级数习题 有答案
级数习题课
解：∵ an xn 在 x 3处条件收敛，而 3 0 ，
n0
∴ an xn 在 x 3 3时绝对收敛 ，∴ R 3 。
n0
若 R 3 ,则 an xn 在 x 3处应绝对收敛 ，这与已知矛盾，∴ R 3 。
n0
12．设 an xn 的收敛半径为 3，则 nan (x 1)n1 的收敛区间为_____。
ln 1 1
x x
,
x
(1,1).
（2）
n1(2n
1 1)4n
n1
( 1 )2n 2 2n 1
1 2 n1
(
1 )2n1 2 2n 1
1 2
S(
1 2
)
1 2
1 2
ln
1 1
1
2 1
1 ln3. 4
2
14．已知 n 1 xn ( - x ) ，则其和函数 S(x) ______，
3 lim 1 n (1 1 )n
3 e
0
，∴
n1
3n n (1 n)
n
发散。
n
注：∵ lim n
n
un
lim n
n
3n n (1 n) n
lim n n 3 1， n 1n
∴本题不能用根值法判定，必然不能用比值法判定。
20．
4n
n15n 3n
解法 1（比值法）：
∵ lim un1 lim
n1
n
n
∵ n n(un un1) u1 u0 2u2 2u1 3u3 3u2 nun nun1
k 1
nun (u0 u1 u2 u3 un1) ，∴ Sn nun n ，
∵ lim Sn lim (nun n ) AS ，∴ un AS 。
数列与级数练习题及解析
数列与级数练习题及解析一、选择题1. 设数列{an}满足an = n2 + 3n + 2，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 4解析：根据公式an = a1 + (n-1)d，可以得到n2 + 3n + 2 = a1 + (n-1)d。
对比系数可得a1 = 2，d = 3。
所以选择C。
2. 已知数列{an}的通项公式an = 2n3 + 5n，则数列前4项的和Sn为：A. 72B. 85C. 104D. 119解析：将通项公式代入求和公式Sn = n(a1 + an)/2，得Sn = n(2 +2n2 + 5)/2 = 2n2 + 5n。
将n分别取1、2、3、4代入，得S1 = 7，S2 = 24，S3 = 51，S4 = 88。
所以选择D。
3. 已知数列{an}的前n项和Sn = n3 + 2n2 + n，则该数列的通项公式为：A. an = n3 + 2n2 + nB. an = 3n + 2C. an = n2 + n + 1D. an = 2n2 + 4n + 2解析：对已知的Sn进行分解，得Sn = n(n+1)(n+1)/2 + n(n+1)/2 + n= n(n+1)[(n+1)/2 + 1/2 + 1] = n(n+1)(n+2)/2。
所以选择A。
二、填空题1. 设数列{an}满足an = 2n2 - 3n，则该数列的前6项的和S6为_______。
解析：将数列的通项公式代入求和公式，得S6 = 2(1^2) - 3(1) +2(2^2) - 3(2) + 2(3^2) - 3(3) + 2(4^2) - 3(4) + 2(5^2) - 3(5) + 2(6^2) - 3(6) = 310。
2. 设数列{an}满足a1 = 1，an = an-1 + 2n - 1，则该数列的前5项分别为_______。
解析：根据递推关系式，可以得到a2 = a1 + 2(2) - 1 = 4，a3 = a2 +2(3) - 1 = 10，a4 = a3 + 2(4) - 1 = 18，a5 = a4 + 2(5) - 1 = 28。
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
第四章 级数(答案)
复变函数练习题 第四章 级数系 专业 班 姓名 学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数一、选择题：1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]（Ａ）11(1)n in n ∞=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞=-∑ 2．若幂级数nn n c z∞=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定()122i Abel +=>，由定理易得3．幂级数10(1)1n n n z n ∞+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln1z + （D ） 1ln 1z- '100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题：1．设(1)2nn i α-=+，则lim n n α→∞= 0 。
2．设幂级数nn n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0(21)n n n n c z ∞=-∑的收敛半径为2R 3．幂级数!nn n n z n ∞=∑的收敛半径是 e 。
第四章级数（答案）
第四章级数（答案）复变函数练习题第四章级数系专业班姓名学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L ⼀些重要的级数⼀、选择题:1.下列级数中绝对收敛得就是 [ ] (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)2.若幂级数在处收敛,那么该级数在处得敛散性为 [ ](A )绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)不能确定3.幂级数在内得与函数为 [ ] (Ａ) (B) (C) (D)'100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n nz z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==-=-=?? ?++??--==+ +++?∑∑∑∑?? ⼆、填空题:1.设,则 0 。
2.设幂级数得收敛半径为,那么幂级数得收敛半径为3.幂级数得收敛半径就是 e 。
4.幂级数(为正整数)得收敛半径就是 1 。
