上海市华二附中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n }中.已知a 2=4.a 6=16.则a 4=___ ．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ．4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ．7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n13.（单选题.3分）设S k =1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k.则S k+1为（ ）A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k +12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+114.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 9015.（问答题.0分）已知关于x 的方程sin 2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）． （1）当m=1时.解此方程（2）试确定m 的取值范围.使此方程有解．16.（问答题.0分）在公差为d 的等差数列{a n }中.已知a 1=10.且a 1.2a 2+2.5a 3成等比数列． （Ⅰ）求d.a n ；（Ⅱ）若d ＜0.求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金； （2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n}中.已知a2=4.a6=16.则a4=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：由等比数列通项公式得a2a6=a42 .由此能求出a4．【解答】：解：∵在等比数列{a n}中.a2=4.a6=16.∴ a2a6=a42 =4×16=64.且a4＞0.解得a4=8．故答案为：8．【点评】：本题考查等比数列的第4项的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．【正确答案】：[1]π+arcsin 13【解析】：先将x∈[π. 32π ].化为π-x∈[- π2，0 ].再利用诱导公式sin（π-x）=sinx.求出π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.然后计算得解．【解答】：解：因为x∈[π. 32π ].所以π-x∈[- π2，0 ].由sinx=- 13.sin（π-x）=sinx.所以sin（π-x）=- 13.即π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.所以x=π+arcsin 13.故答案为：π+arcsin 13 ．【点评】：本题考查了解三角方程.及正弦的主值区间.属简单题3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ． 【正确答案】：[1] {4，n =14n −1，n ≥2【解析】：根据数列的递推公式即可求出通项公式．【解答】：解：当n=1时.a 1=S 1=2×12+1+1=4.当n≥2时.a n =S n -S n-1=2n 2+n+1-[2（n-1）2+n-1+1]=4n-1. 当n=1时.a 1=3≠4. 故a n = {4，n =14n −1，n ≥2 .故答案为： {4，n =14n −1，n ≥2 ．【点评】：本题考查了数列的递推公式.属于基础题4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．【正确答案】：[1] 2661【解析】：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= S17T 17.代值计算可得．【解答】：解：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= 2a 92b 9 = a 1+a 17b 1+b 17 = S 17T 17 = 3×17+17×17+3 = 2661. 故答案为： 2661【点评】：本题考查等差数列的性质和求和公式.属基础题． 5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：求出数列通项公式的表达式.求出数列的和.然后求解数列的极限即可．【解答】：解： 11+2+3+⋯+n = 2n (n+1) =2（ 1n −1n+1 ）.∴ lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）= lim n→∞2（1- 12+12−13+13−14 +… +1n −1n+1 ）=lim n→∞（2- 2n+1 ）=2．故答案为：2．【点评】：本题考查数列的和.数列的极限的求法.考查计算能力．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ． 【正确答案】：[1]√5+12【解析】：根据题意.这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.结合等比数列的性质可得a 2q 2=a （a-aq ）.即q 2+q-1=0.解可得q 的值.又由aq 为正整数且aq 2＜1.设aq 这个正整数为m.则有a= mq =m× √5+12且m （√5+12 ）×（ √5−12）2＜1.解可得m 的值.变形可得a 的值.即可得答案．【解答】：解：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列. 不妨设这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.则q ＞0. 则有a 2q 2=a （a-aq ）. 即q 2+q-1=0. 解得q=√5−12 .q= −1−√52（舍去）. 又由aq 为正整数.设aq 这个正整数为m.则a= mq =m× √5+12. 又由aq 2＜1.即m （ √5+12 ）×（ √5−12）2＜1. 解可得m ＜√5+12.又由m 为整数.则m=1.则a= mq=m× √5+12 = m q = √5+12. 故答案为： √5+12．【点评】：本题考查等比数列的性质.涉及等比中项的计算.注意分析q 的范围.属于基础题． 7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ． 【正确答案】：[1] 1955【解析】：由0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+….可得等号右边的数从0.045起为公比为0.01的无穷等比数列.运用无穷递缩等比数列的求和公式.计算可得所求值．【解答】：解：0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+… =0.3+ 0.0451−0.01 =0.3+ 45990 = 342990 = 1955 ． 故答案为： 1955．【点评】：本题考查循环小数化为分数的方法.考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（-1.0）∪（0. 18 ]【解析】：由题意 a 11−q =12 .|q|＜1.从而q=1-2a 1.进而a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+18.利用-1＜q ＜1.能求出a 2的取值范围．【解答】：解：∵无穷等比数列{a n }的各项和为 12 .∴ a 11−q =12 .|q|＜1.∴q=1-2a 1.a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+ 18 . ∵-1＜q ＜1.a 2的取值范围是（-1.0）∪（0. 18]． 故答案为：（-1.0）∪（0. 18 ]．【点评】：本题考查等比数列的第二项的取值范围的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．【正确答案】：[1] 3π4【解析】：先将两方程变形为：-θ- π4 =sinθ.-θ- π4 =arcsinθ.由y=sinθ.y=arcsinθ互为反函数.其图象关于直线y=x 对称.则方程组 {y =xy =−x −π4.由对称性及中点坐标公式可得.解的横坐标为θ1+θ22.得解．【解答】：解：由x-cosx= π4 .可化为： π4 -x=sin （x- π2 ）. x+arcsin （x- π2 ）= π4 .可化为： π4 -x=arcsin （x- π2 ）. 设θ=x - π2.则有：-θ- π4=sinθ.-θ- π4=arcsinθ. 由y=sinθ.y=arcsinθ.互为反函数. 其图象关于直线y=x 对称. 联立 {y =x y =−x −π4 .得：x=- π8 .即θ1+θ2=- π4 . 所以x 1- π2 +x 2- π2 =- π4 . 则x 1+x 2= 3π4 . 故答案为： 3π4 ．【点评】：本题考查了函数与其反函数图象关于直线y=x 对称的性质.属中档题 10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ． 【正确答案】：[1]若sp+tm=kn.s+t=k.则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*） 【解析】：利用类比推理可得【解答】：解：利用类比推理可得.对于等比数列{b n }.若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）. 故答案为：若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）【点评】：本题考查了类比推理的问题.属于基础题．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：C【解析】：由举例1.-1.1可得“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “.由等比中项概念可得：当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac “.可推出“a 、b 、c 成等比数列”.故“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac “的必要不充分条件．【解答】：解：当“a 、b 、c 成等比数列”时.不妨取“1.-1.1“.则不满足“b= √ac “. 即“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “. 当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac ”.由等比中项概念可得：“a 、b 、c 成等比数列”即“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的必要不充分条件. 故选：C ．【点评】：本题考查了等比数列的性质及充分.必要条件.属简单但易错题． 12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n【正确答案】：C【解析】：此题可采用排除法法.可取a n =（-1）n .排除A ；取a n = 1n.排除B ；取a n =b n =n.排除D 得到答案．【解答】：解：取a n =（-1）n .排除A ； 取a n = 1n .排除B ； 取a n =b n =n.排除D ． 故选：C ．【点评】：考查学生认识极限及运算的能力.以及学会采用排除法做选择题． 13.（单选题.3分）设S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .则S k+1为（ ） A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k + 12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+1【正确答案】：C【解析】：先利用S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .表示出S k+1.再进行整理即可得到结论．【解答】：解：因为S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .所以s k+1= 1(k+1)+1 + 1(k+1)+2 +…+ 12(k+1)−2 + 12(k+1)−1 + 12(k+1) =1k+1 +1k+2 +…+ 12k + 12k+1 + 12k+2 - 1k+1=s k +12k+1 - 12k+2． 