2021年浙江省温州市中考数学试卷

2021年浙江省温州市中考数学试卷一、选择题〔共10小题，每题4分，共40分〕：1．〔4分〕﹣6的相反数是〔〕A．6 B．1 C．0 D．﹣62．〔4分〕某校学生到校方式情况的统计图如下图，假设该校步行到校的学生有100人，那么乘公共汽车到校的学生有〔〕A．75人B．100人C．125人D．200人3．〔4分〕某运动会颁奖台如下图，它的主视图是〔〕A． B．C．D．4．〔4分〕以下选项中的整数，与最接近的是〔〕A．3 B．4 C．5 D．65．〔4分〕温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：零件个数〔个〕5678人数〔人〕3152210表中表示零件个数的数据中，众数是〔〕A．5个 B．6个 C．7个 D．8个6．〔4分〕点〔﹣1，y1〕，〔4，y2〕在一次函数y=3x﹣2的图象上，那么y1，y2，0的大小关系是〔〕A．0＜y1＜y2B．y1＜0＜y2C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y17．〔4分〕如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，cosα=，那么小车上升的高度是〔〕A．5米 B．6米 C．6.5米D．12米8．〔4分〕我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程〔2x+3〕2+2〔2x+3〕﹣3=0，它的解是〔〕A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3 9．〔4分〕四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，那么正方形ABCD的面积为〔〕A．12S B．10S C．9S D．8S10．〔4分〕我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线〔如图〕，点P1〔0，1〕，P2〔﹣1，0〕，P3〔0，﹣1〕，那么该折线上的点P9的坐标为〔〕A．〔﹣6，24〕B．〔﹣6，25〕C．〔﹣5，24〕D．〔﹣5，25〕二、填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕：11．〔5分〕分解因式：m2+4m=．12．〔5分〕数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，那么该组数据的平均数是．13．〔5分〕扇形的面积为3π，圆心角为120°，那么它的半径为．14．〔5分〕甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：．15．〔5分〕如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD 对称〔点A′和A，B′和B分别对应〕．假设AB=1，反比例函数y=〔k≠0〕的图象恰好经过点A′，B，那么k的值为．16．〔5分〕小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头〔如图1〕，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A 至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，假设水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，那么点E到洗手盆内侧的距离EH为cm．三、解答题〔共8小题，共80分〕：17．〔10分〕〔1〕计算：2×〔﹣3〕+〔﹣1〕2+；〔2〕化简：〔1+a〕〔1﹣a〕+a〔a﹣2〕．18．〔8分〕如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．〔1〕求证：△ABC≌△AED；〔2〕当∠B=140°时，求∠BAE的度数．19．〔8分〕为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方〞、“魅力数独〞、“数学故事〞、“趣题巧解〞四门选修课〔每位学生必须且只选其中一门〕．〔1〕学校对七年级局部学生进行选课调查，得到如下图的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事〞的人数．〔2〕学校将选“数学故事〞的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事〞，小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．〔要求列表或画树状图〕20．〔8分〕在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，整点A〔2，3〕，B〔4，4〕，请在所给网格区域〔含边界〕上按要求画整点三角形．〔1〕在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；〔2〕在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．21．〔10分〕如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O〔圆心O在△ABC内部〕经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO 交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D〔1〕求证：四边形CDEF是平行四边形；〔2〕假设BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．22．〔10分〕如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，点A的横坐标为﹣2．〔1〕求抛物线的对称轴和点B的坐标；〔2〕在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．23．〔12分〕小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ〔阴影局部〕和一个环形区域Ⅱ〔空白局部〕，其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如下图．〔1〕假设区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S〔m2〕，区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；〔2〕假设区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②假设甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．24．〔14分〕如图，线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C〔点C在线段BD上〕，连结AC，DE．〔1〕当∠APB=28°时，求∠B和的度数；〔2〕求证：AC=AB．〔3〕在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，假设以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．2021年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔共10小题，每题4分，共40分〕：1．〔4分〕〔2021•温州〕﹣6的相反数是〔〕A．6 B．1 C．0 D．﹣6【解答】解：﹣6的相反数是6，应选：A．2．〔4分〕〔2021•温州〕某校学生到校方式情况的统计图如下图，假设该校步行到校的学生有100人，那么乘公共汽车到校的学生有〔〕A．75人B．100人C．125人D．200人【解答】解：所有学生人数为100÷20%=500〔人〕；所以乘公共汽车的学生人数为500×40%=200〔人〕．应选D．3．〔4分〕〔2021•温州〕某运动会颁奖台如下图，它的主视图是〔〕A． B．C．D．【解答】解：从正面看，应选：C．4．〔4分〕〔2021•温州〕以下选项中的整数，与最接近的是〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵16＜17＜20.25，∴4＜＜4.5，∴与最接近的是4．应选：B．5．〔4分〕〔2021•温州〕温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：零件个数〔个〕5678人数〔人〕3152210表中表示零件个数的数据中，众数是〔〕A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【解答】解：数字7出现了22次，为出现次数最多的数，故众数为7个，应选C．6．〔4分〕〔2021•温州〕点〔﹣1，y1〕，〔4，y2〕在一次函数y=3x﹣2的图象上，那么y1，y2，0的大小关系是〔〕A．0＜y1＜y2B．y1＜0＜y2C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y1【解答】解：∵点〔﹣1，y1〕，〔4，〕在一次函数y=3x﹣2的图象上，∴y1=﹣5，y2=10，∵10＞0＞﹣5，∴y1＜0＜y2．应选B．7．〔4分〕〔2021•温州〕如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，cosα=，那么小车上升的高度是〔〕A．5米 B．6米 C．6.5米D．12米【解答】解：如图AC=13，作CB⊥AB，∵cosα==，∴AB=12，∴BC==132﹣122=5，∴小车上升的高度是5m．应选A．8．〔4分〕〔2021•温州〕我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程〔2x+3〕2+2〔2x+3〕﹣3=0，它的解是〔〕A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3【解答】解：把方程〔2x+3〕2+2〔2x+3〕﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=﹣3，所以x1=﹣1，x2=﹣3．应选D．9．〔4分〕〔2021•温州〕四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．AM为Rt△ABM 较长直角边，AM=2EF，那么正方形ABCD的面积为〔〕A．12S B．10S C．9S D．8S【解答】解：设AM=2a．BM=b．那么正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=〔2a﹣b〕﹣2〔a﹣b〕=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，应选C．10．〔4分〕〔2021•温州〕我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线〔如图〕，点P1〔0，1〕，P2〔﹣1，0〕，P3〔0，﹣1〕，那么该折线上的点P9的坐标为〔〕A．〔﹣6，24〕B．〔﹣6，25〕C．〔﹣5，24〕D．〔﹣5，25〕【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，所以P9的坐标为〔﹣6，25〕，应选B．二、填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕：11．〔5分〕〔2021•温州〕分解因式：m2+4m=m〔m+4〕．【解答】解：m2+4m=m〔m+4〕．故答案为：m〔m+4〕．12．〔5分〕〔2021•温州〕数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，那么该组数据的平均数是 4.8或5或5.2．【解答】解：∵数据1，3，5，12，a的中位数是整数a，∴a=3或a=4或a=5，当a=3时，这组数据的平均数为=4.8，当a=4时，这组数据的平均数为=5，当a=5时，这组数据的平均数为=5.2，故答案为：4.8或5或5.2．13．〔5分〕〔2021•温州〕扇形的面积为3π，圆心角为120°，那么它的半径为3．【解答】解：设半径为r，由题意，得πr2×=3π，解得r=3，故答案为：3．14．〔5分〕〔2021•温州〕甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：=．【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，那么乙工程队每天铺设〔x+5〕米，由题意得：=．故答案是：=．15．〔5分〕〔2021•温州〕如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD 关于直线OD对称〔点A′和A，B′和B分别对应〕．假设AB=1，反比例函数y=〔k ≠0〕的图象恰好经过点A′，B，那么k的值为．【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，AB=1，∴设B〔m，1〕，∴OA=BC=m，∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，∴∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，∴OE=m，A′E=m，∴A′〔m，m〕，∵反比例函数y=〔k≠0〕的图象恰好经过点A′，B，∴m•m=m，∴m=，∴k=．故答案为：．16．〔5分〕〔2021•温州〕小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头〔如图1〕，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，假设水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，那么点E到洗手盆内侧的距离EH为24﹣8cm．【解答】解：如下图，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，∴BQ=12﹣8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，∴=，即=，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C〔20，0〕，又∵水流所在抛物线经过点D〔0，24〕和B〔12，24〕，∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C〔20，0〕，B〔12，24〕代入抛物线，可得，解得，∴抛物线为y=﹣x2+x+24，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，那么10.2=﹣x2+x+24，解得x1=6+8，x2=6﹣8〔舍去〕，∴点E的横坐标为6+8，又∵ON=30，∴EH=30﹣〔6+8〕=24﹣8．故答案为：24﹣8．三、解答题〔共8小题，共80分〕：17．〔10分〕〔2021•温州〕〔1〕计算：2×〔﹣3〕+〔﹣1〕2+；〔2〕化简：〔1+a〕〔1﹣a〕+a〔a﹣2〕．【解答】解：〔1〕原式=﹣6+1+2=﹣5+2；〔2〕原式=1﹣a2+a2﹣2a=1﹣2a．18．〔8分〕〔2021•温州〕如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．〔1〕求证：△ABC≌△AED；〔2〕当∠B=140°时，求∠BAE的度数．【解答】解：〔1〕∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，又∵∠BCD=∠EDC=90°，∴∠ACB=∠ADE，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED〔SAS〕；〔2〕当∠B=140°时，∠E=140°，又∵∠BCD=∠EDC=90°，∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．19．〔8分〕〔2021•温州〕为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方〞、“魅力数独〞、“数学故事〞、“趣题巧解〞四门选修课〔每位学生必须且只选其中一门〕．〔1〕学校对七年级局部学生进行选课调查，得到如下图的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事〞的人数．〔2〕学校将选“数学故事〞的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事〞，小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．〔要求列表或画树状图〕【解答】解：〔1〕480×=90，估计该校七年级480名学生选“数学故事〞的人数为90人；〔2〕画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2，所以他和小慧被分到同一个班的概率==．20．〔8分〕〔2021•温州〕在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，整点A〔2，3〕，B〔4，4〕，请在所给网格区域〔含边界〕上按要求画整点三角形．〔1〕在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；〔2〕在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．【解答】解：〔1〕设P〔x，y〕，由题意x+y=2，∴P〔2，0〕或〔1，1〕或〔0，2〕不合题意舍弃，△PAB如下图．〔2〕设P〔x，y〕，由题意x2+42=4〔4+y〕，整数解为〔2，1〕等，△PAB如下图．21．〔10分〕〔2021•温州〕如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O〔圆心O在△ABC内部〕经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D〔1〕求证：四边形CDEF是平行四边形；〔2〕假设BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．【解答】解：〔1〕连接CE，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠B=45°，∵EF是⊙O的切线，∴∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°，∴∠CEO=45°，∵DE∥CF，∴∠ECD=∠FEC=45°，∴∠EOC=90°，∴EF∥OD，∴四边形CDEF是平行四边形；〔2〕过G作GN⊥BC于N，∴△GMB是等腰直角三角形，∴MB=GM，∵四边形CDEF是平行四边形，∴∠FCD=∠FED，∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，∴∠CGM=∠ACD，∴∠CGM=∠DEF，∵tan∠DEF=2，∴tan∠CGM==2，∴CM=2GM，∴CM+BM=2GM+GM=3，∴GM=1，∴BG=GM=．22．〔10分〕〔2021•温州〕如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，点A的横坐标为﹣2．〔1〕求抛物线的对称轴和点B的坐标；〔2〕在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．【解答】解：〔1〕由题意A〔﹣2，5〕，对称轴x=﹣=4，∵A、B关于对称轴对称，∴B〔10，5〕．〔2〕①如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=﹣5=5﹣5．②如图2中，图2当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，∴DE===3，∴点D的坐标为〔4，3〕．设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=〔4﹣x〕2+22，∴x=，∴P〔，5〕，∴直线PD的解析式为y=﹣x+．23．〔12分〕〔2021•温州〕小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ〔阴影局部〕和一个环形区域Ⅱ〔空白局部〕，其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如下图．〔1〕假设区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S〔m2〕，区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；〔2〕假设区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②假设甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．【解答】解：〔1〕由题意300S+〔48﹣S〕200≤12000，解得S≤24．∴S的最大值为24．〔2〕①设区域Ⅱ四周宽度为a，那么由题意〔6﹣2a〕：〔8﹣2a〕=2：3，解得a=1，∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，那么甲的单价为〔300﹣3x〕元/m2，∵PQ∥AD，∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，那么丙的面积为〔12﹣s〕，由题意12〔300﹣3x〕+5x•s+3x•〔12﹣s〕=4800，解得s=，∵0＜s＜12，∴0＜＜12，∴0＜x＜50，∴丙瓷砖单价3x的范围为0＜3x＜150元/m2．24．〔14分〕〔2021•温州〕如图，线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P 是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP 的另一交点C〔点C在线段BD上〕，连结AC，DE．〔1〕当∠APB=28°时，求∠B和的度数；〔2〕求证：AC=AB．〔3〕在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，假设以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．【解答】解：〔1〕∵MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APB=28°，∴∠B=76°，如图1，连接MD，∵MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP，∴∠MDB=∠APB=28°，∴=2∠MDB=56°；〔2〕∵∠BAC=∠MDC=∠APB，又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，∴∠BAP=∠ACB，∵∠BAP=∠B，∴∠ACB=∠B，∴AC=AB；〔3〕①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，∴DM=DP，∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，∴RC=RP，∵∠ACR=∠AMR=90°，∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，∴12+MR2=22+PR2，∴12+〔4﹣PR〕2=22+PR2，∴PR=，∴MR=，Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ=MR=；Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，在Rt△QCP中，PQ=2PR=，∴MQ=；Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，∵BM=1，MP=4，∴BP=，∴DP=BP=，∵cos∠MPB==，∴PQ=，∴MQ=；Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，∴MQ=；综上所述，MQ 的值为或或；②△ACG 和△DEG 的面积之比为．理由：如图6，∵DM ∥AF ，∴DF=AM=DE=1，又由对称性可得GE=GD ，∴△DEG 是等边三角形，∴∠EDF=90°﹣60°=30°，∴∠DEF=75°=∠MDE ，∴∠GDM=75°﹣60°=15°，∴∠GMD=∠PGD ﹣∠GDM=15°，∴GMD=∠GDM ，∴GM=GD=1，过C 作CH ⊥AB 于H ，由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG ，AH=， ∴CG=MH=﹣1，∴S △ACG =CG ×CH=， ∵S △DEG =，∴S △ACG ：S △DEG =．参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；fangcao ；梁宝华；sjzx ；曹先生；弯弯的小河；gsls ；sd2021；三界无我；dbz1018；王学峰；szl ；nhx600〔排名不分先后〕菁优网2021年7月15日。

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2021年浙江省温州中考数学一模试卷(附答案详解)

