································································· 5分五、解答题（本题满分6分）20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分： 40 35 30 2520 15 105 0图11 2 3 4 5 6 7 4 3 1126 379 塑料袋数／个 人数／位 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图 “限塑令”实施后，使用各种 购物袋的人数分布统计图其它5% 收费塑料购物袋_______％ 自备袋46%押金式环保袋24%图2 D COABH图2“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表处理方式 直接丢弃 直接做垃圾袋再次购物使用其它 选该项的人数占 总人数的百分比5%35%49%11%请你根据以上信息解答下列问题： （1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？ （2）补全图2，并根据统计图和统计表说明．．．．．．．．．．．，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响． 【解析】 ⑴ 补全图1见下图． 1分9137226311410546373003100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）． 这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ················ 3分 200036000⨯=．估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ······················· 4分⑵ 图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%． ·································· 5分根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． ····· 6分 六、解答题（共2道小题，共9分） 21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 【解析】 设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(40)x +千米． 1分依题意，得3061(40)602x x +=+． ·························································· 3分 解得200x =． ··················································································· 4分 答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ·················· 5分22．（本小题满分4分）已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．A GDAGD40 3530 252015 10 5 0图1 1 2 3 4 5 6 7 4 3 11 26 379人数／位 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图 10（1）若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积；（2）实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为 ；（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为 ；m 的取值范围为 ． 【解析】 ⑴ 重叠三角形A B C '''的面积为3．1分⑵ 用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为23(4)m -； ················ 2分m 的取值范围为843m <≤． ···························································· 4分七、解答题（本题满分7分）23．已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．【解析】 ⑴ 2(32)220mx m x m -+++=Q 是关于x 的一元二次方程，222[(32)]4(22)44(2)m m m m m m ∴∆=-+-+=++=+． Q 当0m >时，2(2)0m +>，即0∆>．∴方程有两个不相等的实数根． ························································ 2分⑵ 解：由求根公式，得(32)(2)2m m x m+±+=．22m x m+∴=或1x =． ····································································· 3分 0m >Q ，A CB 备用图 AC B备用图1 2 3 44 3 2 1xyO -1 -2 -3 -4 -4-3 -2 -1222(1)1m m m m++∴=>． 12x x <Q ，11x ∴=，222m x m+=． ··································································· 4分 21222221m y x x m m+∴=-=-⨯=．即2(0)y m m=>为所求． ·········· 5分⑶ 在同一平面直角坐标系中分别画出2(0)y m m =>与2(0)y m m =>的图象．············································· 6分由图象可得，当1m ≥时，2y m ≤．7分八、解答题（本题满分7分）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．【解析】 ⑴ y kx =Q 沿y 轴向上平移3个单位长度后经过y 轴上的点C ，(03)C ∴，．设直线BC 的解析式为3y kx =+． (30)B Q ，在直线BC 上，330k ∴+=． 解得1k =-．∴直线BC 的解析式为3y x =-+． ··················································· 1分 Q 抛物线2y x bx c =++过点B C ，，9303b c c ++=⎧∴⎨=⎩，． 解得43b c =-⎧⎨=⎩，．1 O yx2 3 44321 -1 -2 -2 -1 1 234 4 3 2 1xy O -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2-1∴抛物线的解析式为243y x x =-+． ················································ 2分⑵ 由243y x x =-+．可得(21)(10)D A -，，，．3OB ∴=，3OC =，1OA =，2AB =． 可得OBC △是等腰直角三角形．45OBC ∴∠=o ，32CB =．如图1，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ， 112AF AB ∴==． 过点A 作AE BC ⊥于点E ． 90AEB ∴∠=o ．可得2BE AE ==，22CE =．在AEC △与AFP △中，90AEC AFP ∠=∠=o ，ACE APF ∠=∠， AEC AFP ∴△∽△．AE CEAF PF∴=，2221PF =． 解得2PF =．Q 点P 在抛物线的对称轴上， ∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，． ····················································· 5分 ⑶ 解法一：如图2，作点(10)A ，关于y 轴的对称点A '，则(10)A '-，．连结A C A D ''，，可得10A C AC '==，OCA OCA '∠=∠．由勾股定理可得220CD =，210A D '=．又210A C '=， 222A D A C CD ''∴+=． A DC '∴△是等腰直角三角形，90CA D '∠=o ， 45DCA '∴∠=o ．45OCA OCD '∴∠+∠=o ． 45OCA OCD ∴∠+∠=o．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45o ． ··········································· 7分 解法二： 如图3，连结BD ．同解法一可得20CD =，10AC =． 在Rt DBF △中，90DFB ∠=o ，1BF DF ==，222DB DF BF ∴=+=． 在CBD △和COA △中，221DB AO ==，3223BC OC ==，20210CD CA ==． DB BC CDAO OC CA∴==． 1 Oy x2 3 44 3 2 1 -1 -2 -2-1 P EBDAC F 图11 O y x2 3 443 21 -1 -2 -1 BDA C F 图21 Oy x2 3 443 2 1 -1 -2 -2-1 BDAC F 图3CBD COA ∴△∽△． BCD OCA ∴∠=∠．45OCB ∠=o Q ，45OCA OCD ∴∠+∠=o ．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45o ． ··········································· 7分九、解答题（本题满分8分） 25．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段()()a a b a b +-的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=o ，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠=<<o o αα，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）． 【解析】 ⑴ 线段PG 与PC 的位置关系是PG PC ⊥；PGPC=3． ·················································································· 2分 ⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH CG ，． P Q 是线段DF 的中点， FP DP ∴=．由题意可知AD FG ∥．D A BE F C P G 图1 D C G PA B E F图2 DCGPHGFP HDP ∴∠=∠．GPF HPD ∠=∠Q ，GFP HDP ∴△≌△．GP HP ∴=，GF HD =．Q 四边形ABCD 是菱形，CD CB ∴=，60HDC ABC ∠=∠=o ．由60ABC BEF ∠=∠=o ，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，可得60GBC ∠=o ．HDC GBC ∴∠=∠．Q 四边形BEFG 是菱形，GF GB ∴=．HD GB ∴=．HDC GBC ∴△≌△．CH CG ∴=，DCH BCG ∠=∠．120DCH HCB BCG HCB ∴∠+∠=∠+∠=o ．即120HCG ∠=o ．CH CG =Q ，PH PG =，PG PC ∴⊥，60GCP HCP ∠=∠=o ．PG PC∴= ··············································································· 6分 ⑶PG PC=tan(90)-o α． ······································································· 8分1、题型与题量2、考查的内容及分布从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中数学的主要内容：函数、方程与不等式、三角形、四边形、圆、统计、概率都作了重点考查。