三角函数的平移、伸缩变换测试题(人教A版)(含答案)
新人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知曲线1:sin C y x =，曲线2:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C D ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C 2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x 等于（ ）A ．512π B ．4π C ．3π D ．6π 3．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进103米后到点E ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为（ ）米．A ．10B ．2C ．15D ．1524．已知函数()22sin 23sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点5．函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为（ ） A ．πB ．32π C ．2πD ．2π 6．将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 7．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3x π=处取得最小值，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ）A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 8．()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()12sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()12sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9326tan 34tan 26tan 34++=（ ）A ．3B ．CD ．3-10．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．311．函数cos 2y x =的单调减区间是（ ） A ．ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ B ．π3π2π,2π,Z22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．[]2π,π2π,Z k k k +∈D ．πππ,π,Z44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦12．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（ ）A ．2425-B ．35C ．2425D ．35二、填空题13．已知角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos ϕ=__________________．14．已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________. 15．已知锐角α满足1cos()35πα+=，则sin α=______． 16．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin 2cos αα+的值等于______.17．已知α、β均为锐角，且sin 10α=，()cos αβ+=cos 2β=_______________18．若1sin cos (0)5x x x π+=-≤<，则cos2x =___________.19．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____；20．已知tan 2α=，则cos2=α__．三、解答题21．已知02a π<<，02πβ<<，4sin 5α，5cos()13αβ+=. （1）求cos β的值；（2）求2sin sin 2cos 21ααα+-的值.22．在①函数()()sin 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图像，()g x 图像关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()()12cos sin 062f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）若()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间. 23．已知函数2()cos sin 12cos f x a x x x =⋅+-，且(0)3f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期； （2）求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.24．已知向量a ＝cos x ，－1)，b ＝(sin x ，cos 2x )，函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间[2π-，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值． 25．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边在直线430x y -=上.（1）求sin()απ+的值；（2）求2sin cos sin cos 1tan ααααα+--值．26．设函数2()cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】根据三角函数的伸缩变换与平移变换原则，可直接得出结果. 【详解】 因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以将sin y x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得sin 2y x =的图象，再将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 故选：D.2．A解析：A 【分析】由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得()026x k k Z ππ+=∈，结合00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得0x 的值. 【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足22T π=，T π∴=，22T πω∴==，()sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026x k k Z ππ+=∈，解得()0212k x k Z ππ=-∈， 由于00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行： （1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02x k k Z πωϕπ⇔+=+∈；（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.3．C解析：C 【分析】由,2,4PCA PDA PEA θθθ∠=∠=∠=，得PDE △是等腰三角形，且可求得230θ=︒，在直角PEA 中易得塔高PA ． 【详解】由题知,2CPD PCD DPE PDE θθ∠=∠=∠=∠= ∴30PE DE PD CD ====∴等腰EPD △的230θ︒=，∴460θ︒= ∴Rt PAE 中，AE =15PA =．故选：C ．4．B解析：B 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故最大值为2，A 错22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故关于3x π=对称，B 对最小正周期为22ππ=，C 错 ()26x k k Z ππ-=∈解得()122k x k Z ππ=+∈，12x π=和712x π=都是零点，故D 错.故选：B 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．5．C解析：C 【分析】由切化弦，及两角和的正弦公式化简函数，然后由正弦函数的周期性得结论． 【详解】 由已知，()(1)cos f x x x =+cos x x =+12cos 2x x ⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴最小正周期为221T ππ==， 故选：C ．6．D解析：D 【分析】利用三角函数的最值，取自变量1x 、2x 的特值，然后判断选项即可. 【详解】因为函数()sin 2g x x =的周期为π，由题意可得：()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦， 若()()122f x g x -=，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有12min3x x π-=，所以不妨取24x π=，则1712x π=，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在1712x π=取得最小值， 所以77121s 12in 2f ϕππ⎛⎫=-=- ⎪⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭⎝，此时5+,6k k Z πϕπ=∈，又02πϕ<<，所以此时不符合题意，取24x π=，则112x π=-，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在112x π=-取得最小值， 所以12sin 21ϕπ⎡⎤⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-，此时,6k k Z πϕπ=-∈，当0k =时，6π=ϕ满足题意，故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出2x ，得出1x ，再利用正弦函数取得最小值的点，求得ϕ的值，属于中档题．7．D解析：D 【分析】先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】 因为()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，且()f x 在3x π=处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈， 所以2,3k k Z πϕπ=--∈，取ϕ的一个值为3π-， 所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 【点睛】思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下： （1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.8．