高中数学平面曲线平移伸缩变换的技巧.doc
掌握函数像的平移伸缩反转与对称
掌握函数像的平移伸缩反转与对称掌握函数图像的平移、伸缩、反转与对称函数图像的平移、伸缩、反转与对称是数学中常见的概念，对于理解和应用函数具有重要意义。
在本文中，我们将探讨如何掌握函数图像的这些变化，并给出相应的例子。
一、平移在函数图像中，平移是指将函数沿水平或垂直方向进行移动，而不改变其形状。
平移可以向左、向右、向上或向下进行。
1. 水平平移水平平移是指将函数图像沿水平方向移动。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为f(x ± a)，其中a为平移的距离。
例如，考虑函数f(x) = x^2，如果我们要将其向右平移2个单位，则可以得到新的函数f(x-2) = (x-2)^2。
这样，原来的顶点(0,0)将被平移至(2,0)，整个图像向右移动了2个单位。
2. 垂直平移垂直平移是指将函数图像沿垂直方向移动。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为f(x) ± a，其中a为平移的距离。
举个例子，考虑函数f(x) = x^2，如果我们要将其向上平移3个单位，则可以得到新的函数f(x) = (x-3)^2。
这样，原来的顶点(0,0)将被平移到(0,3)，整个图像向上移动了3个单位。
二、伸缩在函数图像中，伸缩是指通过改变自变量或因变量的尺度来调整函数图像的形状和大小。
1. 水平伸缩水平伸缩是指通过改变自变量的尺度来调整函数图像的形状和大小。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为f(bx)，其中b为伸缩的因子。
例如，考虑函数f(x) = x^2，如果我们将x的尺度缩小为原来的1/2，即令x' = 2x，则可以得到新的函数f(x') = (2x)^2 = 4x^2。
这样，原来的图像被水平方向上收缩了一倍。
2. 垂直伸缩垂直伸缩是指通过改变因变量的尺度来调整函数图像的形状和大小。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为af(x)，其中a为伸缩的因子。
举个例子，考虑函数f(x) = x^2，如果我们将y的尺度扩大为原来的2倍，即令y' = 2y，则可以得到新的函数f(x) = (x^2) * 2 = 2x^2。
函数图像伸缩变换规律
函数图像伸缩变换规律
1.水平伸缩：y=f（ωx）（ω>0）的图象，可由y＝f（x）的图象上每点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω＞1）到原来的倍（纵坐标不变）得到。
2.垂直伸缩：y＝Af（x）（A＞0）的图象，可由y＝f （x）的图象上每点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍（横坐标不变）得到。
什么是函数图像
在数学中，函数f的图形（或图象）指的是所有有序对（x，f （x））组成的集合。
具体而言，如果x为实数，则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。
如果函数自变量x为两个实数组成的有序对（x1，x2），则图形就是所有三重序（x1，x2，f（x1，x2））组成的集合，呈现为曲面。
图像变换规律
图像有三大变换规律，分别有平移变换和对称变换以及伸缩变换，它是显示函数变化、化繁为简的重要解题方法。
1.平移变换，平移变换又分为两种，一是左右平移变换，而是上下平移变换。
2.对称变换，当y=f（x）是奇函数时，它的图像则关于原点对称，当y=f（x）为偶函数时，它的图象则关于y轴对称。
3.伸缩变换法，它是把图象上的所有点的纵坐标改变成原来的A 倍从而得到的。
函数与方程的平移与伸缩变换问题
函数与方程的平移与伸缩变换问题在数学中，函数与方程的平移与伸缩变换是一个常见的问题。
通过对函数或方程进行平移与伸缩，我们可以改变其图像在坐标平面上的位置和形状。
本文将详细介绍函数与方程的平移与伸缩变换问题，并讨论其应用。
一、平移变换平移变换是指在坐标平面上将函数或方程的图像沿着x轴或y轴方向移动的变换。
平移变换可以通过在原函数或方程中添加或减去一个常数来实现。
具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的平移变换可以表示为y = f(x - a)，其中a为平移的距离。
同样地，进行y轴方向的平移变换可以表示为y = f(x) + b，其中b为平移的距离。
平移变换的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们可以通过平移变换来描述物体在空间中的位置变化。
在经济学中，平移变换可以用来描述价格的上涨或下跌等现象。
二、伸缩变换伸缩变换是指对函数或方程的图像进行放大或缩小的变换。
伸缩变换可以通过在原函数或方程中乘以或除以一个常数来实现。