三、解答题:1.判断下列数列就是否收敛？如果有极限,求出它们得极限。
(1) (2)2.判断下列级数得敛散性。
若收敛,指出就是绝对收敛还就是条件收敛。
判断绝对收敛得两种⽅法: (1)绝对级数就是否收敛(2)实部与虚部得绝对级数就是否收敛 (1)11sin ()32323322332n n nnn nnnn n n in n e e n n e e n ne e -∞∞==-==-∑∑由级数及级数收敛，可得原级数绝对收敛(4)2111(1)(1)[]ln ln 2ln(21)(1)(1)ln 2ln(21)n k kn k k kk k i i n k k k k ∞∞==∞∞==--=++--+∑∑∑∑由于和为交错级数，由莱布尼兹准则，1111ln 2ln(21)k k k k ∞∞==+∑∑级数收敛，故原级数收敛。
无穷级数必考经典习题(附答案).pdf
无穷级数同步测试一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（ ）()A 若lim 0→∞≠n n u ，则级数21∞=∑n n u 发散.()B 若级数1∞=∑n n u 绝对收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()C 若级数1∞=∑n n u 收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()D 若级数21∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u 收敛.2．已知幂级数1(1)∞=−∑nn n a x 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该级数的收敛域（ ）()[0,2)()(0,2]()(0,2)()[0,2]A B C D3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径1=R ，则幂级数0!∞=∑n n n a x n 的收敛域为（ ）()(1,1)()[1,1)()(1,1]()(,)−−−−∞+∞A B C D4. 设常数0>x ，则级数11(1)sin ∞−=−∑n n x n （ ）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与x 有关二、填空题5. 级数11()2∞=∑nn n 的和为 .6．2!lim(!)→∞=n n n .7．已知级数22116π∞==∑n n ，则级数211(1)∞=−=∑n n n .8．幂级数2101!∞+=∑n n x n 的和函数()=S x . 三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.级数∞=n n .又由于0=n，但=n u 不是单调递减的，由此得出该级数不满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.10.讨论级数21(0)(1)(1)(1)∞=≥+++∑nn n x x x x x 的敛散性.11.求级数11(21)2∞=+∑nn n n 的和. 12.将2()ln(3)=−f x x x 展开为1−x 的幂级数. 13.求极限2313521lim()2222→∞−++++nn n . 14.验证函数3693()1()3!6!9!(3)!=++++++−∞<<+∞n x x x x y x x n 满足微分方程()()()'''++=xy x y x y x e ，并求幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试B 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.若lim 0→∞≠n n u ，则2lim 0→∞≠nn u ，因此级数21∞=∑n n u 发散， ()A 正确；若1∞=∑n n u 绝对收敛，即1∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，2lim lim 01→∞→∞==<nn n n nu u u根据正项级数的比较审敛法知21∞=∑n n u 收敛，()B 正确；若级数21∞=∑n n u 收敛，则2lim 0lim 0→∞→∞=⇒=nn n n u u ，()D 正确； 故选()C .事实上，令(1)=−nn u ，则1∞=∑n n u 收敛，但2111∞∞===∑∑n n n u n发散. 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法. 『特别提醒』 比较审敛法只限于正项级数使用.2.解 由于幂级数1(1)∞=−∑n n n a x 在0=x 处收敛，则该级数在以1为中心，以0和1之间的距离1为半径的开区间11−<x ，即02<<x 内，级数绝对收敛.又级数在2=x 处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外11−>x ，即0<x 或2>x 内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.3. 解 由于1∞=∑n n n a x 的收敛半径1=R ，则有1lim1→∞+=nn n a a . 幂级数0!∞=∑nn n a x n 的收敛半径为 11!lim lim (1)(1)!→∞→∞++'==+=+∞+nn n n n n a an R n a a n ，因此收敛域为(,)−∞+∞，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛半径和收敛域. 由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+∞R .4. 解 由于存在充分大的n ，有,sin 02π<>x xn n，所以从某时刻开始，级数1(1)sin ∞−=−∑k k nxk 是交错级数，且满足 sin sin ,limsin 01→∞≤=+k x x x k k k ，即满足莱布尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n 项）不影响级数的敛散性，因此原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 收敛.