故选：C ．【点评】：本题主要考查数列递推关系式.属于易错题.易错点在与整理过程中.不能清楚哪些项有.哪些项没有．14.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 90 【正确答案】：B【解析】：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ].考虑数列{a n }的周期为360.一个周期内的和.即可得到所求最小值和最大值．【解答】：解：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ]. 当n 取1到90的自然数可得： S 90=π180 + 2π180 +…+ 90π180； 当n 取91到180的自然数可得： a 91+a 92+…+a 180= 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0； 当n 取181到270的自然数可得：a 181+a 182+…+a 270=-（ π180 + 2π180 +…+ 90π180 ）； 当n 取271到360的自然数可得：a 271+a 272+…+a 360=-（ 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0）． 由{a n }的周期为360.可得S 360=0.且S180＞0.且为最大值；而S1800=S360×5=0.S2016=S216＞0.S1980=S180＞0.则故排除A.C.D．故选：B．【点评】：本题考查反正弦函数值的求法.以及数列的求和.考查分类讨论思想方法.以及运算能力和推理能力.属于中档题．15.（问答题.0分）已知关于x的方程sin2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）．（1）当m=1时.解此方程（2）试确定m的取值范围.使此方程有解．【正确答案】：【解析】：（1）由sin2x+cos2x=1.则sin2x+cosx+m=0可化为：cos2x-cosx-1-m=0.将m=1代入解一元二次方程可得解.（2）分离m与cosx.用值域法可得解.即1+m=cos2x-cosx.再用配方法求cos2x-cosx的值域即可得解．【解答】：解：（1）sin2x+cosx+m=0.所以cos2x-cosx-1-m=0.当m=1时.方程为：cos2x-cosx-2=0.所以cosx=-1或cosx=2.又cosx∈[-1.1].所以cosx=-1.又x∈[0.2π）．所以x=π.故方程的解集为：{π}（2）由（1）得.cos2x-cosx-1-m=0有解.即1+m=cos2x-cosx有解.又1+m=cos2x-cosx=（cosx- 12）2- 14.又cosx∈[-1.1].所以（cosx- 12）2- 14∈[- 14，2 ].即1+m∈[- 14，2 ].即m∈[ −54，1 ].故答案为：[ −54，1 ]【点评】：本题考查了三角函数的运算及二次函数的值域.与方程有解问题.属中档题16.（问答题.0分）在公差为d的等差数列{a n}中.已知a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列．（Ⅰ）求d.a n；（Ⅱ）若d＜0.求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列列式求出公差.则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论.得到等差数列{a n}的前11项大于等于0.后面的项小于0.所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】：解：（Ⅰ）由题意得5a3•a1=(2a2+2)2 .即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2 .整理得d2-3d-4=0．解得d=-1或d=4．当d=-1时.a n=a1+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11．当d=4时.a n=a1+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．所以a n=-n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n.因为d＜0.由（Ⅰ）得d=-1.a n=-n+11．则当n≤11时. |a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|=S n=−12n2+212n．当n≥12时.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11= 12n2−21n2+110．综上所述.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|= {−12n2+212n，n≤1112n2−212n+110，n≥12．【点评】：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念.考查了等差数列的通项公式.求和公式.考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力.是中档题．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【正确答案】：【解析】：（1）计算n=1.2.3.4.5.6.7即可得到所求结论；（2）考虑1到5年不符题意；n ＞5时.可得1500+2000[n-5-0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.结合n的特殊值.计算可得结论．【解答】：解：（1）新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5 （万元）. 可得a 1=0.a 2=150.a 3=300.a 4=450.a 5=600.a 6=2000×（1-0.6）=800.a 7=2000×（1-0.36）=1280＞1000.则第7年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）由n=5时.a 1+a 2+…+a 5=1500＜5000.可得所求n 超过5.可得1500+2000[n-5- 0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.化简可得n+3•0.6n-5＞11.5.由于3•0.6n-5随着n 的增大而减小.当n=11时.11+3•0.66＜11.5.当n=12时.12+3•0.67＞11.5.则第12年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【点评】：本题考查数列在实际问题中的运用.考查化简运算能力和推理能力.属于中档题．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得数列为等差数列.即可得到所求通项公式；（2）由条件可得a n+1+1=2（a n+1）.由等比数列的定义和通项公式、求和公式.计算可得所求；（3）由条件可得a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.结合首项成立.以及二次函数的最值.计算可得所求范围．【解答】：解：（1）λ=0.μ=1.a1=3.可得a n+1=a n+1.即有a n=3+n-1=n+2；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.可得a n+1=2a n+1.即有a n+1+1=2（a n+1）.可得a n+1=2n.即a n=2n-1.前n项和为S n=（2+4+…+2n）-n= 2(1−2n)1−2-n=2n+1-2-n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立. 可得a n+1=a n2+μa n+1.即有a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.由a1=-1.可得1-（1+μ）+1＞0.即有μ＜1；又（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24≥1- (1+μ)24.可得1- (1+μ)24＞0.可得-3＜μ＜1.综上可得μ的范围是（-3.1）．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用.考查运算能力和推理能力.属于中档题．。
2019-2020学年上海华二附中高一上学期数学期末试卷
华二附中高一期末数学试卷2020.01一. 填空题1. 若实数a b >，则下列说法正确的是（1）a c b c +>+ （2）ac bc < （3）11a b< （4）22a b > 2. 函数()(0)f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是3. 函数22711()(1)m m f x m m x ++=--是幂函数，则m =4. 若a 、b 都是正数，且1a b +=，则(1)(1)a b ++的最大值5. 不等式|1||2|13x x -++<的解集为6. “若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是7.已知函数()f x =[1,9]x ∈，2()()()g x f x f x =⋅的反函数是1()g x -，则 1()g x -的定义域为8. 函数243()6x x f x x ++=-的值域为 9. 已知a 、b 为非零实数，且3126a b ab ==，则a b +的值为10. 已知函数1321()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()ln(2)1x g x a x x =+++（a ∈R ），若对 任意的12,{|,2}x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是二. 选择题11. 幂函数()y f x =经过点，则()f x 是（ ）A. 偶函数，且在(0,)+∞上是增函数B. 偶函数，且在(0,)+∞上是减函数C. 奇函数，且在(0,)+∞上是减函数D. 非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数12. 若函数6(3)37()7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 9(,3)4 B. 9[,3)4 C. (2,3) D. (1,3)13. 定义在R 上的函数()f x 有反函数1()f x -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则11(2020)(2018)f x f x ---+-的值为（ ）A. 0B. 2C. 2-D. 不能确定14. 已知函数()f x 的定义域为{0,1,2}，值域为{0,1}，则满足条件的函数()f x 的个数为（ ）A. 1个B. 6个C. 8个D. 无数个三. 解答题15. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-.（1）求(0)f 及((1))f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数根，求实数m 的取值范围.16. 某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数0()()C x A f x C B x A x A <≤⎧=⎨+->⎩，当使用34m 时，缴费4元， 当使用327m 时，缴费14元，当使用335m 时，缴费19元.（1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？17. 已知函数121()log ()1ax f x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求实数k 的取值范围.18. 已知函数2||()2x x P f x x x x M ∈⎧=⎨-+∈⎩，其中P 、M 是非空数集且P M =∅，设(){|(),}f P y y f x x P ==∈，(){|(),}f M y y f x x M ==∈.（1）若(,0)P ∈-∞，[0,4]M =，求()()f P f M ； （2）是否存在实数3a >-，使得[3,]P M a =-，且()()[3,23]f P f M a =--？ 若存在，求出所有满足条件的a ，若不存在，说明理由；（3）若PM =R 且0M ∈，1P ∈，()f x 单调递增，求集合P 、M .参考答案一. 填空题1.（1）2. 0b =3. 2或1-4. 945. (7,6)-6. 