函数 图像的平移变换与伸缩变换

函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换

在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数

y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。

大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到

10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的

图像向右(左)平移

10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10

y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12

)，可得到1sin 2

y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反

左加右减，下加上减；横向变换变x ，纵向变换变y ；各种变换均在x 、y 头上直接变；x 、y 的变化总与我们的感觉相反。例如，向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x ；向上平移或向下平移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y ；从这可以看出横向变换变

x ，纵向变换变y 。向右平移

110

π时，我们感觉图像上的每个点的横坐标应增加110π，但x 的变化却为把x 变为10x p -；横向伸长至原来的2倍时，我们感觉每个点的横坐标应变为原来的2倍，但实际上x 的变化却为把x 变为12x ；从这可看出x 、y 的变化总与我们的感觉相反。从上面的解析式的相应变化中可看到，x 、y 的变化均是直接把x 或y 变成多少，其余一律照抄下来。例如，sin(2)3y x p =+的图像向右平移2个单位，应得到sin[2(2)]3y x p =-+的图像，而不是sin(22)3

y x p =-+；

sin(2)3y x p =+的图像横向伸长至原来的3倍，应得到1sin(2)33

y x p =?，即2sin()33y x p =+的图像，而不是1sin[(2)]33y x p =+的图像，这就体现了各种变换均在x 、y 头上直接变。

把平移变换和伸缩变换的规律总结成口诀，为：横向变换动x ，纵向变换动y ；直接在x 、y 头上动；解析式的相应变化总与我们的感觉相反。这个变换不但对三角函数适用，对任意函数也适用。例如，22x y x =+的图像向右平移3个单位，得到322(3)x y x -=+-的图像。

教学生应用口诀时，要把口诀具体转化为式子表示出来，就像那个表格中的一样，向右平移3个单位，就把x 变为3x -；横向伸长至

原来的3倍，就把x 变为1

3

x 。例如，函数(2)y f x =的图像向右平移3

个单位，应得到[2(3)]y f x =-的图像，而不是(23)y f x =-的图像；函数

(2)y f x =+的图像横向伸长至原来的3倍，应得到1(2)3

y f x =+的图像，而不是1[(2)]3

y f x =+的图像。这里是学生容易出错的地方，用式子3x x ?，13x x ®来表达口诀，学生较易接受，犯错的机率也大幅下降。

还有，纵向变换动y ，是在y 头上直接动。学生可能以前纵向变换是在解析式等号的右边进行变式的，如果是这样变换方法就与刚才总结的口诀不相符了，只有强调直接在y 头上动，才符合本文中的口诀，这与以前的不矛盾，只是改变了变式的左右面。

只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法，才能应对各种复杂和连续的变换的题目，才能学会变换的逆向使用和变形使用。例

如，sin

y x

=的图像经过怎样的变换能得到

11

2sin()

36

y x p

=+的图像呢？

应有好几个变换方法，需要进行横向平移、横向伸缩、纵向伸缩，纵向伸缩第几步执行都可以，横向平移和横向伸缩谁先谁后将使横向平移时的平移量不一样。只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法，才能体会到这一点。

以上是我多年教学中对变换的一点点感受，我认为学生在这个知识点上认识不足，不能掌握到位，所以写了一篇这样的论文。文中难免有不足之处，还望专家和同仁指出。