A解析：A 【分析】根据图象易得2A =，最小正周期T 2433ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而求得ω，再由图象过点2,23π⎛⎫⎪⎝⎭求得函数()f x ，然后再根据平移变换得到()g x 即可. 【详解】由图象可知2A =，最小正周期2T 4433πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴212T πω==，1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+，26k πϕπ=+，∵||2ϕπ<，∴6π=ϕ，1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移2π个单位长度得 11()2sin 2sin 226212g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A 9．C解析：C 【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解． 【详解】26tan34tan 26tan34︒︒+︒+︒26tan 34tan(2634)(1tan 26tan 34)=︒︒+︒+︒-︒︒26tan 34tan 26tan 34)=︒︒+-︒︒26tan3426tan34=︒︒︒︒=故选：C ．10．A解析：A 【分析】 运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】 解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-， 即有1sin[()]243ππα-+=-， 即1cos()43πα+=-. 故选：A.11．A解析：A 【分析】根据余弦函数的性质，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈求解. 【详解】令222,k x k k Z πππ≤≤+∈， 解得2,2k x k k Z πππ≤≤+∈，所以函数cos 2y x =的单调减区间是ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 故选：A12．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值 【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ， 所以34sin ,cos 55αα====， 所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 故选：C二、填空题13．【分析】由题意可得：利用已知条件可以求出利用即可求解【详解】因为角和角的始边均与轴正半轴重合终边互相垂直所以若角的终边与单位圆交于点所以则故答案为：解析：13±【分析】由题意可得：,2k k Z πϕθπ=++∈，利用已知条件可以求出1sin 3θ=，利用 cos sin ϕθ=±即可求解.【详解】因为角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直， 所以,2k k Z πϕθπ=++∈，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ=， 则1cos sin 3ϕθ=±=±，故答案为：13±14．【分析】由余弦函数的定义可得解出即可【详解】由余弦函数的定义可得解得（舍去）或（舍去）或故答案为： 解析：1-【分析】由余弦函数的定义可得cos xθ==，解出即可.【详解】由余弦函数的定义可得cos xθ==，解得0x=（舍去），或1x=（舍去），或1x=-，1x∴=-.故答案为：1-.15．【分析】利用余弦的两角和公式展开结合代入计算即可【详解】解得根据代入计算解得故答案为：【分析】利用余弦的两角和公式展开，结合22sin cos1αα+=，代入计算即可．【详解】1cos cos2513πααα⎛⎫+=⋅=⎪⎝⎭，解得2cos5αα=+，根据22sin cos1αα+=，代入计算，解得sinα=.16．【分析】根据三角函数定义求出的值由此可求得的值【详解】由三角函数的定义可得因此故答案为：解析：25-【分析】根据三角函数定义求出sinα、cosα的值，由此可求得sin2cosαα+的值.【详解】由三角函数的定义可得3cos5α==-，4sin5α==，因此，432sin2cos2555αα⎛⎫+=+⨯-=-⎪⎝⎭.故答案为：25-.17．【分析】先由题意得到求出根据由两角差的余弦公式求出再由二倍角公式即可求出结果【详解】因为均为锐角所以又所以所以则故答案为：解析：45【分析】先由题意得到，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ+∈，求出sin 10α=，()cos 5αβ+=，根据()cos cos βαβα=+-，由两角差的余弦公式，求出cos β，再由二倍角公式，即可求出结果. 【详解】因为α、β均为锐角，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ+∈，又sin 10α=，()cos αβ+=所以cos 10α==，()sin 5αβ+==， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++==， 则294cos 22cos 1155ββ=-=-=. 故答案为：45. 18．【分析】将已知等式两边平方可得结合已知的范围可得从而可求进而利用二倍角公式平方差公式即可求解【详解】解：因为两边平方可得可得所以可得所以故答案为： 解析：725【分析】将已知等式两边平方，可得242sin cos 025x x =-<，结合已知x 的范围可得sin 0x ≥，cos 0x <，从而可求7cos sin 5x x -==-，进而利用二倍角公式，平方差公式即可求解. 【详解】解：因为1sin cos (0)5x x x π+=-≤<，两边平方，可得112sin cos 25x x +=，可得242sin cos 025x x =-<， 所以sin 0x ≥，cos 0x <，可得7cos sin 5x x -===-， 所以22177cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )()5525x x x x x x x =-=+-=-⨯-=. 故答案为：725. 19．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π 【分析】 根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数， 所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π. 故答案为：2π. 20．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 三、解答题21．（1）6365；（2）54-.【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，sin()αβ+的值，进而根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦函数公式即可求解．（2）利用二倍角公式可求sin 2α，cos2α的值，进而即可代入求解． 【详解】 （1）因为02πα<<，4sin 5α所以3cos 5α== 又因为02πβ<<，5cos()13αβ+=所以12sin()13αβ+== 所以[]cos cos ()ββαα=+-cos()cos sin()sin βααβαα=+++53124135135=⨯+⨯ 6365=（2）因为3cos 5α=，4sin 5α 所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯-=-所以22424()sin sin 255257cos 214125ααα++==----【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．22．（1）,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，（1）由[]0,x α∈，得到2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，即可求解； （2）根据函数正弦函数的形式，求得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，进而得出函数的单调递增区间. 【详解】 方案一：选条件①由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，解得1ω=， 所以()()sin 2f x x ϕ=+， 又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x， 又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤； 当2k =时，可得51336x ππ≤≤， 所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 方案二：选条件②：由()12cos sin 62f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12cos sin cos cos sin 662x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭211cos cos 2cos 222x x x x x ωωωωω=+-=+sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，所以1ω=， 可得()()sin 2f x x ϕ=+， 又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x， 又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤； 当2k =时，可得51336x ππ≤≤， 所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为()sin()f x A wx ϕ=+或()cos()f x A wx ϕ=+的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.23．（1）π；（2）min ()1f x =-，max ()2f x =. 【分析】（1）利用倍角公式降幂，求得()sin 2cos 22af x x x =-，再利用(0)3f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得到等量关系式，求得a =（2）由x 的范围，得到相应整体角的范围，进一步求得()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）2()cos sin 12cos sin 2cos 22af x a x x x x x =⋅+-=-， ∵(0)3f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴22sin cos sin 0cos 02332a aππ⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =∴()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴函数()y f x =的最小正周期为22ππ=.