若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠7.8. (,16[67,)-∞-+∞9. 2 10. 3(,]4-∞-二. 选择题11. D 12. B 13. A 14. B三. 解答题15.（1）(0)0f =，((1))1f f =-；（2）(1,0)-.16.（1）11A =，58B =，4C =；（2）1154元. 17.（1）1-；（2）[1,)-+∞；（3）[1,1]-.18.（1）[8,)-+∞；（2）3；（3）(0,)[1,)P t =+∞，(,0][,1)M t -∞，其中01t << 或(0,][1,)P t =+∞，(,0](,1)M t -∞，其中01t <<或[1,)P =+∞，(,1]M -∞或(0,)P =+∞，(,0]M -∞.。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a＞b，则下列说法正确的是．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）＜；（4）a2＞b22．（4分）函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是．3．（4分）函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，则m＝．4．（4分）若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值．5．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|＜13的解集为．6．（4分）“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题是．7．（4分）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为．8．（4分）函数f（x）＝的值域为．9．（4分）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为．10．（4分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数12．（4分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）13．（4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（）A．0B．2C．﹣2D．不能确定14．（4分）已知函数f（x）的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数f（x）的个数为（）A．1个B．6个C．8个D．无数个三、解答题15．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）＝当使用4m3时，缴费4元，当使用27m3时，缴费14元；当使用35m3时，缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水，应该缴水费多少元？17．（12分）已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．18．（14分）已知函数f（x）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（I）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a＞b，则下列说法正确的是（1）．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）＜；（4）a2＞b2【分析】由不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：由可加性知，（1）正确；当c≥0时，（2）显然不正确；当a，b满足其中一个为0时，（3）显然无意义；取a＝1，b＝﹣2可知，（4）不正确．故答案为：（1）．【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．2．（4分）函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0．【分析】函数f（x）＝kx+b（k≠0）⇔f（0）＝0，即可得出．【解答】解：函数f（x）＝kx+b（k≠0）⇔f（0）＝0，∴b＝0．∴函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0．故答案为：b＝0．【点评】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，则m＝2或﹣1．【分析】函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，利用幂函数的定义得m2﹣m ﹣1＝1，由此能求出m的值．【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1．故答案为：2或﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值．【分析】先利用基本不等式可得，再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】解：∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴，即，当且仅当a＝b时取等号，∴，即（a+1）（b+1）的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．5．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|＜13的解集为（﹣7，6）．【分析】分类讨论，去掉绝对值符号，解不等式即可．【解答】解：当x≤﹣2时，原不等式等价于1﹣x﹣x﹣2＜13，解得x＞﹣7，此时满足﹣7＜x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，原不等式等价于1﹣x+x+2＜13，即3＜13恒成立；当x≥1时，原不等式等价于x﹣1+x+2＜13，解得x＜6，此时满足1≤x＜6；综上，不等式的解集为（﹣7，6）．故答案为：（﹣7，6）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．6．（4分）“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题是若x≠1或y≠0，则x+y≠1．【分析】本题根据“若p，则q”的逆否命题的形式是：“若￢q，则￢p”，可以解答．【解答】解：若p，则q的逆否命题的形式是：若￢q，则￢p．因此命题“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题为“若x≠1或y≠0，则x+y≠1”．故答案为：若x≠1或y≠0，则x+y≠1．【点评】本题考查了逆否命题的概念，四种命题的关系．7．（4分）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为[2，2]．【分析】函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，根据单调性可得其值域．于是g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域．【解答】解：函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，由，解得1≤x≤3．∴g（x）∈[2，2]，则g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域，∴g﹣1（x）的定义域为∈[2，2]，故答案为：[2，2]，【点评】本题考查了互为反函数的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（4分）函数f（x）＝的值域为．【分析】分离常数后，利用双勾函数的性质即可得解．【解答】解：，由双勾函数性质可知，．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求解，属于基础题．9．（4分）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为2．【分析】设3a＝12b＝6ab＝k，把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求解．【解答】解：设3a＝12b＝6ab＝k，∴a＝log3k，b＝log12k，ab＝log6k，∴＝2log k6，又∵，∴，∴，∴a+b＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，是中档题．10．（4分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．【分析】可求得，，根据题意f（x）max≤g （x）min（x＞﹣2），由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．【解答】解：对函数f（x），当x≤1时，；当x＞1时，，∴f（x）在（﹣2，+∞）上的最大值；对函数g（x），函数g（x）若有最小值，则a＝0，即，当x∈（﹣2，0）∪（0，+∞）时，，易知函数；又对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），∴f（x）max≤g（x）min（x＞﹣2），即，∴，∴，即实数k的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数【分析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．【解答】解：设幂函数的解析式为：y＝xα，将（3，）代入解析式得：3α＝，解得α＝，∴y＝，故选：D．【点评】本题考查了求幂函数的解析式，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础题．12．（4分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）【分析】利用函数的单调性，判断指数函数的对称轴，以及一次函数的单调性列出不等式求解即可【解答】解：∵函数f（x）＝单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3﹣a＞0且a＞1．但应当注意两段函数在衔接点x＝7处的函数值大小的比较，即（3﹣a）×7﹣3≤a，可以解得a≥，综上，实数a的取值范围是[，3）．故选：B．【点评】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（）A．0B．2C．﹣2D．不能确定【分析】分析：由f（x）+f（﹣x）＝2，得f（t）+f（﹣t）＝2，注意（2020﹣x）与（x ﹣2018）的和等于2，若（x﹣2018）与（2020﹣x）一个是t，则另一个是﹣t，再应用反函数的定义解出t和﹣t即得．【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）＝2，∴f（t）+f（﹣t）＝2，令2020﹣x＝m，x﹣2018＝n，∴m+n＝2，∴可令f（t）＝m，f（﹣t）＝n，由反函数的定义知，∴t＝f﹣1（m），﹣t＝f﹣1（n）∴f1（m）+f1（n）＝0，即：f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值是0，故选：A．【点评】本题考查反函数，体现换元的数学思想，属于中档题．14．（4分）已知函数f（x）的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数f（x）的个数为（）A．1个B．6个C．8个D．无数个【分析】由函数定义直接写出即可得解．【解答】解：当0对应0时，可以有①（1，0），（2，1）；②（1，1），（2，0）；③（1，1），（2，1）；共三种对应方式；当0对应1时，可以有①（1，0），（2，0）；②（1，1），（2，0）；③（1，0），（2，1）；共三种对应方式；故满足条件的函数f（x）共有6个．故选：B．【点评】本题考查函数定义的理解，属于基础题．三、解答题15．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f（f（1））的值；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（Ⅲ）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，作出函数f（x）的图象，由数形结合法分析即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；则f（0）＝0，f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，（Ⅲ）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，而y＝f（x）的图象如图：分析可得﹣1＜m＜0；故m的取值范围是（﹣1，0）．