数列与级数练习题集
数列与级数练习题及解析
数列与级数练习题及解析一、选择题1. 设数列{an}满足an = n2 + 3n + 2，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 4解析：根据公式an = a1 + (n-1)d，可以得到n2 + 3n + 2 = a1 + (n-1)d。
对比系数可得a1 = 2，d = 3。
所以选择C。
2. 已知数列{an}的通项公式an = 2n3 + 5n，则数列前4项的和Sn为：A. 72B. 85C. 104D. 119解析：将通项公式代入求和公式Sn = n(a1 + an)/2，得Sn = n(2 +2n2 + 5)/2 = 2n2 + 5n。
将n分别取1、2、3、4代入，得S1 = 7，S2 = 24，S3 = 51，S4 = 88。
所以选择D。
3. 已知数列{an}的前n项和Sn = n3 + 2n2 + n，则该数列的通项公式为：A. an = n3 + 2n2 + nB. an = 3n + 2C. an = n2 + n + 1D. an = 2n2 + 4n + 2解析：对已知的Sn进行分解，得Sn = n(n+1)(n+1)/2 + n(n+1)/2 + n= n(n+1)[(n+1)/2 + 1/2 + 1] = n(n+1)(n+2)/2。
所以选择A。
二、填空题1. 设数列{an}满足an = 2n2 - 3n，则该数列的前6项的和S6为_______。
解析：将数列的通项公式代入求和公式，得S6 = 2(1^2) - 3(1) +2(2^2) - 3(2) + 2(3^2) - 3(3) + 2(4^2) - 3(4) + 2(5^2) - 3(5) + 2(6^2) - 3(6) = 310。
2. 设数列{an}满足a1 = 1，an = an-1 + 2n - 1，则该数列的前5项分别为_______。
解析：根据递推关系式，可以得到a2 = a1 + 2(2) - 1 = 4，a3 = a2 +2(3) - 1 = 10，a4 = a3 + 2(4) - 1 = 18，a5 = a4 + 2(5) - 1 = 28。
数学奥赛的冲刺数列与级数练习题集
数学奥赛的冲刺数列与级数练习题集一、数列练习题1. 已知数列{an}满足递推关系an = 3an-1 + 4，其中a1 = 2。
求a5的值。
2. 数列{bn}满足递推关系bn = 2bn-1 - 3，其中b1 = 5。
求b6的值。
3. 设数列{cn}满足递推关系cn+1 = cn + 3，且c1 = 1，求c10的值。
4. 已知等差数列{dn}的前n项和为Sn = 2n^2 + 3n，求d5的值。
5. 数列{en}满足递推关系en+1 = en^2 + en，且e1 = 1，求e4的值。
二、级数练习题1. 判断级数∑(1/n^2)的敛散性，并说明理由。
2. 求级数∑(1/2^n)的和。
3. 判断级数∑(n!/n^n)的敛散性，并说明理由。
4. 求级数∑(1/(n(n+1)))的和。
5. 判断级数∑(sqrt(n)/n^2)的敛散性，并说明理由。
三、解题技巧与方法1. 数列的通项公式推导方法。
2. 求等差数列前n项和的方法。
3. 递推数列的求解方法。
4. 求级数部分和的方法。
四、挑战题1. 设数列{fn}满足递推关系fn+1 = fn^2 + 1，且f1 = 1。
求f10的值。
2. 求级数∑(n^3/(n^4 + 1))的和。
3. 设等差数列{gn}的前n项和为Sn = An^3 + Bn^2 + Cn，其中A、B、C为常数，求等差数列{gn}的通项公式。
4. 设级数∑(an)收敛，若bn = an + 1，判断级数∑(bn)的敛散性，并说明理由。
5. 证明级数∑(1/n^2)收敛。
以上是数学奥赛的冲刺数列与级数练习题集，希望能对你的数学能力提升有所帮助。
挑战极限数列与级数练习题集
挑战极限数列与级数练习题集一、数列题目：1. 求下列数列的通项公式：(a) 1, 3, 5, 7, 9, ...(b) 2, 4, 8, 16, 32, ...(c) 3, 9, 27, 81, 243, ...(d) 1, -3, 9, -27, 81, ...2. 求下列数列的和：(a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...(b) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ...(c) 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + ...(d) -1 + 2 - 4 + 8 - 16 + ...二、级数题目：1. 确定下列级数的收敛性：(a) 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...(b) 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...(c) 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...(d) 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...2. 求下列级数的和：(a) 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...(b) 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ...(c) 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...(d) 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ...三、解析与解答：1. 数列题目：在求数列的通项公式时，我们需要观察数列的规律。
对于问题1，(a) 数列的公差为2，首项为1，可以得到通项公式为an = 2n - 1；(b)数列的公比为2，首项为2，可以得到通项公式为an = 2^n；(c) 数列的公比为3，首项为3，可以得到通项公式为an = 3^n；(d) 数列的公比为-3，首项为1，可以得到通项公式为an = (-1)^n * 3^n。
在求数列的和时，我们可以使用数学公式来计算。
对于问题2，(a)数列为等差数列，公差为1，首项为1，所以可以使用等差数列求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2，其中n为项数，a1为首项，an为末项；(b) 数列为等差数列，公差为2，首项为2，使用同样的公式计算即可；(c)数列为等比数列，公比为2，首项为3，可以使用等比数列求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中q为公比；(d) 数列为等比数列，公比为-2，首项为-1，使用同样的公式计算即可。
数列与级数收敛性练习题判断数列与级数的收敛性与性质
数列与级数收敛性练习题判断数列与级数的收敛性与性质数列与级数的收敛性是数学中的重要概念，在实际问题中有广泛的应用。
本文将通过一系列练习题来讨论数列与级数的收敛性与性质。
1. 判断数列的收敛性1.1 数列 {an} = 1/n，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列的值趋近于0，即lim(n→∞)1/n = 0，因此数列 {an} 收敛，收敛值为0。
1.2 数列 {bn} = (-1)^n/n，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列的值在正负1之间交替变化，即数列 {bn} 不收敛。
1.3 数列 {cn} = (2n + 3)/(3n + 1)，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列 {cn} 的值趋近于2/3，即lim(n→∞)(2n + 3)/(3n + 1) = 2/3，因此数列 {cn} 收敛，收敛值为2/3。
2. 判断级数的收敛性2.1 级数Σ(1/n)，n从1到无穷大解析：根据数列的收敛性知识，当数列 {an} = 1/n 收敛时，级数Σ(1/n)收敛。
根据前面的讨论，数列 {an} = 1/n 收敛于0，因此级数Σ(1/n)收敛。
2.2 级数Σ((-1)^(n-1)/n)，n从1到无穷大解析：该级数为调和级数的交替形式，称为莱布尼茨级数。
根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。
且根据调和级数的性质，级数Σ((-1)^(n-1)/n)的收敛值为ln(2)。
2.3 级数Σ((2n + 3)/(3n + 1))，n从1到无穷大解析：利用比值判别法来判断级数的收敛性。
设an = (2n + 3)/(3n+ 1)，则有 an+1/an = ((2n+5)/(3n+4)) * ((3n+1)/(2n+3)) = (6n^2 + 22n+15)/(6n^2 + 22n + 12)。
当n趋近于无穷大时，(6n^2 + 22n +15)/(6n^2 + 22n + 12)趋近于1/1 = 1，即lim(n→∞)(an+1/an) = 1。