又由于sinlim 01→∞=>n xn x n，因此级数111(1)sin sin ∞∞−==−=∑∑n n n x x n n 发散，所以原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 条件收敛，故选()B .『方法技巧』 本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』 解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性. 二、填空题 5. 2 6. 0 7. 212π− 8. 2x xe答案详细解析5. 解 考查幂级数1∞=∑n n nx ，其收敛域为(1,1)−.由111∞∞−===∑∑nn n n nx x nx，令11()∞−==∑n n f x nx ，则111()1∞∞−=====−∑∑⎰⎰xxn n n n x f x dx nx dx x x因此21()()1(1)'==−−x f x x x ，故21()(1)∞===−∑nn x nx xf x x ，所以 2111112()()21222(1)2∞====−∑n n n f 『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛域及和函数.求常数项级数的和经常转化为讨论幂级数的和函数在确定点的值.『特别提醒』 在幂级数求和时，经常使用逐项积分和逐项求导的方法，将其转化为熟悉的幂级数（如等比级数），注意级数的第一项（0=n 或1=n ）.6. 解 考虑级数21!(!)∞=∑n n n ，由比值审敛法 212(1)!(!)1lim lim lim 01![(1)!]1+→∞→∞→∞+===<++n n n n nu n n u n n n 因此级数21!(!)∞=∑n n n 收敛，由收敛级数的必要条件得2!lim 0(!)→∞=n n n . 『方法技巧』 本题考查利用收敛级数的必要条件求极限.这是求数列极限的一种方法，有些数列变形十分复杂，可考虑将其作为级数的一般项讨论.7. 解 由题设 222211111236π∞==+++=∑n n，则2222222111111111(2)42464624ππ∞∞====++=⨯=∑∑n n n n 22222222111111111(21)35(2)6248πππ∞∞∞====+++=−=−=−∑∑∑n n n n n n 故 222222222111111111(1)122234(21)6812πππ∞∞∞===−=−+−+−=−=−⨯=−−∑∑∑nn n n n n n 『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.8. 解 由于函数xe 的幂级数展开式为 01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n ，而 2122000111()!!!∞∞∞+=====∑∑∑n n n n n n x x x x x n n n 因此 22120011()()!!∞∞+=====∑∑n n x n n S x x x x xe n n .『方法技巧』 本题考查指数函数()=x f x e 的幂级数展开式01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n 一般而言，若幂级数的系数为1!n 时，求和时可能与指数函数x e 有关；若幂级数的系数为1(21)!−n 或1(2)!n 时，求和时可能与三角函数sin x 或cos x 有关.三、解答题9. 解 判断条件收敛的运算过程是错误的.由于lim11→∞→∞===n n n n u ，因此由比较审敛法知，级数∞=n2∞=n n 不是绝对收敛的.错误在于：莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件，不是必要的，因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件，级数就一定不收敛.本题的正确解法要用级数收敛的充分必要条件，即研究lim →∞n n S 是否存在.正确解法：212⎛=+++ ⎝n S n由于每个括号均为负数，因此2n S 单调递减，且有212⎛=+++⎝n S n12⎛>+++⎝n=> 因此2lim →∞n n S 存在，不妨设2lim →∞=n n S S ，而21221221lim lim()lim lim 0+++→∞→∞→∞→∞=+=+=+=+=n n n n n n n n n n S S u S u S S S从而得到lim →∞=n n S S ，即级数∞=n n .『方法技巧』 本题考查绝对收敛和条件收敛的概念、莱布尼茨定理的应用及级数收敛的充分必要条件.1∞=∑nn u收敛⇔部分和n S 的极限存在，即lim →∞=n n S S『特别提醒』 莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件，即使不满足莱布尼茨定理，级数也可能收敛.10. 解 由于级数的一般项中含有连乘的形式，所以用比值审敛法1111lim 0 111limlim0111 12→∞+++→∞→∞⎧⎪=>⎪⎪+⎪⎪==≤<⎨+⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n n n n n n n nx x x u xx x u x x 故对任意的0≥x ，原级数均收敛.『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法.若正项级数的一般项中含有连乘（包括阶乘!n ）时，一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性.『特别提醒』 由于x 的范围不同，1lim+→∞n n nu u 不同，故需要分别进行讨论，但不论什么情况，极限值均小于1，因此级数收敛.11. 解 考虑幂级数21(21)∞=+∑nn x n n由于2211(1)(23)limlim 1(21)+→∞→∞++==+n n n nu n n x x u n n ，故其收敛半径为1=R ，而当1=±x 时，级数11(21)∞=+∑n n n 均收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]−.