【点评】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题．16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）＝当使用4m3时，缴费4元，当使用27m3时，缴费14元；当使用35m3时，缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水，应该缴水费多少元？【分析】（1）由题意知C的值，再把（27，14），（35，19）代入f（x）中求出B和A的值；（2）写出f（x）的解析式，计算f（29）的值即可．【解答】解：（1）由题意得：C＝4，将（27，14），（35，19）代入f（x）＝4+B（x﹣A），得：，解得A＝11，B＝；所以A＝11，B＝，C＝4．（2）由（1）知，f（x）＝；当x＝29时，f（29）＝4+×（29﹣11）＝＝15.25；所以该居民使用29m3水时，应该缴水费15.25元．【点评】本题考查了分段函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17．（12分）已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．【分析】（1）函数f（x）＝的图象关于原点对称，可得f（x）+f（﹣x）＝0，整理得+＝0恒成立，即可得出答案（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求出x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）的最大值，即可解出m的取值范围（3）由于f（x）＝在[2，3]上是增函数，g（x）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案【解答】解：（1）函数f（x ）＝的图象关于原点对称，∴f（x）+f（﹣x）＝0，即+＝0，∴（）＝0，∴＝1恒成立，即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，又a＝1时，f（x ）＝无意义，故a＝﹣1；（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m 恒成立，即+（x﹣1）＜m，∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，由于y ＝（x+1）是减函数，故当x＝1，函数取到最大值﹣1，∴m≥﹣1，即实数m的取值范围是m≥﹣1；（3）f（x ）＝在[2，3]上是增函数，g（x ）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，∴只需要即可保证关于x的方程f（x ）＝（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式组．代入函数解析式得，解得﹣1≤k≤1，即当﹣1≤k≤1时关于x的方程f（x ）＝（x+k）在[2，3]上有解．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题第11页（共13页）18．（14分）已知函数f（x ）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（I）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．【分析】（I）利用y＝|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域，再求其并集即可；（II）抓住线索﹣3∈P∪M，逐层深入，先判断﹣3∈P，得a 的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a的值；（III）现根据函数的单调性确定∴（﹣∞，0）⊆M，（1，+∞）⊆P，再证明在（0，1）上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合P，M【解答】解：（I）∵P＝（﹣∞，0），∴f（P）＝{y|y＝|x|，x∈（﹣∞，0）}＝（0，+∞），∵M＝[0，4]，∴f（M）＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈[0，4]}＝[﹣8，1]．∴f（P）∪f（M）＝[﹣8，+∞）（II）若﹣3∈M，则f（﹣3）＝﹣15∉[﹣3，2a﹣3]，不符合要求∴﹣3∈P，从而f（﹣3）＝3∵f（﹣3）＝3∈[﹣3，2a﹣3]∴2a﹣3≥3，得a≥3若a＞3，则2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x∵P∩M＝∅，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0＝2a﹣3≤a，得a≤3，与前提矛盾∴a＝3此时可取P＝[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M＝[﹣1，0），满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）＝0，∴x∈M∴（﹣∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，则1＞f（x0）＝﹣+2x0＞x0，于是[x0，﹣+2x0]⊆M记x1＝﹣+2x0∈（0，1），x2＝﹣+2x1，…第12页（共13页）∴[x0，x1]∈M，同理可知[x1，x2]∈M，…由x n+1＝﹣+2x n，得1﹣x n+1＝1+﹣2x n＝（1﹣x n）2；∴1﹣x n＝（1﹣x n﹣1）2＝（1﹣x n﹣2）22＝…＝（1﹣x0）2n对于任意x∈[x0，1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然数n x，则x∈[xn x，xn x+1]⊆M∴[x0，1）⊆M综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：P＝（0，t）∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1或者P＝（0，t]∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1或者P＝[1，+∞），M＝（﹣∞，1]或者P＝（0，+∞），M＝（﹣∞，0]【点评】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题解决问题的能力第13页（共13页）。
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题与详细解析
华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.3.()cos f x x x =+的值域是______.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++________．10.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为413.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,]42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．16.已知()1221*,,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1lim nn n u u →∞-.17.已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos 16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案.【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以32x =-时，arcsin 23y π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.【答案】()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦；∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题3.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】【分析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【详解】()cos f x x x=+12sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.【答案】必要非充分【解析】【分析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+，当121a a ==，342a a ==时，满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；【答案】60【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．故答案为60．6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.考点：余弦定理；三角形的面积公式.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()a n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log (99)199a =⋅=．故答案为1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数，所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉当3n =时，得2381m -=，此时6m =，所以9m n +=，故答案为：9.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C +=++________．【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B+=所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b A C B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭．故答案为2201710.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.【答案】lg 3【解析】【分析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案.【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg 3n n n n ++=+所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lg lg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+()13131lg lg 331n n n n⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3.【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.13.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3 B.4或3C.5或6D.8或7【答案】A 【解析】【分析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案.【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤，又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1)∠A =π3(2)AC边上的高为2【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A 437sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1limnn n u u →∞-.