具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的伸缩变换可以表示为y = k * f(x)，其中k为伸缩的比例系数。
同样地，进行y轴方向的伸缩变换可以表示为y = f(k * x)，其中k为伸缩的比例系数。
伸缩变换也具有广泛的应用。
例如，在地图绘制中，我们可以通过伸缩变换来调整地图的比例尺。
在金融领域中，伸缩变换可以用来描述股票价格的涨跌幅度。
三、平移与伸缩的组合变换除了单独应用平移变换或伸缩变换外，我们还可以将它们进行组合，以实现更复杂的变换效果。
具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的平移与伸缩变换可以表示为y = k * f(x - a)，其中k为伸缩的比例系数，a为平移的距离。
同样地，进行y轴方向的平移与伸缩变换可以表示为y = k * f(x) + b，其中k为伸缩的比例系数，b为平移的距离。
平移与伸缩的组合变换在数学建模、工程设计和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
空间几何的平移与伸缩运算
空间几何的平移与伸缩运算在空间几何中，平移和伸缩是两种常见的运算方式。
通过平移和伸缩操作，我们可以改变图形的位置和大小，从而得到新的图形。
本文将详细介绍空间几何的平移与伸缩运算，并探讨其应用。
一、平移运算平移是指将一个图形沿着指定的方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
在空间几何中，平移运算可以用向量来表示。
设平移向量为a，图形为A，则平移运算可以表示为A' = A + a，其中A'为平移后的图形。
平移运算可以应用于直线、面和立体图形。
对于直线，我们可以通过平移操作将其沿着平行于直线的方向移动任意距离，从而得到新的直线。
对于面和立体图形，我们可以将其上的所有点都按照相同的方向和距离进行平移，从而得到新的面或立体图形。
平移运算在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，设计师可能需要将建筑物沿着某个方向平移一定距离，以适应具体的场地要求。
此外，在计算机图形学中，平移运算也被广泛应用于图形的显示和处理。
二、伸缩运算伸缩是指改变一个图形的大小，同时保持其形状不变。
在空间几何中，伸缩运算可以用比例因子来表示。
设伸缩比例因子为k，图形为A，则伸缩运算可以表示为A' = k * A，其中A'为伸缩后的图形。
伸缩运算可以应用于直线、面和立体图形。
对于直线，我们可以通过伸缩操作改变其长度，从而得到新的直线。
对于面和立体图形，我们可以将其上的所有点都按照相同的比例进行伸缩，从而得到新的面或立体图形。
伸缩运算也在实际生活中有广泛的应用。
例如，在地图绘制中，绘图师可能需要将地图上的所有要素按照一定的比例进行放大或缩小，以适应具体的纸张大小。
此外，在工程设计中，伸缩运算也常常被用于工件的放大或缩小。
三、平移与伸缩的组合运算除了单独应用平移或伸缩运算外，我们还可以将两种运算进行组合，得到更为复杂的变换效果。
例如，我们可以先对图形进行平移，然后再对平移后的图形进行伸缩。
组合运算可以通过矩阵乘法来表示。
函数的变换平移翻折与伸缩
函数的变换平移翻折与伸缩函数的变换平移、翻折与伸缩函数的变换是数学中很重要的概念，它可以通过平移、翻折与伸缩等操作对原函数进行改变。
在本文中，我们将重点讨论函数的平移、翻折与伸缩三种常见的变换方式，并且介绍它们的数学表示和几何意义。
一、函数的平移变换平移是指将函数沿着坐标轴进行水平或者垂直的移动，而不改变函数的形状和大小。
具体而言，设有函数y = f(x)，若对于函数中的每个点(x, y)，将其平移到(x + a, y + b)处，则得到一个新的函数y = f(x - a) + b。
这里，a是水平方向的平移量，b是垂直方向的平移量。
以函数y = x^2为例，我们来进行一次平移变换。
假设需要将该函数沿水平方向向右平移2个单位，垂直方向向上平移3个单位，那么变换后的函数为y = (x - 2)^2 + 3。
这个平移变换使得函数整体上移3个单位，同时向右平移2个单位，而函数的形状和大小仍然保持不变。
二、函数的翻折变换翻折是指通过对函数的反射操作，将函数关于某一轴翻转。
常见的翻折方式有关于x轴、y轴和原点的翻折。
对于函数y = f(x)，我们可以得到以下翻折变换：1. 关于x轴的翻折：新函数为y = -f(x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(x, -y)的位置。
2. 关于y轴的翻折：新函数为y = f(-x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(-x, y)的位置。
3. 关于原点的翻折：新函数为y = -f(-x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(-x, -y)的位置。