令 22111()(1)(21)(21)+∞∞====<++∑∑n n n n x x S x x x n n n n则 2212112(),()21∞∞−=='''===−∑∑n n n n x xS x S x x n x 因此 22002()(0)()ln(1)1''''−===−−−⎰⎰xxxS x S S x dx dx x x又 (0)0'=S ，则 2()ln(1)'=−−S x x ，同理2201()(0)()ln(1)ln(1)2ln1+'−==−−=−−+−−⎰⎰xxxS x S S x dx x dx x x x x而 (0)0=S ，则 21()ln(1)2ln1+=−−+−−xS x x x x x，故1111)](21)22∞====+−+∑nn n n2ln 21)=++『方法技巧』 本题考查利用幂级数求常数项级数的和，这是一种常用方法，关键要做出合适的幂级数.本题由于级数一般项的分母中含有因式21+n ，故所做级数为21(21)∞=+∑n n x n n，此时只要令=x ，即为所求的常数项级数.『特别提醒』 在求幂级数的和时，不要忽略了收敛域的讨论，要保证常数项级数是幂级数取收敛域内的点.12. 解 2()ln(3)ln ln(3)=−=+−f x x x x x1ln[1(1)]ln[2(1)]ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−++−=+−+++xx x x 由于 234111ln(1)(1)(1)(11)234∞−−=+=−+−++−+=−−<≤∑nnn n n x x x x x x x x nn则 11111()(1)2()ln 2(1)(1)∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n n n x x f x n n12111(1)(1)ln 2(1)(1)2∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n nn n x x n n 111(1)ln 2[(1)]2∞−=−=+−−∑nn n n x n且满足1111112−<−≤⎧⎪⎨−−<≤⎪⎩x x，即 02<≤x . 『方法技巧』 本题考查形如()ln(1)=+f x x 的函数展开式及收敛域11−<≤x .首先将2()ln(3)=−f x x x 化为1()ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−+++xf x x ，将第一项中的1−x 看成标准形中的x ，第二项中的12−x看成标准形中的x ，再展开. 『特别提醒』 ()ln(1)=+f x x 的展开式可以用如下方法记忆：由于 231111111(1)(1)1∞−−−−==−+−++−+=−+∑n n n n n x x x xx x两边积分得11234011111(1)(1)ln(1)1234−−∞=−−+==−+−+++=+∑⎰n n xnnn x dx x x x x x x x n n13. 解 所求极限实际上是级数1212∞=−∑nn n 的和，因此可考虑幂级数 221(21)∞−=−∑n n n x令 22221222111()(21)()()1(1)∞∞−−==+''=−===−−∑∑n n n n x x S x n xxx x故2321113521112lim()31222222(1)2→∞+−++++===−n n n S 『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.『特别提醒』 1212∞=−∑nn n 不刚好等于S ，而是相差12倍. 14. 解 当(,)∈−∞+∞x 时，3693()13!6!9!(3)!=++++++n x x x x y x n ，(0)1=y则 25831()2!5!8!(31)!−'=+++++−n x x x x y x n ，(0)0'=y4732()4!7!(32)!−''=+++++−n x x x y x x n ，故4732258314!7!(32)!2!5!8!(31)!−−'''++=+++++++++++−−n n x x x x x x x y y y x n n369313!6!9!(3)!+++++++n x x x x n2345612!3!4!5!6!!=++++++++++=n x x x x x x x x e n所以()y x 满足方程'''++=x y y y e .由于幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程 '''++=x y y y e 的满足条件(0)1,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210++=r r ，特征根为1,2122=−±r i ，对应的齐次方程的通解为212(cossin )22−=+x Y e C x C x ，又因1λ=不是特征根，则其特解形式为*=x y Ae ，代入原方程，解得13=A ，故微分方程的通解为11 2121(cos sin )223−=++x x y e C x C x e ，将(0)1,(0)0'==y y 代入得122,03==C C ，所求微分方程的特解为221cos 323−=+x x y e x e 因此32021cos (3)!323∞−==+∑x n x n x e x e n 『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程的求通解和特解.。
四川大学微积分下册 习题册级数部分 答案
= 1 2 .所以R = 2,原级
∞ n1 n=1 (−1) n 收
∞ 1 n=1 n 发散.当t
= −2即x = −1时,级数为
解
=( 2.
∞ n−1 . n=1 nx n−1 = ∞ (xn ) s(x) = ∞ n=1 nx n=1 ∞ x 1 n n=1 x ) =( 1−x ) = (1−x)2
第一节 级数的概念与性质
一、 (1) 对级数 ∞ 则( ). n=1 un , 若limn→∞ un = 0 ， ∞ A. 必收敛; B. 必发散; C.不能判断 n=1 un 的收敛性; D. Sn = u1 + u2 + · · · + un = 0
(2) 若级数
∞ 则级数 n=1 un 收敛于S， ∞ n=1 (un
2.