《数列与级数》测试题与答案
《数列与级数》测试题与答案数列与级数测试题与答案1. 数列和级数的基本概念- 什么是数列？什么是级数？- 数列的通项公式是什么？级数的通项公式是什么？2. 数列的性质- 数列的有界性和单调性分别是什么意思？- 怎样判断一个数列是递增的还是递减的？- 什么是数列的极限？3. 级数的性质- 什么是级数的收敛和发散？- 怎样判断一个级数是收敛的？- 怎样计算级数的部分和？4. 常见数列和级数- 等差数列和等比数列分别是什么？- 常见级数如几何级数和调和级数有什么特点？- 如何计算这些常见级数的和？5. 应用题- 给定一个数列，如果已知前几项求后续项如何计算？- 求一个级数的和，如何利用数列的性质简化计算？答案：1. 数列和级数的基本概念- 数列是按照一定顺序排列的一系列数的集合，级数是数列各项的和。
- 数列的通项公式是数列的第n项与n的关系式，级数的通项公式是级数的第n项与n的关系式。
2. 数列的性质- 数列有界性是指数列存在一个上界和下界，单调性是指数列的各项按照一定的规律递增或递减。
- 可以通过比较数列的相邻项的大小关系来判断数列是递增的还是递减的。
- 数列的极限是指当n趋近于无穷大时，数列的值趋近于某个常数。
3. 级数的性质- 级数的收敛是指级数的部分和的值在某个数值范围内趋于稳定，发散是指级数的部分和的值无限增大或无限减小。
- 可以通过判断级数的通项是否趋近于0来初步判断级数是否收敛。
- 级数的部分和是指级数的前n项的和，可以通过求和公式或者递推公式计算。
4. 常见数列和级数- 等差数列是指数列中相邻两项之差为常数的数列，等比数列是指数列中相邻两项之比为常数的数列。
- 几何级数是等比数列的和，调和级数是指数列中各项的倒数之和。
- 常见级数的和可以通过公式求解，如等差数列和等比数列的求和公式，以及几何级数和调和级数的收敛公式。
5. 应用题- 已知数列的前几项，可以通过找到数列的通项公式来计算后续项。
等差数列与等差级数的练习题
第一章：等差數列與等差級數 第一節：等差數列一、選擇1. （ ）若一等差數列的首項為4，公差是－3，則此數列的第10項為多少？(A)31 (B)34 (C)－23 (D)－26《答案》C2. （ ）一等差數列的公差為d ，將此數列的每一項都加3得一新數列，則下列敘述何者錯誤？(A)新數列為等差數列(B)新數列的公差為d ＋3(C)新數列首項比原數列首項多3(D)新數列的公差為d《答案》B3. （ ）若一等差數列的前四項是a 1，a 1＋d ，a 1＋2d 、a 1＋3d ，則此數列的第18項為多少？(以a 1、d 表示)(A)a 1＋17d (B)a 1＋18d (C)a 1＋19d (D)a 1＋20d《答案》A4. （ ）有一等差數列，公差為－4，若將此等差數列各項同乘 3 4，再加上5，則新數列的公差為多 少？(A)－3 (B)2 (C)3 (D)－8《答案》A5. （ ）下面各數列中，哪些是等差數列？甲：1 ,1 , 1 , 1 , 1 , 1乙：2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 丙：1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 丁： 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3 , 5 3 , 6 3(A)甲、乙 (B)乙、丙、丁(C)甲、乙、丁 (D)甲、乙、丙、丁《答案》C6. （ ）若 1 5 , 1 x , 1 11成等差數列，則x ＝？ (A) 7 55 (B) 8 55 (C) 55 8 (D) 55 7《答案》C 7. （ ）下列何者不是等差數列？ (A)0 , 0 , 0 , 0(B)8 , 10 , 12 , 14 , 16(C) 1 2 , 1 3 ， 1 4 ， 1 5 ， 1 6(D)10～30所有6的倍數依序所成的數列《答案》C8. （ ）已知一等差數列的第2項是3，第6項是－25，則其首項為何？(A)－1 (B)－4 (C)－7 (D)10《答案》D9. （ ）關於數列5 , 8 , 11 , 14 , 17 , …的敘述，下列何者錯誤？(A)此數列為等差數列(B)此數列的公差為3(C)此數列的第8項是26(D)數字61是此數列的第20項《答案》D10. （ ）附圖是用133根牙籤所排成的 n 個小三角形，則n ＝？(A)64 (B)65 (C)66 (D)68《答案》C11. （ ）「－4」為下列哪一個選項中兩個數字的等差中項？(A)－2、－8 (B)2、－6(C)1、－8 (D)－1、－7《答案》D12. （ ）已知一等差數列的公差為d ，若將各項值都乘以2之後，則新數列的變化為何？