2021年浙江省温州中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.数1，0，−12，−2中最大的是()A. −2B. −12C. 0D. 12.如图所示的几何体，它的俯视图是()A.B.C.D.3.下列计算正确的是()A. 2a+3a=6aB. 3a−a=3C. a3+2a3=3a3D. a3−a2=a4.从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任抽一张，卡片上的数是奇数的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 455.如图，△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，AA′=2A′O，则△A′B′C′和△ABC的位似比为()A. 12B. 13C. 14D. 196.某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置.已知AO=4米，若栏杆的旋转角∠AOD=31°，则栏杆端点A上升的垂直距离为()A. 4sin31°米B. 4cos31°米C. 4tan31°米D. 4sin31∘米7.如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，已知∠ADC=35°，则∠BAD的度数为()A. 55°B. 70°C. 110°D. 130°8.某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米(假设汽油能行驶至油用完)，设该汽车行驶每100千米耗油x升，则y关于x的函数表达式为()A. y=2xB. y=2x C. y=5000x D. y=5000x9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值如表所示，点A(−4,y1)，B(−2,y2)，C(4,y3)在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为() x…−3−2−101…y…−3−2−3−6−11…A. y1=y3<y2B. y3<y1<y2C. y1<y2<y3D. y1<y3<y210.在欧几里得时代，人们就已经知道了勾股定理的一些拓展.小博在学习完勾股定理后，根据课本上的阅读材料进行改编与研究.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，tan∠ABC=12，现分别以AB，AC，BC为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD，△ACE，△BCF，其中∠DBA=∠BCF=∠ACE=90°，BF与AD交于点G，CF与AE交于点H，记△DBG的面积为S1，△CEH的面积为S2，则S1：S2为()A. 9：1B. 9：2C. 9：4D. 4：1二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.分解因式：3x2−6x=______ ．12.不等式组{2x<3−xx+13≤1的解为______ ．13.若扇形圆心角为36°，半径为3，则该扇形的弧长为______ ．14.某校抽查部分九年级学生1分钟垫球测试成绩(单位：个)，将测试成绩分成4组，得到如图不完整的频数直方图(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)，已知在120−150组别的人数占抽测总人数的40%，则1分钟垫球少于90个的有______ 人.15.如图，半圆的直径AB=6，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为BC上一点，连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，则AE的长为______ ．16.某游乐园有一圆形喷水池(如图)，中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B(其余条件均不变)，若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了______ 米.三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）17.(1)计算：2×(−4)+(−1)2−√9+20210；(2)化简：(3+x)(3−x)+3(x−3)．18.如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别在OA，OD上，∠ABE=∠DCF．(1)求证：△ABE≌△DCF．(2)若BC=4√2，AE=3，求BE的长．19.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形.如图，已知整点A(1,2)，B(5,2)，请在所给网格区域(不含边界)上按要求画整点四边形．(1)在图1中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使AO=CO．(2)在图2中画一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点C的横坐标与纵坐标的和等于点A的纵坐标的3倍．20.温州市初中毕业生体育学业考试在即，某校体育老师对91班30名学生的体育学业模拟考试成绩统计如下，39分及以上属于优秀．成绩(分)4039383736353491班人数(10575201人)(1)求91班学生体育学业模拟考试成绩的平均数、中位数和优秀率．(2)92班30名学生的体育学业模拟考试成绩的平均数为38分，中位数为38.5分，优秀率为60%，请结合平均数、中位数、优秀率等统计量进行分析，并衡量两个班级的体育学业模拟考试成绩的水平．21.已知抛物线y=ax2−6ax+1(a>0)．(1)若抛物线顶点在x轴上，求该抛物线的表达式．(2)若点A(m,y1)，B(m+4,y2)在抛物线上，且y1<y2，求m的取值范围．22.AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，过点D作DF//AC交⊙O于点F，连接AF，CF，过点A作AG⊥DF延长线于点G．(1)求证：CA=CF．(2)若tan∠ACF=2，CF−GF=9，求△ACF的面积．323.在新冠肺炎疫情发生后，某企业引进A，B两条生产线生产防护服.已知A生产线比B生产线每小时多生产4套防护服，且A生产线生产160套防护服和B生产线生产120套防护服所用时间相等．(1)求两条生产线每小时各生产防护服多少套？(2)因疫情期间，防护服的需求量急增，企业又引进C生产线.已知C生产线每小时生产24套防护服，三条生产线一天共运行了25小时，设A生产线运行a小时，B 生产线运行b小时，a，b为正整数且不超过12．①该企业防护服的日产量(用a，b的代数式表示)．②若该企业防护服日产量不少于440套，求C生产线运行时间的最小值．24.如图1，在菱形ABCD中，∠A为锐角，点P，H分别在边AD，CB上，且AP=CH.在CD边上取点M，N(点M在CM之间)，使DM=4CN.当P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点M匀速运动到点N.连接PQ，PH分别交对角线BD于点E，F，记QN=x，AP=y，已知y=−2x+10．(1)①请判断FP与FH的大小关系，并说明理由．②求AD，CN的长．(2)如图2，连接QH，QF.当四边形BFQH中有两边平行时，求DE：EF的值．(3)若tanA=4，则△PFQ面积的最小值为______ .(直接写出答案)3答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为|−12|=12，|−2|=2，而12<2，所以−2<−12<0<1，所以数1，0，−12，−2中最大的是1．故选：D．根据有理数大小比较的方法即可得出答案．本题考查了有理数大小比较的方法．(1)在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．(2)正数大于0，负数小于0，正数大于负数．(3)两个正数中绝对值大的数大．(4)两个负数中绝对值大的反而小．2.【答案】A【解析】解：从上面可看到从左往右二列小正方形的个数为：1，2，左面的小正方形在上面．故选：A．根据俯视图的确定方法，找到从上面看所得到的图形即是所求图形．此题主要考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题关键．3.【答案】C【解析】解：A、2a+3a=5a，故本选项不合题意；B、3a−a=2a，故本选项不合题意；C、a3+2a3=3a3，故本选项符合题意；D、a3与−a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；故选：C．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此逐一判断即可．本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵5张大小相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，其中有1、3、5共3张是奇数，∴从中随机抽取一张，卡片上的数字是奇数的概率为3，5故选：C．根据概率的求法，让是奇数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率．本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m．n5.【答案】B【解析】解：∵AA′=2A′O，∴OA′：OA=1：3，∵△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，∴△A′B′C′和△ABC的位似比为OA′：OA=1：3．故选：B．根据位似比的定义，计算出OA′：OA即可．本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．6.【答案】A【解析】解：过点D作DF⊥AB于点F，则∠DFO=90°，由题意可知：DO=AO=4米，∠AOD=31°，∵sin∠AOD=DF，DO∴DF=4sin31°(米)，故选：A．过点D作DF⊥AB于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，属于基础题型．7.【答案】A【解析】解：如图，设AB交CD于K．∵AB⊥CD，∴∠AKD=90°，∵∠ADC=35°，∴∠BAD=90°−35°=55°，故选：A．利用三角形内角和定理求解即可．本题考查三角形内角和定理，垂线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：∵该汽车行驶每100千米耗油x升，∴1升汽油可走100x千米，∴y=50×100x =5000x，∴y关于x的函数表达式为y=5000x，故选：D．行驶千米数=汽油升数×每升汽油可行驶千米数，把相关值代入即可求解．本题考查了函数关系式，解决本题的关键是找到行驶的千米数的等量关系．9.【答案】B【解析】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x=−3+(−1)2=−2，当x>−2时，y随x的增大而减小，当x<−2时，y随x的增大而增大，∵点A(−4,y1)，B(−2,y2)，C(4,y3)在该抛物线上，−2−(−4)=2，4−(−2)=6，∴y3<y1<y2，故选：B．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断y1，y2，y3的大小关系，本题得以解决．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10.【答案】B【解析】解：如图，连接EF，∵△ACE，△BCF都是等腰直角三角形，∴CA=CE，CB=CF，∠FCB=∠ACE=90°，∴∠BCA+∠ACF=∠ACF+∠FCE，∴∠BCA=∠FCE，在△BCA和△FCE中，{CB=CF∠BCA=∠FCE CA=CE，∴△BCA≌△FCE(SAS)，∴FE=BA，∠FEC=∠BAC=90°，∵∠ACE=∠BAC=90°，∴AB//CE，∵BD⊥BA，FE⊥CE，AB//CE，∴BD//EF，∴∠BDG=∠FEG，∠DBG=∠EFG，∵FE=BA，BA=BD，∴FE=BD，在△BDG和△FEG中，{∠BDG=∠FEG BD=FE∠DBG=∠EFG，∴△BDG≌△FEG(ASA)，∴DG=EG，设AC=a，∵∠BAC=90°，tan∠ABC=12，∴AB=atan∠ABC=2a，∴BD=2a，CE=a，AD=√2AB=2√2a，AE=√2AC=√2a，∴DG=12DE=12(DA+AE)=3√22a，∵∠BDG=∠GFA=45°，∠DGB=∠FGH，∴△BDG∽△HFG，∵∠GFH=∠HEC=45°，∠FHG=∠EHC，∴△HFG∽△HEC，∴△BDG∽△HEC，∴S1：S2=(DGEC )2=(3√22)2=92．故选：B．如图，连接EF，证明△BCA≌△FCE(SAS)、△BDG≌△FEG(ASA)；设AC=a，用a表示出相关线段；判定△BDG∽△HFG、△HFG∽△HEC、△BDG∽△HEC，从而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得答案．本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．11.【答案】3x(x−2)【解析】解：3x2−6x=3x(x−2)．故答案为：3x(x−2)．首先确定公因式为3x，然后提取公因式3x，进行分解．此题考查的是因式分解−提公因式法，解答此题的关键是先确定公因式3x．12.【答案】x<1【解析】解：解不等式2x<3−x，得：x<1，解不等式x+13≤1，得：x≤2，则不等式组的解集为x<1，故答案为：x<1．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13.【答案】3π5【解析】解：该扇形的弧长=36⋅π⋅3180=3π5．故答案为：3π5．直接利用弧长公式计算即可．本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l=nπr180．14.【答案】15【解析】解：由题意可得，本次抽取的学生有：40÷40%=100(人)，故1分钟垫球少于90个的有：100−20−40−25=15(人)，故答案为：15．根据在120−150组别的人数和所占抽测总人数的百分比，可以计算出本次抽取的学生数，然后再根据频数分布直方图中的数据，即可计算出1分钟垫球少于90个的人数．本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.【答案】2√3【解析】解：如图，连接OC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AC=DE，CD=AE，AC//DE，∴∠ACE=∠DEC=90°，∴OD⊥BC，∴EC=EB，∵OA=OB，∴AC=2OE=DE，∵OD=OC=3，∴OE=1，DE=2，∴CE2=OC2−OE2=CD2−DE2，∴32−12=CD2−22，∴CD=2√3或−2√3(舍弃)．故答案为：2√3．如图，连接OC.证明AC=DE=2OE，利用勾股定理构建关系式，可得结论．本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】(3√212−6)【解析】解：如图，过点D作DF⊥x轴，交移动前水柱于点E，交x轴与点F，∵AM⊥x轴，∴AM//DF，∴△ACM∽△DCF，∴CMCF =AMDF，其中CM=4，CF=CM+MF=4+3=7，设当x>0时，抛物线解析式为：y=a(x−3)2+ℎ，当x=0时，y=9a+ℎ，∴点A的坐标为(0,9a+ℎ)，∴AM=9a+ℎ当x=3时，y=ℎ，∴点E(3,ℎ)，∴EF=ℎ，DF=ℎ+1.5，∴47=9a+ℎℎ+1.5∴21a+ℎ=2①，又最远落点到中心M的距离为9米，∴x=9时，y=0，即36a+ℎ=0②，联立①和②，可得：a=−215，ℎ=245，∴当x>0时，抛物线解析式为：y=−215(x−3)2+245，将抛物线向上平移1.5m，∴当x>0时，新的抛物线解析式y′=−215(x−3)2+6.3，此时当y=0时，x=3+3√212(已舍弃负值)，则水柱水柱最远落点到中心M的距离增加了(3√212−6)米，故答案为：(3√212−6)．过点D作DF⊥x轴，交移动前水柱于点E，交x轴与点F，设当x>0时，抛物线解析式为：y=a(x−3)2+ℎ，然后分别表示出点A和点E的坐标，利用图形相似，求出a 和h的值，最后求出x>0时向上平移后图象解析式，进而得到M的最远距离，再减去原来的9米，即为增加的距离．此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键．17.【答案】解：(1)原式=−8+1−3+1=−9；(2)原式=9−x2+3x−9=−x2+3x．【解析】(1)原式利用乘法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值；(2)原式利用平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．此题考查了平方差公式，零指数幂，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAE=∠CDF=45°，∵∠ABE=∠DCF，在△ABE与△DCF中，{∠ABE=∠DCF AB=CD∠BAE=∠CDF，∴△ABE≌△DCF(ASA)；(2)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°，∵BC=4√2，∴AB=4√2，∴AC=√AB2+BC2=√(4√2)2+(4√2)2=8，∴OA=OB=4，∵AE=3，∴OE=OA−AE=4−3=1，在Rt△BOE中，BE=√OB2+OE2=√42+12=√17．【解析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定解答即可；(2)根据正方形的性质和勾股定理解答即可．此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定以及勾股定理解答．19.【答案】解：(1)如图，四边形ACBD或四边形ABD′C即为所求作．(2)如图，四边形ACBD或四边形ABC′D′即为所求作．【解析】(1)由题意C(2,1)，根据要求作出图形即可．(2)由题意C(3,3)或(5,1)，根据题意作出图形即可．本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】解：(1)91班学生平均数为(40×10+39×5+38×7+37×5+36×2+ 34)÷30=38.4(分)，中位数为39+382=38.5(分)，优秀率(10+5)÷30×100%=50%；(2)从平均数、中位数、优秀率进行分析，91班学生平均数高于92班学生平均数，中位数相等，91班学生优秀率低于92班学生优秀率，可知91班学生体育学业模拟考试成绩整体情况较好，92班学生体育学业模拟考试成绩优秀的较多．【解析】(1)根据平均数、中位数和优秀率的定义即可求解；(2)结合平均数、中位数、优秀率等统计量进行分析，并衡量两个班级的体育学业模拟考试成绩的水平．本题考查频数分布表、中位数、平均数、优秀率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：(1)根据题意得△=(−6a)2−4a=0，解得a1=0，a2=19，∵a>0，∴a=19，∴抛物线解析式为y=19x2−23x+1；(2)抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x=−−6a2a=3，当点A、点B都在对称轴的右边时，y1<y2，此时m≥3；当点A、点B在对称轴的两侧时，即m<3<m+4，y1<y2，则3−m<m+4−3，解得m>1，此时m的范围为1<m<3，综上所述，m的范围为m>1．【解析】(1)根据判别式的意义得到△=(−6a)2−4a=0，然后解方程得到满足条件的a的值，从而确定抛物线解析式；(2)先求出抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质：当点A、点B都在对称轴的右边时，有y1<y2，则m≥3；当点A、点B在对称轴的两侧时，即m<3<m+4，利用点A到直线x=3的距离小于B点到直线x=3的距离得到3−m<m+4−3，从而确定此时m的范围，然后综合两种情况得到m的范围．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．22.【答案】(1)证明：连接AD．∵AB是直径，AB⊥CD，∴EC=ED，∴AC=AD，∵AC//DF，∴∠ACF=∠FCD，∴AF⏜=CD⏜，∴AD⏜=CF⏜，∴AD=CF，∴AC=CF．(2)解：过点A作AH⊥CF于H．∵∠AFG+∠AFD=180°，∠AFD+∠ACD=180°，∴∠AFG=∠ACD，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵∠ADC=∠AFC，∴∠AFG=∠AFH，∵AG⊥FG，AH⊥FH，∴∠G=∠AHF=90°，∵AF=AF，∴△AFG≌△AFH(AAS)，∴FG=FH，∵CF−FG=CF−FH=CH=9，tan∠ACH=AHCH =23，∴AH=6，∴AC=AF=√AH2+CH2=√62+92=3√13，∴S△ACF=12⋅CF⋅AH=12×3√13×6=9√13．【解析】(1)连接AD.想办法证明AC=AD，AD=CF，可得结论．(2)过点A作AH⊥CF于H.证明△AFG≌△AFH(AAS)，推出FG=FH，因为CF−FG=CF−FH=CH=9，求出AH，AC可得结论．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】解：(1)设B生产线每小时生产防护服x套，则A生产线每小时生产防护服(x+4)套，依题意得：160x+4=120x，解得：x=12，经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，∴x+4=16．答：A生产线每小时生产防护服16套，B生产线每小时生产防护服12套．(2)①设A生产线运行a小时，B生产线运行b小时，则C生产线运行(25−a−b)小时，依题意得：该企业防护服的日产量=16a+12b+24(25−a−b)=(600−8a−12b)套．②∵该企业防护服日产量不少于440套，∴600−8a−12b≥440，∴2a+3b≤40．设k=a+b，则2k+b≤40，∴b值越小，k值越大．∵a，b为正整数且不超过12，∴当a=12时，b≤163，b可取的最大值为5，此时k的最大值为17，25−a−b=25−k= 8；当a=11时，b≤6，b可取的最大值为6，此时k的最大值为17，25−a−b=25−k=8；当a=10时，b≤203，b可取的最大值为6，此时k的最大值为16，25−a−b=25−k=9；当a=9时，b≤223，b可取的最大值为7，此时k的最大值为16，25−a−b=25−k=9．∴C生产线运行时间的最小值为8小时．【解析】(1)设B生产线每小时生产防护服x套，则A生产线每小时生产防护服(x+4)套，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合A生产线生产160套防护服和B生产线生产120套防护服所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)①设A生产线运行a小时，B生产线运行b小时，则C生产线运行(25−a−b)小时，利用工作总量=工作效率×工作时间，即可用含a，b的代数式表示出该企业防护服的日产量；②由①的结论及该企业防护服日产量不少于440套，即可得出2a+3b≤40，设k=a+ b，则2k+b≤40，进而可得出b值越小，k值越大，结合a，b为正整数且不超过12，可找出k的最大值，将其代入25−a−b=25−k中可求出C生产线运行时间的最小值．本题考查了分式方程的应用、列代数式以及不等式的解集，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)①根据各数量之间的关系，用含a，b的代数式表示出该企业防护服的日产量；②根据2a+3b≤40结合a，b的取值范围，找出(a+b)的最大值．24.【答案】11920【解析】解：(1)①FP=FH，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，AD=DC，∴AD//BC，AD=BC，∵AP=CH，∴∠PDF=∠HBF，∠DPF=∠BHF，PD=BH，在△PDF和△HBF中，{∠PDF=∠HBF PD=BH∠DPF=∠BHF，∴△PDF≌△HBF(ASA)，∴FP=FH；②当x=0时，y=10，则AD=10，即CD=10，当y=0时，0=−2x+10，得x=5，则QN=5，∴DM+CN=DC−QN=10−5=5，∵DM=4CN，∴CN=1，即AD=10，CN=1；(2)当四边形BFQH中有两边平行时，分两种情况：①当BF//QH时，∵BF//QH，∴△CQH∽△CDB，∵CD=BC，∴CQ=CH，DQ=BH，∵CQ=1+x，CH=AP=y，∴1+x=−2x+10，解得：x=3，y=4，即QN=3，AP=4，∴DP=DQ=6，由(1)中△PDF≌△HBF，∴BF=DF，∴点F为对角线BD的中点，∵平行四边形ABCD的对角线互相平分，∴点F为AC的中点，即A、F、C共线，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠PDF=QDF，AC⊥BD，AD//BC，∴PE⊥BD，∴PE//AC，即PE//AF，∴DE：EF=DP：AP=6：4=3：2；②当FQ//BH时，∵BF=DF，∴QF=DQ=CQ=5，即QN=x=4，∴AP=y=2，PD=8，∵AD//BC，即PD//QF，∴DE：EF=PD：QF=8：5；综上，DE：EF=3：2或8：5；(3)在图2中，过点B作BT⊥AD于T，延长PQ交BC延长线于K，∵tanA=43，∴sinA=45，∵AB=10，∴BT=AB⋅sinA=8，设△PDQ的底边的高为a，∵PD//CK，∴△PDQ∽△KCQ，∴DQQC =a8−a=10−x−11+x，∴a=365−45x，则S△PFQ=S△ACD−S△PDQ−S△FAP−S△CQF=12×10×8−12×(10−y)×(365−45x)−12×4y−12×4(1+x)=45x2−265+18=45(x−134)+11920，∴当x=134时，S△PFQ有最小值，最小值为11920．故答案为：11920．(1)①根据菱形的性质和全等三角形的判定证得△PDF≌△HBF，再根据全等三角形的性质即可解答；②根据题意，分别令x=0，y=0即可求解；(2)分BF//QH和FQ//BH两种情况讨论解答即可；(3)过点B作BT⊥AD于T，延长PQ交BC延长线于K，根据tanA=43可得BT=8，设△PDQ的底边的高为a，证明△PDQ∽△KCQ，根据相似三角形高的比等于相似比可证得a=365−45x，则S△PFQ=S△ACD−S△PDQ−S△FAP−S△CQF=45x2−265+18，由二次函数求最值的方法求解即可．本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。

