数项级数敛散性习题课
级数习题课
解：∵ an xn 在 x 3处条件收敛，而 3 0 ，
n0
∴ an xn 在 x 3 3时绝对收敛 ，∴ R 3 。
n0
若 R 3 ,则 an xn 在 x 3处应绝对收敛 ，这与已知矛盾，∴ R 3 。
n0
12．设 an xn 的收敛半径为 3，则 nan (x 1)n1 的收敛区间为_____。
ln 1 1
x x
,
x
(1,1).
（2）
n1(2n
1 1)4n
n1
( 1 )2n 2 2n 1
1 2 n1
(
1 )2n1 2 2n 1
1 2
S(
1 2
)
1 2
1 2
ln
1 1
1
2 1
1 ln3. 4
2
14．已知 n 1 xn ( - x ) ，则其和函数 S(x) ______，
3 lim 1 n (1 1 )n
3 e
0
，∴
n1
3n n (1 n)
n
发散。
n
注：∵ lim n
n
un
lim n
n
3n n (1 n) n
lim n n 3 1， n 1n
∴本题不能用根值法判定，必然不能用比值法判定。
20．
4n
n15n 3n
解法 1（比值法）：
∵ lim un1 lim
n1
n
n
∵ n n(un un1) u1 u0 2u2 2u1 3u3 3u2 nun nun1
k 1
nun (u0 u1 u2 u3 un1) ，∴ Sn nun n ，
∵ lim Sn lim (nun n ) AS ，∴ un AS 。
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
第12章(2)2数项级数的绝对收敛与条件收敛
n 0
n 0
unvn 之间的关系，注意到由( un vn )2 0 可推得
un 2 vn 2 2 unvn unvn
n 0
从而可推得结论．
证明
2 2 vn 2 | unvn |， 由 ( un vn )2 0 得 un
因级数 un 2 和 vn 2 收敛，必有级数 ( un 2 vn 2 ) 收敛，
有关级数的敛散性判定准则： 拿到一个级数，先看通项的极限是否为0 ； 再看是什么类型的级数（正项，交错，任意项）： 1、正项级数的收敛就是绝对收敛； 2、交错级数可能发散，可能条件收敛也可能是绝对收敛； 3、对于任意项级数，先将通项取绝对值再分析对应 的级数的敛散性， 取绝对值后的级数收敛即为绝对收敛； 取绝对值后的级数发散，但还要看原级数可能收敛 （比如是交错级数可看其是否满足莱布尼兹判别法）。 如果是用正项级数的比值审敛法分析的发散就一定发散； 4、条件收敛与绝对收敛都是收敛。
2n n ! 练习：1、 证明：lim n 0 n n
2、判别级数的敛散性
an (1) (a 0)敛散性 2n n 1 1 a
2n n ! lim n 0 练习： 1、证明： n n 2n n ! 证明：设 un n , n un1 2n1 (n 1)! 2n n! lim lim / n lim n 1 n u n (n 1) n n n
再由比较收敛法知原级数也是收敛的。
定理5. *根值审敛法 ( Cauchy判别 法)
设
为正项级 数, 且 lim n un , 则
n
1 例如, 设级数 n , n1 n
1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n
数项级数敛散性习题课资料
n
e
(1 1 )n1 e n
1 1 0 (n ) e
因此级数在端点发散 , 故收敛区间为( 1 , 1 ) .
ee
2019/8/6
24
解 因 lim un1( x) lim
n un ( x)
n
x2 2
当 x2 1 , 即 2 x 2 时，级数收敛;
lim ln n lim ln x lim 1 0,
n n
x x
x x
1
lim n n
1 ln n
lim
n
1
n ln
n
0,
n
f ( x) x ln x ( x 0),
f ( x) 1 1 0 ( x 1), x
3
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
绝对收敛
若
发散 , 称
条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
2019/8/6
4
例1 判断级数敛散性 :
n 1
nn ;
n1 (n 1 )n
1
1
n
解
un
nn (n
nn 1 )n
(1
nn 1
)n
,
n
级数
收敛 , 级数
发散 .
2019/8/6
问级数 收敛,
12
P323 题5 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
(2)
(1)n1
8.3任意项级数敛散性的判别
ρ <1
ρ >1
收 敛
发 散
3. 任意项级数判别法 概念: 概念 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz判别法 判别法: 判别法
un ≥ un+1 > 0
n→∞
lim un = 0
则交错级数 ∑(1)nun收敛
n=1
∞
作业 13(1)(4)( P287 13(1)(4)(9)(12)
n =1 n =1
∞
∞
×
对正项级数有比较判别法 1 取vn = ( un + un ) ∵ un ≤ un ∴0 ≤ vn ≤ un 2 ∞ ∞ ∞ 故∑ | un |收敛 ∑ vn收敛 ∑ 2vn收敛
n =1 n =1 n =1
而un = 2vn un ∑ un收敛
n =1
性质 2 ∞
发散, 如何? 问题: 问题: 若∑ un 发散, un如何? ∑
n =1
∞
练习 : 一.下列级数是条件收敛还 是绝对收敛 ?