∞ n 2n−1 . n=1 ( 3n−1 )
解 由根值判别法limn→∞ 原级数收敛。
3. 4.
∞ n=1 n+1 n .
√ n
un =limn→∞ ( 3nn −1 )
2n−1 n
=1 9 <1
解 级数通项的极限为1， 不为零.原级数收敛。 解 当a = 1时级数的通项趋于无穷，极限不存在。级数发散。当a = 1时，由比 1 1 lnn+3 a+ n n 1 0 1 n+1 值判别法limn→∞ uu = lim ) =ae = a ( .当a < 1时，原级数发散， n →∞ 1 lnn +2 n a+ a+ 1
1.
解 级数的通项极限不存在， 级数发散.
3. √ ∞ n=1 ( n √
解 Sn = 四、 判别下列级数的敛散性.
级数练习题及答案
级数练习题及答案一、选择题1. 下列级数中收敛的是：A. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...C. 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...D. 2 + 4 + 8 + 16 + ...答案：A2. 对于级数 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...，下列说法正确的是：A. 级数的和为1B. 级数的和为0C. 级数的和为2D. 级数为发散的答案：B3. 给定级数的前n项和Sn，当n趋向于无穷大时，若Sn趋向于一个有限的值，则称该级数为：A. 发散级数B. 收敛级数C. 无界级数D. 有界级数答案：B二、填空题1. 计算级数 2 + 4 + 8 + 16 + ... 的和。
答案：级数为等比数列，公比为2，根据等比数列求和公式，和为2^n - 2，其中^n表示累乘。
2. 求级数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1，公比为1/2，根据几何级数求和公式，和为2。
三、计算题1. 计算级数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1/2，公比为1/2，根据几何级数求和公式，和为1。
2. 计算级数 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1/3，公比为1/3，根据几何级数求和公式，和为1/2。
四、证明题证明级数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 的和为2。
证明：我们可以通过求极限的方法证明。
设级数的部分和为Sn，则Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n。
当n趋向于无穷大时，Sn趋向于一个有限值。
设该有限值为S，则有：S = lim(n->∞) Sn= lim(n->∞) (1 - 1/2^n) / (1 - 1/2)= 1 / (1 - 1/2)= 2所以级数的和为2。
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题型一 正项级数敛散性的判定判定下列级数的敛散性.1) );0(11>⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=a n na nn 2) )0(!1>∑∞=a nn a n n n3) ;)cos1(1∑∞=-n n π4) ;)11ln()1(1∑∞=+-+n p n n n解 1）a n nau n n n n =+=∞→∞→1limlim ，则（1）当10<<a 时，原级数收敛； （2）当1>a 时，原级数发散； （3）当1=a 时，01)1(lim lim ≠=+=∞→∞→en n u n n n n ，原级数发散。
2） e an n a n a n n n a u u n n n n n n n n n n =+=⋅++=∞→++∞→+∞→)1(lim !)1()!1(lim lim 111 （1）当e a <<0时，原级数收敛； （2）当e a >时，原级数发散； （3）当e a =时，1)11(lim lim1=+=∞→+∞→nn n n n ne u u ，但n n )11(+是单调增趋于e 的，则1)11(1>+=+nnn neu u ，即n u 单调增，又0>n u ，则0lim ≠∞→n n u ，原级数发散。
3）由于)(21~cos 12∞→-n n n ππ，而∑∞=121n n收敛，则原级数收敛. 4）由于)(1~)11ln(∞→+n nn ，而 p pp n n n n ]111[)1(2-+=-+，nn 21~111-+则原级数与级数∑∞=+12121n pp n同敛散，故原级数在0>p 时收敛，在0≤p 时发散。
