函数 图像的平移变换与伸缩变换
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到；1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象如：（i）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到；②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =-的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--=2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数的基本变换
函数的基本变换函数是数学中的基本概念之一，它描述了独立变量与因变量之间的关系。
在数学中，我们经常会进行函数的变换，以便研究其性质和特点。
本文将介绍函数的基本变换，包括平移、伸缩、翻转和复合等。
一、平移变换平移变换是将函数沿着坐标轴的方向上移动一定的单位长度。
对于一元函数f(x)，平移变换可表示为f(x-a)，其中a为平移的长度。
平移变换后的函数与原函数形状相同，但是在坐标系上向左或向右移动了a个单位长度。
二、伸缩变换伸缩变换是将函数在坐标轴的方向上进行拉伸或压缩。
对于一元函数f(x)，伸缩变换可表示为af(x)或f(ax)，其中a为伸缩的比例因子。
当a大于1时，函数在坐标系上沿x轴方向上拉伸；当0＜a＜1时，函数在坐标系上沿x轴方向上压缩。
三、翻转变换翻转变换是将函数在坐标轴的方向上进行反转。
对于一元函数f(x)，翻转变换可表示为-f(x)或f(-x)。
当函数翻转后，其图像将沿y轴对称或x轴对称。
四、复合变换复合变换是对函数进行多次变换的组合操作。
例如，可以先进行平移变换，然后再进行伸缩变换，并且还可以进行翻转变换。
通过复合变换，可以将函数的图像在坐标系上进行任意的平移、伸缩和翻转，从而得到具有不同特点的函数。
总结：函数的基本变换是函数研究中常用的操作。
通过平移、伸缩、翻转和复合等变换，我们可以改变函数的位置、形状和特性，进而深入理解函数的性质。
在实际应用中，函数的变换也常常用于图像处理、信号处理和数据分析等领域。
以上是关于函数的基本变换的介绍，希望对您有所帮助。
函数的变换是数学中的重要概念，对于深入理解和应用函数具有重要意义。
通过变换操作，我们可以更好地把握函数的特性和变化规律，为数学研究和实际应用提供有力支持。
函数的平移伸缩与翻转变换
函数的平移伸缩与翻转变换函数的平移、伸缩与翻转变换是数学中常见的概念，可以用来描述函数图像在坐标平面上的变化。
在数学和物理等领域中，函数的变换是解决问题和求解方程的重要工具。
本文将介绍函数的平移、伸缩与翻转变换的定义、原理和常见应用。
一、平移变换函数的平移变换是指将函数的图像沿着坐标轴平行移动的操作。
平移变换可以使函数图像向左、向右、向上或向下平移。
1. 向左平移：函数图像沿x轴的负方向移动。
设原函数为f(x)，向左平移a个单位后的新函数为f(x + a)。
2. 向右平移：函数图像沿x轴的正方向移动。
设原函数为f(x)，向右平移a个单位后的新函数为f(x - a)。
3. 向上平移：函数图像沿y轴的正方向移动。
设原函数为f(x)，向上平移b个单位后的新函数为f(x) + b。
4. 向下平移：函数图像沿y轴的负方向移动。
设原函数为f(x)，向下平移b个单位后的新函数为f(x) - b。
二、伸缩变换函数的伸缩变换是指对函数图像进行扩大或收缩的操作。
伸缩变换可以使函数图像在x轴和y轴方向上发生变化。
1. 水平伸缩：函数图像在x轴方向上进行横向拉伸或压缩。
设原函数为f(x)，横向拉伸k倍后的新函数为f(kx)。
2. 纵向伸缩：函数图像在y轴方向上进行纵向拉伸或压缩。
设原函数为f(x)，纵向拉伸k倍后的新函数为k * f(x)。
3. 水平压缩：函数图像在x轴方向上进行横向压缩。
设原函数为f(x)，横向压缩k倍后的新函数为f(x/k)。
4. 纵向压缩：函数图像在y轴方向上进行纵向压缩。
设原函数为f(x)，纵向压缩k倍后的新函数为f(x) / k。
三、翻转变换函数的翻转变换是指通过轴对称来改变函数图像的位置。
翻转变换可以使函数图像关于x轴或y轴对称。
1. 关于x轴对称：函数图像沿x轴翻转。
设原函数为f(x)，关于x 轴对称后的新函数为-f(x)。
2. 关于y轴对称：函数图像沿y轴翻转。
设原函数为f(x)，关于y 轴对称后的新函数为f(-x)。
三角函数的基本变换平移伸缩和反射
三角函数的基本变换平移伸缩和反射三角函数的基本变换：平移、伸缩和反射三角函数是数学中非常重要且广泛应用的概念之一。
它们在几何、物理、工程学等领域中起着关键作用。
在学习三角函数时，我们经常会遇到一些基本的函数变换，比如平移、伸缩和反射。
本文将介绍三角函数的这些基本变换，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平移变换平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一段距离。
在三角函数中，平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动，改变函数的位置。
对于正弦函数sin(x)来说，平移变换可以表示为sin(x-a)，其中a为平移的距离和方向。
当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。
对于余弦函数cos(x)来说，平移变换可以表示为cos(x-a)，同样地，当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。
二、伸缩变换伸缩是指图形的尺寸在某个方向上改变。
在三角函数中，伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的振幅和周期。
对于正弦函数sin(x)来说，伸缩变换可以表示为a*sin(x)，其中a为正实数。
当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。
对于余弦函数cos(x)来说，伸缩变换可以表示为a*cos(x)，同样地，当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。