【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；【解析】【分析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+，所以()32n n n S +=，当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=-所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n nn a n a a aS a +++-+-+=-.（2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a=+则()111lim lim n nn n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；当a b ¹时，11nn n nn u a ab ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==---则111n n n n nn u a b u a b ++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17.已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x 的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.【答案】（1）π或3π；（2）[arctan；（3）19；【解析】试题分析：(1) 4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22xx +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或，arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈arctan a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】【分析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）()()cos 3cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x=+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x=-所以原式得证.（2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos 2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos 2cos 21k x k x x k x+=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos 2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos 2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kka=-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=-()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos 2cos 2cos 22k x kx x k x+=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos7π为无理数，所以1cos,cos cos 777m m πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112coscos cos 777m m m m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos 16,7m m m N π≤≤∈不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。
2019华二附中高一期末)
华二附中高一期末数学试卷2019.01一. 填空题 1. 函数lg(1)x y x+=的定义域是 2. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2)f -= 3. 已知5cos 5α=，02πα-<<，则tan α= 4. 2020是第 象限角5. 已知函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数，若函数1()x af x x a--=+（x a ≠-，x ∈R ）的图像过点(2,3)，则(4)f =6. 若关于x 的方程|1|2x a a -=（0a >，1a ≠）有两个不相等实数根，则实数a 的取值范 围是7. 屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为 元（保留整数）8. 已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是 9. 下列命题正确的序号为① 周期函数都有最小正周期；② 偶函数一定不存在反函数； ③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件； ④ 若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；10. ()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为二. 选择题11. “我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉. 睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（ ）A. 函数的奇偶性B. 函数的单调性C. 函数的周期性D. 二分法求函数零点12. 函数x x x xe e y e e --+=-的图像大致为（ ）A. B. C. D.13. 已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（ ）A. 无数个B. 3个C. 4个D. 2个 14. 下列命题中正确的命题是（ ）A. 若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B. 若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<<时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<<，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C. 函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D. 若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数三. 解答题15. 已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.16. 判断并证明函数2121()log 121x x xf x x++=+--的奇偶性.17. 已知函数()9233x x f x a =-⋅+. （1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域； （2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.18. 设()m h x x x =+，1[,5]4x ∈， 其中m 是不等于零的常数. （1）写出(4)h x 的定义域； （2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 【答案】(1,0)(0,)-+∞；【解析】10(1,0)(0,)0x x x +>⎧⇒∈-+∞⎨≠⎩；2.【答案】0；【解析】令0x =代入(2)()f x f x +=-得：(2)(0)0f f -=-=； 3.【答案】2-；【解析】同角三角关系，注意tan 0α<即可； 4.【答案】三；【解析】20203212 1.31ππ⨯+，位于第三象限；5.【答案】53；【解析】12(2)312a f a a --==⇒=-+，11()1x f x x -+=-利用原函数与反函数关系得：(4)f 的值为方程1()4f x -=的解，解得：53x =；6.【答案】102a <<； 【解析】|1|2x a a -=，等价于|1|2x y a y a =-=，两函数有两个交点，分01,1a a <<>两种情况讨论，分别画出得：102a <<满足题意； 7.【答案】53877； 【解析】12510000(1 2.5%)(1 2.5%)(1 2.5%)53877⎡⎤⨯++++++⎣⎦；8.【答案】(,4][5,)-∞-+∞；【解析】[]121,422020424(5)04224[1,4]24x x x x x t t y k k k t k k y t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--⎩令有交 点；易得：20[5,4](,4][5,)k k∈-⇒∈-∞-+∞；9.【答案】③④；【解析】①错误；如：()f x C =如()(0)f x C x ==④正确，不连续就行；如：3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩（图像为黑色部分）与其反函数交点个数为2个， 交点不在y x =上，如下图； 10.【答案】a ；【解析】()f x x x =，函数单调递增；max()2())1)1)f x a f x f x a a x a x ⎡⎤+=⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥1)(2)a a +≥，解得：a ；二. 选择题 11.【答案】C ； 12.【答案】B ；【解析】令(1)0f >，排除A ，C ；如按计算器(1000)1f >排除D ，如分析亦可：0,1x xxxxxx xe e x e e e e y e e ----+>+>-⇒=>-；故排除D ；故选B ；13.【答案】A ；【解析】()f x 为偶函数，且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数；那么情况有三种： （1）221a a a --=+31a ⇒=-或；（2）22(1)11a a a a --=-+⇒=-或；（3）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤，不用解了；则：{(1),(3)}N f f =，一共2个元素，故答案选A ；14.【答案】D ；【解析】A 错，选项描述为存在性，而单调性定义要求任意性；B 选项同A 错误；C 选项与单调性无关，错；D 选项正确；三. 解答题15.【解析】230l r +=≥则90022582rl =≤，当且仅当2l r =，由l r α=得2()rad α=，又2230l r l r =⎧⎨+=⎩得：152r =.16.【解析】定义域满足：10(1,0)(0,1)1120x x x x+⎧>⎪⇒∈--⎨⎪-≠⎩，定义域关于原点对称； 222121211211()log log log ()121211121x x x x x x x x xf x f x x x x--+-+++--=+=+=--=---+---+故()f x 为奇函数. 17.【解析】（1）1a =，()9233x x f x =-⋅+，令3[1,3]x t =∈，则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈，则：[]()2,6g t ∈；（2）[1,1]x ∈-，令13[,3]3x t =∈，则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈，讨论对称轴t a =与定义域位置关系，得2min 28219331()()3331263a a f x h a a a a a ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）()126,3h a a a =-≥，函数单调递减，那么[,]a m n ∈时，22221266()126m n n m n m n m ⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减； 得：6m n +=，而3n m >>，则6m n +>，故矛盾，则不存在m n 、满足题意.18.