判定下列级数敛散性. 1) ∑⎰∞=+1102d 1n n x x x 2) ∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112n n n 3) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1)11ln(1n n n解 1）由于⎰⎰=≤+<n n ndx x dx xx 10231213210， 而∑∞=1231n n收敛，则原级数收敛.2）由于232221ln 11ln 1ln ~11212n nn n n n n e n nnn=<<+-=-++，故原级数收敛. 3）方法1° 由不等式)0(,)1ln(1><+<+x x x x x知 21)1(11111111)11ln(10n n n n n n n nn n <+=+-=+-<+-<.而∑∞=121n n 收敛，则原级数收敛.设∑∞=1n n u 为正项级数,下列结论正确的是(A) 若∞→n lim 0=n nu ,则∑∞=1n n u 收敛;(B) 若存在非零常数λ,使∞→n lim λ=n nu ,则∑∞=1n n u 发散.(C) 若∑∞=1n n u 收敛,则∞→n lim 02=n u n .(D) 若∑∞=1n n u 发散,则存在非零常数λ,使得∞→n lim λ=n nu .解法1 直接法. 由0lim ≠=∞→λn n na 知，01lim ≠=∞→λna nn ，由比较法的极限形式知，级数∑∞=1n n a 与∑∞=11n n 同敛散，则∑∞=1n n a 发散，故应选（B ）.解法2排除法. 考虑n n a n ln 1=，级数∑∞=2ln 1n nn 发散.但0ln 1limlim ==∞→∞→nna n n n ，则（A ）和（D ）都不正确.考虑21n a n =，显然级数∑∞=1n n a 收敛，但01lim 2≠=∞→n n a n ，则（C ）不正确.故应选（B ）.题型二 交错级数敛散性判定判定下列级数的敛散性 (1) ∑∞=-1ln )1(n n nn(2) ∑∞=+122)sin(n a n π解 （1）本题中的级数为交错级数，且nn u n ln =，考虑函数xx x f ln )(=.由于 )0(2ln 1)(>-='x xxx xx f)(,02ln 22e x xx x ><-=又 xx xx x x 211limln lim+∞→+∞→=02lim==+∞→xx ，故nn u n ln =单调减且趋于零，由莱不尼兹准则知原级数收敛.2）由于)sin()1()](sin[)sin(222222ππππππn a n n a n n a n n -+-=-++=+ na n a n++-=222sin)1(π此时na n a ++222sin π单调减且0sinlim 222=++∞→na n a n π.由莱不尼兹准则知原级数收敛.设正项数列}{n a 单调减少,且∑∞=-1)1(n n n a 发散,试问级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛?为什么?解 由于n a 单调减，且0>n a ，即下有界，则n n a ∞→lim 存在，设a a n n =∞→lim ，则0≥a ，若0=a ，由莱不尼兹准则知级数∑∞=-1)1(n n n a 收敛，这与题设矛盾，因此0>a ，此时，对正项级数∑∞=+1)11(n nn a 用根值法，得 11111lim <+=+=∞→a a u n n n n ， 则级数∑∞=+1)1(1n nna 收敛.题型三 任意项级数敛散性判定判定∑∞=12)!sin(2tann nn n π的敛散性.解 因nnn n n 2tan|)!sin(2tan|22ππ≤，又nn2~2tanππ，则级数n n n 2tan 12π∑∞=与∑∞=122n n n π同敛散.对级数∑∞=122n n n 用根值法得 1212)(limlim 2<==∞→∞→n n n n n n u . 则∑∞=122n n n 收敛，则原级数绝对收敛，故原级数收敛. 讨论∑∞=11n pn n a 是绝对收敛,条件收敛还是发散? 解 先考绝对值级数∑∞=11n pn na . 由于 an a n a pn p n n 1||)1(1lim1=++∞→，1）当1>a 时，原级数绝对收敛. 2）当10<<a 时，原级数发散。
由于11>a ，当n 充分大时，pn p n n a n a 1)1(11>++， 则01→/p n n a ，从而01→/p n n a ，故级数∑∞=11n p n na 发散. 3）当1=a 时， 若1=a ，原级数为1,11>∑∞=p nn p时收敛，1≤p 时发散.若1-=a ，原级数为∑∞=-1)1(n p nn.该级数在1>p 时绝对收敛；在10≤<p 时条件收敛，在0≤p 时发散.设常数0>k ,则级数∑∞=+-12)1(n nnnk （A ）发散; (B) 绝对收敛;(C) 条件收敛; (D) 敛散与发散与k 取值有关.解 ∑∑∑∞=∞=∞=-+-=+-11212)1()1()1(n nn n n nn n k n n k ， 显然∑∞=-12)1(n n n 绝对收敛，而∑∞=-1)1(n nn条件收敛，则原级数条件收敛，故应选（C ）.设级数∑∞=1n n u 收敛,则必收敛的级数为(A)∑∞=-1)1(n n nn u ; (B) ∑∞=12n n u ; (C)∑∞=--1212)(n n n u u ; (D)∑∞=++11)(n n n u u .解法1直接法. 由于∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11n n u 也收敛. 从而有)(11∑∞=++n n n u u 收敛，故应选（D ）.解法2排除法. 1）取n u nn ln )1(-=，由交错级数的莱不尼兹准则知∑∞=1n n u 收敛，但∑∑∞=∞==-22ln 1)1(n n n nn n n u 发散. 