（2）∵52,243x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,646x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴[]()2sin 21,26f x x π⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭.∴当7266x ππ-=，即23x π=时，min ()1f x =-，当226x ππ-=，即3x π=时，max ()2f x =.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关三角函数的问题，解题思路如下：（1）利用正、余弦倍角公式降幂，利用条件求相应参数值，利用辅助角公式化简函数解析式；（2）利用函数的性质，得到其最小正周期；（3）根据自变量x 的范围，求得整体角的范围，结合正弦函数的性质，求得函数的最值. 24．（1）,,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）=2x π-时，最大值为0；=6x π-时, 最小值为32-. 【分析】（1）由()f x a b =⋅，根据向量的数量积的运算可得()f x 的解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间. （2）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出()f x 的最大值和最小值.【详解】解:(1)2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-cos 21=2222x x -- 1=sin 2coscos 2sin662x x ππ-- 1=sin 2)62x π--（由2,262k x k k πππππ--+∈Z 2≤≤2， 解得：,63k x k k ππππ-+∈Z ≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为：[,],63k k k ππππ-+∈Z .（2）因为02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以72666x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，， 所以1sin2)62x π--1≤（≤，即31sin 2)0262x π---≤（≤， 当=2x π-时，()f x 有最大值为0；当=6x π-时, ()f x 有最小值为32-.【点睛】关键点睛：利用三角函数的二倍角公式，化简得到，2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-1=sin2)62x π--（， 进而利用复合函数的单调性进行求解，难度属于中档题25．（1）45-或45；（2）75-或75；【分析】 （1）在直线430x y -=上任取一点4(,)3P m m (0)m ≠，由已知角α的终边过点4(,)3P m m ，利用诱导公式与三角函数定义即可求解，要注意分类讨论m 的正负.（2）先利用商的关系化简原式为sin cos αα+，结合第一问利用三角函数定义分别求得cos α与sin α，要注意分类讨论m 的正负.【详解】（1）在直线430x y -=上任取一点4(,)3P m m (0)m ≠，由已知角α的终边过点4(,)3P m m ，x m ∴=，43y m =，53r OP m ==利用诱导公式与三角函数定义可得：sin()sin 443553mm m m απα=-=-+=-，当0m >时，4in()5s απ-+=；当0m <时，4sin()5απ+=（2）原式22222sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos 1cos αααααααααααααααα-=+=+=-----()()sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα+-==+-同理（1）利用三角函数定义可得：3553cos m mm m α==， 当0m >时，4sin 5α，3cos 5α=，此时原式75=；当0m <时，4sin 5α=-，3cos 5α=-，此时原式75=-；【点睛】易错点睛：本题考查三角函数化简求值，解本题时要注意的事项：角α的终边在直线430x y -=上，但未确定在象限，要分类讨论，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.26．（1）π；（2）最小值为4-4. 【分析】（1）利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解． （2）求出23x π-的取值范围，然后由正弦函数性质得最值．【详解】 （1）2211()cos (sin )sin cos cos 224224f x x x x x x x x =++=-+11sin 22sin(2)423x x x π==-， ∴()f x 的最小正周期是22T ππ== （2）0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()f x ⎡∈⎢⎣⎦.()f x 233x ππ-=，3x π=，()f x 最小值为-233x ππ-=-，0x =.综上，()f x 的最小值为- 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简为标准的形态，然后利用正弦函数的性质求解，难度属于中档题。
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换一、单选题(共8道，每道12分)1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( )A.πB.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换7.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换8.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。
(完整版)三角函数的平移伸缩变换练习题
三角函数的平移伸缩变换题型一：已知开始和结果，求平移量ϕω【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 （C ） 向上平行移动3π个单位长度 （D ） 向下平行移动3π个单位长度【】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度【】要得到函数cos y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）（A ）．向右平移π6个单位 （B ）．向右平移π3个单位 （C ）．向左平移π3个单位 （D ）．向左平移π6个单位【】要得到函数(21)y cos x ＝＋的图象，只要将函数2y cos x ＝的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位【】要得到sin(2)3y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象 （ ）（A ）向左平移3π个单位 （B ）向右平移3π个单位 （C ）向左平移6π个单位 （D ）向右平移6π个单位【】.将函数sin 2y x =的图象作平移变换，得到函数sin(2)6y x π=-的图象，则这个平移变换可以是 （ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【】为了得到函数4sin(3)()4y x x R π=+∈的图象，只需把函数4sin()()4y x x R π=+∈的图象上所有点（ ）A 、横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B 、横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C 、纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D 、纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．【2015山东】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【】为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位【】要得到cos(2)4y x π=-的图像，只需将sin 2y x =的图像（ ）A 向左平移8π个单位B 向右平移8π个单位C 向左平移4π个单位D 向右平移4π个单位【】已知函数()sin 4πf x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()R 0x ω∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度题型二：已知开始，平移量，求结果【】. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-【】函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） （A ）sin(2),3y x x R π=-∈ （B ）sin(),26x y x R π=+∈（C ）sin(2),3y x x R π=+∈ （D ）2sin(2),3y x x R π=+∈【】函数3sin(2)3y x π=+的图象，可由y sinx =的图象经过下述哪种变换而得到 ( )（A ）向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（B ）向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（C ）向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31倍（D ）向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标缩小到原来的31倍【】.将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 . 【】. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ .【】把函数sin(2)4y x π=+的图像向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的12，所得函数的解析式为（ ）。