【解析】本题选自2011年奉贤一模23题（理） （1）1154,5,,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）0m <时，()h x 在1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增；1016m <≤时，()h x 在1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增；12516m <≤时，()h x 在⎤⎦递增； （3）由题知：()()()231444x h x h x x--=，∴4()()4h x h x > 11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()()4h x h x =，12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；()()4h x h x <，15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥，()111,,421154,,424x x x M x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩， ()1111,,42515,,224⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x x x M x x ，()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ， 1211711,,44271,,1425154,1,244⎧⎡⎤+-∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫⎡⎤-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩x x x M M x x x x()()1221,010⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦M x M x ，∴0n ≥，2110t -≤.。
2024届上海华东师大二附中高一数学第二学期期末经典试题含解析
2024届上海华东师大二附中高一数学第二学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知a 是第一象限角，那么2a是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角2．函数()()sin f x A x =+ωϕ，()0,0A ω>>，若()f x 在区间[0,]2π上是单调函数，()()0()2ππ-==-f f f ，则ω的值为（ ）A ．12B ．2C ．12或23D ．23或2 3．已知21tan tan 544παββ+=-=（），（），则tan 4πα+（）的值为（） A ．16B ．322C ．2213D ．13184．如图，函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，5PM =，则A 的值为（ ）A ．62B ．52C 1633D 8335．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2) (4)D ．(2)(3)6．在ABC 中，已知30A ∠=︒，3AB =，2BC =，则ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定7．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知22(2,2cos )222a sinαα=-，(cos ,)2b m α=，若对任意的[1,1]m ∈-，12a b ⋅>恒成立，则角α的取值范围是 A ．713(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ B ．57(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ C ．5(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ D ．7(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ 9． 过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( ) A ．4B ．2C ．D ．10．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 13a =-，则10S 等于 （ ） A ．18B ．24C ．60D ．90二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）若实数a ＞b.则下列说法正确的是___ ． （1）a+c ＞b+c ；（2）ac ＜bc ；（3） 1a ＜ 1b ；（4）a 2＞b 22.（填空题.4分）函数f （x ）=kx+b （k≠0）是奇函数的充要条件是___ ．3.（填空题.4分）函数f （x ）=（m 2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.则m=___ ．4.（填空题.4分）若a.b 都是正数.且a+b=1.则（a+1）（b+1）的最大值___ ．5.（填空题.4分）不等式|x-1|+|x+2|＜13的解集为___ ．6.（填空题.4分）“若x+y=1.则x=1且y=0”的逆否命题是___ ．7.（填空题.4分）已知函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）的反函数是g -1（x ）.则g -1（x ）的定义域为___ ． 8.（填空题.4分）函数f （x ）= x 2+4x+3x−6的值域为___ ．9.（填空题.4分）已知a.b 为非零实数.且3a =12b =6ab .则a+b 的值为___ ．10.（填空题.4分）已知函数f （x ）= {−x 2+x +k ，x ≤1−12+log 13x ，x ＞1.g （x ）=aln （x+2）+ xx 2+1（a∈R ）.若对任意的x 1.x 2∈{x|x∈R .x ＞-2}.均有f （x 1）≤g （x 2）.则实数k 的取值范围是___ ． 11.（单选题.4分）幂函数y=f （x ）经过点（3. √3 ）.则f （x ）是（ ） A.偶函数.且在（0.+∞）上是增函数 B.偶函数.且在（0.+∞）上是减函数 C.奇函数.且在（0.+∞）是减函数D.非奇非偶函数.且在（0.+∞）上是增函数 12.（单选题.4分）若函数f （x ）= {(3−a )x −3，x ≤7ax−6，x ＞7单调递增.则实数a 的取值范围是（ ） A.（ 94 .3） B.[ 94 .3） C.（1.3）D.（2.3）13.（单选题.4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f-1（x）.若有f（x）+f（-x）=2恒成立.则f-1（2020-x）+f-1（x-2018）的值为（）A.0B.2C.-2D.不能确定14.（单选题.4分）已知函数f（x）的定义域为{0.1.2}.值域为{0.1}.则满足条件的函数f（x）的个数为（）A.1个B.6个C.8个D.无数个15.（问答题.8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数.且当x≥0时.f（x）=x2-2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.求实数m的取值范围.16.（问答题.10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）={C，0＜x≤AC+B(x−A)，x＞A当使用4m3时.缴费4元.当使用27m3时.缴费14元；当使用35m3时.缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水.应该缴水费多少元？17.（问答题.12分）已知函数f（x）= log121−axx−1的图象关于原点对称.其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）＜m恒成立.求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）= log12（x+k）在[2.3]上有解.求k的取值范围．18.（问答题.14分）已知函数f（x）= {|x|，x∈p−x2+2x，x∈M其中P.M是非空数集.且P∩M=∅.设f（P）={y|y=f（x）.x∈P}.f（M）={y|y=f（x）.x∈M}．（Ⅰ）若P=（-∞.0）.M=[0.4].求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）是否存在实数a＞-3.使得P∪M=[-3.a].且f（P）∪f（M）=[-3.2a-3]？若存在.请求出满足条件的实数a；若不存在.请说明理由；（Ⅲ）若P∪M=R.且0∈M.I∈P.f（x）是单调递增函数.求集合P.M．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：1001.（填空题.4分）若实数a＞b.则下列说法正确的是___ ．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）1a ＜1b；（4）a2＞b2【正确答案】：[1]（1）【解析】：由不等式的性质逐项判断即可．【解答】：解：由可加性知.（1）正确；当c≥0时.（2）显然不正确；当a.b满足其中一个为0时.（3）显然无意义；取a=1.b=-2可知.（4）不正确．故答案为：（1）．【点评】：本题考查不等式性质的运用.属于基础题．2.（填空题.4分）函数f（x）=kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是___ ．【正确答案】：[1]b=0【解析】：函数f（x）=kx+b（k≠0）⇔f（0）=0.即可得出．【解答】：解：函数f（x）=kx+b（k≠0）⇔f（0）=0.∴b=0．∴函数f（x）=kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b=0．故答案为：b=0．【点评】：本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．3.（填空题.4分）函数f（x）=（m2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.则m=___ ．【正确答案】：[1]2或-1【解析】：函数f（x）=（m2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.利用幂函数的定义得m2-m-1=1.由此能求出m的值．【解答】：解：∵函数f（x）=（m2-m-1）x m2+7m+11是幂函数.∴m2-m-1=1.解得m=2或m=-1．故答案为：2或-1．【点评】：本题考查实数值的求法.考查幂函数的性质的性质等基础知识.考查推理能力与计算能力.属于基础题．4.（填空题.4分）若a.b都是正数.且a+b=1.则（a+1）（b+1）的最大值___ ．【正确答案】：[1] 94【解析】：先利用基本不等式可得ab≤14.再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】：解：∵a+b=1.a＞0.b＞0.∴ 1=a+b≥2√ab .即ab≤14.当且仅当a=b时取等号.∴ (a+1)(b+1)=ab+1+1≤14+2=94.即（a+1）（b+1）的最大值为94．故答案为：94．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用.属于基础题．5.（填空题.4分）不等式|x-1|+|x+2|＜13的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-7.6）【解析】：分类讨论.去掉绝对值符号.解不等式即可．【解答】：解：当x≤-2时.原不等式等价于1-x-x-2＜13.解得x＞-7.此时满足-7＜x≤-2；当-2＜x＜1时.原不等式等价于1-x+x+2＜13.即3＜13恒成立；当x≥1时.原不等式等价于x-1+x+2＜13.解得x＜6.此时满足1≤x＜6；综上.不等式的解集为（-7.6）．故答案为：（-7.6）．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法.考查分类讨论思想.属于基础题．6.（填空题.4分）“若x+y=1.则x=1且y=0”的逆否命题是___ ．【正确答案】：[1]若x≠1或y≠0.则x+y≠1【解析】：本题根据“若p.则q”的逆否命题的形式是：“若￢q.则￢p”.可以解答．【解答】：解：若p.则q 的逆否命题的形式是：若￢q.则￢p ．因此命题“若x+y=1.