举个例子，考虑函数y = sin(x)，如果我们对该函数进行关于x轴的翻折，那么新函数将变为y = -sin(x)，即原函数上的每个点(x, y)都被对称地映射到了(x, -y)的位置。
三、函数的伸缩变换伸缩是指通过改变函数的自变量和因变量的比例关系，调整函数在坐标轴上的形状和大小。
具体而言，对于函数y = f(x)，我们可以得到以下伸缩变换：1. 水平方向的伸缩：新函数为y = f(cx)，其中c是一个常数。
函数伸缩变换的规律
函数伸缩变换的规律函数伸缩变换是数学中一个重要的概念，它描述了函数图像在平面上的变形过程。
在函数伸缩变换中，函数的图像可以被拉伸、压缩、翻转或平移等操作，从而改变函数的形状和位置。
本文将详细介绍函数伸缩变换的规律，并通过具体的例子来说明这些规律。
一、基本定义在函数伸缩变换中，基本的函数形式是y = f(x)，其中x和y分别表示函数的自变量和因变量。
函数伸缩变换可以通过对函数的自变量和因变量进行一系列操作来实现。
具体来说，这些操作包括拉伸、压缩、翻转和平移等。
二、拉伸和压缩拉伸和压缩是函数伸缩变换中最常见的操作。
当函数的自变量或因变量被乘以一个常数时，函数的图像会相应地在水平或垂直方向上拉伸或压缩。
例如，对于函数y = f(x)，如果将x乘以一个常数k，那么函数的图像会在x轴方向上被拉伸或压缩。
同样地，如果将y 乘以一个常数k，那么函数的图像会在y轴方向上被拉伸或压缩。
三、翻转翻转是函数伸缩变换中另一种常见的操作。
当函数的自变量或因变量取相反数时，函数的图像会相应地在水平或垂直方向上翻转。
例如，对于函数y = f(x)，如果将x取相反数，那么函数的图像会在y轴上翻转。
同样地，如果将y取相反数，那么函数的图像会在x轴上翻转。
四、平移平移是函数伸缩变换中最常用的操作之一。
当函数的自变量或因变量加上一个常数时，函数的图像会相应地在水平或垂直方向上平移。
例如，对于函数y = f(x)，如果将x加上一个常数h，那么函数的图像会在x轴方向上平移h个单位。
同样地，如果将y加上一个常数k，那么函数的图像会在y轴方向上平移k个单位。
五、示例分析为了更好地理解函数伸缩变换的规律，我们来看几个具体的例子。
例1：考虑函数y = x^2，这是一个二次函数的图像。
如果将x乘以2，那么函数的图像会在x轴方向上被拉伸；如果将y乘以2，那么函数的图像会在y轴方向上被拉伸。
例2：考虑函数y = sin(x)，这是一个正弦函数的图像。
高考数学中的伸缩变换解析技巧
高考数学中的伸缩变换解析技巧高考数学中，伸缩变换是一个重要的概念，它是指将一个图形在平面内沿着某个方向进行拉伸或缩小，从而得到一个新的图形。
这个过程中，图形的大小、形状、方位等都可能发生变化，因此掌握伸缩变换的解析技巧对于高考考生来说非常重要。
一、伸缩变换的基本概念伸缩变换是一种几何变换，它通过对平面内的图形进行拉伸或缩小，使得原来的图形变成一个新的图形。
在伸缩变换中，存在一个伸缩因子k，它表示所进行的拉伸或缩小的比例，当k>1时表示拉伸，当0<k<1时表示缩小，k为负数时表示拉伸或缩小的同时进行翻折。
二、伸缩变换的解析表示伸缩变换的解析表示可以通过向量进行求解。
对于一个平面内的点P（x，y），经过伸缩变换之后，它的坐标变成了（kx，ky），其中k为伸缩因子，设伸缩变换的中心点为O（a，b），则向量OP变成了向量OP'，且OP' = k·OP那么根据向量的加减法，得到向量OP'的解析式为：OP' = (kx-a， ky-b)三、伸缩变换下图形的性质伸缩变换会改变原图形的大小和形状，但是有些图形经过伸缩变换之后仍然保持不变，这些图形称为伸缩不变图形。
其中，直线段、线段比值、角度、正方形、圆、它们的交、并等都是伸缩不变图形。
在伸缩变换的时候，我们有时需要保持某些点不动，这些点被称为不动点。
经过伸缩变换之后，不动点的坐标不变，而其他的点都随着伸缩因子的改变而发生了变化。
四、伸缩变换在高考中的应用伸缩变换经常被用来解决几何问题，例如解决一些三角形的相似性质、以及求解待定系数等问题。
例如，在解决三角形相似问题的时候，我们可以通过将一个三角形进行伸缩变换，使得变换后的三角形与另一个三角形具有相同的形状，并且满足相似性质，则可以通过将两个三角形的边长比值相等，得到方程组，进而求得所有的未知量。
此外，在求解待定系数的问题中，我们可以通过伸缩变换将函数图像进行缩放，然后通过变换前后的函数图像来解决方程组，从而求出待定系数的值。
函数的平移与伸缩
函数的平移与伸缩函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在数学中，函数的平移和伸缩是常见的操作，它们可以改变函数的图像，使得函数具有不同的性质和特征。
本文将围绕函数的平移与伸缩展开论述，并探讨它们在数学中的应用。
一、函数的平移函数的平移是指在坐标平面上将函数图像沿着横轴或者纵轴方向移动一定的距离。
平移可以改变函数的位置，使得函数的图像在坐标系中发生改变。
1. 水平平移：水平平移是指将函数图像沿着横轴方向移动。
设原函数为f(x)，平移t个单位，则平移后的函数为f(x-t)。