新人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=2．先将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移2π个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数()g x 的图象，若方程()()f x g x =有实根，则ω的值可以为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．43．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定4．如果函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，那么θ的最小值为（ ）A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 5．计算cos 20cos80sin160cos10+=（ ）．A ．12B ．2C ．12-D ． 6．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）.A ．B ．12-C D ．127．化简求值1tan12tan 72tan12tan 72+-（ ）A ．B ．CD 8．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<9．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭10．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3x π=处取得最小值，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ）A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 11．若4cos ,5αα=-是第三象限角，则sin α等于（ ）A ．35B ．35C ．34D ．34-12．函数()log 44a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则7πcos 2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35B ．35C ．45-D ．45第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知22034sin παα=<<，，则sin cos αα-=_____________________. 14．田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为cos a θ=，sin cos b θθ=+，cos sin c θθ=-，对方的三个数以及排序如表：当04θ<<时，则我方必胜的排序是______.15．设函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭，[]0,2x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0>ω，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.16．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______. 17．如下图所示，某农场有一块扇形农田，其半径为100m ，圆心角为3π，现要按图中方法在农田中围出一个面积最大的内接矩形用于种植，则围出的矩形农田的面积为___________2m .18．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 19．若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是___________.20．已知7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，则cos2=α_______.三、解答题21．某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长； （2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．22．已知函数()π3sin 22sin cos 6f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调增区间. （2）当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 23．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，60秒转动一圈.图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ到OB .设B 点与地面的距离为h .（1）求h 与θ的函数关系式；（2）设从OA 开始转动，经过10秒到达OB ，求h . 24．已知函数2()cos sin 12cos f x a x x x =⋅+-，且(0)3f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期； （2）求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 25．如图，以Ox 为始边作角α与β(0)βαπ<<<)，它们的终边分别与单位圆相交于点P ､Q ，已知点P 的标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值;（2）若0OP OQ ⋅=，求sin()αβ+的值26．如图，设矩形()ABCD AB BC >的周长为m ，把ABC 沿AC 翻折到AB C '，AB '交DC 于点P ，设AB x =.（1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求ADP △面积的最大值.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】 将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令24,32x k k Z πππ+=+∈，解得,424k x k Z ππ=-∈， 所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A2．C解析：C 【分析】先根据三角函数图象的变换得出()g x 的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析()()f x g x =的条件并求解ω的值.【详解】由题意可知()sin 22g x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则函数()g x 的最大值为3，最小值为1，又()sin (0)f x x ωω=>的最大值为1，所以当()()f x g x =有实根时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合，故应平移(21),2T n n N +∈个单位，所以()212n ππω=+， 得42,n n N ω=+∈，故只有C 选项符合.故选：C. 【点睛】本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于： （1）得出函数()g x 的解析式；（2）分析出()()f x g x =时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合.3．C解析：C 【详解】∵tan sin cos A B B <，∴sin sin cos cos A BB A<，若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，,A B 是三角形内角，∴02A B π<+<，从而()2C A B ππ=-+>，C 为钝角，三角形仍然为钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由sin sin cos cos A BB A<常常直接得出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．4．A解析：A 【分析】利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：θ的表达式，进而得到θ的最小值． 【详解】由题意函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，则有 1,32k πθπ⋅+= 解得 θ＝k π6π-，k ∈Z ，所以由此得|θmin 6π=．故选：A ． 【点睛】方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解5．A解析：A 【分析】将160化为20,10化为80后，利用两角差的余弦公式可求得结果. 【详解】cos 20cos80sin160cos10+cos 20cos80sin 20sin80=+()cos 8020=-cos60=12=． 故选：A ．6．C解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.7．A解析：A 【分析】逆用两角差的正切公式先求出tan12tan 721tan12tan 72-+，即可求解.【详解】 因为()tan 1272-tan12tan 721tan12tan 72-=+()tan 60=-=-所以()1tan12tan 721tan12tan 723tan 60+===---.故选：A8．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin 07a π=>；427πππ<<， 4cos cos cos 72πππ∴<<，即10b -<<.又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 9．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式． 【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．10．D解析：D 【分析】先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】 因为()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，且()f x 在3x π=处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈， 所以2,3k k Z πϕπ=--∈，取ϕ的一个值为3π-， 所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：D. 【点睛】思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下： （1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.11．B解析：B 【分析】运用同角的三角函数关系式直接求解即可. 【详解】4cos ,5a a =-是第三象限角，3sin 5a ∴==-，故选：B12．D解析：D 【分析】先利用对数函数图象的特点求出点()3,4A -，再利用三角函数的定义求出sin θ的值，利用诱导公式可得7πcos sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】 对数函数log ay x =恒过点()1,0，将其图象向左平移4个单位，向上平移4个单位可得()log 44a y x =++的图象，点()1,0平移之后为点()3,4-，所以()3,4A -，令3x =-，4y =，则5OA ===，所以4sin 5y OA θ==， 由诱导公式可得：7π4cos sin 25θθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出()3,4A -，会利用三角函数的定义求出θ的三角函数值，会利用诱导公式化简7πcos 2θ⎛⎫+⎪⎝⎭. 