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞
2.∑ ( 1)
n =1
∞
n ( n 1 ) 2
n2 2n
3.∑ ( 1)
n =1
∞
( n 1 )
2n + 1 n( n + 1)
sin n 4.∑ ( 1) n2 n =1
n
∞
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞ ∞ n =1 n =1
∞
x ∈ [1,1) 其他
三.设级数 ∑ an , ∑ cn均收敛 , 且对任意的 n, an ≤ bn ≤ cn ,
证明级数 ∑ bn收敛 .
n =1
级数敛散性判断习题
例3. 设正项级数 也收敛 . 法1 由题设
和
都收敛, 证明级数
n→ ∞
n→ ∞
limun = limvn = 0 ,
n→ ∞
= lim(un +vn)
根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 法2 因 limun = limvn = 0 , ∴lim(un +vn) = 0 ,
n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
又 arctan x = ∫
x 2 0
x
0
1 dx 2 1+ x
4 6 n
( −1 ≤ x ≤ 1)
= ∫ [1 − x + x − x + L + ( −1) x + L]dx
2n
x3 x5 x7 x 2 n+1 = x − + − + L + ( −1)n +L 3 5 7 2n + 1 ( −1 ≤ x ≤ 1) 故 x arctan x − ln 1 + x 2
∞
(1)
对于级数（1） 对于级数（1）
2 | a n+1 | ( n + 1) lim = lim = 1, 2 n → +∞ | a | n→ +∞ n n
级数（ 级数（1）的收敛域为 − 1 < y < 1, 原级数的收敛域为 , x > 1, 或 x < −1.
例5 解
x2n 求 数∑ 级 收 域 和 数 敛 及 函 . n n=0 (2 )!
n=0 n=0
∑anx
难
∞
n
逐项求导或求积分
n=0 n=0
∗ an xn ∑
∞
数项级数收敛性判别法
2021/4/21
(3) p 0 时，级数发散．
28
目录
上页
下页
返回
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 其和为
（1）
n1
n3 2n3 n
；
（2）
1；
n n1
1 1 n
（3）
n1
1 n
ln
1
1 n
；
n3
（4） n2en ． n1
解：（1）因为
lim
2n3
n
n3 lim
3n2
1，
n 1
n 2n3 n 2
n2
而
1 收敛，所以级数
n 3 收敛．
n2
n 1
1 n1 2n3 n
（2）因为
2021/4/21
n
n
un
lim n
2
ln n
2 1，因此所给级数发散．
3n
2021/4/21
20
目录
上页
下页
返回
二、交错级数及其审敛法
(Interrogate of staggered series)
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
.
收敛
2021/4/21
23
目录
上页
下页
返回
三、绝对收敛与条件收敛
(Absolute convergence and conditional convergence)
(优选)级数的敛散性判别习题课.
性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于 原来的和.
级数收敛的必要条件:
lim
n
un
0.
第3页，共33页。
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; 3.按基本性质;
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
x0
x2
2
lim n2[ 1 ln(1 1 )] 1
x0
n
n2
第24页，共33页。
例6 判别级数 (cos 1 )n3 的收敛性
n1
n
解
lim n
n
un
lim(cos 1 )n2
n
n
lim
n
n2
ln
cos
1 n
lim
ln(1
cos
1 n
1)
e lim n
n2
ln
cos
1 n
n
1
n2
lim
则称 x0为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
称s( x)为函数项级数的和函数.
第12页，共33页。
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
cos
1 n
1
1
e
1 2
1
n
1
n2
2
所以级数 (cos 1 )n3 收敛
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
limn2
n
1 n2
1.