2021年中考数学真题知识分类练习试卷：代数式(含答案)

代数式一、单选题1．下列运算：①a2•a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【来源】山东省滨州市2021年中考数学试题【答案】B2．计算的结果是（）A. B. C. D.【来源】江苏省南京市2021年中考数学试卷【答案】B【解析】分析：根据幂的乘方的性质和同底数幂的乘法计算即可.详解：==故选：B.点睛：本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键. 3．下列计算结果等于的是（）A. B. C. D.【来源】2021年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题【答案】D4．下列运算正确的是（）A. B.C. D.【来源】湖南省娄底市2021年中考数学试题【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得.【详解】A. ，故A选项错误，不符合题意；B. ，故B选项错误，不符合题意；C. ，故C选项错误，不符合题意；D. ，正确，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键.5．下列运算正确的是（）A. B. C. D.【来源】山东省德州市2021年中考数学试题【答案】C6．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（）A. 84B. 56C. 35D. 28【来源】山东省德州市2021年中考数学试题【答案】B7．下列运算正确的是（）A. B. C. D.【来源】安徽省2021年中考数学试题【答案】D【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的运算法则逐项进行计算即可得.【详解】A. ，故A选项错误；B. ，故B选项错误；C. ，故C选项错误；D. ，正确，故选D.【点睛】本题考查了有关幂的运算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，积的乘方的运算法则是解题的关键.8．据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2021年的平均增长率保持不变，2016年和2021年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（）A. B.C. D.【来源】安徽省2021年中考数学试题【答案】B【解析】【分析】根据题意可知2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，2021年我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a，由此即可得.【详解】由题意得：2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，2021年我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a万件，即b=（1+22.1%）2a万件，故选B.【点睛】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键. 9．下列运算正确的是（）A. B. C. D.【来源】山东省泰安市2021年中考数学试题【答案】D10．按如图所示的运算程序,能使输出的结果为的是（）A. B. C. D.【来源】【全国省级联考】2021年重庆市中考数学试卷（A卷）【答案】C11．下列运算正确的是（）A. B. C. D.【来源】江苏省宿迁市2021年中考数学试卷【答案】C12．下列运算正确的是（）A. x﹣2x=﹣xB. 2x﹣y=xyC. x2+x2=x4D. （x﹣1）2=x2﹣1【来源】江苏省连云港市2021年中考数学试题【答案】A13．下列运算正确的是（）A. B. C. D.【来源】江苏省盐城市2021年中考数学试题【答案】C14．下列计算正确的是（）A. B.C. D.【来源】湖北省孝感市2021年中考数学试题【答案】A【解析】分析：直接利用完全平方公式以及二次根式加减运算法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．详解：A、，正确；B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；C、2+，无法计算，故此选项错误；D、（a3）2=a6，故此选项错误；故选：A．点睛：此题主要考查了完全平方公式以及二次根式加减运算和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．15．若单项式a m﹣1b2与的和仍是单项式，则n m的值是（）A. 3B. 6C. 8D. 9【来源】山东省淄博市2021年中考数学试题【答案】C【解析】分析：首先可判断单项式a m﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n 的值，代入求解即可．详解：∵单项式a m﹣1b2与的和仍是单项式，∴单项式a m﹣1b2与是同类项，∴m﹣1=2，n=2，∴m=3，n=2，∴n m=23=8．故选：C．点睛：本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同．16．下列运算正确的是( )A. B. C. D.【来源】广东省深圳市2021年中考数学试题【答案】B17．下列运算结果正确的是A. 3a3·2a2=6a6B. (－2a)2= －4a2C. tan45°=D. cos30°=【来源】湖北省黄冈市2021年中考数学试题【答案】D【解析】分析：根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、特殊角的三角函数值进行计算．详解：A、原式=6a5，故本选项错误；B、原式=4a2，故本选项错误；C、原式=1，故本选项错误；D、原式=，故本选项正确．故选D．点睛：考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、特殊角的三角函数值，属于基础计算题．18．下列计算正确的是（）A. B.C. D.【来源】四川省成都市2021年中考数学试题【答案】D19．下列计算正确的是( )A. B. C. D.【来源】山东省潍坊市2021年中考数学试题【答案】C【解析】分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．详解：A、a2•a3=a5，故A错误；B、a3÷a=a2，故B错误；C、a－（b－a）=2a－b，故C正确；D、（－a）3=－a3，故D错误．故选C．点睛：本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．20．计算（﹣a）3÷a结果正确的是（）A. a2B. ﹣a2C. ﹣a3D. ﹣a4【来源】浙江省金华市2021年中考数学试题【答案】B【解析】分析：直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则分别化简求出答案详解：（－a）3÷a=－a3÷a=－a3－1=－a2，故选B．点睛：此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．21．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）A. 12B. 14C. 16D. 18【来源】【全国省级联考】2021年重庆市中考数学试卷（A卷）【答案】C22．下面是一位同学做的四道题：①.②.③.④.其中做对的一道题的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【来源】2021年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【答案】C二、填空题23．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__________．【来源】山东省淄博市2021年中考数学试题【答案】2021【解析】分析：观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2021；详解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2021，故答案为2021．点睛：本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．24．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，，，，…，那么的值是__________．【来源】湖北省孝感市2021年中考数学试题【答案】1125．若a－=，则a2+值为_______________________.【来源】湖北省黄冈市2021年中考数学试题【答案】8【解析】分析：根据完全平方公式进行变形即可求出答案．详解：∵a－=，∴（a－）2=6，∴a2－2+=6，∴a2+=8.故答案为：8.点睛：本题考查完全平方公式的变形运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式．26．已知，，，，，，…（即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，），按此规律，__________.【来源】四川省成都市2021年中考数学试题【答案】27．计算的结果等于__________．【来源】天津市2021年中考数学试题【答案】【解析】分析：依据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可．详解：原式=2x4+3=2x7．故答案为：2x7．点睛：本题主要考查的是单项式乘单项式，掌握相关运算法则是解题的关键．28．若是关于的完全平方式，则__________．【来源】贵州省安顺市2021年中考数学试题【答案】7或－1【解析】【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m－3）=±8，进而求出答案．详解：∵x2+2（m－3）x+16是关于x的完全平方式，∴2（m－3）=±8，解得：m=－1或7，故答案为：－1或7．点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．29．化简（x﹣1）（x+1）的结果是_____．【来源】浙江省金华市2021年中考数学试题【答案】x2﹣130．观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算+++…+，其结果为_______．【来源】山东省滨州市2021年中考数学试题【答案】【解析】分析：直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．详解：由题意可得：+++…+=+1++1++ (1)=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=9+=9．故答案为：9．点睛：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．31．设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________.【来源】湖南省娄底市2021年中考数学试题【答案】403532．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为625，则第2021次输出的结果为__________．【来源】2021年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题【答案】1三、解答题33．先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中．【来源】山东省淄博市2021年中考数学试题【答案】2ab﹣1，=1．【解析】分析：先计算单项式乘以多项式与和的完全平方，再合并同类项，最后代入计算即可．详解：原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1）+2a=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a=2ab﹣1，当，时，原式=2（+1）（－1）﹣1=2﹣1=1．点睛：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．34．（1）计算：；（2）化简：(m+2)2 +4(2－m)【来源】浙江省温州市2021年中考数学试卷【答案】（1）5－；（2）m2+1235．我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？【来源】四川省凉山州2021年中考数学试题【答案】43.【解析】分析：利用新定义得到101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后根据乘方的定义进行计算．详解：101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43，所以二进制中的数101011等于十进制中的43．点睛：本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．36．（1）计算：；（2）解不等式：【来源】江西省2021年中等学校招生考试数学试题【答案】（1）；(2)37．计算或化简.（1）；（2）.【来源】江苏省扬州市2021年中考数学试题【答案】（1）4；（2）【解析】分析：（1）根据负整数幂、绝对值的运算法则和特殊三角函数值即可化简求值．（2）利用完全平方公式和平方差公式即可．详解：（1）（）－1+|−2|+tan60°=2+（2－）+=2+2－+=4（2）（2x+3）2－（2x+3）（2x－3）=（2x）2+12x+9－[（2x2）－9]=（2x）2+12x+9－（2x）2+9=12x+18点睛：本题考查实数的混合运算和乘法公式，负整数指数幂的运算和相反数容易混淆，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．38．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.【来源】安徽省2021年中考数学试题【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证.39．计算：（1）（2）【来源】【全国省级联考】2021年重庆市中考数学试卷（A卷）【答案】（1）；（2）40．对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”.（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，若四位数m为“极数”，记D（m）=.求满足D（m）是完全平方数的所有m.【来源】【全国省级联考】2021年重庆市中考数学试卷（A卷）【答案】(1)1188, 2475; 9900(符合题意即可) (2)1188 ,2673 ,4752 ,7425.41．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：【来源】浙江省衢州市2021年中考数学试卷【答案】略。

专题07二次函数--浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)