二、填空题13．【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系由即可求出正确答案【详解】解：因为所以所以故答案为:解析：【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系，由sin cos αα-=即可求出正确答案. 【详解】 解：因为04πα<<，所以0sin cos αα-<，所以sin cos αα-====，故答案为: 3-. 14．【分析】由三角函数值的大小比较得：当时结合田忌赛马的事例进行简单的推理即可得答案【详解】因为当时故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是当时比较出以及的大小关系利用田忌赛马的事例进行推理即可 解析：c ，b ，a【分析】由三角函数值的大小比较得：当04πθ<<时，cos sin cos cos sin θθθθθ-<<+，sin tan θθ<<，结合田忌赛马的事例进行简单的推理，即可得答案. 【详解】因为当04πθ<<时，cos sin cos cos sin θθθθθ-<<+，sin tan θθ<<，tan sin cos θθθ<+，sin cos θθ<. 故答案为：c ，b ，a 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是当04πθ<<时，比较出sin tan θθ<<，以及a 、b 、c 的大小关系，利用田忌赛马的事例进行推理即可.15．①②③【分析】可把中的整体当作来分析结合三角函数的图象与性质即可得解【详解】由于恰有4个零点令由有4个解则解得①即由上述知故的值有且仅有个正确；②当时当时解得又故存在使得在上单调递增正确；③而所以可解析：①②③ 【分析】可把sin()y A x ωθ=+中的x ωθ+整体当作t 来分析，结合三角函数的图象与性质即可得解． 【详解】由于()f x 恰有4个零点，令6t x πω=-，266t ππωπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，， 由sin 0t =有4个解，则3246x ππωπ≤-<，解得19251212ω≤<， ①()0f x A =即0262ππωx k π-=+，由上述知0,1k =， 故0x 的值有且仅有2个，正确；②当0x =时，66ππωx -=-，当819πx =时，81962πππω⋅-≤，解得1912ω≤， 又19251212ω≤<，故存在1912ω=，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，正确； ③11()sin 262f x A x πω⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，而2[3,4)6ππωππ-∈， 所以6x πω-可取51317,,,6666ππππ，共4个解，正确，综上，真命题的序号是①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】三角函数的性质分析一般用数形结合，图象的简化十分重要。
高三数学三角函数图象变换试题
高三数学三角函数图象变换试题1.将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．【答案】.【解析】将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，故所得的图象的函数解析式为．【考点】三角函数图象变换．2.将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可化为.依题意等价于将函数向下平移一个单位得到，再向右平移个单位即可得到.【考点】1.三角函数的平移.2.三角函数诱导公式.3.将函数的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为将函数的图像向右平移个单位，可得到函数图像对应的函数解析式为.再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为.化简可得，即.故选C.【考点】1.函数图像的左右上下平移规则.2.三角形函数二倍角公式.4.把函数的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是A．B．C．D．【答案】A【解析】把函数的图象向右平移个单位后，所得到函数为，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是，选A.【考点】三角函数图像的平移、伸缩变换.5.以下命题正确的是_____________.①把函数的图象向右平移个单位，得到的图象；②的展开式中没有常数项；③已知随机变量~N(2,4)，若P(＞)= P(＜)，则；④若等差数列前n项和为，则三点，(),()共线.【答案】①②④【解析】把函数的图象向右平移个单位，得，即，①正确；的展开式的通项公式为（），令=0，无解，②正确；由题意正态曲线关于对称，且P(＞)= P(＜)，则，③错误；因为等差数列的前n项和为，所以，故点在直线上，④正确.【考点】1、三角函数图像变换；2、二项式定理；3、等差数列前n项和的性质.6.如果函数的图像关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由的图像关于直线对称，则在处取得最值，所以，而，所以，故选D.【考点】1.三角函数的性质；2.函数的最值求解.7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】B．【解析】函数，只需将函数向左平移个长度单位可得函数.【考点】三角函数的图像平移.8.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由已知得平移后的图像所对应的函数解析式是，故选【考点】三角函数图像变换.9.将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是___________________.【答案】【解析】,将其图像向左平移个长度单位后得到，图像关于轴对称，则有所以的最小值是.【考点】10.函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为________．【答案】【解析】，得周期，于是，图象易知，根据五点作图法有，解得，所以，将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为【考点】函数的图象与性质.11.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】,由，只需向右平移个单位长度.【考点】函数图象的平移.12.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】将函数向右平移个单位长度得；将函数向右平移个单位长度得；将函数向左平移个单位长度得；将函数向左平移个单位长度得【考点】三角函数图像平移点评：三角函数向左平移个单位得向右平移个单位得13.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位【答案】A【解析】因为，=，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象，向右平移个长度单位，选A。
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第14课时平移变换、伸缩变换含解析
第 14 课时 平移变换、伸缩变换课时目标掌握 y ＝ sinx 与 y ＝ Asin( ωx＋ φ)图象之间的关系，会用 “ 五点法 ” 和变换法作 y ＝Asin( ωx＋ φ)的图象，并会由函数的图象与性质求y ＝Asin( ωx＋φ)的分析式．识记加强y ＝ sinx 图象上全部点向左 (φ>0)或向右 (φ<0)平移 |φ|个单位得 C 1：y ＝ sin(x ＋ φ)； C 1 上各点的横坐标减小 (当 ω>1 时)或伸长 (当 0< ω<1)到本来的1倍 (纵坐标不变 )得 C 2 ：y ＝ sin(ωx ＋φ)； C 2 上各点纵坐标伸长ω ( 当 A>1 时 )或减小 (0<A<1)到本来的 A 倍获得 C 3：y ＝ Asin(ωx＋ φ)( >0，ω>0)．课时作业一、选择题1． 要获得函数 y ＝ sin 2x ＋π的图象，只需将函数 y ＝ sin2x 的图象 ()3πB ．向右平移πA ．向左平移 个单位长度 个单位长度33πD ．向右平移πC ．向左平移 个单位长度 个单位长度66答案： Cππ分析： 由于 y ＝ sinx ＋6 ，因此将函数 y ＝sin2x 的图象上全部点向左平移2x ＋ 3 ＝ sin2ππ π6个单位长度，便可获得函数 y ＝ sin2 x ＋6 ＝ sin 2x ＋ 3 的图象．2．把函数 y ＝ sinx 的图象上全部点向左平移 π个单位长度，再把所得图象上全部点的横3坐标缩短到本来的 12(纵坐标不变 )，获得的图象所对应的函数是 ( )2x － π x ＋ πA ． y ＝ sin 3B ．y ＝ sin 2 6C ．y ＝ sin 2x ＋πD ．y ＝ sin 2x ＋2π3 3答案： C分析： 把函数y ＝ sinx 的图象上全部点向左平行挪动πy ＝3个单位长度后获得函数sin x ＋π的图象，再把所得图象上全部点的横坐标缩短到本来的1，获得函数 y ＝ sin 2x ＋ π 332 的图象．π1 个单位长度，所获得3．将函数 y ＝ sin2x 的图象向左平移 4个单位长度，再向上平移的图象对应的函数是 ()A ． y ＝ cos2xB ．y ＝ 1＋ cos2xπC ．y ＝ 1＋ sin 2x ＋ 4D ． y ＝ cos2x － 1答案： B分析： 将函数 y ＝sin2x 的图象向左平移ππ4个单位长度，获得函数 y ＝ sin2x ＋ 4 的图象，π即 y ＝ sin 2x ＋2 ＝ cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位长度，所获得的图象对应的函数为y＝1＋ cos2x.π的图象，能够将函数y ＝ cos2x 的图象 ()4．为了获得函数 y ＝ sin 2x － 6πA ．向右平移 个单位长度6πB ．向右平移 3个单位长度πC ．向左平移 个单位长度6πD ．向左平移 个单位长度3答案： Bππ π 2π2π π分析： y ＝ sin＝ cos 2－ 2x － 6 ＝ cos 3 － 2x ＝ cos 2x － 3 ＝cos2 x － 3 .2x － 6π5．将函数 y ＝ sin(2x ＋ φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后， 获得一个偶函数的图象，则8φ的一个可能取值为 ()3πB.πA. 44πC ．0D ．－ 4答案： B左移π分析： y ＝ sin(2x ＋φ)――→πx ＋88个单位 y ＝ sin 2 ＋ φπ＝ sin 2x ＋ 4＋ φπ π若为偶函数，则4＋ φ＝2＋ k π， k ∈ Z经考证当 k ＝ 0π时， φ＝ 4.6．将函数 y ＝ sin x －π的图象上全部点的横坐标伸长到本来的2 倍 (纵坐标不变 )，再将3π()所得的图象向左平移 3个单位长度，获得的图象对应的分析式是1 1 πA ． y ＝ sin 2xB ． y ＝ sin 2x － 21 ππC ．