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
2020/6/10
6
例3 判定 级n 数 1(1coπ)s的收.敛性
n1
n
解 因为
ln i n m 2 3u nln i n m 2 3 n1(1co n π)s
lim n2 n11(π)2 1 π 2 . n n 2n 2
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
根值审敛法 nl im nun 用它法判别
1
1
部分和极限 比较审敛法 积分判别法
收敛
发散
2020/6/10
3
3. 任意项级数审敛法
概念: u n 为收敛级数
n1
若 u n 收敛 , 称 u n 绝对收敛
n 1
n1
若
n1
un
发散 ,
称 un
n1
条件收敛
Leibniz判别法: 若 u nu n 10, 且 nl i mun0,
2020/6/10
7
例4 若级数 an与 bn 均收敛 , 且 ancnbn
n1
n1
(n1,2,),证明级数 c n 收敛 .
n1
证 0 c n a n b n a n(n1,2,),则由题设
(bn a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n1
n1
c n [(cnan)an]
则交错级数 (1)nun 收敛 , 且余项 rn un1.
n1
2020/6/10
4
例1 判 断 级 数 敛 散 性:
n
n1 n
;
n1(n1)n
n
1
1
解
un
nn nn (n 1 )n
(1
nn 1
)n
,
n
n2
ln i (1 m n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
11
P323 题4
设级数
n
1
u
n
收敛
,
且
lim
n
vn un
1 , 问级数
v n是否也收敛？说明理由.
n1
提示: 对正项级数,由比较判别法可知 v n 收敛,
n1
但对任意项级数却不一定收敛 . 例如, 取
un(1)n n,来自vn(1)n n
1 n
lim v n 1lim(1)n 1
n un
第十二章(1)
习题课 数项级数的敛散与幂级数的收敛域
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、课外练习题
2020/6/10
1
un( x)
求和
S(x) (在收敛域内进行)
n0
展开
当xx0 时为数项级数;
un ( x ) 当 un(x)anxn时为幂级数;
n0
当 u n ( x ) a n cn x o b n sn i x n
n1
n1
(cn an) a n 收敛
n1
n1
2020/6/10
8
解答提示:
P322 题2 判别下列级数的敛散性:
1
(1) n1 nn n ;
(2)
n1
(n!)2 2n2
;
(3)
n1
ncos2 2n
n
3
;
(4)
n2
1 ln10
n
;
(5)n 1ann s (a0,s0).
提示: (1) lim nn1, 0,N ,当 nN时 ,有
(4)
n2
ln10
: n
因 n 充分大时
∴原级数发散
1
n .
1 ln10 n
,
n
2
1 n
发散,
(5)n 1anns (a0,s0):用比值判别法可知:
a1时收敛 ; a1时发散.
s1时收敛;
a1时, 与 p 级数比较可知 s1时发散.
2020/6/10
10
P323 题3 设正项级数 u n 和 v n 都收敛, 证明级数
0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数
原级数绝对收敛 .
1
n1
n1
收敛,
故
2020/6/10
13
(3) (1)nlnn1
n1
n
因 unln nn 1ln (1n 1)单调递减, 且 nl im un 0
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
所以原级数绝对收敛 .
2020/6/10
15
例5 判断级数 (1)n 是否敛 收？如果收
n1 nlnn 是条件收敛还敛 是？ 绝对收
解 1 1, nlnn n
而 1 发散, n n1
n n
级数 u n 收敛 , 级数 v n 发散 .
2020/6/10
n1
n1
12
P323 题5 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
(1)
(1)n
n1
1 np
;
(2) n 1(1)n1sinnn 11;
(3) (1)nlnn1;
n1
n
(4) n 1(1)n(nnn11)!.
提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ;
(an,bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
2020/6/10
2
一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项级数审敛法
必要条件 nl im un 0 不满足 发 散
满足
比值审敛法
lim
n
un1 un
1 不定
ln n 1 lim
n k1 ln
n1
n
n k 1
k
n
lim lnk(1)lnk n k1
lim lnn(1) n
所以原级数仅条件收敛 .
2020/6/10
14
(4) n 1(1)n(nnn11)!
(n 2)!
因
un1 un
(n 2)n2 (n 1)!
n n1
n2(1 1 )n1n e1 1 n1 n1
n1
n1
(un vn)2也收敛 .
n1
提示: 因 n l i u m nn l i v m n0,存在 N > 0, 当n >N 时
又因
u2 nun, v2 nvn
(unvn)2 2(un2vn2) 2 (u n v n )(n N )
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
2020/6/10
1
limnn
limx1xexpli{m1lnx}
expl{im1}
e0
1;
n
x
x x
x x
ln im un10, 原级数发散．
2020/6/10
5
例2 判定级 n 1ln 数 1n12的收敛 . 性
解 因 ln 1n 12~n 12(n )故 ,
ln i m n2unln i m n2ln 1 (n 1 2)
n
1 nn 1
1 nn n
1
n(1)
因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .
2020/6/10
9
(n!)2
(2)
n1
2n2
:
(3)
ncos2 n1 2n
n
3
:
利用比值判别法, 可知原级数发散.
n
用比值法, 可判断级数 n 1 2 n
收敛,
再由比较法可知原级数收敛 .
1