(A)依然為等差數列，公差為2d(B)依然為等差數列，公差為 d 2(C)依然為等差數列，公差為d(D)不是等差數列《答案》A13. （ ）等差數列－8 , －5 , －2 , 1 , 4，則其公差為何？(A)3 (B)12 (C)13 (D)－3《答案》A14. （ ）已知一等差列首項為93，末項為2，公差為－7，則此等差數列有幾項？(A)13 (B)14 (C)15 (D)16《答案》B15. （ ） 在1～300且個位數字為 3的正整數，自小到大排列的數列中，請問下列敘述何者不正確？(A)此數列為等差數列 (B)此數列公差為10(C)此數列末項為293 (D)此數列共有29項《答案》D16. （ ）已知1 , a ,b , c , 19 3,……為一等差數列，則6(b －a )之值可被下列何者整除？ (A)2 (B)3 (C)5 (D)7《答案》A17. （ ）下列何者為等差數列？(A)1 , －1 , 1 , －1 (B)1 , 1 2 , 1 3 , 1 4(C)1 , 2 , 4 , 8 (D)3 , 3 , 3 , 3《答案》D18. （ ）若一數列－ 1 3 , a 9 , 5 9, b 為等差數列，則a ×b ＝？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4《答案》A19. （ ）已知等差數列首項為－5，公差為4，則下列哪一個數為此數列其中的一項？(A)13 (B)21 (C)29 (D)39《答案》D20. （ ）若2為 x 和5的等差中項，且x 為y 和－5的等差中項，則x 、y 的等差中項為多少？(A)－2 (B)－1 (C)1 (D)2《答案》C21. （ ）數線上A (8)、B (x )、M (13)三點，若M 點到A 點的距離與M 點到B 點的距離相同，則x＝？22. （ ）若17 , x, 35三數成等差數列，則x之值是下列哪一個數的倍數？(A)3 (B)5 (C)11 (D)13《答案》D23. （ ）a ,b, c, d,e五點依序在數線上，且b ,c , d分別為a與e之間的等分點，則下列敘述何者不正確？(A)b是 a與 c的等差中項 (B)c 是b 與d的等差中項(C)c是a 與e的等差中項 (D)a＋b＋c＋d＋e＝3c《答案》D24. （ ）一等差數列共有五項，其首、末兩項之和為200，則中間三項之和為多少？(A)100 (B)150 (C)175 (D)300《答案》D25. （ ）已知一等差數列的首項為－101，第3 項為－97，則此數列第幾項開始為正數？(A)27 (B)51 (C)52 (D)103《答案》C26. （ ）若一等差數列的公差為d，則將各項值都加上2之後，新數列的變化為何？(A)依然為等差數列，公差為d＋2(B)依然為等差數列，公差為2d(C)依然為等差數列，公差為d(D)不是等差數列《答案》C27. （ ）若a與 b的等差中項為4，且2a－b 與 a＋2b的等差中項為9，則2a－b等於多少？(A)7 (B)0 (C)2 (D)8《答案》A28. （ ）有一數列2 , 8 , □ , 20 , 26 , 32 , 38，依某種規律排列而成，則可判斷□內之數字為何？(A)10 (B)12 (C)14 (D)16《答案》C29. （ ）下列何者不是等差數列？(A)0 , 0 , 0 , 0(B)1 , 1 , 1 , 1(C)－10到10之間所有整數的數列(D)1到20之間所有質數的數字《答案》D30. （ ）下列各數列中，哪些是等差數列？甲：3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3乙：1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11丙：1 , 13 ,15 ,17 ,19 ,111(A)甲，乙 (B)甲，丙(C)乙，丙 (D)甲，乙，丙《答案》A31. （ ）若一等差數列的公差為4，第5項為13，則首項是多少？(A)－3 (B)1 (C)5 (D)9《答案》A32. （ ）一等差數列共有6項，若末項比首項多 50，則其公差＝？(A)5 (B)6 (C)10 (D)12《答案》C33. （ ）一等差數列第3項為3 2 ，第5項為5 2 ，則第8項等於多少？34. （ ）已知一數列的前八項為1 , 4 , 5 , 9 , 14 , 23 , 37 , 60，請觀察此數列的規律性，推斷此數列的第11項為何？(A)85 (B)97 (C)254 (D)411《答案》C35. （ ）若－3 , 0 , a ,b 成等差數列，則b －a ＝？