三角函数平移变换和周期变换

图像变换
高一(13)班 汤勇
问题提出
1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O
y π
2π
3π
4π
5π 6π x
1.正弦函数y=sinx的定义域、值域分别 是什么？它有哪些基本性质？ 2.正弦曲线有哪些基本特征？
3.正弦函数y=sinx是最基本、最简单的三角 函数，在物理中，简谐运动中的单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系，交流电的电流y 与时间x的关系等都是形如 y A sin( x ) 的 函数. 那么函数 y A sin( x )与函数y=sinx 有什么关系呢? 从解析式上来看函数y=sinx就是函数 0 的情况. y A sin( x )在A=1，ω =1，
缩短（当 ＞ 1 时）或伸长（当 0 ＜ ＜ 1 时） 1 到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的.

所有的点横坐标伸 1 长到原来的 倍 纵坐标不变
y sin(x ) 的图象
y sin(x ) 的图象
思考5：上述变换称为周期变换 据此理论，函数
2 y sin( x ) 3 6
结论1
函数y sin x
当φ＞0时向左 平移 当φ＜0时向右 平移 1 横坐标伸长到原来的 倍
纵坐标不变
y sin(x )的图象
y sin(x )的图象
1
结论2
函数y sin x
横坐标伸长到原来的 倍

纵坐标不变
y sin x的图象
当φ＞0时向左 平移
y sin(2 x 的图象

3
)
的图象
y
纵坐标不变
1 y sin( x ) 2 3


3
o
2- p 3 2

π
2 3 y sin( x )
4 3
7 5 3 3 2π
10 3
3π
x
＞0）， 思考4：一般地，对任意的 （
函数 y sin( x )的图象是由函数 y sin( x )的图象经过怎样的变换而 得到的？ 函数 y sin( x ) 的图象，可以看作是把 函数 y sin( x ) 的图象上所有点的横坐标

当φ＜0时向右 平移

y sin(x )的图象
理论迁移
例1 要得到函数 y sin( 3x 5 ) 的图象， 只需将函数 y sin 3x 的图象 (D ) A．向左平移个 5 单位 B．向右平移个 5 单位 C．向左平移个 15 单位 D．向右平移个 15 单位

3
)
po p p 6 12 3 2
π
2π
x
-2-
p y = 2 sin(2x + ) 3
y
2-
y sin( 2 x
7 p 5p 12 6

3
)
po p p 6 12 3 2
π
2π
x
函数 y 3 sin( 2 x 3 ) 的图象，可以看作 是把 y sin( 2 x 3 )的图象上所有的点 纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不 变）而得到的.
、A 对函数 4.下面就来探索 、 y A sin( x ) 的图象的影响.
对 y sin( x ) 的图象的影响 探究一： 先考虑取 时的情形 3 2π 你有 思考1：函数 y sin( x ) 周期是T=____;
什么办法画出该函数在一个周期内的图象？
的图象

可以看作是把函数 y sin( x )的图象 6 上所有的点横坐标伸长到原来的 1.5倍 进行怎样变换而得到的？ （纵坐标不变）而得到的.
思考6：函数 看作是把函数 y sin x 的图象进行怎样 变换而得到的？ 2 函数 y sin( 3 x 6 ) 的图象，可以看作是先 把 y = sin x 的图象向右平移 ,再把所得 p 6 的 图象上所有的点的横坐标伸长到原 6 3 来的 倍（纵坐标不变）而得到的.
值，作出它们的图象， 观察它们与 y sin( x ) 的图 12 6 3 12 6 3 3 2x 0 2 2 2 3 象之间的关系. 为此先考虑 2的情形 .看下面的问题
0
-1
0
7

o
6 12
3 12

2
5π 6
2π
x
y sin( 2 x

y sin( x )的图象，可以看作是把正 弦曲线 y sin x 上所有的点向左（当
＞0时）或向右（当 ＜0时）平行 移动| |个单位长度而得到.
2.函数 y sin( x ) 的图象是由函数
y sin( x ) 的图象经过怎样的变换而 得到的？
函数 y sin( x )的图象，可以看作是 把函数 y sin( x ) 的图象上所有点的 横坐标缩短（当 ＞1时）或伸长（当0 1 ＜＜1时）到原来的 倍（纵坐标不变） 而得到的.
-2-