伸缩变换还可以改变函数的周期。
对于正弦函数和余弦函数来说，原本的周期是2π。
通过伸缩变换，可以改变函数的周期为2π/a，其中a为正实数。
三、反射变换反射变换是指图形关于某个轴线对称。
在三角函数中，反射变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转，改变函数的正负号。
对于正弦函数sin(x)来说，反射变换可以表示为-sin(x)。
函数的平移与伸缩变换
函数的平移与伸缩变换函数的平移与伸缩变换是高中数学中的重要概念，它们在数学建模、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
在本文中，我将详细介绍函数的平移与伸缩变换的概念、特点和应用。
1. 函数的平移变换函数的平移变换是指将函数的图像沿着坐标轴进行平移的操作。
平移变换可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
水平平移变换是指将函数的图像在横坐标方向上移动一定的距离。
如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行水平平移变换后的函数可以表示为y=f(x-a)，其中a为平移的距离，当a>0时，图像向右平移；当a<0时，图像向左平移。
垂直平移变换是指将函数的图像在纵坐标方向上移动一定的距离。
如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行垂直平移变换后的函数可以表示为y=f(x)+b，其中b为平移的距离，当b>0时，图像向上平移；当b<0时，图像向下平移。
函数的平移变换有许多重要的特点。
首先，平移变换只改变了函数图像在坐标轴上的位置，而没有改变函数的形状。
其次，平移变换不改变函数的定义域和值域。
再次，平移变换后的函数与原函数具有相同的奇偶性。
最后，平移变换是可逆的，即可以通过反向平移将函数恢复到原来的位置。
2. 函数的伸缩变换函数的伸缩变换是指根据比例因子来改变函数图像的形状和大小的操作。
伸缩变换可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种情况。
水平伸缩变换是指将函数的图像在横坐标方向上进行拉伸或压缩的操作。
如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行水平伸缩变换后的函数可以表示为y=f(kx)，其中k为伸缩的比例因子。
当k>1时，图像水平拉伸；当0<k<1时，图像水平压缩。
垂直伸缩变换是指将函数的图像在纵坐标方向上进行拉伸或压缩的操作。
如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行垂直伸缩变换后的函数可以表示为y=af(x)，其中a为伸缩的比例因子。
当a>1时，图像垂直拉伸；当0<a<1时，图像垂直压缩。
函数图像的平移与伸缩
函数图像的平移与伸缩是函数图形变换中的两个重要概念，对于理解函数的性质和应用函数的图像具有重要意义。
下面，我们将详细讨论这两个概念，以及它们在各个方面的应用和影响。
一、函数图像的平移函数图像的平移可以分为水平平移（或称为横向平移）和垂直平移（或称为纵向平移）。
这两种平移方式在函数图像上产生的变化是直观的，并且遵循一定的数学规则。
1. 水平平移：当我们将函数图像沿x轴方向进行平移时，我们称之为水平平移。
具体来说，如果将函数f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位（a>0），那么新的函数将是f(x+a)；如果向右平移a个单位，新的函数将是f(x-a)。
这种平移对函数的影响是，其对应的x值在图像上发生了变化，但y值保持不变。
例如，考虑函数y=x^2。
如果我们将这个函数的图像沿x轴向左平移3个单位，那么新的函数将是y=(x+3)^2。
这意味着在新的函数中，每一个y值对应的x值都比原来的x值大3。
2. 垂直平移：与水平平移相似，当我们将函数图像沿y轴方向进行平移时，我们称之为垂直平移。
如果将函数f(x)的图像沿y轴向上平移b个单位（b>0），那么新的函数将是f(x)+b；如果向下平移b个单位，新的函数将是f(x)-b。
这种平移对函数的影响是，其对应的y值在图像上发生了变化，但x值保持不变。
再以函数y=x^2为例，如果我们将这个函数的图像沿y轴向上平移5个单位，那么新的函数将是y=x^2+5。
这意味着在新的函数中，每一个x值对应的y值都比原来的y值大5。
二、函数图像的伸缩函数图像的伸缩可以分为水平伸缩（或称为横向伸缩）和垂直伸缩（或称为纵向伸缩）。
这两种伸缩方式同样对函数图像产生直接的影响，而且也有明确的数学表达形式。
1. 水平伸缩：当我们对函数图像进行水平方向上的伸缩时，我们称之为水平伸缩。
具体来说，如果将函数f(x)的图像在水平方向上压缩k倍（k>0，且k≠1），新的函数将是f(kx)；如果拉伸k倍，新的函数将是f(x/k)。
函数图像的变换
函数图像的变换函数图像的变换1、平移变换函数y = f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y = f(x - a)的图像;向上平移b个单位得到函数y =f(x)+ b 的图像 ;左平移a个单位得到函数y = f(x + a)的图像;向下平移b个单位得到函数y =f(x)- b 的图像(a ，b>0)。
2、伸缩变换函数 y = f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时，伸)得到函数 y = k f(x)的图像;函数 y = f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01时，缩)得到函数y = f(k x)的图像(k>0，且 k ≠1)。
3、对称变换(1)函数y = f(x)的图象关于y轴对称的图像为 y =f(-x);关于x轴对称的图像为y =-f(x);关于原点对称的图像为y =-f(-x)。
(2)函数y = f(x)的图象关于x=a对称的图像为y =f(2a-x);关于y=b对称的图像为y =2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y =2b-f(2a-x)。