则（A ）不正确. 2）取nu n n 1)1(--=，显然∑∞=1n n u 收敛，∑∑∞=∞==1121n n nn u 发散，则（B ）不正确，而∑∑==-+-=-11212)212()(n n n n nn u u，≥=，而∑∞=12n n 发散，则∑∞=--1212)(n n n u u 发散，（C ）不正确，故应选（D ）.设0≠n u ,),2,1(⋅⋅⋅=n 且1lim=∞→nn u n,则级数∑∞=+-+-111)11()1(n n n n u u . (A) 发散; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛; (D) 敛散性不定. 解 由0≠n u ，1lim=∞→nn u n 知，01lim 1lim =⋅=∞→∞→n u n u n n n n . 令 ∑=+++-=nk k k k n u u S 111)11()1( )11()1()11()11()11(11433221+++-+-+++-+=n n n u u u u u u u u 111)1(1++-+=n n u u ，则 11lim u S n n =∞→. 由级数定义知原级数收敛，但由于02)(lim 1)11()1(lim111≠=+=+-+∞→++∞→n n n n n n n u nu n nu u ，而∑=1n n 发散，则∑=+++-111)()1(n n n n u u 发散，故原级数条件收敛.设∑∞=-12)1(n nn na 收敛,则级数∑∞=1n n a .(A)条件收敛; (B) 绝对收敛; (C)发散; (D)敛散性不定. 解 由于级数∑∞=-12)1(n n n n a 收敛，由级数收敛的必要条件知02)1(lim =-∞→n n n n a ，则数列n n n a 2)1(-有界，即存在0>M ，对一切的n 有M a n n n ≤-|2)1(|，从而有nn Ma 2||≤. 而级数∑∞=12n n M收敛，则级数∑∞=1n n a 绝对收敛，故应选（B ）.题型四 求收敛域求下列幂级数的收敛域 (1) ∑∞=-1!)1(n nnn x n (2) n n n n x n )1()2(31--+∑∞= (3) ∑∞=--12)1(2)1(n nn nx n (4) n n n n x n ∑∞=-+1])1(3[解（1）01111lim !)!1(1lim lim1=++=⋅++=∞→∞→+∞→n n n n n n u u n n nn n ，则+∞=R .故原幂级数收敛域为),(+∞-∞.（2）n n n n n n n n n n nn n n n u u )2(3)2(3lim )2(31)2(3lim lim 11111-+-+=-+⋅+-+=++∞→++∞→+∞→ 3)32(1)32(23lim=-+--=∞→nnn . 或3)32(1lim 3)2(3lim||lim =-+=-+=∞→∞→∞→nn n nnnn n n n n nu . 则31=R . 当311=-x 时，原级数为∑∑∑∞=∞=∞=-+=-+1111)32(131)2(3n n n nn n n n n n ， 由于∑∞=11n n发散，∑∞=-11)32(n n n 收敛，则原幂级数在311=-x 处发散.当311-=-x 时，原级数为∑∑∑∞=∞=∞=+-=--+111)32(1)1(3)1()2(3n n n n nn n n n n n n ，则原幂级数在311-=-x 处收敛，故原幂级数收敛域为)34,32[.（3）212lim||lim ==∞→∞→nn n n n n u ，由于该幂级数只有偶次项，则2=R . 当21±=-x 时，原级数为∑∞=-1)1(n n n 发散.则原幂级数收敛域为)21,21(+-. （4）nnn n n n nu )1(3lim||lim -+=∞→∞→不存在，而n n n n n nn n nn u u ])1(3[1])1(3[lim lim 111-+⋅+-+=++∞→+∞→， 由于11lim =+∞→n n n ，且1])1(3[])1(3[lim 1=-+-++∞→nn n n n ，但])1(3[lim 1+∞→-+n n 不存在，则nn n u u 1lim+∞→不存在.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=为奇数，为偶数，n nn n n u nnn n n ,2,4])1(3[ 因此，分别考虑幂级数∑∞=---11212122k k k x k 和∑∞=12224k kk x k. 容易求得幂级数∑∞=---11212122k k k x k 的收敛半径211=R ，而幂级数∑∞=12224k k k x k 的收敛半径412=R ，则原幂级数收敛半径为41. 当41±=x 时，∑∞=---11212122k k k x k 收敛，∑∞=12224k k k x k发散，则原幂级数发散，故原幂级数收敛域为)41,41(-.设幂级数∑∞=-1)1(n n n x a 在0=x 收敛,在2=x 发散,则该幂级数收敛域为____.解 由于幂级数∑∞=-1)1(n n n x a 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，由阿贝尔定理知当|10||1|-<-x ，即1|1|<-x ，原幂级数收敛. 当|12||1|->-x ，即1|1|>-x ，原幂级数发散. 