三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）专题07二次函数一．选择题（共15小题）1．（2021•绍兴）关于二次函数y ＝2（x ﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值6【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．【详解】解：∵二次函数y ＝2（x ﹣4）2+6，a ＝2＞0，∴该函数图象开口向上，有最小值，当x ＝2取得最小值6，故选：D ．2．（2021•杭州）在“探索函数y ＝ax 2+bx +c 的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A （0，2），B （1，0），C （3，1），D （2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为（）A ．52B ．32C ．56D ．12 【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a ＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．【详解】解：由图象知，A 、B 、D 组成的点开口向上，a ＞0；A 、B 、C 组成的二次函数开口向上，a ＞0；B 、C 、D 三点组成的二次函数开口向下，a ＜0；A 、D 、C 三点组成的二次函数开口向下，a ＜0；即只需比较A 、B 、D 组成的二次函数和A 、B 、C 组成的二次函数即可．设A 、B 、C 组成的二次函数为y 1＝a 1x 2+b 1x +c 1，把A （0，2），B （1，0），C （3，1）代入上式得，{c 1=2a 1+b 1+c 1=09a 1+3b 1+c 1=1，解得a 1=56；设A 、B 、D 组成的二次函数为y ＝ax 2+bx +c ，把A （0，2），B （1，0），D （2，3）代入上式得，{c =2a +b +c =04a +2b +c =3，解得a =52，即a 最大的值为52，故选：A ．3．（2020•衢州）二次函数y ＝x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：A 、平移后的解析式为y ＝（x +2）2﹣2，当x ＝2时，y ＝14，本选项不符合题意．B 、平移后的解析式为y ＝（x +1）2+2，当x ＝2时，y ＝11，本选项不符合题意．C 、平移后的解析式为y ＝（x ﹣1）2﹣1，当x ＝2时，y ＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D 、平移后的解析式为y ＝（x ﹣2）2+1，当x ＝2时，y ＝1，本选项不符合题意．故选：C ．4．（2021•湖州）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点为A （1，0）和B （3，0），点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是抛物线上不同于A ，B 的两个点，记△P 1AB 的面积为S 1，△P 2AB 的面积为S 2，有下列结论：①当x 1＞x 2+2时，S 1＞S 2；②当x 1＜2﹣x 2时，S 1＜S 2；③当|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|＞1时，S 1＞S 2；④当|x 1﹣2|＞|x 2+2|＞1时，S 1＜S 2．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】不妨假设a ＞0，利用图象法一一判断即可．【详解】解：不妨假设a ＞0．①如图1中，P 1，P 2满足x 1＞x 2+2，∵P1P2∥AB，∴S1＝S2，故①错误．②当x1＝﹣2,x2＝﹣1,满足x1＜2﹣x2，则S1＞S2，故②错误，③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，∴S1＞S2，故③正确，④如图1中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误．故选：A．5．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b ＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．【详解】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以−b2a＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵−b2a=−1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．6．（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=−−122×(−3)=−2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选：B．7．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B ．当n ﹣m ＝1时，b ﹣a 有最大值C ．当b ﹣a ＝1时，n ﹣m 无最小值D ．当b ﹣a ＝1时，n ﹣m 有最大值【分析】方法1、①当b ﹣a ＝1时，当a ，b 同号时，先判断出四边形BCDE 是矩形，得出BC ＝DE ＝b ﹣a ＝1，CD ＝BE ＝m ，进而得出AC ＝n ﹣m ，即tan ∠ABC ＝n ﹣m ，再判断出45°≤∠ABC ＜90°，即可得出n ﹣m 的范围，当a ，b 异号时，m ＝0，当a =−12，b =12时，n 最小=14，即可得出n ﹣m 的范围； ②当n ﹣m ＝1时，当a ，b 同号时，同①的方法得出NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，进而得出MH ＝n ﹣m ＝1，而tan ∠MHN =1b−a ，再判断出45°≤∠MNH ＜90°，当a ，b 异号时，m ＝0，则n ＝1，即可求出a ，b ，即可得出结论．方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．【详解】解：方法1、①当b ﹣a ＝1时，当a ，b 同号时，如图1，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∴∠BCD ＝90°，∵∠ADE ＝∠BED ＝90°，∴∠ADE ＝∠BCD ＝∠BED ＝90°，∴四边形BCDE 是矩形，∴BC ＝DE ＝b ﹣a ＝1，CD ＝BE ＝m ，∴AC ＝AD ﹣CD ＝n ﹣m ，在Rt △ACB 中，tan ∠ABC =AC BC =n ﹣m ，∵点A ，B 在抛物线y ＝x 2上，且a ，b 同号，∴45°≤∠ABC ＜90°，∴tan ∠ABC ≥1，∴n ﹣m ≥1，当a ，b 异号时，m ＝0，当a =−12，b =12时，n =14，此时，n ﹣m =14，∴14≤n ﹣m ＜1，即n ﹣m ≥14，即n ﹣m 无最大值，有最小值，最小值为14，故选项C ，D 都错误；②当n ﹣m ＝1时，如图2，当a ，b 同号时，过点N 作NH ⊥MQ 于H ，同①的方法得，NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，∴MH ＝MQ ﹣HQ ＝n ﹣m ＝1，在Rt △MHN 中，tan ∠MNH =MH NH =1b−a， ∵点M ，N 在抛物线y ＝x 2上，∴m ≥0，当m ＝0时，n ＝1，∴点N （0，0），M （1，1），∴NH ＝1，此时，∠MNH ＝45°，∴45°≤∠MNH ＜90°，∴tan ∠MNH ≥1，∴1b−a ≥1，当a ，b 异号时，m ＝0，∴n ＝1，∴a ＝﹣1，b ＝1，即b ﹣a ＝2，∴b ﹣a 无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A 错误；故选：B ．方法2、当n ﹣m ＝1时，当a ，b 在y 轴同侧时，a ，b 都越大时，a ﹣b 越接近于0，但不能取0，即b ﹣a 没有最小值，当a ，b 异号时，当a ＝﹣1，b ＝1时，b ﹣a ＝2最大，当b ﹣a ＝1时，当a ，b 在y 轴同侧时，a ，b 离y 轴越远，n ﹣m 越大，但取不到最大，当a ，b 在y 轴两侧时，当a =−12，b =12时，n ﹣m 取到最小，最小值为14，因此，只有选项B 正确，故选：B．8．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c 是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．【详解】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝12，则c=b2a=4，此时c2﹣16＝0．故A错误．B、正确．理由：∵M1＝1，M2＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，∵a，b，c是正实数，∴a＝2，∵b2＝ac，∴c=12b2，对于y3＝x2+cx+4，则有△＝c2﹣16=14b4﹣16=14（b4﹣64）=14（b2+8）（b2﹣8）＜0，∴M3＝0，∴选项B正确，C、错误．由M1＝0，M2＝2，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c=b2a=18，此时c2﹣16＞0．故C错误．D、由M1＝0，M2＝0，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c=b2a=4，此时c2﹣16＝0．故D错误．故选：B．9．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．【详解】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：{1=a(1−ℎ)2+k 8=a(8−ℎ)2+k，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a=−13，故C正确；若h＝7，则a=−15，故D错误；故选：C．10．（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的正负情况，从而可以解答本题．【详解】解：{y =ax 2+bx y =ax +b 解得{x =−b a y =0或{x =1y =a +b ．故二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（−b a，0）或点（1，a +b ）．在A 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，−b a ＜0，a +b ＞0，故选项A 有可能；在B 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由|a |＞|b |，则a +b ＞0，故选项B 有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．11．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【详解】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．另一解法：∵a≠b，∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，∴M＝2，又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，∴N≤2，∴N≤M，∴不可能有M＝N﹣1，故排除A、B、D，故选：C ．12．（2019•舟山）小飞研究二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）性质时得到如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，则y 1＜y 2；④当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2．其中错误结论的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．【详解】解：二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）①∵顶点坐标为（m ，﹣m +1）且当x ＝m 时，y ＝﹣m +1∴这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上故结论①正确；②假设存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形令y ＝0，得﹣（x ﹣m ）2﹣m +1＝0，其中m ≤1解得：x 1＝m −√−m +1，x 2＝m +√−m +1∵顶点坐标为（m ，﹣m +1），且顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|﹣m +1|＝|m ﹣（m −√−m +1）|解得：m ＝0或1，当m ＝1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x 轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在m ＝0，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵x 1+x 2＞2m∴x 1+x 22＞m∵二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）的对称轴为直线x ＝m∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离∵x 1＜x 2，且a ＝﹣1＜0∴y 1＞y 2故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且a＝﹣1＜0∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C．13．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选：B．14．（2019•温州）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣2【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．15．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）【分析】由抛物线顶点式可求得答案．【详解】解：∵y＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），故选：A ．二．填空题（共3小题）16．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（3，4），M 是抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当b a 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定，若抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）的对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形，则b a 的值是 2或﹣8 ．【分析】由题意△AOM 是直角三角形，当对称轴x ≠0或x ≠3时,可知一定存在两个以A ，O 为直角顶点的直角三角形，当对称轴x ＝0或x ＝3时，不存在满足条件的点M ,当以OA 为直径的圆与抛物线的对称轴x =−b 2a相切时，对称轴上存在1个以点M 为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形，利用图象法求解即可．【详解】解：∵△AOM 是直角三角形，∴当对称轴x ≠0或x ≠3时，一定存在两个以A ，O 为直角顶点的直角三角形，且点M 在对称轴上的直角三角形，当对称轴x ＝0或x ＝3时，不存在满足条件的点M ,∴当以OA 为直径的圆与抛物线的对称轴x =−b 2a相切时，对称轴上存在1个以M 为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形（如图所示）．观察图象可知，−b 2a =−1或4，∴b a =2或﹣8，故答案为：2或﹣8．17．（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d的值为6﹣2√3；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′．以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16﹣8√3)π．【分析】如图，连接FW,由题意可知点A′,O,C′在线段FW上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°,解直角三角形求出JK,OH,B′H,再求出OB′2,可得结论．【详解】解：如图，连接FH,由题意可知点A′,O,C′在线段FW上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．∵大正方形的面积＝12，∴FG＝GW＝2√3,∵EF＝WK＝2,∴在Rt△EFG中，tan∠EGF=EFFG=2√3=√33,∴∠EGF＝30°,∵JK∥FG,∴∠KJG＝∠EGF＝30°,∴d＝JK=√3GK=√3(2√3−2)＝6﹣2√3,∵OF＝OW=12FW=√6,C′W=√2,∴OC′=√6−√2,∵B′C′∥QW,B′C′＝2,∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°,∴OH＝HC′=√3−1,∴HB′＝2﹣(√3−1)＝3−√3,∴OB′2＝OH2+B′H2＝(√3−1)2+(3−√3)2＝16﹣8√3,∵OA′＝OC′＜OB′,∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16﹣8√3)π．故答案为：6﹣2√3，(16﹣8√3)π．18．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝√2．【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1,t2,再根据h1＝2h2，求出v1=√2v2,可得结论．【详解】解：由题意，t1=v14.9,t2=v24.9,h1=−v12−4×4.9=v124×4.9,h2=−v22−4×4.9=v224×4.9,∵h1＝2h2，∴v1=√2v2,∴t1：t2＝v1:v2=√2,故答案为：√2．三．解答题（共7小题）19．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x 轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a 的值即可．（2）将a 的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【详解】解：（1）由二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）（a 为常数）知，该抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0）和（a ，0）．∵对称轴为直线x ＝2，∴1+a 2=2．解得a ＝3；（2）由（1）知，a ＝3，则该抛物线解析式是：y ＝x ²﹣4x +3．∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y ＝x ²﹣4x ．20．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y =−16（x ﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA ．（2）求落水点C ，D 之间的距离．（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF ，OE ＝10m ，EF ＝1.8m ，EF ⊥OD ．问：顶部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 的坐标，进而可得出雕塑高OA 的值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，进而可得出OD 的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC 的长，结合CD ＝OC +OD 即可求出落水点C ，D 之间的距离;（3）代入x ＝10求出y 值，进而可得出点（10，116）在抛物线y =−16（x ﹣5）2+6上，将116与1.8比较后即可得出顶部F 不会碰到水柱．【详解】解：（1）当x ＝0时，y =−16（0﹣5）2+6=116， ∴点A 的坐标为（0，116）， ∴雕塑高116m ．（2）当y ＝0时，−16（x ﹣5）2+6＝0，解得：x 1＝﹣1（舍去），x 2＝11，∴点D 的坐标为（11，0），∴OD ＝11m ．∵从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC ＝OD ＝11m ，∴CD ＝OC +OD ＝22m ．（3）当x ＝10时，y =−16（10﹣5）2+6=116，∴点（10，116）在抛物线y =−16（x ﹣5）2+6上．又∵116≈1.83＞1.8，∴顶部F 不会碰到水柱．21．（2021•湖州）如图，已知经过原点的抛物线y ＝2x 2+mx 与x 轴交于另一点A （2，0）．（1）求m 的值和抛物线顶点M 的坐标；（2）求直线AM 的解析式．【分析】（1）将A （2，0）代入抛物线解析式即可求出m 的值，然后将关系式化为顶点式即可得出顶点坐标；（2）设直线AM 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将点A ，M 的坐标代入即可．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝2x 2+mx 与x 轴交于另一点A （2，0），∴2×22+2m ＝0，∴m ＝﹣4，∴y ＝2x 2﹣4x＝2（x ﹣1）2﹣2，∴顶点M 的坐标为（1，﹣2），（2）设直线AM 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∵图象过A （2，0），M （1，﹣2），∴{2k +b =0k +b =−2，解得{k =2b =−4， ∴直线AM 的解析式为y ＝2x ﹣4．22．（2020•温州）已知抛物线y ＝ax 2+bx +1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a ，b 的值．（2）若（5，y 1），（m ，y 2）是抛物线上不同的两点，且y 2＝12﹣y 1，求m 的值．【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y ＝ax 2+bx +1解方程组即可得到结论；（2）把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x +1得到y 1＝6，于是得到y 1＝y 2，即可得到结论．【详解】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y ＝ax 2+bx +1得，{−2=a +b +113=4a −2b +1，解得：{a =1b =−4；（2）由（1）得函数解析式为y ＝x 2﹣4x +1，把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x +1得，y 1＝6，∴y 2＝12﹣y 1＝6，∵y 1＝y 2，且对称轴为直线x ＝2，∴m ＝4﹣5＝﹣1．23．（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+4x ﹣3图象的顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点D ．点B 的坐标是（1，0）．（1）求A ，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当y ＞0时x 的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D 恰好落在点A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．（2）由题意点D平移到A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．【详解】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴为直线x＝2，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．24．（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．【分析】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m＝2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；【详解】解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2）；（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；25．（2019•湖州）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．（1）求c的取值范围；（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知△＞0；（2）求出抛物线对称轴为直线x＝1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；【详解】解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，∴c＜2；（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，当x≥1时，y随x的增大而增大，∴m＜n；。

浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类

浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．分式的加减法（共1小题）1．（2023•温州）计算：（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；（2）﹣．二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）2．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A （2，m ）在直线y ＝2x ﹣上，过点A 的直线交y 轴于点B （0，3）．（1）求m 的值和直线AB 的函数表达式；（2）若点P （t ，y 1）在线段AB 上，点Q （t ﹣1，y 2）在直线y ＝2x ﹣上，求y 1﹣y 2的最大值．三．一次函数的应用（共1小题）3．（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克原料每千克含铁甲食材50毫克配料表乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A 包装1千克45元B 包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）4．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．五．二次函数的应用（共1小题）5．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．六．平行四边形的判定与性质（共2小题）6．（2022•温州）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E ，F 分别是AC ，AB 的中点，O 是DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ．（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形．（2）当AD ＝5，tan ∠EDC ＝时，求FG 的长．7．（2021•温州）如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且∠AEB ＝∠CFD ＝90°．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）当AB ＝5，tan ∠ABE ＝，∠CBE ＝∠EAF 时，求BD 的长．七．圆的综合题（共2小题）8．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．（1）求半圆O的半径．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．①当△PQR为直角三角形时，求x的值．②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．9．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A （2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；（2）求点D，E的坐标；（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．八．利用平移设计图案（共1小题）10．（2021•温州）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．九．作图-旋转变换（共1小题）11．（2023•温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．一十．相似形综合题（共1小题）12．（2023•温州）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE ⊥CD ，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知OA ＝，AC ＝1．如图2，连结AF ，P 为线段AF 上一点，过点P 作BC 的平行线分别交CE ，BE 于点M ，N ，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．设PH ＝x ，MN ＝y ．（1）求CE 的长和y 关于x 的函数表达式；（2）当PH ＜PN ，且长度分别等于PH ，PN ，a 的三条线段组成的三角形与△BCE 相似时，求a 的值；（3）延长PN 交半圆O 于点Q ，当NQ ＝x ﹣3时，求MN 的长．一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2023•温州）根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN （如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A ，B ，C 三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度问题解决分析规划选择两个观测位置：点和点　．任务1获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN ．任务3换算高度楼房实际宽度DE 为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm ．浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．分式的加减法（共1小题）1．（2023•温州）计算：（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；（2）﹣．【答案】（1）12；（2）a﹣1．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+9+4＝12；（2）原式＝＝＝a﹣1．二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）2．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．（1）求m的值和直线AB的函数表达式；（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．【答案】（1）m＝；直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3．（2）当t ＝0，y 1﹣y 2的最大值为．【解答】解：（1）把点A （2，m ）代入y ＝2x ﹣中，得m ＝；设直线AB 的函数表达式为：y ＝kx +b ，把A （2，），B （0，3）代入得：，解得，∴直线AB 的函数表达式为y ＝﹣x +3．（2）∵点P （t ，y 1）在线段AB 上，∴y 1＝﹣t +3（0≤t ≤2），∵点Q （t ﹣1，y 2）在直线y ＝2x ﹣上，∴y 2＝2（t ﹣1）﹣＝2t ﹣，∴y 1﹣y 2＝﹣t +3﹣（2t ﹣）＝﹣t +，∵﹣＜0，∴y 1﹣y 2随t 的增大而减小，∴当t ＝0，y 1﹣y 2的最大值为．三．一次函数的应用（共1小题）3．（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克原料每千克含铁甲食材50毫克配料表乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A 包装1千克45元B 包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【答案】（1）甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，由题意得，解得a＝20，经检验，a＝20是所列方程的根，且符合题意，∴2a＝40（元），答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，由题意得，解得，答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②设A为m包，则B为＝（2000﹣4m）包，∵A的数量不低于B的数量，∴m≥2000﹣4m，∴m≥400，设总利润为W元，根据题意得：W＝45m+12（2000﹣4m）﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，∵k＝﹣3＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝400时，W的最大值为2800，答：当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）4．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；（1，﹣9）．（2）﹣4＜x P＜5，﹣9≤y P＜16．【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，解得a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，∴m＝16，把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，解得x＝5或x＝﹣3，∴n＝5或n＝﹣3，∵n为正数，∴n＝5，∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），∴抛物线顶点在AB下方，∴﹣4＜x P＜5，﹣9≤y P＜16．五．二次函数的应用（共1小题）5．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务1：y＝﹣x2；任务2：﹣1.8m，﹣6≤x≤6；任务3：挂7盏或8盏，横坐标分别为﹣4.8和﹣5.6，方案见解答．【解答】解：任务1：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），设抛物线的解析式为：y＝ax2，把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，∴a＝﹣，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；任务2：∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，∴x＝±6，∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；任务3：方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；方案二：如图3，∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．六．平行四边形的判定与性质（共2小题）6．（2022•温州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O 是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2），【解答】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠EFO＝∠GDO，∵O是DF的中点，∴OF＝OD，在△OEF和△OGD中，，∴△OEF≌△OGD（ASA），∴EF＝GD，∴四边形DEFG是平行四边形．（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝AC＝CE，∴∠C＝∠EDC，∴tan C＝＝tan∠EDC＝，即＝，∴CD＝2，∴AC＝＝＝，∴DE＝AC＝，由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形，∴FG＝DE＝．7．（2021•温州）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，设AE＝3a，则BE＝4a，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，解得：a＝1或a＝﹣1（舍去），∴AE＝3，BE＝4，由（1）得：四边形AECF是平行四边形，∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，∵∠CBE＝∠EAF，∴∠ECF＝∠CBE，∴tan∠CBE＝tan∠ECF，∴＝，∴CF2＝EF×BF，设EF＝x，则BF＝x+4，∴32＝x（x+4），解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），即EF＝﹣2，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝4，∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+．七．圆的综合题（共2小题）8．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．（1）求半圆O的半径．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．①当△PQR为直角三角形时，求x的值．②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．【答案】（1）；（2）y＝；（3）①或；②．【解答】解：（1）如图1，连接OD，设半径为r，∵CD切半圆于点D，∴OD⊥CD，∵BE⊥CD，∴OD∥BE，∴△COD∽△CBE，∴，∴，解得r＝，∴半圆O的半径为；（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×＝，∵＝，BQ＝x，∴AP＝，∴CP＝AP+AC，∴y＝；（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形，∴PR＝QE，∵PR＝PC×sin C＝，∴，∴x＝，当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，则四边形PHER是矩形，∴PH＝RE，EH＝PR，∵CR＝CP•cos C＝，∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，∴∠PQH＝45°＝∠QPH，∴HQ＝HP＝3﹣x，由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）＝，∴x＝，综上，x的值为或；②如图，连接AF，QF'，由对称可知QF＝QF'，∵CP＝，∴CR＝x+1，∴ER＝3﹣x，∵BQ＝x，∴EQ＝3﹣x，∴ER＝EQ，∴∠F'QR＝∠EQR＝45°，∴∠BQF'＝90°，∴QF＝QF'＝BQ•tan B＝，∵AB是半圆O的直径，∴∠AFB＝90°，∴BF＝AB•cos B＝，∴，∴x＝，∴．9．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A （2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；（2）求点D，E的坐标；（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙M的直径，∵点M是AB的中点，则点M（1，4），则圆的半径为AM＝＝，设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线CM的表达式为y＝﹣x+；（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，解得x＝5或﹣3，故点D、E的坐标分别为（﹣3，5）、（5，3）；（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，故∠DBO＝45°，由点A、E的坐标，同理可得∠EAP＝45°；由点A、E、B、D的坐标得，AE＝＝3，同理可得：BD＝3，OB＝8，①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，故点P的坐标为（5，0），故OP＝5；②∠AEP＝∠BDO时，∵∠EAP＝∠DBO，∴△EAP∽△DBO，∴，即＝＝，解得AP＝8，故PO＝10；③∠AEP＝∠BOD时，∵∠EAP＝∠DBO，∴△EAP∽△OBD，∴，即，解得AP＝，则PO＝2+＝，综上所述，OP为5或10或．八．利用平移设计图案（共1小题）10．（2021•温州）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图2所示，即为所求；（2）如图3所示，即为所求．九．作图-旋转变换（共1小题）11．（2023•温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．【答案】（1）（2）作图见解析部分．【解答】解：（1）图形如图1所示（答案不唯一）；（2）图形如图2所示（答案不唯一）．一十．相似形综合题（共1小题）12．（2023•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA＝，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P 作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y．（1）求CE的长和y关于x的函数表达式；（2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值；（3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ＝x﹣3时，求MN的长．【答案】（1）CE＝，y＝﹣x+4；（2）a的值为或或；（3）MN的长为．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵CD切半圆O于点D，∴OD⊥CE，∵OA＝，AC＝1，∴OC＝，BC＝4，∴CD＝＝2，∵BE⊥CE，∴OD∥BE，∴，∴，∴CE＝，如图2，∵∠AFB＝∠E＝90°，∴AF∥CE，∴MN∥CB，∴四边形APMC是平行四边形，∴CM＝PA＝＝＝＝x，∵NM∥BC，∴△BCE∽△NME，∴，∴＝，∴y＝﹣x+4；（2）∵PN＝y﹣1＝﹣x+4﹣1＝﹣x+3，PH＜PN，△BCE的三边之比为3：4：5，∴可分为三种情况，当PH：PN＝3：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，当PH：PN＝4：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，当PH：PN＝3：4时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，综上所述：a的值为或或；（3）如图3，连接AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，则∠AQB ＝∠AGQ ＝90°，PH ＝QG ＝x ，∴∠QAB ＝∠BQG ，∵NQ ＝x ﹣3，PN ＝y ﹣1＝﹣x +3，∴HG ＝PQ ＝NQ +PN ＝x ，∵AH ＝x ，∴AG ＝AH +HG ＝3x ，∴tan ∠BQG ＝tan ∠QAB ＝＝＝，∴BG ＝QG ＝x ，∴AB ＝AG +BG ＝x ＝3，∴x ＝，∴y ＝﹣x +4＝，∴MN 的长为．一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2023•温州）根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN （如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A ，B ，C 三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度问题解决分析规划选择两个观测位置：点 A 和点 B （答案不唯一）　．任务1获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN ．任务3换算高度楼房实际宽度DE 为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm ．【答案】任务1：A 、B ；tan ∠1＝，tan ∠2＝，tan ∠3＝，测得图上AB ＝4mm ，任务2：MN ＝18mm ；任务3：43.2m ．【解答】解：任务1：【分析规划】选择点A 和点B（答案不唯一），故答案为：A 、B （答案不唯一）；【获取数据】tan ∠1＝，tan ∠2＝，tan ∠3＝，测得图上AB ＝4mm ；任务2：如图1，过点A 作AF ⊥MN 于点F ，过点B 作BG ⊥MN 于点G ，则FG ＝AB ＝4mm，设MF＝xmm，则MG＝（x+4）mm，∵tan∠MAF＝＝，tan∠MBG＝＝，∴AF＝4x，BG＝3x+12，∵AF＝BG，即4x＝3x+12，∴x＝12，即MF＝12mm，∴AF＝BG＝4x＝48（mm），∵tan∠FAN＝＝，∴FN＝6mm，∴MN＝MF+FN＝12+6＝18（mm），任务3：测得图上DE＝5mm，设发射塔的实际高度为hm，由题意得，＝，解得h＝43.2（m），∴发射塔的实际高度为43.2m．。

浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类

浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类一．有理数的加法（共1小题）1．（2022•温州）计算9+（﹣3）的结果是（）A．6B．﹣6C．3D．﹣3二．有理数的加减混合运算（共1小题）2．（2023•温州）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（）A．﹣1B．0C．1D．2三．有理数的乘方（共1小题）3．（2021•温州）计算（﹣2）2的结果是（）A．4B．﹣4C．1D．﹣1四．科学记数法—表示较大的数（共2小题）4．（2023•温州）苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（）A．0.218×109B．2.18×108C．21.8×102D．218×106 5．（2021•温州）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（）A．218×106B．21.8×107C．2.18×108D．0.218×109五．列代数式（共1小题）6．（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元六．同底数幂的乘法（共1小题）7．（2023•温州）化简a4•（﹣a）3的结果是（）A．a12B．﹣a12C．a7D．﹣a7七．单项式乘单项式（共1小题）8．（2022•温州）化简（﹣a）3•（﹣b）的结果是（）A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b八．解一元一次方程（共1小题）9．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x九．由实际问题抽象出二元一次方程（共1小题）10．（2023•温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（）A．x+y＝30B．x+y＝30C．x+y＝30D．x+y＝30一十．根的判别式（共1小题）11．（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．36B．﹣36C．9D．﹣9一十一．函数的图象（共2小题）12．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米13．（2022•温州）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（）A．B．C．D．一十二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）14．（2021•温州）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为（）A．2B．C．D．2一十三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）15．（2022•温州）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（）A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜cC．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c一十四．勾股定理（共1小题）16．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．一十五．菱形的性质（共1小题）17．（2023•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC 上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为（）A．B．C．D．一十六．圆周角定理（共1小题）18．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°一十七．圆内接四边形的性质（共1小题）19．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，一十八．相似三角形的判定与性质（共1小题）20．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A．B．C．D．一十九．位似变换（共1小题）21．（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．15二十．解直角三角形的应用（共1小题）22．（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（）A．+1B．sin2α+1C．+1D．cos2α+1二十一．简单几何体的三视图（共1小题）23．（2021•温州）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．二十二．简单组合体的三视图（共2小题）24．（2023•温州）截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．25．（2022•温州）某物体如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．二十三．扇形统计图（共2小题）26．（2022•温州）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳动实践小组有（）A．75人B．90人C．108人D．150人27．（2021•温州）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有（）A．45人B．75人C．120人D．300人二十四．概率公式（共1小题）28．（2022•温州）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（）A．B．C．D．浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类参考答案与试题解析一．有理数的加法（共1小题）1．（2022•温州）计算9+（﹣3）的结果是（）A．6B．﹣6C．3D．﹣3【答案】A【解答】解：9+（﹣3）＝+（9﹣3）＝6．故选：A．二．有理数的加减混合运算（共1小题）2．（2023•温州）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】D【解答】解：由数轴可得：A表示﹣1，则比数轴上点A表示的数大3的数是：﹣1+3＝2．故选：D．三．有理数的乘方（共1小题）3．（2021•温州）计算（﹣2）2的结果是（）A．4B．﹣4C．1D．﹣1【答案】A【解答】解:(﹣2)²＝(﹣2)×(﹣2)＝4,故选：A．四．科学记数法—表示较大的数（共2小题）4．（2023•温州）苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（）A．0.218×109B．2.18×108C．21.8×102D．218×106【答案】B【解答】解：将218000000用科学记数法表示为2.18×108．故选：B．5．（2021•温州）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（）A．218×106B．21.8×107C．2.18×108D．0.218×109【答案】C【解答】解：将218000000用科学记数法表示为2.18×108．故选：C．五．列代数式（共1小题）6．（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【答案】D【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）．故选：D．六．同底数幂的乘法（共1小题）7．（2023•温州）化简a4•（﹣a）3的结果是（）A．a12B．﹣a12C．a7D．﹣a7【答案】D【解答】解：a4•（﹣a）3＝﹣a7．故选：D．七．单项式乘单项式（共1小题）8．（2022•温州）化简（﹣a）3•（﹣b）的结果是（）A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b【答案】D【解答】解：原式＝﹣a3•（﹣b）＝a3b．故选：D．八．解一元一次方程（共1小题）9．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【答案】D【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括号得：﹣4x﹣2＝x，故选：D．九．由实际问题抽象出二元一次方程（共1小题）10．（2023•温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（）A．x+y＝30B．x+y＝30C．x+y＝30D．x+y＝30【答案】A【解答】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为xg，∴碳水化合物含量是1.5xg．根据题意得：1.5x+x+y＝30，∴x+y＝30．故选：A．一十．根的判别式（共1小题）11．（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．36B．﹣36C．9D．﹣9【答案】C【解答】解：∵方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4c＝0，解得c＝9，故选：C．一十一．函数的图象（共2小题）12．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米【答案】B【解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟），小温游玩行走的时间为205﹣100＝105（分钟），设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米由图象可得：，解得：x+y+z＝2700，∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分），由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300，∴x+y＝2100，∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．故选：B．13．（2022•温州）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可知：小聪某次从家出发，s米表示他离家的路程，所以C，D错误；小聪在凉亭休息10分钟，所以A正确，B错误．故选：A．一十二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）14．（2021•温州）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE＝1，OC＝OD，AC＝AE，则k的值为（）A．2B．C．D．2【答案】B【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，∴四边形BDOE是矩形，∴BD＝OE＝1，把y＝1代入y＝，求得x＝k，∴B（k，1），∴OD＝k，∵OC＝OD，∴OC＝k，∵AC⊥x轴于点C，把x＝k代入y＝得，y＝，∴AE＝AC＝，∵OC＝EF＝k，AF＝﹣1＝，在Rt△AEF中，AE2＝EF2+AF2，∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±，∵在第一象限，∴k＝，故选：B．一十三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）15．（2022•温州）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（）A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜cC．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c【答案】D【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意；故选：D．一十四．勾股定理（共1小题）16．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．【答案】C【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，∴△CPN∽△FPA，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故选：C．一十五．菱形的性质（共1小题）17．（2023•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC 上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵四边形CDEF是菱形，DE＝2，∴CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF，∵∠CBO＝90°，∠BOC＝30°，∴OD＝2DE＝4，OE＝DE＝2，∴CO＝CD+DO＝6，∴BC＝AB＝CD＝3，OB＝BC＝3，∵∠A＝90°，∴＝＝3，∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BOC＝30°，∴，∵EH⊥AB，∴EH∥OA，∴△BHE∽△BAO，∴，∴，∴EH＝，故选：C．一十六．圆周角定理（共1小题）18．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°【答案】B【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，∵∠DOE＝130°，∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，故选：B．一十七．圆内接四边形的性质（共1小题）19．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，【答案】C【解答】解：∵BC∥AD，∴∠DBC＝∠ADB，∴＝，∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，∵DB⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠CAD＝∠BDA＝45°，∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，∵OA＝OD，∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴AD＝OA＝，∴OA＝1，∴BC＝1，∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．故选：C．一十八．相似三角形的判定与性质（共1小题）20．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，∵四边形ENFM是正方形，∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG，∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，∴CT＝3a，CG＝＝a，∵MH∥TG，∴△CMH∽△CTG，∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，∴MH＝a，∴BH＝2a+a＝a，∴＝＝，故选：C．一十九．位似变换（共1小题）21．（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．15【答案】B【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6，∴＝，即＝，解得，A′B′＝9，故选：B．二十．解直角三角形的应用（共1小题）22．（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB ＝α，则OC2的值为（）A．+1B．sin2α+1C．+1D．cos2α+1【答案】A【解答】解：∵AB＝BC＝1，在Rt△OAB中，sinα＝，∴OB＝，在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，∴OC2＝（）2+12＝．故选：A．二十一．简单几何体的三视图（共1小题）23．（2021•温州）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，因此选项C中的图形符合题意，故选：C．二十二．简单组合体的三视图（共2小题）24．（2023•温州）截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：从正面看，可得选项A的图形．故选：A．25．（2022•温州）某物体如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：某物体如图所示，它的主视图是：故选：D．二十三．扇形统计图（共2小题）26．（2022•温州）某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳动实践小组有（）A．75人B．90人C．108人D．150人【答案】B【解答】解：本次参加课外兴趣小组的人数为：60÷20%＝300（人），劳动实践小组有：300×30%＝90（人），故选：B．27．（2021•温州）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有（）A．45人B．75人C．120人D．300人【答案】C【解答】解：参观温州数学名人馆的学生人数共有60÷20%＝300（人），初中生有300×40%＝120（人），故选：C．二十四．概率公式（共1小题）28．（2022•温州）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：因为1到9共9个自然数．是偶数的有4个，所以正面的数是偶数的概率为．故选：C．。

2021年数学中考试题及答案

初中毕业、升学考试试卷数学考生须知：1、全卷满分为150分;考试时间为120分钟．2、全卷分“卷一”和“卷二”两部分;其中“卷一”为选择题卷；“卷二”为非选择题卷．3、答题前;请在答题卡上先填写姓名和准考证号;再用铅笔将准考证号和科目对应的括号或方框涂黑．4、请在“卷二”密封区内填写座位号、县（市、区）学校、姓名和准考证号．5、答题时;允许使用计算器．卷一说明：本卷有一大题;12小题;共48分．请用铅笔在答题卡上将所选选项的对应字母的方框涂黑、涂满．一、细心选一选（本题有12小题;每小题4分;共48分．请选出各题中一个符合题意的正确选项;不选、多选、错选均不给分） 1．－2的绝对值是（A ）2 （B ）－2 （C ）12 （D ）－122．tan45°的值是（A ）1 （B ）12（C ）22 （D ）33．据丽水气象台“天气预报”报道;今天的最低气温是17℃;最高气温是25℃;则今天气温t （℃）的范围是（A ）t ＜17 （B ）t ＞25 （C ）t=21 （D ）17≤t ≤254．把n aa a a a 个记作（A ）n a （B ）n ＋a （C ）n a （D ）a n5．据丽水市统计局2005年公报;我市2004年人均生产总值约为10582元;则近似数10582的有效数字有（A ）1个（B ）3个（C ） 4个（D ）5个6．如图;抛物线的顶点P 的坐标是（1;－3）;则此抛物线对应的二次函数有（A ）最大值1 （B ）最小值－3 （C ）最大值－3 （D ）最小值1亲爱的同学：充满信心吧;成功等着你！7．如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D;若AD=1;BD=4;则CD=（A ）2 （B ）4 （C ）2 （D ）38．方程20x -=的解是（A ）x =2 （B ）x =4 （C ）x =－2 （D ）x =0 9．两圆的半径分别为3㎝和4㎝;圆心距为1㎝;则两圆的位置关系是（A ）外切（B ）内切（C ）相交（D ）外离10．如图;将图中的阴影部分剪下来;围成一个几何体的侧面;使AB 、DC 重合;则所围成的几何体图形是（A ）（B ）（C ）（D ）11．如图;小明周末到外婆家;走到十字路口处;记不清前面哪条路通往外婆家;那么他能一次选对路的概率是（A ）12 （B ）13（C ）14（D ）012．如图;在山坡上种树;已知∠A=30°;AC=3米;则相邻两株树的坡面距离AB=（A ）6米（B ）3米（C ）23米（D ）22米初中毕业、升学考试试卷DCBA（第7题）（第10题）（第11题）CAB（第12题）数学卷二大题号二三卷二总分小题号13～18 19 20 21 22 23 24 25得分说明：本卷有二大题;13小题;共102分;请用蓝黑墨水的钢笔或圆珠笔直接在试卷上答题．二、专心填一填（本题有6小题;每小题5分;共30分）13．已知52ab=;则a bb-= ．14．当a≥0时;化简：23a= ．15．因式分解：x3－x= ．16．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的五种图形中;既是轴对称、又是中心对称的图形是．17．下列是三种化合物的结构式及分子式;请按其规律;写出后一种化合物的分子．．式．．18．如图;ABCD是⊙O的内接四边形;AB是⊙O的直径;过点D的切线交BA的延长线于点E;若∠ADE=25°;则∠C= 度．三、耐心答一答（本题有7小题;共72分）以下各题必须写出解答过程．19．（本题8分）选做题（请在下面给出的二个小题中选做一小题;若每小题都答;按得分高的给分）（1）计算：(－2)0 +4×（－12）．得分评卷人得分评卷人C3H8C2H6CH4HHHHHH HHHHHHHH CCCCCH HHHC（第18题）只要选做一题就可以噢！（2）计算：2(x＋1)－x．20（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1) x－6=0的一个根是2;求方程的另一根和k的值．21（本题8分）如图;在⊙O中;弦AB与CD相交于点P;连结AC、DB．（1）求证：△PAC∽△PDB；（2）当ACDB为何值时;PACPDBSS=4．得分评卷人PDC BAO22、（本题10分）某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成;如图所示;其拱形图形为抛物线的一部分;栅栏的跨径AB 间;按相同的间距0.2米用5根立柱加固;拱高OC 为0.6米．(1) 以O 为原点;OC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系;请根据以上的数据;求出抛物线y=ax 2的解析式；(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）23、（本题12分）某公园有一个边长为4米的正三角形花坛;三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛;要求三棵古树不能移动;且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．（1）按圆形设计;利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；得分评卷人得分评卷人（2）按平行四边形设计;利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；（3）若想新建的花坛面积较大;选择以上哪一种方案合适？请说明理由．24、（本题12分）如图;AB 是⊙O 的直径;CB 、CE 分别切⊙O 于点B 、D; CE 与BA 的延长线交于点E;连结OC 、OD ．（1）求证：△OBC ≌△ODC ；（2）已知DE=a;AE=b;BC=c;请你思考后;选用以上适当的数;设计出计算⊙O 半径r 的一种方案：得分评卷人图1 图2AB CABC你选择a 、b 、c 时可要慎重噢！！b a OED A①你选用的已知数是；②写出求解过程．（结果用字母表示）25、（本题14分）视台摄制组乘船往返于丽水（A）、青田（B）两码头;在A、B间设立拍摄中心C;拍摄瓯江沿岸的景色．往返过程中;船在C、B处均不停留;离开码头A、B的距离s（千米）与航行的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．根据图象提供的信息;解答下列问题：（1）船只从码头A→B;航行的时间为小时、航行的速度为千米/时；船只从码头B→A;航行的时间为小时、航行的速度为千米/时；（2）过点C作CH∥t轴;分别交AD、DF于点G、H;设AC=x;GH=y;求出y与x之间的函数关系式；（3）若拍摄中心C设在离A码头25千米处; 摄制组在拍摄中心C分两组行动;一组乘橡皮艇漂流而下;另一组乘船到达码头B后;立即返回．①求船只往返C、B两处所用的时间；②两组在途中相遇;求相遇时船只离拍摄中心C有多远．;初中毕业、升学考试试卷数学参考答案和评分标准一、选择题（本题有12小题;每小题4分;共48分）题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A D C D B A B B D B C二、填空题（本题有6小题;每小题5分;共30分）13. 3214. 3a 15. x（x＋1）（x－1）16.矩形、菱形、正方形 17. C4H10 18. 115三、解答题（本题有6小题;共72分）以下各题必须写出解答过程.19、（本题8分）（1）解：原式=1－2 …………………………………………………6分 =－1. …………………………………………………2分（2）解：原式=2x＋2－x ……………………………………………4分= x＋2. ………………………………………………4分（若两小题都答;按得分高的题给分）20、（本题8分）解：设方程的另一根为x1;由韦达定理：2 x1=－6;∴ x1=－3. …………………………………………………………4分由韦达定理：－3+2=k＋1;∴k=－2. ……………………………………………………………4分21、（本题8分）（1）证明：∵∠A=∠D;∠C=∠B; …………………………………2分∴△PAC∽△PDB； ………………………………………2分（2）解：由（1）△PAC∽△PDB ;得PAC PDBS S=2()AC DB; ………………2分即2()AC DB =4;∴ACDB=2. …………………………………………2分 22、（本题10分）解:（1）由已知：OC=0.6;AC=0.6;得点A 的坐标为（0.6;0.6）; ……2分代入y=ax 2;得a=53;………………2分 ∴抛物线的解析式为y=53x 2.………1分（2）点D 1;D 2的横坐标分别为0.2;0.4;…………………………1分代入y=53x 2;得点D 1;D 2的纵坐标分别为：y 1=53×0.22≈0.07;y 2=53×0.42≈0.27; ………………………………1分∴立柱C 1D 1=0.6－0.07=0.53;C 2D 2=0.6－0.27=0.33; ……………2分由于抛物线关于y 轴对称;栅栏所需立柱的总长度为：2（C 1D 1+ C 2D 2）+OC=2（0.53+0.33）+0.6≈2.3米. ……………1分 23、（本题12分）解:（1）作图工具不限;只要点A 、B 、C 在同一圆上；…………………4分（2）作图工具不限;只要点A 、B 、C 在同一平行四边形顶点上；…4分（3）∵r=OB=cos30BD ︒………………………………1分∴S ⊙O =πr 2=163π≈16.75; ……………………………1分又S 平行四边形=2S △ABC =2×12×42≈13.86, (1)∵S ⊙O > S 平行四边形 ∴选择建圆形花坛面积较大. …………………1分 24、（本题12分）（1）证明：∵CD、CB 是⊙O 的切线;∴∠ODC=∠OBC=90°; …………2分 OD=OB;OC= OC; ……………………………………………………1分 ∴△OBC ≌△ODC （HL ）； ………………………………………1分（2）①选择a 、b 、c;或其中2个均给2分；②若选择a 、b ：由切割线定理：a 2=b (b+2r) ;得r=222a b b-.若选择a 、b 、c ：方法一：在Rt△EBC 中;由勾股定理：(b+2r)2+c 2=(a+c)2;得.方法二：Rt△ODE∽Rt△CBE ;2a b rr c+=;得r=4b -+.方法三：连结AD;可证：AD//OC;a b c r =;得r=bca. 若选择a 、c ：需综合运用以上的多种方法;得r=2a c+.若选择b 、c;则有关系式2r 3+br 2－bc 2=0.（以上解法仅供参考;只要解法正确均给6分） 25．（本题14分）解：（1）3、25；5、15；……………………………………………………4分（2）解法一：设CH 交DE 于M;由题意：ME=AC=x ;DM=75–x; … ……………………………………1分 ∵GH//AF;△DGH ∽△DAF ; …………………………………1分∴ GH DM AF DE =;即75875y x -=; ………………………………2分 ∴ y=8875x -. …………………………………………………1分解法二：由（1）知：A→B（顺流）速度为25千米/时;B→A（逆流）速度为15千米/时;y 即为船往返C 、B 的时间. y=75752515x x --+;即y=8875x -.（此解法也相应给5分）（3）①当x=25时;y=881625753-⨯=（小时）.……………………2分②解法一：设船在静水中的速度是a 千米∕时;水流的速度是b 千米∕时; a+b=25 a=20 a –b=15 b=5 船到B 码头的时间t 1=752525-=2小时;此时橡皮艇漂流了10千米.设船又过t 2小时与漂流而下橡皮艇相遇;则（5+15）t 2=75–25–10;∴t 2=2. ……………………………1分 ∴船只离拍摄中心C 距离S=（t 1+ t 2）×5=20千米. …………1分解法二：设橡皮艇从拍摄中心C 漂流至P 处与船返回时相遇;即水流的速度是5 千米∕时.…………1分即解得得505052515CP CP-=+;∴CP=20千米.（此解法也相应给3分）。