y ＝ sin 2x － 6D ． y ＝ sin 2x －6答案： C分析： y ＝ sin π 横坐标伸长到本来的 2倍1 πx － 3 的图象――→y ＝ sin 2x － 3 的图象y ＝1ππsin 2 x ＋ 3 － 31 π1 π＝ sin 2x － 6 的图象，故所求分析式为y ＝ sin 2x －6 .二、填空题π7．假如将函数y ＝ sin－ 4x 的图象向左平移 φ个单位后正好与原函数的图象重合，那6么最小正数 φ＝ ______________.答案：π2分析： y ＝ sin π向左平移ππ－ 4x ――→－ 4 x ＋φ ＝ sin6 － 4x － 4φ6 φ个单位 y ＝ sin6π若与原函数图象重合，则需知足－4φ＝ 2k π， k ∈ Z ，当 k ＝－ 1 时，最小正数 φ＝ 28．函数 y ＝1sin 2x －π的图象能够看作把函数y ＝ 1sin2x 的图象向 ________平移24 2________个单位长度获得的．答案： 右 π8分析： ∵y ＝ 1 π 1π 1π2sin 2x －4 ＝ 2sin2 x － 8 ，∴由 y ＝ 2sin2x 的图象向右平移 8个单位长度便得1π到 y ＝ 2sin 2x － 4 的图象．πy 轴的对称图形，9．先将函数 y ＝ sin2x 的图象向右平移 个单位长度，再作所得图象对于3则最后所得图象的分析式是 ________．答案： y ＝－ sin 2x ＋ 2π32π分析： 向右平移 π，3个单位长度获得y ＝sin 2x － 32π对于 y 轴对称则 y ＝ sin －2x － 3 ＝2π－ sin 2x ＋ 3 . 三、解答题π10．用五点法画出函数 y ＝2sin 2x ＋ 3 的图象，并指出函数的单一区间．解： (1)列表xππ π 7π 5π－ 612 3 12 6ππ3π2x ＋ 30 2 π 2 2π y0 2 0－ 2ππ3π x 值和 y 值．列表时由 2x ＋ 的取值为0， ， π，， 2π，再求出相应的3 22(2)描点．(3)用光滑的曲线按序连接各点所得图象如下图．利用这种函数的周期性，我们能够把上边所得的简图向左、向右扩展，获得y ＝π 2sin 2x ＋3 (x ∈ R )的简图 (图略 )．π， 7π上递减，又因函数的周期为可见在一个周期内，函数在π，因此函数的递减7π12 125ππ区间为 k π＋12， k π＋ 12 (k ∈ Z)．同理，递加区间为 k π－ 12π， k π＋ 12 (k ∈ Z)．π(纵坐标不变 )，得11．先将函数 y ＝ sinx 的图象向右平移 5个单位，再变化各点的横坐标到最小正周期为2π的函数 y ＝ sin(ωx＋ φ)(此中 ω>0)的图象，求 ω 和 φ.3解： 将函数 y ＝ sinx 的图象向右平移πy ＝ sin x － π的图象，再变化 y ＝ 个单位，获得5 5 2sin x － π的图象各点的横坐标 (纵坐标不变 ) ，获得最小正周期为 π的函数 y ＝ sin( ωx＋ φ)(其5 2π 2π 3π中 ω>0)的图象，获得 ω＝＝ ＝ 3，因此 ω＝ 3， φ＝－ .T253π能力提高12．要获得函数 y ＝ cos 2x －π的图象，只需将 y ＝ sin2x 的图象 ()4πA ．向左平移 个单位8π B ．向右平移 8个单位πC ．向左平移 个单位4πD ．向右平移 个单位4答案： Aπ π分析： y ＝ cos 2x － 4 ＝cos 4－ 2xπ π π＝ sin 2－ 4－ 2x ＝ sin 2x ＋ 4π＝ sin 2 x ＋ 8 .π13．函数 y ＝ sinx 的图象可由 y ＝ cos 2x － 6 的图象经过如何的变化而获得？解： ∵y ＝ cos 2x － π π＝＝cos － 2x 6 6π πsin － － 2x2 6ππ＝ sin 2x ＋ 3 ＝sin2 x ＋6 .π∴ y ＝ cos 2x －6＝ sin2 x ＋πy6 横坐标变成本来的 2倍＝ sin2x――→ y ＝ sinx.纵坐标不变。
高三数学三角函数图象变换试题答案及解析
高三数学三角函数图象变换试题答案及解析1.要得到函数y＝3sin(2x＋)的图象，只需要将函数y＝3cos2x的图象()A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【答案】A【解析】把函数y＝3cos2x的图象向右平移个单位得到的图象相应的函数解析式是y＝3cos2(x－)＝3cos(2x－)＝3sin(2x＋)，因此选A．2.将函数图象所有的点向右移动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数图象所有的点向右移动个单位长度后所得图象的函数解析式为，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为.故C正确.【考点】三角函数的伸缩平移变换.3.为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．4.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”给出下列函数；；；其中“互为生成函数”的是（）A．①②B．①③C．③④【答案】B【解析】,向左平移个单位得到函数的图象，向上平移2个单位得到的图象，与中的振幅不同，所以选B.5.把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】B【解析】把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：，向左平移1个单位长度得：，再向下平移1个单位长度得：．令x＝0，得：；x＝，得：；观察即得答案．6.设命题：函数的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于轴对称；命题：函数在上是增函数．则下列判断错误的是（）A．为假B．为真C．为假D．为真【答案】D【解析】命题p,函数的图像向左平移个单位长度得到的函数解析式为,因为不是偶函数,所以不关于y轴对称,即命题p 为假命题.命题q,如图作出的函数图像可以发现该函数在区间上是单调递减的,在区间是单调递增的,所以命题q也是假命题,根据真值表可得为假命题,所以D是错误的,故选D【考点】命题真假三角函数指数函数域图像变化真值表7.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是A．B．C．D．【解析】由题意，选D．【考点】图象变换．8.已知向量（为常数且），函数在上的最大值为．（1）求实数的值；（2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求取最大值时的单调增区间．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把向量，（为常数且），代入函数整理，利用两角和的正弦函数化为，根据最值求实数的值；（2）由题意把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，利用在上为增函数，就是周期，求得的最大值，从而求出单调增区间．试题解析：（1）．因为函数在上的最大值为，所以故．（2）由（1）知：，把函数的图象向右平移个单位，可得函数．又在上为增函数的周期即，所以的最大值为，此时单调增区间为．【考点】1．平面向量数量积的运算；2．三角恒等变换；3．三角函数的最值；4．三角函数的单调性；4、函数的图象变换．9.已知函数，则要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】,根据左加右减的平移原理，所以应该向左平移个单位长度，故选A.【考点】的图像变换10.已知的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，要得到的图像，只须把的图像 ( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解析】由于函数的最大值为1，又函数的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期为.所以.所以函数的解析式为.所以要得到函数只需要将向左平移各单位即可.故选A.【考点】1.三角函数的图像.2.三角函数图像的平移.3.三函数的诱导公式.11.已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx－(ω>0)，其最小正周期为.(1)求f(x)的解析式．(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【答案】（1）sin（2）－<k≤或k＝－1.【解析】(1)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx－＝sin 2ωx＋－＝sin ，由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝.∴ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝sin 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 的图象．∴g(x)＝sin ，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.∴－<k≤或k＝－1.12.函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝cos2x的图象，则只要将f(x)的图象()．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】由图象可知A＝1，，所以T＝π，又T＝＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin (2x＋φ)，又f＝sin ＝sin ＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin .因为g(x)＝cos 2x＝sin＝sin ，所以直线将f(x)向左平移个单位长度即可得到g(x)的图象．13.已知函数（，c是实数常数）的图像上的一个最高点，与该最高点最近的一个最低点是，(1)求函数的解析式及其单调增区间；(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，角A的取值范围是区间M，当时，试求函数的取值范围.【答案】（1），单调递增区间是；（2）.【解析】（1）三角函数问题一般都要化为的一个三角函数的形式，然后才可利用正弦函数的性质解题，这个函数图象上相邻有最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，而周期，再加上最高（低）点在函数图象上，我们就可出这个函数的解析式了（）；（2）由，根据向量数量积定义我们可求出，那么三角形的另一内角的范围应该是，即函数中的范围是，然后我们把一个整体，得出，而正弦函数在时取值范围是，因此可求出的值域．试题解析：(1)∵，∴.∵和分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，∴解得∴.由，解得.∴函数的单调递增区间是.(2)∵在中，，∴.∴，即.∴.当时，，考察正弦函数的图像，可知，.∴，即函数的取值范围是.【考点】（1）五点法与函数的图象；（2）三角函数在给定区间的值域．14.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）【答案】B【解析】这题考查函数图象的两个变换，平移变换，周期变换，当把函数图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，则得函数的图象，故本题选B.【考点】三角函数的图象变换.15.