(A)－3 (B)0 (C)3 (D)6《答案》C36. （ ）若a ≠0，試問下列哪一個數列不是等差數列？(A)5a , 7a , 9a (B)a ＋5 ,a ＋7 , a ＋9(C)a －9 ,a －7 , a －5 (D) 5 a , 7 a , 9a 《答案》D37. （ ）一等差數列共有9項，若末項比首項多 12，則這數列公差為多少？(A)2 (B) 3 2 (C)－ 3 2(D)－2 《答案》B38. （ ）有一等差數列的第3項為42，第6項為33，則首項與公差之和為多少？(A)39 (B)21 (C)48 (D)45《答案》D39. （ ）從1，2，3，4，5，6，7七個數字中，任取3個數字來組成等差數列，請問共有幾種取法？(A)9種 (B)8種 (C)7種 (D)6種《答案》A40. （ ）若一等差數列的首項為35，末項為－145，公差為－4，則此等差數列共有多少項？(A)44 (B)45 (C)46 (D)47《答案》C41. （ ）若2a －b 與a ＋2b 的等差中項為9，且 a －b ＝2，則a 與 b 的等差中項為何？(A)9 (B)4 (C)2 (D)0《答案》B42. （ ）設a ≠0，且4，a ，12三數的倒數成等差數列，則a ＝？(A) 113 21 (B) 120 17 (C) 1 6(D)6 《答案》D43. （ ）已知 5 4 ，a ， 11 4，b 成等差數列，則a ＋b ＝？ (A) 3 2 (B) 11 2 (C) 11 4(D)4 《答案》B44. （ ）若1＋3a , 6＋2a , 5－2a 三數成等差數列，則a ＝？(A)0 (B)－1 (C)－2 (D)－3《答案》C45. （ ）若2 , a ,b , c , 7為等差數列，則下列選項何者正確？(A)b ＝a ＋2 (B)b ＝7－c (C)b ＝a ＋c (D)b ＝ a ＋c 2《答案》D46. （ ）已知有兩等差數列，其中一數列首項為2，公差為2，另一數列首項為3，公差為3，則此兩數列的共同項所形成的數列中，其第4項為何？47. （ ）某六邊形的周長為75公分，它的邊長形成一個等差數列，已知最長的邊長為20公分，則此等差數列的公差為多少公分？(A)2 (B)3 (C)4 (D)5《答案》B48. （ ）在－1與8之間，插入5個數，使其成一等差數列，求插入的第2個數為多少？(A)2 (B)－3 (C)－4 (D)－5《答案》A49. （ ）直角三角形的三邊恰成等差數列，若面積為96平方公分，則此三角形的周長為多少公分？(A)48 (B)60 (C)72 (D)84《答案》A50. （ ）三數成等差數列，其和為180，且第一數與第三數之比為3：7，則第三數為多少？(A)84 (B)60 (C)36 (D)21《答案》A51. （ ）若a1 , a2 ,a4 ,……, a80 為一等差數列，且a2＞a5，則下列何者正確？(A)a8－a12＜0(B)a80＜0(C)a10＋a30＝a20＋a40(D)a7＋a20＝a5＋a22《答案》D52. （ ）在－8和12之間插入9個數，使此數列成為等差數列，則插入的第6個數是多少？(A)0 (B)2 (C)4 (D)5《答案》C53. （ ）有一數列：1 , 2, 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , ……，依此規律類推，則第40個數為何？(A)8 (B)9 (C)10 (D)11《答案》B54. （ ）設有四數成等差數列，且和為20，公差大於0，若首、末兩項的乘積為16，則其公差值為多少？(A)2 (B)2.5 (C)3 (D)4《答案》A55. （ ）若三角形三內角的度數成等差數列，則此三角形一定不是下列何種三角形？(A)鈍角三角形(B)銳角三角形(C)直角三角形(D)非正三角形的等腰三角形《答案》D56. （ ）若一三角形的三內角之度數為一等差數列，則此三角形的敘述下列何者正確？(A)此三角形的三邊長也會是等差數列(B)此三角形必為直角三角形(C)此三角形的三邊長比為1：2：3(D)此三角形必有一內角為60˚《答案》D57. （ ）若直角三角形三內角的角度成等差數列，則此三內角度數的比為下列何者？(A)3：4：5 (B)1：2：3 (C)2：3：4 (D)1：3：5《答案》B58. （ ）如圖，每一方格均有一整數，若每一橫列及每一直行均為等差數列，則斜線部分所代表的數為何？(A)9 (B)10 (C)11 (D)12《答案》B59. （ ）若甲、乙兩數的乘積為－35，其等差中項為1，則｜甲－乙｜＝？(A)－12 (B)2 (C)6 (D)12《答案》D60. （ ）若在a、70兩數之間插入23個數，使這25個數成一等差數列，已知插入的第11個數為5，則a＝？