2021中考数学试卷及答案

2021年初中毕业、升学考试数学试题（全卷共6页,三大题,共26小题。

满分150分。

考试时间120分钟）友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡上,答在本试卷上无效．参考公式：抛物线的顶点是,对称轴是直线．一、选择题（本大题有10小题,每小题4分,满分40分.每小题只有一个正确的选项,请用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂）1．的相反数是（）．A.3 B.- C.-3 D.2．如图所示几何体的俯视图是（）．3．下列运算中,结果正确的是（）.A. B. C. D.4．下列事件是必然事件的是（）．A.随意掷两个均匀的骰子,朝上面的点数之和为6B.抛一枚硬币,正面朝上C.3个人分成两组,一定有2个人分在一组D.打开电视,正在播放动画片5.如图,在⊙O 中,∠ACB ＝34°,则∠AOB 的度数是（）．A.17°B.34°C.56°D.68°6.今年颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要》中指出,“加大教育投入.提高国家财政性教育经费支出占国内生产总值比例,2012年达到4％.”如果2012年我国国内生产总值()02≠++=a c bx ax y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 4422，ab x 2-=3131312a a a =⋅422a a a =+523)(a a =a a a =÷33第2题图正面 ↗第5题图为435000亿元,那么2012年国家财政性教育经费支出应为（结果用科学记数法表示）（）．A.4.35×105亿元B.1.74×105亿元C.1.74×104亿元D. 174×102亿元7．下列四张扑克牌图案,属于中心对称的是（）．8．反比例函数（x ＞0）的图象如图所示,随着x 值的增大,y 值（）．A ．减小B ．增大C ．不变D ．先减小后不变9．如图,在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中,⊙A 的半径为1,⊙B 的半径为2,将⊙A 由图示位置向右平移1个单位长后,⊙A 与静止的⊙B 的位置关系是（）．A.内含B.内切C.相交D.外切10．如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.A ．2＋B ．2＋2C ．12D ．18二、填空题（本大题有8小题,每小题3分,满分24分．请将答案用黑色签字笔填入答题卡的相应位置）11.化简：_____________.12.分解因式：ax 2＋2axy ＋ay 2＝______________________.13．如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=35°,那么∠2是_______°．14.如图,在△ABC 中,点E 、F 分别为AB 、AC 的中点．若EF 的长为2,则BC 的长为___________.15．下表是中国2021年上海世博会官方网站公布的5月某一周入园参观人数,1y x=1010=---ba bb a a第8题图第13题图AB CEF 第14题图②34A. B. C. D.第9题图则这一周入园参观人数的平均数是__________万.日期22日23日24日25日26日27日28日入园人数（万）36.1231.1431.434.4235.2637.738.1216．如图,在□ABCD 中,AE ＝EB,AF ＝2,则FC 等于_____．17．如图,在直径AB ＝12的⊙O 中,弦C D ⊥AB 于M,且M 是半径OB 的中点,则弦C D 的长是_______（结果保留根号）.18.用m 根火柴可以拼成如图1所示的x 个正方形,还可以拼成如图2所示的2y 个正方形,那么用含x 的代数式表示y,得y ＝_____________．三、解答题（本大题有8小题,满分86分．请将解答过程用黑色签字笔写在答题卡的相应位置．作图或添辅助线用铅笔画完,再用黑色签字笔描黑）19．（每小题7分,满分14分）⑴ 化简：（a ＋2）（a －2）－a （a ＋1）。

浙江温州市2021年中考数学试题(word版含解析)

浙江温州市2021年中考数学试题(word版含解析)浙江省温州市2021年中考数学试卷（解析版）一、选择题1. ( 2分 ) 给出四个实数 A.B.2 C.0 D.-1 【答案】D【考点】正数和负数的认识及应用【解析】【解答】解根据题意：负数是-1，故答案为：D。

【分析】根据负数的定义，负数小于0 即可得出答案。

，2，0，-1，其中负数是（）2. ( 2分 ) 移动台阶如图所示，它的主视图是（）A.B.C.D.【答案】B【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：A、是其俯视图，故不符合题意；B是其主视图，故符合题意；C是右视图，故不符合题意；D是其左视图，故不符合题意。

故答案为：B。

【分析】根据三视图的定义，其主视图，就是从前向后看得到的正投影，根据看的情况一一判断即可。

3. ( 2分 ) 计算的结果是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】同底数幂的乘法a 2=a8 【解析】【解答】解： a ·故答案为：C。

【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可得出答案。

4. ( 2分 ) 某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下（单位：分）：9，7，8，7，9，7，6，则各代表队得分的中位数是（）A. 9分B. 8分C. 7分D. 6分【答案】C 【考点】中位数6＜7＜7＜7＜8＜9＜9，【解析】【解答】解：将这组数据按从小到大排列为：故中位数为：7分，故答案为：C。

【分析】根据中位数的定义，首先将这组数据按从小到大的顺序排列起来，由于这组数据共有7个，故处于最中间位置的数就是第四个，从而得出答案。

5. ( 2分 ) 在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（） A. B.C. 【答案】D 【考点】概率公式【解析】【解答】解：根据题意：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=故答案为：D。

【分析】一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，共有10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案。

2021年中考数学真题(全国通用)专题06 一次方程(组)及应用(共40题)-(原卷版)

专题6一次方程（组）及应用（共40题）一、单选题1．（2021·浙江温州市·中考真题）解方程，以下去括号正确的是（）()221x x-+=A ．B ．C ．D ．41x x-+=-42x x-+=-41x x--=42x x--=2．（2021·安徽）设a ，b ，c 为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（）4155b a c =+A ．B ．C ．D ．a b c>>c b a>>4()a b b c -=-5()a c ab -=-3．（2021·天津中考真题）方程组的解是（）234x y x y +=⎧⎨+=⎩A ．B ．C ．D ．02x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩22x y =⎧⎨=-⎩33x y =⎧⎨=-⎩4．（2021·浙江杭州市·中考真题）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为（），则（）x 0x >A ．B ．()60.5125x -=()25160.5x -=C ．D ．()60.5125x +=()25160.5x +=5．（2021·浙江温州市·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）()1.2a +A ．元B ．元C ．元D ．元20a ()2024a +()17 3.6a +()20 3.6a +6．（2021·四川南充市·中考真题）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x 元，则可列方程为（）A ．B ．105(1)70x x +-=105(1)70x x ++=C ．D ．10(1)570x x -+=10(1)570x x ++=7．（2021·江苏苏州市·中考真题）某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机架．根据题意可列出的方程组是（）yA ．B ．()()111,3122x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩()()111.3122x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩C ．D ．()()111,2123x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩()()111,2123x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩8．（2021·四川成都市·中考真题）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，23问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x ，y ，则可列方程组为（）A ．B ．C ．D ．15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩15022503x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2502503x y x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩2502503x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩9．（2021·浙江宁波市·中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，醑酒y 斗，那么可列方程组为（）A ．B ．C ．D ．510330x y x y +=⎧⎨+=⎩531030x y x y +=⎧⎨+=⎩305103x y x y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩305310x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩10．（2021·甘肃武威市·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少?设共有人，辆车，则x y 可列方程组为（）A ．B ．C ．D ．3(2)29y xy x -=⎧⎨-=⎩3(2)29y xy x +=⎧⎨+=⎩3(2)29y xy x -=⎧⎨+=⎩3(2)29y xy x -=⎧⎨+=⎩二、填空题11．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知是方程的解，则a 的值为13x y =⎧⎨=⎩2ax y +=______________．12．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解314+=x y __________________．13．（2021·浙江金华市·中考真题）已知是方程的一个解，则m 的值是2x y m =⎧⎨=⎩3210x y +=____________．14．（2021·四川广安市·中考真题）若、满足，则代数式的值为______．x y 2223x y x y -=-⎧⎨+=⎩224x y -15．（2021·重庆中考真题）若关于x 的方程的解是，则a 的值为__________．442xa -+=2x =16．（2021·重庆中考真题）方程的解是__________．2(3)6x -=17．（2021·浙江绍兴市·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有_______两．（注：明代时1斤=16两）18．（2021·江苏扬州市·中考真题）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．19．（2021·湖南邵阳市·中考真题）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是______钱．20．（2021·重庆中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A ，B ，C 三种盲盒各一个，其中A 盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C 盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A 盒的成本为145元，B 盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C 盒的成本为__________元．21．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知关于x ，y 的二元一次方程组满足，则235423x y ax y a +=⎧⎨+=+⎩0x y ->a 的取值范围是____．22．（2021·山东泰安市·中考真题）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙23各有多少钱？”设甲持钱数为x ，乙持钱数为y ，可列方程组为________．三、解答题23．（2021·江苏扬州市·中考真题）已知方程组的解也是关于x 、y 的方程的一个解，271x y x y +=⎧⎨=-⎩4ax y +=求a 的值．24．（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A 型消毒液和3瓶B 型消毒液共需41元，5瓶A 型消毒液和2瓶B 型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B 型消毒液的数量不少于A 型消毒液数量的，请设计出最13省钱的购买方案，并求出最少费用．25．（2021·浙江丽水市·中考真题）解方程组：．26x y x y =⎧⎨-=⎩26．（2021·四川眉山市·中考真题）解方程组3220021530x y x y -+=⎧⎨+-=⎩27．（2021·浙江台州市·中考真题）解方程组：241x y x y +=⎧⎨-=-⎩28．（2021·江苏苏州市·中考真题）解方程组：.3423x y x y -=-⎧⎨-=-⎩29．（2021·陕西中考真题）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．30．（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A 产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A 产品的销售单价比B 产品的销售单价高100元，1件A 产品与1件B 产品售价和为500元．（1）A 、B 两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间．预计A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a %；B 产品产量将在去年的基础上减少a %，但B 产品的销售单价将提高3a %．则今年A 、B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加%．求a 的值．2925a31．（2021·山东泰安市·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？32．（2021·安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n （n 为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？33．（2021·四川成都市·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？34．（2021·四川眉山市·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？35．（2021·湖南邵阳市·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．36．（2021·浙江温州市·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成份每千克含铁42毫克原料每千克含铁甲食材50毫克配料表乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A 包装1千克45元B 包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A 的数量不低于B 的数量，则A 为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？37．（2021·四川资阳市·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应12如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．38．（2021·四川泸州市·中考真题）某运输公司有A 、B 两种货车，3辆A 货车与2辆B 货车一次可以运货90吨，5辆A 货车与4辆B 货车一次可以运货160吨．（1）请问1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A 、B 两种货车将全部货物一次运完(A 、B 两种货车均满载)，其中每辆A 货车一次运货花费500元，每辆B 货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．39．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m ，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m 为“共生数”例如：，因为，3507m =372(50)+=⨯+所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；4135m =452(13)+≠⨯+（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n ．()3nF n =()F n 40．（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：3a%4“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在5%2a 4月的基础上增加．求a 的值．5%11a。

2019-2021年3年中考真题数学分项汇编-专题20 应用题综合(函数、不等式、方程)-(解析版)