p y = 2 sin(2x + ) 3
思考3：用五点法作出函数 在一个周期内的图象，比较它与函数 y sin( 2 x )的图象的形状和位置，你又 3 有什么发现？
y
1 y sin( 2 x ) 2 3
1-
y sin( 2 x
7 p 5p 12 6

3
)
-

小结作业
1.函数 y sin( x )的图象可以由函数 y sin x 的 图象经过平移变换而得到，其中平移方向和单位 的符号和绝对值所确定. 分别由 2.对函数 y sin( x ) 的图象作周期变换，它只 的值. 改变x的系数，不改变 3.函数 y sin( x )的图象可以由函数 y sin x 的图象通过平移、伸缩变换而得到，但有两种变 换次序，不同的变换次序会影响平移单位. 4.余弦函数y=cos(ω x+φ )的图象变换与正弦函 数类似，可参照上述原理进行.
3
)
思考2：比较函数 y sin( 2 x
y sin( x

3
)与

3
) 的图象的形状和位置，你有
什么发现？ 所有的点横坐标缩
1 y sin(x ) 短到原来的 倍 2 3 y 纵坐标不变 的图象

y sin(2 x 的图象
5 3

3
)

3
7
o
6 12 3 12
2
函数y sin x
2 y sin( x ) 的图象，可以 3 6
向右平移
横坐标伸长到原来的
纵坐标不变
6 ＜0 6 3
2
y sin( x )的图象 6
倍
2 y sin( x )的图象 3 6
(＞0)、对y sin( x )的图象变化的影响
y
27 p 5p 12 6
po p p 6 12 3 2
π
2π
x
-2-
p y = 2 sin(2x + ) 3
p 思考2：比较函数 y = 2 sin(2x + 3 ) 与函数 y sin( 2 x ) 的图象的形状和位置，你有 3
什么发现？ y
2-
y sin( 2 x
7 p 5p 12 6
思考5：上述变换称为振幅变换，据此 3 理论，函数 y sin( 3x ) 的图象是由
3.函数 y A sin( x )的图象，不仅 的影响，而且受A的影响，对此， 受 、 我们再作进一步探究.
tan( 2k ) tan
y A sin( x )p的图象的影响 探究一：对 思考1：函数y = 2 sin(2x + 3 ) 的周期是多少？ 如何用“五点法”画出该函数在一个周 期内的图象？
y sin x ＞0向左平移 的图象 ＜ 0向右平移
y sin(x ) 的图象
思考5：上述变换称为平移变换，据此 理论，函数 y sin( x 6 )的图象可以看 右 左还是右 作是把函数y=sinx的图象向________ 平 移_____ 个单位长度而得到 . 6
而得到的.
思考4：一般地，对任意的A（A＞0且 A≠1），函数 的图象 是由函数 的图象经过怎 样的变换而得到的？ 函数 y A sin( x ) 的图象，可以看 作是把函数 y sin( x ) 的图象上所 有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短 （当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标 不变）而得到的.
2x ) 周期 思考1：函数 y sin( T=_____;如 为了研究方便，不妨令 3 ，可对 取任意不同的 3 何用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象？ 5 7 x
sinxy
0 1
探究二：（
＞0）对 y sin( x )的图象的影响

y = sin x

o
3 6
2 π
2 3
7 6
5 3
2π x
函数y sin( x ) 的图象，可以看作是把正弦函 3 数 y sin x 的图象上所有的点向左平移 个
3
＞0 3 y sin x的图象 向左平移 3
y sin( x )的图象 3

2

5π 6
2π
y sin( x

x
)
y sin( 2 x

3
3
)
1 y sin( x ) 思考3：用“五点法”作出函数 2 3