(A)－50 (B)－45 (C)－40 (D)－35《答案》A61. （ ）已知一等差數列的首項為－15，第2項為－9，若其公差為d，第25項為a，則a－d＝？(A)121 (B)123 (C)135 (D)144《答案》B62. （ ）一等差數列的首項為m(m＞0)，公差為－1，則第幾項是－m？(A)m (B)2m (C)m＋3 (D)2m＋1《答案》D63. （ ）若a , b,c ,d, e五數成等差數列，則下列何者不正確？(A)a＋e＝b＋d (B)a＋d＝b＋e(C)a－c＝b－d (D)2c＝a＋e《答案》B64. （ ）二個數列甲：1001 , 998 , 995 , ……，乙：1 , 3 , 5 , ……，若此兩數列的第n項相同，則n為何？(A)198 (B)199 (C)200 (D)201《答案》D65. （ ）已知一等差數列的首項為－96，第4項為－78，則此數列第幾項開始為正數？(A)16 (B)17 (C)18 (D)19《答案》C66. （ ）設a1 , a2 , a3 , a4 四數成等差數列，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝28，則公差d＝？(A)1 (B)2 (C)3 (D)4《答案》C67. （ ）已知等差數列a1 ,a2 ,……,a15 中，a2＋a14＝0，則下列何者正確？(A)此數列各項值均為0(B)a3＞a13(C)a8＝0(D)a5＋a10＝0《答案》C68. （ ）若a , b,c ,d四數成等差數列，則下列何者不是等差數列？(A)d , c, b,a (B)a＋b,b＋c, c＋d(C)a－b ,b－c, c－d (D)ab, bc, cd《答案》D69. （ ）一等差數列的第3項和第 7項互為相反數，則此等差數列的第5項是多少？(A)0 (B)1 (C)3 (D)任意數《答案》A70. （ ）有一等差數列，若第3項是首項的兩倍，則第8項是第 2項的幾倍？(A)5 (B)4 (C) 7 2(D)3 《答案》D71. （ ）已知數列a , b ,c 為等差數列，若公差為3，且a ＋5 , b ＋10 , c ＋15也是等差數列，則此數列的公差為何？(A)3 (B)5 (C)8 (D)10《答案》C72. （ ）若一等差數列的第6項為17，第12項為35，則下列敘述何者正確？(A)首項為3 (B)公差為2 (C)第20項為61 (D)第9項為26《答案》D73. （ ）某班有40人，第一次段考數學成績依次成公差為2分的等差數列，且沒有同分現象，只知最高分為98分，則不及格的有多少人？(A)19 (B)20 (C)21 (D)22《答案》B74. （ ）等差數列a 1 ,a 2 ,……,a 20 其首項與公差不相等，若a 3＋a 9＝16，則下列何者錯誤？(A)a 6＝8 (B)a 4＋a 8＝16(C)a 14－a 2＝16 (D)a 1＋a 11＝16《答案》C75. （ ）已知一三角形，其三內角成等差數列，則當公差為多少度時，這個三角形是一個直角三角形？(A)60˚ (B)40˚ (C)30˚ (D)20˚《答案》C76. （ ）等差數列a 1，a 2，a 3，……，a n ，其公差為d (其中d ≠0 且a 1≠d )，則下列何者錯誤？(A)a 1＋a 3＋a 8＝2a 6(B)a 7－a 2＝5d(C)a 2＋a 10＝a 4＋a 8(D)a 7－a 4＝a 10－a 7《答案》A77. （ ）若a , b ,c ,d 成等差數列，且公差為2，則下列敘述何者正確？(A)a 2 , b 2 , c 2 成等差數列(B)ab ,bc , cd 成等差數列(C)2a ＋3 , 2b ＋3 , 2c ＋3成等差數列(D)a ＋b , b ＋2c , c ＋3d 成等差數列《答案》C78. （ ）如果等差數列第2項為4，末項為28，公差為6，設這個等差數列的首項為a ，項數為 n ，則a ＋n 之值為多少？(A)2 (B)4 (C)6 (D)8《答案》B79. （ ）若a , b ,c ,d 四個數成等差數列，其公差為2，則下列何者正確？(A)a 2 ,b 2 ,c 2 成等差數列(B)ac ,bc ,cd 成等差數列(C)3a ＋2 , 3b ＋2 , 3c ＋2成等差數列(D)a ＋b , b ＋2c , c ＋3d 成等差數列《答案》C80. （ ）有一數列12 , 9 , 6 , 3 , 0 , －3，則下列敘述何者錯誤？(A)此數列為等差數列(B)此數列公差為3(C)此數列首項為12(D)依此規則延續此數列，必有一項為－42《答案》B81. （ ）設一等差數列共有9項，若首、末兩項的和為60，則其餘的7項的和為多少？