要得到函数y= sinx的图象，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位;C．向左平移个单位D．向左平移个单位;【答案】B【解析】首先函数化为.即由函数的图像向右平移可得函数的图像.所以选B.本校题要注意函数是要得到的函数.否则易做反了.【考点】1.正余弦函数的平移.2.关注诱导公式的变形.16.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )A．B．C．0D．【答案】B【解析】令，则，∵为偶函数，∴，∴，∴当时，，故的一个可能的值为．故选B．【考点】三角函数图像变化．17.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A．【解析】，故只需将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选A．【考点】三角函数的图像变换．18.把函数的图象按向量=（－，0）平移，所得曲线的一部分如图所示，则，的值分别是（）A．1，B．2，－C．2，D．1，－【答案】B【解析】把函数的图象按向量=（－，0）平移，得.由图得函数的周期.又.选B.【考点】三角函数图象的变换.19.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象( )A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称【答案】D【解析】由函数的最小正周期是可知，，所以有，向右平移个单位后有是奇函数，所以，因为，所以.所以，关于点对称，关于直线对称.【考点】1.求三角函数的解析式；2.三角函数的图像与性质20.已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中常数(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，用五点法作出函数在区间的图像.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)由向量的数量积的坐标表示将表示出来，并利用正弦和余弦的二倍角公式将其表示为的形式，再由对称轴为，所以在处函数值取到最大值或最小值，从而得，代入并结合求的值，再利用和的关系，求；(Ⅱ)用代换得，先由，确定，从中取特殊点，，，，，再计算相应的自变量和函数值，列表，描点连线，即得在给定区间的图象.试题解析：(Ⅰ)，；(Ⅱ)0-2020【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、正弦和余弦的二倍角公式；3、五点作图法.21.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】D【解析】三角函数的图象在平移的过程中，振幅不变，①的函数的解析式化简为，④中的函数的解析式化简为，将③中的函数的图象向左平移个单位长度便可得到④中的函数图象，故选D.【考点】1.新定义；2.三角函数图象变换22.将函数y＝f(x)·sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是 ()．A．sinx B．cosx C．2sinx D．2cosx【答案】D【解析】将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移个单位得,再作关于x轴的对称变换得，，即，令则，所以，，故f(x)可以是2cos x，选D.【考点】三角函数图象平移变换、二倍角公式.23.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】B【解析】∵，∴只需把函数的图象向右平移个单位，选B.【考点】三角函数的图象.24.将函数（）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为【答案】2【解析】，根据函数的图象可知，当函数在上为增函数的最大满足，所函数在上为增函数的最大.【考点】的图象与性质.25.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由已知得平移后的图像所对应的函数解析式是，故选【考点】三角函数图像变换.26.函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则=___________.【答案】【解析】因为原函数解析式为，所以图象平移后的解析式为=，所以，解得.【考点】本小题主要考查诱导公式、三角函数的图象变换等基础知识，这两部分知识都是高考的热点内容之一，几乎年年必考，熟练其基础知识是解答好本类题目的关键.27.函数()的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数图象向右平移个单位，得到函数的解析式为A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于函数()的图象的相邻两条对称轴间的距离是．则说明周期为，w=2,排除A,B，对于C,D由于将函数图象向右平移个单位，变为，故可知答案为D.【考点】三角函数的图象变换点评：主要是考查了三角函数图象的平移变换的运用，属于基础题。
(新教材)人教A版-数学必修第一册第五章 三角函数 测试题含答案
绝密★启用前（新教材）人教A版-数学必修第一册第五章三角函数测试题试卷副标题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.若α＝－3 rad，则它是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z) ()A．α＋β＝πB．α－β＝π2C．α－β＝π2＋2kπD．α＋β＝(2k＋1)π3.化简√1－2sin4cos4的结果是()A． sin 4＋cos 4B． sin 4－cos 4C． cos 4－sin 4D．－sin 4－cos 44.当x∈[－2π，－32π]时，化简√1＋sinx＋√1－sinx的结果为()A．－2sin x2B．－2cos x2C．－2sin x2－2cos x2D． 2cos x25.已知α为第二象限角，且sinα＝35，则tan(π＋α)的值是()A．43B．34C．－43D．－346.设tan(π＋α)＝2，则sin(α－π)＋cos(π－α)sin(π+α)−cos(π+α)等于() A． 3B．13C． 1D．－17.设α是第二象限角，且cosα2＝－√1−cos2(π−α2)，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角8.下列函数中，同时满足：①在(0,π2)上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是()A．y＝tan xB．y＝cos xC．y＝tan x2D．y＝|sin x|9.函数f(x)＝sin(x+π3)＋sin(x−π3)的最大值是()A． 2B． 1C．12D．√310.函数f(x)＝sin x－√3cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A．[−π,−5π6]B．[−5π6,−π6]C．[−π3,0]D．[−π6,0]11.为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的()A ． 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ． 横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ． 纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ． 纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变12.已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 13.角α∈(－π，－π2)，化简√1＋sinα1－sinα－√1－sinα1＋sinα＝________.14.若k ∈{4,5,6,7}，且sin(kπ2－α)＝－sin α，cos(kπ2－α)＝cos α，则k 的值为________.15.使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时单调递增的区间是________. 16.关于f (x )＝4sin (2x +π3)(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos (2x −π6)；③y ＝f (x )图象关于(−π6,0)对称；④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称. 其中正确命题的序号为________.三、解答题(共6小题, 共70分)17.(1)将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角；(2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角. 18.证明：cosx1－sinx ＝1＋sinx cosx .19.已知cos (π6−α)＝√33，求cos (56π+α)－sin 2(α−π6)的值.20.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合.(1)sin x ＞－12且cos x ＞12；(2)tan x ≥－1.21.证明：cos 20°cos(－70°)＋sin 200°sin 110°＋1+tan15°1+tan165°＝√3.22.如下图，f (x )＝A sin (2ωx +φ)(ω＞0，A ＞0，－π2＜φ＜0). (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－π，－π2]上的值域.答案1.【答案】C【解析】根据角度制与弧度制的转化，1 rad ＝(180π)°，则α＝－3 rad ＝－(540π)°≈－171.9°，分析可得，α是第三象限角.2.【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验. 3.【答案】C【解析】√1－2sin4cos4＝√sin 24−2sin4cos4＋cos 24＝|sin 4－cos 4|. ∵5π4＜4＜3π2，∴由三角函数线易知cos 4＞sin 4. ∴√1－2sin4cos4＝cos 4－sin 4. 4.【答案】B【解析】∵x ∈[－2π，－32π]， ∴x2∈[－π，－34π]，∴sin x2＜0，cos x2＜0，sin x2－cos x2＞0， sin x2＋cos x 2＜0，则原式＝√sin 2x2+cos 2x2+2sin x2cos x2+√sin 2x2+cos 2x2−2sin x2cos x2＝√(sin x2+cos x2)2＋√(sin x2−cos x2)2＝|sin x2＋cos x2|＋|sin x2－cos x2|＝－sin x2－cos x2＋sin x2－cos x2＝－2cos x2. 5.【答案】D【解析】∵α为第二象限角，sin α＝35， ∴cos α＝－√1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sinαcosα＝－34， 则tan(π＋α)＝tan α＝－34. 6.【答案】A【解析】由tan (π＋α)＝2，得tan α＝2，则sin(α－π)＋cos(π－α)sin(π+α)−cos(π+α)＝－sinα－cosα－sinα－(－cosα)＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3.7.