(3)绝对值问题①函数 y =f(x)x轴及其上方的图像保持不变，把下f(bx)=f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于x=a对称;(b≠0)(3)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=-f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,0)对称;(4)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(bx)=-f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,0)对称;(b≠0)(5)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=2b -f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,b)对称;(6)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(x)=2b -f(2a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,b)对称。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换
在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数
y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。
而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。
三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。
所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。
多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。
现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。
大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到
10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的
图像向右(左)平移
10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10
y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12
)，可得到1sin 2
y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反
左加右减，下加上减；横向变换变x ，纵向变换变y ；各种变换均在x 、y 头上直接变；x 、y 的变化总与我们的感觉相反。
例如，向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x ；向上平移或向下平移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y ；从这可以看出横向变换变
x ，纵向变换变y 。
向右平移
110
π时，我们感觉图像上的每个点的横坐标应增加110π，但x 的变化却为把x 变为10x p -；横向伸长至原来的2倍时，我们感觉每个点的横坐标应变为原来的2倍，但实际上x 的变化却为把x 变为12x ；从这可看出x 、y 的变化总与我们的感觉相反。
从上面的解析式的相应变化中可看到，x 、y 的变化均是直接把x 或y 变成多少，其余一律照抄下来。
例如，sin(2)3y x p =+的图像向右平移2个单位，应得到sin[2(2)]3y x p =-+的图像，而不是sin(22)3
y x p =-+；
sin(2)3y x p =+的图像横向伸长至原来的3倍，应得到1sin(2)33
y x p =?，即2sin()33y x p =+的图像，而不是1sin[(2)]33y x p =+的图像，这就体现了各种变换均在x 、y 头上直接变。
把平移变换和伸缩变换的规律总结成口诀，为：横向变换动x ，纵向变换动y ；直接在x 、y 头上动；解析式的相应变化总与我们的感觉相反。
这个变换不但对三角函数适用，对任意函数也适用。
例如，22x y x =+的图像向右平移3个单位，得到322(3)x y x -=+-的图像。
教学生应用口诀时，要把口诀具体转化为式子表示出来，就像那个表格中的一样，向右平移3个单位，就把x 变为3x -；横向伸长至
原来的3倍，就把x 变为1
3
x 。
例如，函数(2)y f x =的图像向右平移3
个单位，应得到[2(3)]y f x =-的图像，而不是(23)y f x =-的图像；函数
(2)y f x =+的图像横向伸长至原来的3倍，应得到1(2)3
y f x =+的图像，而不是1[(2)]3
y f x =+的图像。
这里是学生容易出错的地方，用式子3x x ?，13x x ®来表达口诀，学生较易接受，犯错的机率也大幅下降。
还有，纵向变换动y ，是在y 头上直接动。
学生可能以前纵向变换是在解析式等号的右边进行变式的，如果是这样变换方法就与刚才总结的口诀不相符了，只有强调直接在y 头上动，才符合本文中的口诀，这与以前的不矛盾，只是改变了变式的左右面。
只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法，才能应对各种复杂和连续的变换的题目，才能学会变换的逆向使用和变形使用。
例
如，sin
y x
=的图像经过怎样的变换能得到
11
2sin()
36
y x p
=+的图像呢？
应有好几个变换方法，需要进行横向平移、横向伸缩、纵向伸缩，纵向伸缩第几步执行都可以，横向平移和横向伸缩谁先谁后将使横向平移时的平移量不一样。
只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法，才能体会到这一点。
以上是我多年教学中对变换的一点点感受，我认为学生在这个知识点上认识不足，不能掌握到位，所以写了一篇这样的论文。
文中难免有不足之处，还望专家和同仁指出。