(A)420 (B)360 (C)240 (D)210《答案》D82. （ ）在坐標平面上，由點A 1(－52 , 47)向右移5個單位長，再向下移3個單位長到達A 2，繼續由A 2 同樣向右移5個單位長，再向下移3個單位長，到達A 3，如此繼續移動，依次可到 達A 4，A 5，A 6，A 7，……，則點A 12 在第幾象限？(A)一 (B)二 (C)三 (D)四《答案》A83. （ ）設a 1 ,a 2 ,……,a 79 為一等差數列，其總和為0，且a 55＝55，試問下列何者正確？(A)a 1＋a 79＞0(B)a 2＋a 78＜0(C)a 1,a 3 ,a 5 ,a 7 成等差數列(D)a 22＝2《答案》C84. （ ）有一等差數列的首項為50，第3項為38，若從第n 項開始出現負數，則 n 為多少？(A)8 (B)9 (C)10 (D)11《答案》C85. （ ）甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八個人由左而右依序坐成一列。
高中数学练习题附带解析数列与级数的收敛与发散
高中数学练习题附带解析数列与级数的收敛与发散本文将提供一组高中数学练习题，并附有详细的解析。
主要涉及数列与级数的收敛与发散。
以下是各类题型的示例：一、选择题1. 判断下列数列的级数是否收敛。
① an = (1/2)^n② an = 1/n!③ an = n/2^nA.①收敛，②、③发散B.①、③收敛，②发散C.①、③发散，②收敛D.①、②、③均收敛分析：对于①，容易发现是一个几何级数，首项为1，公比小于1，因此收敛；对于②，题目中$n!$是$n$的阶乘，因此$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0$，由比较判别法知该级数收敛；对于③，该级数同样是一个几何级数，但是公比大于1，因此发散。
选C。
二、填空题2. 已知数列${a_n}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n+1}$，则$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=$________。
分析：将通项公式带入级数求和公式中可得：$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n+1}$ $=\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{n+1}$$=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+ \cdots +\frac{1}{n+n}$$=\ln 2$因此，答案为$\ln 2$。
三、计算题3. 计算级数$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2+2n}$。
分析：将被加数写成完全平方数形式，即：$n^2+2n=(n+1)^2-1$因此，$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2+2n}$$=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{(n+1)^2-1}$$=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=2}^\infty \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)$$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}- \cdots\right)$$=\frac{1}{2}(1)$$=\frac{1}{2}$因此，答案为$\frac{1}{2}$。
数列与级数的极限计算练习题及解析
数列与级数的极限计算练习题及解析数列和级数是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域的计算与分析中。
本文将提供一些数列和级数的极限计算练习题，并给出详细的解析。
一、数列的极限计算练习题及解析1. 求数列{an}的极限，其中an = 2^n / n!。
解析：根据数列的定义，当n趋于无穷大时，数列{an}的极限即为极限值L。
计算数列的前几项可以发现：a1 = 2^1 / 1! = 2/1 = 2a2 = 2^2 / 2! = 4/2 = 2a3 = 2^3 / 3! = 8/6 = 4/3a4 = 2^4 / 4! = 16/24 = 2/3可以猜测当n趋于无穷大时，an的极限可能为0。