专题20 应用题综合（函数、不等式、方程）一．解答题（共45道）1．（2021·浙江台州市·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R 1， R 1与踏板上人的质量m 之间的函数关系式为R 1＝km ＋b （其中k ，b 为常数，0≤m ≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R 0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U 0 ，该读数可以换算为人的质量m ，温馨提示：①导体两端的电压U ，导体的电阻R ，通过导体的电流I ，满足关系式I ＝U R； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．（1）求k ，b 的值；（2）求R 1关于U 0的函数解析式；（3）用含U 0的代数式表示m ；（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．【答案】（1）2402b k =⎧⎨=-⎩；（2）1024030R U =-；I （3）0120135m U =-；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；（3）由R 1＝12-m ＋240，1024030R U =-，即可得到答案；（4）把06U =时，代入0480540m U =-，进而即可得到答案．【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R 1＝km ＋b ，得2400120b k b =⎧⎨=+⎩，解得：2402b k =⎧⎨=-⎩；（2）∵001830U U R -=，∴1024030R U =-；（3）由（1）可知：2402b k =⎧⎨=-⎩，∴R 1＝2-m ＋240，又∵1024030R U =-，∴024030U -=2-m ＋240，即：0120135m U =-；（4）∵电压表量程为0~6伏，∴当06U =时，1201351156m =-= 答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． 2．（2021·江苏扬州市·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．； ②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）50150a <<【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x 辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；（2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，同（1）可得y 甲和y 乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y 关于x 的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可；（3）根据题意得到利润差为()25018001850y x a x =-+-+，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x 为整数可得关于a 的不等式180016.517.5100a -<<，即可求出a 的范围．【详解】解：（1）()50105030001020010-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x 辆，由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦，解得：x =37或x =-1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，则y 甲=()50503000200x x x -⨯+-⎡⎤⎣⎦，y 乙=35001850x -，当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x ＜37，y =y 甲-y 乙=()()5050300020035001850x x x x -⨯+---⎡⎤⎣⎦=25018001850x x -++，当x =1800502--⨯=18时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x ≤50，y =y 乙-y 甲=()3500185050503000200x x x x ---⨯++⎡⎤⎣⎦=25018001850x x --，∵对称轴为直线x =1800502--⨯=18，当x =50时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元；（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为25018001850y x x ax =-++-=()25018001850x a x -+-+，对称轴为直线x =1800100a -， ∵x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大， ∴180016.517.5100a -<<，解得：50150a <<．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x 为整数得到a 的不等式．3．（2021·吉林长春市·中考真题）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：（探索发现）(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x ．纵轴表示箭尺读数y ，描出以表格中数据为坐标的各点．(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．（结论应用）应用上述发现的规律估算：(3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？(4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）【答案】(1)见解析；(2)在同一直线上，解析式为66y x =+；(3)78()cm ；(4)当天晚上的22:00．【分析】(1)将各点在坐标系中直接描出即可；(2)观察发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm ，由此可判断它们在同以直线上，设直线解析式为y kx b =+，再代入两个点坐标即可求解；(3)当12x =时代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数；(4)当90y =时代入(2)中解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间为8:00即可求解．【详解】解：(1)将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示：(2)分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm ，观察(1)中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上，设直线解析式为y kx b =+，代入点(0，6)和点(2，18)，得到60182b k b =+⎧⎨=+⎩，解得66k b =⎧⎨=⎩，∴直线的表达式为：66y x =+；(3)当供水时间达到12小时时，即12x =时，代入66y x =+中，解得612678y cm ，∴此时箭尺的读数为78cm ；(4)当箭尺读数为90厘米时，即90y =时，代入66y x =+中，解得(906)614x (小时)，∴经过14小时后箭尺读数为90厘米，∵实验记录的开始时间是上午8:00，∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+14=22，即对应当天晚上的22:00．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题，读懂题目，掌握一次函数的图形及性质是解决本题的关键．4．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知A 、B 两地相距240km ，一辆货车从A 地前往B 地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B 地前往A 地，到达A 地后（在A 地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B 地的距离()km y 与货车行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中m 的值是__________；轿车的速度是________km/h ；（2）求货车从A 地前往B 地的过程中，货车距B 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数关系式；（3）直接写出轿车从B 地到A 地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km ？【答案】（1）5；120；（2）66240(0 2.5)75(2.5 3.5)50250(3.55)x x y x x x -+≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-+≤≤⎩；（3）1h 或27h 31．【分析】（1）由图象可知轿车从B 到A 所用时间为2h ，即可得出从A 到B 的时间，进而可得m 的值，根据速度=距离÷时间即可得轿车速度；（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h 时装载货物停留1h ，分1≤x <2.5；2.5≤x <3.5；3.5≤x <5三个时间段，分别利用待定系数法求出y 与x 的关系式即可得答案；（3）分两车相遇前和相遇后相距12km 两种情况，分别列方程求出x 的值即可得答案．【详解】（1）由图象可知轿车从B 到A 所用时间为3-1=2h ，∴轿车从A 到B 的时间为2h ，∴m =3+2=5，∵A 、B 两地相距240km ，∴轿车速度=240÷2=120km/h ，故答案为：5；120（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h 时装载货物停留1h ，①设()1110(0 2.5)MN y k x b k x =+≠≤<∵图象过点(0,240)M 和点(2.5,75)N ∴1112402.575b k b =⎧⎨+=⎩解得：1124066b k =⎧⎨=-⎩， ∴66240(0 2.5)MN y x x =-+≤<②∵货车在2.5h~3.5h 时装载货物停留1h ，∴75(2.5 3.5)NG y x =≤<，③设()2220(3.55)GH y k x b k x =+≠≤≤，∵图象过点(3.5,75)G 和点(5,0)H ∴2222503.575k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：2225050b k =⎧⎨=-⎩， ∴50250(3.55)GH y x x =-+≤≤，∴66240(0 2.5)75(2.5 3.5)50250(3.55)x x y x x x -+≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-+≤≤⎩．（3）设轿车出发xh 与货车相距12km ，则货车出发（x +1）h ，①当两车相遇前相距12km 时：66(1)24012012x x -++-=，解得：2731x =, ②当两车相遇后相距12km 时：[]12066(1)240x x --++=12，解得：x =1，答：轿车出发1h 或27h 31与货车相距12km ．【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．5．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【答案】（1）20%；（2）①798万元，②当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元【分析】（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x ，则四月份的游客为()41x +人，五月份的游客为()241x +人，再列方程，解方程可得答案；（2）①分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；②设丙种门票价格降低m 元，景区六月份的门票总收人为W 万元，再列出W 与m 的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案．【详解】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x ，由题意，得24(1) 5.76x += ()21 1.44,x ∴+= 解这个方程，得120.2, 2.2x x ==-（舍去）答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．（2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得：购买丙种门票的人数增加：0.6+0.4=1（万人），购买甲种门票的人数为：20.6 1.4-=（万人），购买乙种门票的人数为：30.4 2.6-=（万人），所以：门票收入问；()()100 1.480 2.61601021⨯+⨯+-⨯+798=（万元）答：景区六月份的门票总收入为798万元．②设丙种门票价格降低m 元，景区六月份的门票总收人为W 万元，由题意，得()()()()10020.068030.0416020.060.04W m m m m m =-+-+-++化简，得20.1(24)817.6W m =--+，0.10-<，∴当24m =时，W 取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求解利润的最大值是解题的关键．6．（2021·河北中考真题）下图是某同学正在设计的一动画示意图，x 轴上依次有A ，O ，N 三个点，且2AO =，在ON 上方有五个台阶15~T T （各拐角均为90︒），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶1T 到x 轴距离10OK =．从点A 处向右上方沿抛物线L ：2412y x x =-++发出一个带光的点P ．（1）求点A 的横坐标，且在图中补画出y 轴，并直接．．指出点P 会落在哪个台阶上；（2）当点P 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L 形状相同的抛物线C ，且最大高度为11，求C 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶5T 有交点；（3）在x 轴上从左到右有两点D ，E ，且1DE =，从点E 向上作EB x ⊥轴，且2BE =．在BDE 沿x 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C 下落的点P 能落在边BD （包括端点）上，则点B 横坐标的最大值比最小值大多少？（注：（2）中不必写x 的取值范围）【答案】（1）(2,0)A -，见解析，点P 会落在4T 的台阶上；（2）2(7)11y x =--+，其对称轴与台阶5T 有交点；（32-．【分析】（1）二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出，根据点A 的坐标可以确定y 轴，利用函数的性质可以判断落在那个台阶上；（2）利用二次函数图象的平移来求解抛物线C ，再根据函数的对称轴的值来判断是否与台阶5T 有交点；（3）抓住二次函数图象不变，是BDE 在左右平移，要求点B 横坐标的最大值比最小值大多少，利用临界点法，可以确定什么时候横坐标最大，什么时候横坐标最小，从而得解．【详解】解：（1）当0y =，24120x x -++=，解得：2,6x x =-=，A 在左侧，(2,0)A ∴-， 2412y x x =-++关于22b x a=-=对称，y ∴轴与OK 重合，如下图：由题意在坐标轴上标出相关信息，当7y =时，24127x x -++=，解得：1,5x x =-=，4.556<<，∴点P 会落在4T 的台阶上，坐标为(5,7)P ，（2）设将抛物线L ，向下平移5个单位，向右平移a 的单位后与抛物线C 重合，则抛物线C 的解析式为：2(2)11y x a =---+，由（1）知，抛物线C 过(5,7)P ，将(5,7)P 代入2(2)11y x a =---+，27(3)11a =--+，解得：5,1a a ==（舍去，因为是对称轴左边的部分过(5,7)P ），抛物线C :2(7)11y x =--+，2(7)11y x =--+关于72b x a=-=，且677.5<<，∴其对称轴与台阶5T 有交点．（3）由题意知，当BDE 沿x 轴左右平移，恰使抛物线C 下落的点P 过点D 时，此时点B 的横坐标值最大；当0y =，2(7)110x --+=，解得：1277x x ==（取舍），故点B 的横坐标最大值为：8当BDE 沿x 轴左右平移，恰使抛物线C 下落的点P 过点B 时，此时点B 的横坐标值最小；当2y =，2(7)112x --+=，解得：1210,4x x ==（舍去），故点B 的横坐标最小值为：10，则点B 横坐标的最大值比最小值大：81022-．【点睛】本题综合性考查了二次函数的解析式的求法及图象的性质，图象平移，抛物线的对称轴，解题的关键是：熟练掌握二次函数解析式的求法及图象的性质，通过已知的函数求解平移后函数的解析式． 7．（2021·广西来宾市·中考真题）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【答案】（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．【分析】（1）根据题意可知：点A （0，4）点B （4，8），利用待定系数法代入抛物线221:8C y x bx c =-++即可求解；（2）高度差为1米可得21=1C C -可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线2117C :1126y x x =-++可知坡顶坐标为 61(7,)12，此时即当7x =时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过3米，即2161773812y b c =-⨯++≥+，由此即可求出b 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意可知：点A （0，4），点B （4，8）代入抛物线221:8C y x bx c =-++得， 2=4144=88c b c ⎧⎪⎨-⨯++⎪⎩，解得：=43=2c b ⎧⎪⎨⎪⎩， ∴抛物线2C 的函数解析式213482y x x =-++；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为1米， ∴221317(4)(1)182126x x x x -++--++=，解得：14x =-（不合题意，舍去）， 212x =，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）∵点A （0，4），∴抛物线221:48C y x bx =-++， ∵抛物线22117161C :1=(7)1261212y x x x =-++--+，∴坡顶坐标为 61(7,)12， ∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时， ∴21617743812y b =-⨯++≥+，解得：3524b ≥．【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4) 还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．8．（2021·贵州安顺市·中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽8m OA =，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处．有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线()20y ax bx c a =++≠，该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．【答案】（1）y =14-x 2+2x （0≤x ≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m ≤8 【分析】（1）设二次函数的解析式为：y =a (x -8)x ，根据待定系数法，即可求解；（2）把：x =1，代入y =14-x 2+2x ，得到对应的y 值，进而即可得到结论；（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m 的范围．【详解】（1）根据题意得：A (8，0)，B (4，4)，设二次函数的解析式为：y =a (x -8)x ，把(4，4)代入上式，得：4=a ×(4-8)×4，解得：14a =-， ∴二次函数的解析式为：y =14-(x -8)x =14-x 2+2x （0≤x ≤8）；（2）由题意得：x =0.4+1.2÷2=1，代入y =14-x 2+2x ，得y =14-×12+2×1=74＞1.68，答：他的头顶不会触碰到桥拱；（3）由题意得：当0≤x ≤8时，新函数表达式为：y =14x 2-2x ，当x ＜0或x ＞8时，新函数表达式为：y =-14x 2+2x ， ∴新函数表达式为：2212(08)412(08)4x x x y x x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩或，∵将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，∴O '（m ，0），A '（m +8，0），B '（m +4，-4），如图所示，根据图像可知：当m +4≥9且m ≤8时，即：5≤m ≤8时，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．9．（2021·湖北中考真题）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a 元/件进行补贴，设某月销售价为x 元/件，a 与x 之间满足关系式：()20%10a x =-，下表是某4个月的销售记录．每月销售量y （万件）与该月销售价x （元/件）之间成一次函数关系(69)x ≤<．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？（3）当销售价x 定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）【答案】（1）1090y x =-+；（2）4万元；（3）当销售价x 定为7元/件时，该月纯收入最大．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）将8x =代入()20%10a x =-求出a 的值，代入y 与x 的函数关系式求出该月的销售量，再利用a 乘以该月的销售量即可得；（3）设该月纯收入为w 万元，先根据纯收入的计算公式求出w 与x 之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，将点(6,30),(7,20)代入得：630720k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1090k b =-⎧⎨=⎩，则y 与x 的函数关系式为1090y x =-+；（2）当8x =时，()20%1080.4a =⨯-=，1089010y =-⨯+=，则0.4104⨯=（万元），答：政府该月应付给厂家补贴4万元；（3）设该月纯收入为w 万元，由题意得：(1090)6(1090)(20%1(1090)0)w x x x x x -=-+--++-+，整理得：28(5)(9)8(7)32w x x x =---=--+，由二次函数的性质可知，在69x ≤<内，当7x =时，w 取得最大值，最大值为32，答：当销售价x 定为7元/件时，该月纯收入最大．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．10．（2021·辽宁大连市·中考真题）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y （单位：千克）和每千克的售价x （单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中5080x ≤≤，（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【分析】（1）由图象易得()50,100和()80,40，然后设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，进而代入求解即可；（2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意易得222808000w x x =-+-，然后根据二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，则由图象可得()50,100和()80,40，代入得： 501008040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩，∴y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意得：()()240220022808000w x x x x =--+=-+-，∴-2＜0，开口向下，对称轴为702b x a=-=， ∵5080x ≤≤，∴当70x =时，w 有最大值，即为22702807080001800w =-⨯+⨯-=；答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．11．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x （元）和游客居住房间数y （间）符合一次函数关系，如图是y 关于x 的函数图象．（1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y 与x 之间的函数解析式为y=-0.1x+68，200x 320≤≤；（2）当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元【分析】（1）设y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b ，根据待定系数法即可得出答案；（2）设宾馆每天的利润为W 元，利用房间数乘每一间房间的利润即可得到W 关于x 的函数解析式，配方法再结合增减性即可求得最大值．【详解】（1）根据题意，设y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b ，图象过（280，40），（290，39），∴2804029039k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：-0.168k b =⎧⎨=⎩ ∴y 与x 之间的函数解析式为y=-0.1x+68，∵每间房价不低于200元且不超过320元 ∴200x 320≤≤（2）设宾馆每天的利润为W 元，()()()2w=x-20y=x-20-0.1x+68=-0.1x +70x-1360， ∴()22w=-0.1x +70x-1360=-0.1x-350+10890 当x ＜350时，w 随x 的增大而增大，∵200x 320≤≤，∴当x=320时，W 最大=10800∴当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用及待定系数法求一次函数的解析式，注意利用配方法和函数的增减性求函数的最值，难度不大．12．（2021·贵州铜仁市·中考真题）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用1y （万元）与月销售量x （辆）（4x ≥）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出1y 与x 的关系式1y =________；(2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y =(每辆原售价-1y -进价)x ，请你根据上述条件，求出月销售量()4x x ≥为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)1122y x =-；(2)月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元【分析】(1)观察表格中数据可知，1y 与x 的关系式为一次函数的关系，设解析式为1y kx b =+，再代入数据求解即可；(2)根据已知条件“每月销售利润y =(每辆原售价-1y -进价)x ”，求出y 的表达式，然后再借助二次函数求出其最大利润即可．【详解】解：(1)由表中数据可知，1y 与x 的关系式为一次函数的关系，设解析式为1y kx b =+，代入点(4,0)和点(5,0.5)，得到040.55k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故1y 与x 的关系式为1122y x =-； (2)由题意可知：降价后每月销售利润y =(每辆原售价-1y -进价)x ，即：211(22216)822y x x x x ，其中4x ≥， ∴y 是x 的二次函数，且开口向下，其对称轴为82b x a=-=， ∴当8x =时，y 有最大值为21888322万元，答：月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，读懂题意，根据题中已知条件列出表达式是解决本题的关键．13．（2021·湖北鄂州市·中考真题）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y （元）与种植面积x （亩）之间满足一次函数关系，且当160x =时，840y =；当190x =时，960y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）【答案】（1）4200y x =+；（2）种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，预计明年每亩种粮成本y （元）与种粮面积x （亩）之间的函数关系为4200y x =+，进而得出W 与x 的函数关系式，再利用二次函数的最值公式求出即可．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式()0y kx b k =+≠，依题意得：160840190960k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：4200k b =⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为4200y x =+．（2）设老张明年种植该作物的总利润为W 元，依题意得：()21604200120W x x ⎡=-+⎤⎣⎦+⋅242080x x =-+()24260270400x =--+． ∵40-<，∴当260x <时，y 随x 的增大而增大．由题意知：240x ≤，∴当240x =时，W 最大，最大值为268800元．即种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式并根据已知得出W 与x 的函数关系式是求最值问题的关键．14．（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）设利润为M 元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的x 的值，从而得到答案．【详解】（1）由题意列方程得：（x ＋40-30）（300-10x ）＝3360 解得：x 1＝2，x 2＝18∵要尽可能减少库存，∴x 2＝18不合题意，故舍去 ∴T 恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M 元，由题意可得：M ＝（x ＋40-30）（300-10x ）＝-10x 2＋200x ＋3000＝()210104000x --+∴当x ＝10时，M 最大值＝4000元 ∴销售单价：40＋10＝50元∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．15．（2021·湖北随州市·中考真题）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A 处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．。

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