【答案】C【解析】∵α是第二象限角，∴α2为第一或第三象限角. 又∵cos α2＝－√1−cos 2(π−α2)＜0，∴α2是第三象限角.8.【答案】A【解析】经验证，选项B 、D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π. 9.【答案】B【解析】因为f (x )＝2sin x cos π3＝sin x ，所以最大值为1. 10.【答案】D【解析】f (x )＝2sin (x −π3)，f (x )的单调递增区间为[2kπ−π6,2kπ+5π6](k ∈Z )，因为x ∈[－π，0]，所以令k ＝0得单调递增区间为[−π6,0]. 11.【答案】B【解析】ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变. 12.【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝1，C 符合；当0＜|a |＜1时， T ＞2π，且最小值为正数，A 符合；当|a |＞1时，T ＜2π，B 符合.排除A 、B 、C ，故选D. 13.【答案】－2tan α【解析】∵角α∈(－π，－π2)，则√1＋sinα1－sinα－√1－sinα1＋sinα＝1＋sinα|cosα|－1－sinα|cosα|＝－1＋sinαcosα－(－1－sinαcosα)＝－2sinαcosα＝－2tan α.14.【答案】4【解析】由k ∈{4,5,6,7}，sin(kπ2－α)＝－sin α，可得k ＝4， 由cos(kπ2－α)＝cos α，可得k ＝4.15.【答案】(2kπ−π,2kπ−π2)，(2k π－π2，2k π)(k ∈Z )【解析】由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时单调递增的区间为(2kπ−π,2kπ−π2)，(2kπ−π2,2kπ)k ∈Z ).16.【答案】②③【解析】对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z ). ∴x ＝k2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin (2x +π3)利用公式得 f (x )＝4cos [π2−(2x +π3)]＝4cos (2x −π6)，∴②对；对于③，f (x )＝4sin (2x +π3)的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k2π－π6，k ∈Z ，∴(−π6,0)是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π12＋kπ2，k ∈Z ，∴④错. 17.【答案】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角.(2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°. 18.【答案】cosx1－sinx ＝cosx(1+sinx)(1−sinx)(1+sinx)＝cosx(1+sinx)cos 2x ＝1＋sinx cosx.19.【答案】cos (56π+α)－sin 2(α−π6)＝cos [π−cos(π6−α)]－sin 2(π6−α)＝－cos (π6−α)－[1−cos 2(π6−α)]＝cos 2(π6−α)－cos (π6−α)－1＝(√33)2－√33－1＝－2+√33.20.【答案】(1)作出单位圆，如图①则同时满足sin x ＞－12且cos x ＞12的区域部分为阴影部分，此时在[0,2π]内满足条件的角x ∈[0，π3]，则满足sin x ＞－12且cos x ＞12的角x 的集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3}＝[2k π，2k π＋π3]，k ∈Z .(2)如图②所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于P 和P ′， 则射线OP 、OP ′就是满足tan α＝－1的角α的终边， ∵在[0,2π)内，满足条件的∠POx ＝π－π4＝3π4，∠P ′Ox ＝－π4， ∴满足条件tan α＝－1的角α的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }，则满足tan x ≥－1的角α的集合是{x |－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z }.21.【答案】左边＝cos 20°cos 70°＋(－sin 20°)sin 70°＋tan45°+tan15°1−tan45°tan15° ＝cos(20°＋70°)＋tan(45°＋15°)＝0＋√3＝√3＝右边． 22.【答案】(1)由题知A ＝2，T ＝43(2π3+π12)＝π，由周期公式得2ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ). 又∵f (x )的图象过(0，－1)， ∴2sin φ＝－1， 又∵－π2＜φ＜0， ∴φ＝－π6. ∴f (x )＝2sin(2x －π6).(2)∵x ∈[－π，－π2]，∴2x －π6∈[−13π6,−7π6]，∴2sin(2x －5π6)∈[－1,2]，∴函数f (x )在[－π，－π2]上的值域为[－1,2].。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数的平移、伸缩变换（人教A版）
一、单选题(共14道，每道7分)
1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
由题意，
函数经平移，得到，
该函数横坐标再经变换，得到．
故选B
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
2.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
将变换的过程倒推，
函数横坐标经变换，即横坐标缩短为原来的，
得到；
再将该函数图象向右平移个单位长度，得到
．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
由题意，
函数经平移，得到
；
再经横坐标变换后，得到，
故选D．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
由题意，
函数横坐标经变换得到，
该函数再经平移，得到，
故选B．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
由题意，
函数横坐标经变换，
得到；
再经平移得到，，
故选C．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
6.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
由题意，
函数经平移，得到，
再经平移得到，故选D．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
7.将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的，再向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
由题意，
函数横坐标经变换，得到；
再经平移，得到，故选B．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将其图象向右平移2个单位长度，所得函数图象对应的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
由题意，
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，
得到的图象；
再将图象向右平移2个单位长度，
得到的图象．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
9.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的倍，将所得图象向左平移2个单位，纵坐标不变，所得图象的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
由题意，
函数横坐标经变换，
得到；
再经平移，得到．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
10.由函数的图象得到函数的图象，下列变换错误的是( )
A.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的
B.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位
C.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位
D.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的
答案：C
解题思路：
根据三角函数变换的性质，选C．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
11.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
( )
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
答案：B
解题思路：
由题意，
经平移，得到
，
∴．
令，，
解得的单调递减区间为，．
令，，
解得的单调递增区间为，．
当时，在区间上单调递增，
故选B．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
12.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再
把所得函数图象向右平移个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
由题意，
函数的图象经伸缩，得到；
再经平移，得到．
令，则．
∴函数的图象的对称中心是，．
当时，对称中心是．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
13.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数的图象为( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线对称
D.关于直线对称
答案：C
解题思路：
由题意，
，解得．
∴．
函数图象经平移，得到，∵为R上的奇函数，
∴，
∴，
∴，解得，．
∵，
∴当时，．
∴，
令，解得，，
∴对称中心为，．
令，解得，，
∴对称轴为直线，．
∴当时，图象关于直线对称，
故选C．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
14.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度长
答案：C
解题思路：
由图可得，
，
∵，，
∴，．
∴．
∵，即，
∴，．
∵，
∴当时，．
∴．
设，即，∴，解得，．
当时，，即，
即将的图象向左平移个单位长度．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。