下面通过数学归纳法证明：首先，当n=1时，an = 2^1 / 1! = 2/1 = 2 > 0，假设当n=k时，an > 0成立。
当n=k+1时，an+1 = 2^(k+1) / (k+1)! = 2 * (2^k / k!) = 2 * an / (k+1)。
根据假设，an > 0，且k+1 > 0，所以an+1 > 0。
综上所述，an > 0对于任意正整数n成立。
再观察数列的变化：an+1 = 2 * an / (k+1) < an根据数列单调有界原理，an是一个单调递减有下界的数列，所以该数列必有极限。
设该数列的极限为L，则当n趋于无穷大时，an和an+1都趋于L，即：L = 2 * L / (k+1)解得L = 0。
因此，数列{an}的极限为0。
2. 求数列{bn}的极限，其中bn = n^n / (n!)^2。
解析：根据数列的定义，当n趋于无穷大时，数列{bn}的极限即为极限值L。
计算数列的前几项可以发现：b1 = 1^1 / (1!)^2 = 1/1 = 1b2 = 2^2 / (2!)^2 = 4/4 = 1b3 = 3^3 / (3!)^2 = 27/36 = 3/4b4 = 4^4 / (4!)^2 = 256/576 = 8/18 = 4/9可以猜测当n趋于无穷大时，bn的极限可能为0。
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数列与级数练习题集
1. 数列的定义及性质
数列是指按照一定规律排列的一组数。
数列的通项公式表示为an，
其中n表示数列中的位置，an表示该位置上的数值。
数列可分为等差数列和等比数列两种常见类型。
等差数列的特点是
相邻两项之差恒定，可以用通项公式an = a1 + (n - 1)d来表示，其中a1
为首项，d为公差。
等比数列的特点是相邻两项之比恒定，通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
2. 求等差数列的和
对于等差数列，可以利用求和公式来求得前n项的和Sn。
求和公式为Sn = (a1 + an)n/2，其中a1为首项，an为末项。
以下是一道计算等差数列和的练习题：
题目：已知等差数列的首项a1为3，公差d为2，计算该数列前10
项的和。
解析：根据公式，可得到数列的通项公式为an = 3 + (n - 1)2 = 2n + 1。
将n从1到10代入通项公式，得到前10项分别为3，5，7，9，11，13，15，17，19，21。
将这些项相加，可得到前10项的和Sn = (3 + 21) * 10 / 2 = 120。
3. 求等比数列的和
对于等比数列，可以利用求和公式来求得前n项的和Sn。
求和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a1为首项，r为公比。
以下是一道计算等比数列和的练习题：
题目：已知等比数列的首项a1为2，公比r为0.5，计算该数列前8
项的和。
解析：根据公式，可得到数列的通项公式为an = 2 * (0.5)^(n-1)。
将
n从1到8代入通项公式，得到前8项分别为2，1，0.5，0.25，0.125，0.0625，0.03125，0.015625。
将这些项相加，可得到前8项的和Sn = 2 * (1 - (0.5)^8) / (1 - 0.5) = 3.9375。
4. 级数的定义及性质
级数是将数列的每一项相加得到的和。
级数可以分为无穷级数和有
限级数两种类型。
无穷级数的和称为发散或收敛，具体取决于其和是
否有限。
常见的无穷级数有等比级数和调和级数。
等比级数的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，求和公式为Sn = a1 / (1 - r)，其中a1为首项，r为公比。
调和级数的通项公式为an = 1/n，求和公式为Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... +
1/n。
5. 求等比级数的和
对于等比级数，可以利用求和公式来求得其和。
求和公式为Sn = a1 / (1 - r)，其中a1为首项，r为公比。
以下是一道计算等比级数和的练习题：
题目：已知等比级数的首项a1为2，公比r为0.5，计算该级数的和。
解析：根据公式，可得到级数的求和公式为Sn = 2 / (1 - 0.5) = 4。
总结：
数列和级数作为数学中常见的概念和计算方法，在数学的应用和理
论中具有广泛的应用。
通过学习数列与级数的定义、求和公式以及应用，可以更好地理解数学中的变化与规律，提升解题能力和思维逻辑。
掌握数列与级数的相关知识，对于进一步学习数学和应用数学都具有
重要的意义。