则x=1且y=0”的逆否命题为“若x≠1或y≠0.则x+y≠1”． 故答案为：若x≠1或y≠0.则x+y≠1．【点评】：本题考查了逆否命题的概念.四种命题的关系．7.（填空题.4分）已知函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）的反函数是g -1（x ）.则g -1（x ）的定义域为___ ． 【正确答案】：[1][2.2 √10 ]【解析】：函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）= √x +1 • √x 2+1 = √x 3+x 2+x +1 .根据单调性可得其值域．于是g -1（x ）的定义域为原函数g （x ）的值域．【解答】：解：函数f （x ）= √x +1 .x∈[1.9].g （x ）=f （x ）•f （x 2）= √x +1 • √x 2+1 = √x 3+x 2+x +1 .由 {1≤x ≤91≤x 2≤9 .解得1≤x≤3．∴g （x ）∈[2.2 √10 ].则g -1（x ）的定义域为原函数g （x ）的值域.∴g -1（x ）的定义域为∈[2.2 √10 ]. 故答案为：[2.2 √10 ].【点评】：本题考查了互为反函数的性质、函数的单调性.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．8.（填空题.4分）函数f （x ）= x 2+4x+3x−6 的值域为___ ．【正确答案】：[1] (−∞，16−6√7]∪[16+6√7，+∞) 【解析】：分离常数后.利用双勾函数的性质即可得解．【解答】：解： f (x )=x 2+4x+3x−6=(x−6)2+16(x−6)+63x−6=(x −6)+63x−6+16 .由双勾函数性质可知. x −6+63x−6+16∈(−∞，−2√63+16]∪[2√63+16，+∞) ． 故答案为： (−∞，16−6√7]∪[16+6√7，+∞) ．【点评】：本题考查函数值域的求解.属于基础题．9.（填空题.4分）已知a.b 为非零实数.且3a =12b =6ab .则a+b 的值为___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：设3a =12b =6ab =k.把指数式化为对数式.再利用对数的运算性质即可求解．【解答】：解：设3a =12b =6ab =k. ∴a=log 3k.b=log 12k.ab=log 6k.∴ 1a +1b =log k 3+log k 12=log k 36 =2log k 6.又∵ 1ab =log k 6 . ∴ 1a +1b =2ab . ∴a+b ab =2ab. ∴a+b=2. 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了指数式与对数式的互化.以及对数的运算性质.是中档题． 10.（填空题.4分）已知函数f （x ）= {−x 2+x +k ，x ≤1−12+log 13x ，x ＞1.g （x ）=aln （x+2）+ xx 2+1（a∈R ）.若对任意的x 1.x 2∈{x|x∈R .x ＞-2}.均有f （x 1）≤g （x 2）.则实数k 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (−∞，−34]【解析】：可求得 f (x )max =max{14+k ，−12} . g (x )min =−12 .根据题意f （x ）max ≤g （x ）min （x ＞-2）.由此得到 14+k ≤−12 .解该不等式即可求得实数k 的取值范围．【解答】：解：对函数f （x ）.当x≤1时. f (x )max =f (12)=14+k ；当x ＞1时. f (x )max =f (1)=−12 .∴f （x ）在（-2.+∞）上的最大值 f (x )max =max{14+k ，−12} ； 对函数g （x ）.函数g （x ）若有最小值.则a=0.即 g (x )=xx 2+1 . 当x∈（-2.0）∪（0.+∞）时. g (x )=1x+1x.易知函数 g (x )min =−12；又对任意的x 1.x 2∈{x|x∈R .x ＞-2}.均有f （x 1）≤g （x 2）. ∴f （x ）max ≤g （x ）min （x ＞-2）.即 max{14+k ，−12}≤−12 . ∴ 14+k ≤−12 .∴ k ≤−34 .即实数k 的取值范围为 (−∞，−34] ．故答案为：(−∞，−34]．【点评】：本题考查不等式的恒成立问题.考查函数最值的求解.考查转化思想及计算能力.属于中档题．11.（单选题.4分）幂函数y=f（x）经过点（3. √3）.则f（x）是（）A.偶函数.且在（0.+∞）上是增函数B.偶函数.且在（0.+∞）上是减函数C.奇函数.且在（0.+∞）是减函数D.非奇非偶函数.且在（0.+∞）上是增函数【正确答案】：D【解析】：设出幂函数的解析式.求出自变量的指数.从而求出函数的性质即可．【解答】：解：设幂函数的解析式为：y=xα.将（3. √3）代入解析式得：3α= √3 .解得α= 12.∴y= x12 .故选：D．【点评】：本题考查了求幂函数的解析式.考查函数的奇偶性和单调性问题.是一道基础题．12.（单选题.4分）若函数f（x）= {(3−a)x−3，x≤7a x−6，x＞7单调递增.则实数a的取值范围是（）A.（94.3）B.[ 94.3）C.（1.3）D.（2.3）【正确答案】：B【解析】：利用函数的单调性.判断指数函数的对称轴.以及一次函数的单调性列出不等式求解即可【解答】：解：∵函数f （x ）= {(3−a )x −3，x ≤7a x−6，x ＞7 单调递增.由指数函数以及一次函数的单调性的性质.可得3-a ＞0且a ＞1． 但应当注意两段函数在衔接点x=7处的函数值大小的比较. 即（3-a ）×7-3≤a .可以解得a≥ 94 . 综上.实数a 的取值范围是[ 94 .3）． 故选：B ．【点评】：本题考查分段函数的应用.指数函数的性质.考查学生的计算能力.属于中档题． 13.（单选题.4分）定义在R 上的函数f （x ）有反函数f -1（x ）.若有f （x ）+f （-x ）=2恒成立.则f -1（2020-x ）+f -1（x-2018）的值为（ ） A.0 B.2 C.-2 D.不能确定 【正确答案】：A【解析】：分析：由 f （x ）+f （-x ）=2.得 f （t ）+f （-t ）=2.注意（2020-x ）与 （x-2018）的和等于2.若（x-2018）与 （2020-x ）一个是t.则另一个是-t.再应用反函数的定义解出 t 和-t 即得．【解答】：解：∵f （x ）+f （-x ）=2.∴f （t ）+f （-t ）=2. 令 2020-x=m.x-2018=n.∴m+n=2.∴可令 f （t ）=m.f （-t ）=n.由反函数的定义知. ∴t=f -1（m ）.-t=f -1（n ） ∴f 1（m ）+f 1（n ）=0.即：f -1（2020-x ）+f -1（x-2018）的值是0. 故选：A ．【点评】：本题考查反函数.体现换元的数学思想.属于中档题．14.（单选题.4分）已知函数f （x ）的定义域为{0.1.2}.值域为{0.1}.则满足条件的函数f （x ）的个数为（ ） A.1个 B.6个C.8个D.无数个【正确答案】：B【解析】：由函数定义直接写出即可得解．【解答】：解：当0对应0时.可以有① （1.0）.（2.1）；② （1.1）.（2.0）；③ （1.1）.（2.1）；共三种对应方式；当0对应1时.可以有① （1.0）.（2.0）；② （1.1）.（2.0）；③ （1.0）.（2.1）；共三种对应方式；故满足条件的函数f（x）共有6个．故选：B．【点评】：本题考查函数定义的理解.属于基础题．15.（问答题.8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数.且当x≥0时.f（x）=x2-2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.求实数m的取值范围.【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据题意.由函数的解析式.将x=0代入函数解析式即可得f（0）的值.同理可得f（1）的值.利用函数的奇偶性分析可得f（f（1））的值；（Ⅱ）设x＜0.则-x＞0.由函数的解析式分析f（-x）的解析式.进而由函数的奇偶性分析可得答案；（Ⅲ）若方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.则函数y=f（x）与直线y=m有4个交点.作出函数f（x）的图象.由数形结合法分析即可得答案．【解答】：解：（Ⅰ）根据题意.当x≥0时.f（x）=x2-2x；则f（0）=0.f（1）=1-2=-1.又由函数f（x）为偶函数.则f（1）=f（-1）=-1.则f（f（1））=f（-1）=-1；（Ⅱ）设x＜0.则-x＞0.则有f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x.又由函数f（x）为偶函数.则f（x）=f（-x）=x2+2x.则当x＜0时.f（x）=x2+2x.（Ⅲ）若方程f（x）-m=0有四个不同的实数解.则函数y=f（x）与直线y=m有4个交点. 而y=f（x）的图象如图：分析可得-1＜m＜0；故m的取值范围是（-1.0）．【点评】：本题考查偶函数的性质以及函数的图象.涉及方程的根与函数图象的关系.注意利用数形结合法分析与应用.是中档题．16.（问答题.10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）={C，0＜x≤AC+B(x−A)，x＞A当使用4m3时.缴费4元.当使用27m3时.缴费14元；当使用35m3时.缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水.应该缴水费多少元？【正确答案】：【解析】：（1）由题意知C的值.再把（27.14）.（35.19）代入f（x）中求出B和A的值；（2）写出f（x）的解析式.计算f（29）的值即可．【解答】：解：（1）由题意得：C=4.将（27.14）.（35.19）代入f（x）=4+B（x-A）.得：{4+B(27−A)=14 4+B(35−A)=19.解得A=11.B= 58；所以A=11.B= 58.C=4．（2）由（1）知.f（x）= {4，0＜x≤114+58(x−11)，x＞11；当x=29时.f（29）=4+ 58 ×（29-11）= 614=15.25；所以该居民使用29m3水时.应该缴水费15.25元．【点评】：本题考查了分段函数模型的应用问题.也考查了运算求解能力.是基础题．17.（问答题.12分）已知函数f（x）= log121−axx−1的图象关于原点对称.其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）＜m恒成立.求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）= log12（x+k）在[2.3]上有解.求k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）函数f（x）= log121−axx−1的图象关于原点对称.可得f（x）+f（-x）=0.整理得log121−axx−1+ log121+ax−x−1=0恒成立.即可得出答案（2）x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）＜m恒成立.求出x∈（1.+∞）时.f（x）+ log12（x-1）的最大值.即可解出m的取值范围（3）由于f（x）= log121+xx−1在[2.3]上是增函数.g（x）= log12（x+k）在[2.3]上是减函数.可得出.两函数图象在所给区间上有交点.由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出{f (2)≤g (2)f (3)≥g (3).解之即可得出答案【解答】：解：（1）函数f （x ）= log 12 1−ax x−1 的图象关于原点对称.∴f （x ）+f （-x ）=0.即 log 121−ax x−1 + log 12 1+ax −x−1 =0. ∴ log 12 （1−ax x−1×1+ax −x−1 ）=0.∴ 1−ax x−1×1+ax −x−1 =1恒成立.即1-a 2x 2=1-x 2.即（a 2-1）x 2=0恒成立.所以a 2-1=0.解得a=±1.又a=1时.f （x ）= log 12 1−ax x−1 无意义.故a=-1；（2）x∈（1.+∞）时.f （x ）+ log 12 （x-1）＜m 恒成立.即 log 12 1+x x−1 + log 12（x-1）＜m.∴ log 12（x+1）＜m 在（1.+∞）恒成立.由于y= log 12（x+1）是减函数.故当x=1.函数取到最大值-1.∴m≥-1.即实数m 的取值范围是m≥-1；（3）f （x ）= log 12 1+x x−1 在[2.3]上是增函数.g （x ）= log 12 （x+k ）在[2.3]上是减函数.