则该幂级数收敛域为).2,0[已知∑∞=-1)(n n n a x 在2-=x 处条件收敛，则n n a x n )(12-∑∞=在21ln =x 处(A) 绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）必发散 （D ）敛散性由a 确定 （A ）题型二 将函数展开为幂级数例7.24将下列函数展开为x 的幂级数.(1)223)(x x x f +=; (2)256512)(xx xx f ---=; (3)xxx f -+=11arctan )(解（1）)2,2(,23)1()2()1(2321123)(0011222-∈-=-=+=∑∑∞=∞=++x x x x x xx f n n n n n nn . （2）∑∑∞=∞=+-=-++=--+=00)6()1(116111166)(n n n n n x x x x x x x f∑∞=-∈+-=0)1,1(,)16)1((n n n nx x .（3）)1,1(,)1(11)(022-∈-=+='∑∞=x x x x f n n n .⎰∑⎰∑∞=∞=++-=-='=-x n xn n n nnx x dx x dx x f f x f 000012212)1()1()()0()(，又41arctan )0(π==f ，则)1,1(,12)1(4)(012-∈+-+=∑∞=+x n x x f n n n π.题型五 级数求和例7.27求下列幂级数的和函数(1) ∑∞=+1)1(n n n n x (2) 221212-∞=∑-n n n x n(3) n n n x n n ∑∞=+02!21 (4) 120)!12(1)1(+∞=∑++-n n nx n n 解 （1）易求得该幂级数收敛域为]1,1[-.令∑∞=-∈+=1]1,1[)1()(n nx n n x x S . 当0=x 时，0)(=x S .当10≤<x 时，∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=++---=+-=+=1111111)1ln(1)1()(n n n n n n n n n x x x n x n x n n x x S)1ln()11(1])1ln([1)1ln(x xx x x x --+=------=，故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--+==.10),1ln()11(1,0,0)(x x x x x S（2）21212lim ||lim =-=∞→∞→nn n n n n u ，则2=R . 当2±=x 时，原级数为∑∞=-1212n n 发散. 则原级数收敛域为)2,2(-. 令 221212)(-∞=∑-=n n nx n x S ， )2,2(-∈x ， 当0=x 时，21)(=x S . 当20<<x 时， ))2(1()21()2(212)(1212112221'='='=-=∑∑∑∑∞=∞=∞=--∞=n nn n n n n n n n n x x x x x x n x S222222)2(2)2(2121x x x x x x x -+='-='⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅， 故 )2,2(,)2(2)(222-∈-+=x x x x S .（3）∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=+=+010202!)2()2()!1()2(!1!21n n n n n n n n n n x x n n x n n x n n ∑∑∞=∞=+-+-=212)2()!1(1)2()!2(1n n xn n e xn x n),(,)124(24222222+∞-∞∈++=++=x e xx e e x e x xxxx.（4）易求得该级数收敛域为),(+∞-∞.∑∑∞=∞=++'+-=++-=002212))!12()1(21()!12(1)1()(n n n n n nx n x n n x S)sin 2())!12()1(2(012'='+-=∑∞=+x xx n x n n n ),(),cos (sin 21+∞-∞∈+=x x x x .求下列常数项级数的和.(1) ∑∞=-222)1(1n n n (2) ∑∞=+--022)1()1(n nn n n 解 （1）令∑∞=-=221)(n nn x x S ， )1,1(-∈x ，则∑∑∑∑∞=+∞=-∞=∞=+--=+--=21212212112121121)(n n n n n n n n n x x n x x n x n x x S]2)1ln([21)]1ln([22x x x x x x -------=)0,1|(|),1ln(21422≠<--++=x x x xx x故2ln 4385)21(2)1(122-==-∑∞=S n n n. 注：这里用到∑∞=--=1)1ln(n nx n x ，这是一个常用的结论. （2）∑∑∑∞=∞=∞=-+--=+--0102)21()21)(1(2)1()1(n n nn n nn n n n n ， 322111)21(0=+=-∑∞=n n. 令 ∑∑∑∞=∞=∞=-''=-=-=0222)()1()1()(n n n n n nx x xn n xx n n x S322)1(2)11(x x x x -=''-=， ∑∞==-=--0274)21()21)(1(n n S n n . 故 2722274322)1()1(02=+=+--∑∞=n nn n n .。