在平移后的函数中，所有的横坐标都减去t。
如果t为正数，则图像向右平移；如果t为负数，则图像向左平移。
2. 垂直平移：垂直平移是指将函数图像沿着纵轴方向移动。
设原函数为f(x)，平移t个单位，则平移后的函数为f(x)+t。
在平移后的函数中，所有的纵坐标都加上t。
如果t为正数，则图像向上平移；如果t为负数，则图像向下平移。
函数的平移可以改变函数的图像位置，使得函数在坐标系中的位置发生变化。
例如，对于函数y=sin(x)，如果将其水平平移2个单位，则平移后的函数为y=sin(x-2)，图像向右平移了2个单位。
二、函数的伸缩函数的伸缩是指通过改变函数的系数来改变函数图像的形状和幅度。
伸缩可以改变函数的变化速率、振幅，以及图像在坐标系中的大小。
1. 水平伸缩：水平伸缩是指通过改变函数的横坐标来改变函数的图像。
设原函数为f(x)，伸缩的比例为a，则伸缩后的函数为f(ax)。
在伸缩后的函数中，所有的横坐标都乘以a。
如果a大于1，则图像被压缩；如果a小于1，则图像被拉伸。
2. 垂直伸缩：垂直伸缩是指通过改变函数的纵坐标来改变函数的图像。
设原函数为f(x)，伸缩的比例为b，则伸缩后的函数为b*f(x)。
在伸缩后的函数中，所有的纵坐标都乘以b。
如果b大于1，则图像上下缩放；如果b小于1，则图像上下拉伸。
函数的伸缩可以改变函数的形状和大小，使得函数图像在坐标系中的特征发生变化。
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平面内曲线平移伸缩变换的技巧
江苏省靖江高级中学 蔡正伟
在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。
曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x ，y 在变，且变化的规律与习惯相反。
一、平移
规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y 在变，且向下变小，向上变大。
下面举例说明。
例1 将函数)(x f y =的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。
求平移后的函数解析式。
解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x 变成2+x ；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y 变成1-y 。
所以平移后的函数解析式是)2(1+=-x f y 。
例2 求)43sin(21π+=
x y 向右平移3π个单位，向下平移2个单位后的得到的函数解析式。
解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x 变成3π-
x ，y 变成1+y ， 所以平移后的函数解析式是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+4)3(3sin 211ππx y ， 化简后得1)4
33sin(21--=πx y 。
例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是14)3(3sin 211-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+ππx y 。
二、放缩
课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。
用心 爱心 专心 具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x 变成ωx ；横坐标不变纵坐标变为原来的A 倍就是将原来解析式中的y 变成A
y 。
例 3 （2000年理科全国卷）x y s i n
=经过怎样的平移和伸缩得到1cos sin 2
3cos 212++=x x y 。
解：4
5)62sin(211cos sin 23cos 212++=++=πx x x x y 。
（变化一）
45)62sin(21)62sin(212sin 21sin 21sin )4()3()2()1(++=−→−+=−→−=−→−=
−→−=ππx y x y x y x y x y （1）y 变成了2y ，故横坐标不变，纵坐标变为原来的
2
1； （2）x 变成了2x ，故纵坐标不变，横坐标变为原来的2
1； （3）x 变成了12x x +，故将图象右移12π个单位，需要将)6
2sin(21π+=x y 写成)12
(2sin 21π+=x y ； （4）y 变成了45-y ，故将图象上移45个单位。
变换一和变换二的差别就先放缩后平移还是平移后放缩，变换一的第（3）步比较容易错，如果理解“都是x 、y 在变，变化规律与习惯相反”的规律后，每一步只需抓住变的实质，就可以轻松处理类似问题。
另外，这个结论对于平面内的曲线平移都是适用的。
有兴趣的读者不防一试。