∴只需要 {f (2)≤g (2)f (3)≥g (3) 即可保证关于x 的方程f （x ）= log 12（x+k ）在[2.3]上有解.下解此不等式组．代入函数解析式得 {log 123≤log 12(2+k )log 122≥log 12(3+k ).解得-1≤k≤1. 即当-1≤k≤1时关于x 的方程f （x ）= log 12（x+k ）在[2.3]上有解．【点评】：本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用.属于有一定难度的题.本题考查了数形结合的思想.转化化归的思想.属于灵活运用知识的好题18.（问答题.14分）已知函数f （x ）= {|x |，x ∈p−x 2+2x ，x ∈M 其中P.M 是非空数集.且P∩M=∅.设f （P ）={y|y=f （x ）.x∈P}.f （M ）={y|y=f （x ）.x∈M}．（Ⅰ）若P=（-∞.0）.M=[0.4].求f （P ）∪f （M ）；（Ⅱ）是否存在实数a ＞-3.使得P∪M=[-3.a].且f （P ）∪f （M ）=[-3.2a-3]？若存在.请求出满足条件的实数a ；若不存在.请说明理由；（Ⅲ）若P∪M=R .且0∈M .I∈P .f （x ）是单调递增函数.求集合P.M ．【正确答案】：【解析】：（I）利用y=|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域.再求其并集即可；（II）抓住线索-3∈P∪M.逐层深入.先判断-3∈P.得a的范围.再由已知推理缩小此范围.最后确定a的值；（III）现根据函数的单调性确定∴（-∞.0）⊆M.（1.+∞）⊆P.再证明在（0.1）上存在分界点的话.这个分界点应具有怎样的性质.最后根据此性质写出满足题意的集合P.M【解答】：解：（I）∵P=（-∞.0）.∴f（P）={y|y=|x|.x∈（-∞.0）}=（0.+∞）.∵M=[0.4].∴f（M）={y|y=-x2+2x.x∈[0.4]}=[-8.1]．∴f（P）∪f（M）=[-8.+∞）（II）若-3∈M.则f（-3）=-15∉[-3.2a-3].不符合要求∴-3∈P.从而f（-3）=3∵f（-3）=3∈[-3.2a-3]∴2a-3≥3.得a≥3若a＞3.则2a-3＞3＞-（x-1）2+1=-x2+2x∵P∩M=∅.∴2a-3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0=2a-3≤a.得a≤3.与前提矛盾∴a=3此时可取P=[-3.-1）∪[0.3].M=[-1.0）.满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数.∴对任意x＜0.有f（x）＜f（0）=0.∴x∈M∴（-∞.0）⊆M.同理可证：（1.+∞）⊆P若存在0＜x0＜1.使得x0∈M.则1＞f（x0）=- x02 +2x0＞x0.于是[x0.- x02 +2x0]⊆M记x1=- x02 +2x0∈（0.1）.x2=- x12 +2x1.…∴[x0.x1]∈M.同理可知[x1.x2]∈M.…由x n+1=- x n2 +2x n.得1-x n+1=1+ x n2 -2x n=（1-x n）2；∴1-x n=（1-x n-1）2=（1-x n-2）22=…=（1-x0）2n对于任意x∈[x0.1].取[log2log（1-x0）（1-x）-1.log2log（1-x0）（1-x）]中的自然数n x.则x∈[xn x.xn x+1]⊆M∴[x0.1）⊆M综上所述.满足要求的P.M必有如下表示：P=（0.t）∪[1.+∞）.M=（-∞.0]∪[t.1）.其中0＜t＜1或者P=（0.t]∪[1.+∞）.M=（-∞.0]∪（t.1）.其中0＜t＜1或者P=[1.+∞）.M=（-∞.1）或者P=（0.+∞）.M=（-∞.0]【点评】：本题综合考查了集合的表示方法和意义.函数的值域.逻辑推理和论证的能力.分析问题解决问题的能力。
2018-2019学年上海华二高一下学期期末数学卷
高一期末卷一、填空题1. 函数])21,23[(arcsin --∈=x x y 的值域是___________ 2. 数列}{n a 的前n 项和,12++=n n S n 则数列}{n a 的通项公式n a =__________ 3. x x x f cos sin 3)(+=的值域是___________4. “3241a a a a +=+”是“数列4321,,,a a a a 依次成等差数列”的____________条件5. 等差数列}{n a 的前n 项和n S ，若______,30,10302010===S S S 则6. ABC ∆三条边的长度是c b a ,,，面积是________,4222=-+C c b a 则 7. 已知数列}{n a ，其中______log ,)(,9910099199111===-a a a a a n n 那么8. 等比数列}{n a 中首项),,(720,3,211m n N m n a a a q a m n n <∈=+++==*+ 公比则______=+m n9. 在ABC ∆中，_____tan tan tan tan )tan (tan ,sin 2018sin sin 2222=+++=+C B A B C A B C A 则 10. 已知数列}{n a 的通项公式为n n S n nn a ,,3,2,1),321lg(2 =++=是数列的前n 项和，则______=+∞→n n S lin二、选择题11. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）A 、f 32B 、f 322C 、f 1252D 、f 127212. 已知函数2sin cos 2)(22+-=x x x f ，则（ ）A 、3)(，最大值为的最小正周期为πx fB 、4)(，最大值为的最小正周期为πx fC 、32)(，最大值为的最小正周期为πx fD 、42)(，最大值为的最小正周期为πx f13.将函数)52sin(π+=x y 向右平移10π个单位长度，那么新函数（ ） A 、在]23,45[ππ上单调递增 B 、在],43[ππ上单调递减 C 、在]45,43[ππ上单调递增 D 、在]2,23[ππ上单调递减 14.已知函数),)(6312cos(N k x k y ∈-+=其中ππ对任意实数a ，在区间]3,[+a a 上要使函数值45出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A 、2或3 B 、4或3 C 、5或6 D 、8或7三、解答题15. 在ABC ∆中，a =7，.71cos ,8-==B b （1）求A ；（2）求AC 边上的高.16. 已知).0,,(1221>∈+++++=*---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n（1）当b a =时，求数列表示）和用项和的前n a S n a n n (;}{（2）求.lim1++∞→n n n u u17. 已知方程.)2arctan(2arctan a x x =-+ （1）若的值；求2arccos ,4x a π= （2）若方程有实数根，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间]15,5[上有两个相异的解α、βαβ+求,的最大值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华二附中高一期末数学试卷
2019.06
一. 填空题
1. 函数arcsin y x =（1[]2
x ∈-）的值域是 2. 数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为n a =
3. ()cos f x x x =+的值域是
4. “1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的 条件 （填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）
5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则30S =
6. △ABC 三条边的长度是a 、b 、c ，面积是222
4
a b c +-，则C = 7. 已知数列{}n a ，其中1
99
199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 8. 等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，1720n n m a a a +++⋅⋅⋅+=（,n m *∈N ，n m <）， 则n m +=
9. 在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C
+=++ 10. 已知数列{}n a 的通项公式为22lg(1)3n a n n
=++，1,2,3n =⋅⋅⋅，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞
=
二. 选择题
11. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个
单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则（ ）
A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3
B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4
C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3
D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4
13. 将函数sin(2)5y x π=+向右平移
10
π个单位长度，那么新函数（ ） A. 在53[,]42ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4
ππ上单调递减 C. 在35[,]44ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2ππ上单调递减 14. 已知函数215cos(
)36k y x ππ+=-（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[,3]a a + 上要使函数值54
出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A. 2或3 B. 4或3 C. 5或6 D. 8或7
三. 解答题
15. 在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-
. （1）求A ；（2）求AC 边上的高.
16. 已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++⋅⋅⋅++（n *∈N ，,0a b >）.
（1）当a b =时，求数列{}n u 的前n 项和n S （用a 和n 表示）；（2）求1
lim n n n u u →∞-.
17. 已知方程arctan
arctan(2)2
x x a +-=. （1）若4a π=，求arccos 2
x 的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围； （3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.
18.（1）证明：3cos(3)4cos 3cos x x x =-；
（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得cos()(cos )n nx f x =对所有实数 x 均成立，其中1111()2n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时， 0n a =，当n 为偶数时，2(1)n n a =-；
（3）利用（2）的结论判断cos
7
m π（16m ≤≤，m *∈N ）是否为有理数？
参考答案
一. 填空题 1. [,]36π
π-- 2. 3122
n n n =⎧⎨≥⎩ 3. [2,2]- 4. 必要非充分 5. 60 6. 4π 7. 1 8. 9 9. 22017
10. lg3
二. 选择题
11. D 12. B 13. C 14. A
三. 解答题
15.（1）3A π
=；（2
）2.
16.（1）1
2(1)1
2
(1)01(1)1n n n n n a S a a na
a a a a
++⎧=⎪⎪=⎨-⎪->≠⎪--⎩且；（2）1lim n n n a
a b u b
a b u →∞-≥⎧=⎨
<⎩. 17.（1）0或23π
；（2
）33[arctan ]22+；（3）19.
18.（1）证明略；（2）证明略；（3）不是有理数.。