第13讲 分解质因数
分解质因数(一)(含详细解析)
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。
分解质因数的方法与技巧(用例子讲解分解质因数的步骤)
最近，五年级正在学习因数与倍数知识，许多同学反映分解质因 数对于他们来说有点难，能不能给他们总结归纳一些方法，让他们高 效率做出题目，今天老师就给大家总结一些方法，希望同学们能快速 掌握。 一、知识铺垫 1、因数和倍数：在整数乘法里，如果 a×b=c，那么 a 和 b 是 c 的因数， c 是 a 和 b 的倍数。 2、 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数(一 般不包括 0)。但是 0 也是整数。 3、一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。一个数的因数的个数 是有限的。 4、一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的倍数的 个数是无限的。 如果两个整数(a、b)都是另一个整数(c)的倍数，那么这两个整数的和 (a+b)也是另一个整数(c)的倍数。 5、 个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。 个位上是 0、5 的数都是 5 的倍数。 个位上是 0 数既是 2 的倍数，也是 5 的倍数。 一个数各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
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(1)利用乘法口诀 (2)抓住数的特点 (3)熟记质数表(见前两篇文章中——100 以内质数歌) 课后练习： 1， 把 12 分解质因数后求全部因数。 2.把 80 分解质因数后求全部 因数。 3.四个连续自然数的积是 360，求这四个自然数。 4.四个连续奇数的积 3465，求这四个数。 5，三个连续偶数的积是 960，这三的偶数的和是多少? 6，学区举行团体操表演，有 1430 名学生参加，分成人数相等的若干 队，要求每队人数在 题意，每队人数×队数=1430，每队人数在 100 至 200 之间，所以问题相当于求 1430 有多少个在 100 至 200 之间的约数。 先把 1430 分解质因数， 得 1430=2×5×11×13。 从这四个质数中选若干个，使其乘积在 100 到 200 之间，这是每队人 数，其余的质因数之积便是队数。 2×5×11=110，13; 2×5×13=130，11; 11×13=143，2×5=10。 好了，今天就分享到这里，希望孩子们能顺利掌握。
小五数学第13讲：质数和合数(教师版)——刘文静
第十三讲质数和合数1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
（3）1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。
把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。
例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。
具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；教学重点：质数和合数的概念。
分解质因数讲义
分解质因数【适用场景】沪教版--六年级上册--新课【知识定位】分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。
分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。
【知识梳理】1.质数、合数的定义：问：1的约数有：1；2的约数有：1，2；3的约数有：1，3；4的约数有：1，2，4；6的约数有：1，2，3，6；7的约数有：1，7；12的约数有：1，2，3，4，6，12；……从上面各数的约数的个数中我们可以看到：一个自然数的约数的个数有三种情况：①只有一个约数的，如1。
因此，1不是质数，也不是合数。
②只有两个约数的（1和它本身），如2，3，7……③有两个以上约数的，如4，6，12……所以，我们将属于第__②__种情况的，即：除了1和本身以外，不再有别的约数，这样的数叫做质数。
我们将属于第__③__种情况的，即：除了1和本身以外，还有别的约数，这样的数叫做合数。
2.质因数：如果某个质数是一个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。
我们观察下面这些式子：4=1×2×2；6=1×2×38=1×2×2×2；10=1×2×5；12=1×2×2×3；……从上面各数的约数的情况中我们可以看到：一个合数最终总是能被写成质数相乘的形式，这里，我们就将这些质数叫做这个合数的质因数。
例如：18=2×3×3这里的2、3、3都是18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。
这里需要注意的是：18也可以写成3与6的乘积，即：18=3×6，无疑3和6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数，而6是合数，则不能称做6是18的质因数。
3.互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1的时候，这两个或几个数，就叫做互质数（也叫互素数）。
五上13整数的整除
姓名：第十三讲整数的整除知识摘要：需要掌握的基础知识有：整除的意义、因数和倍数、奇数和偶数、数的整除特征、质数和合数、分解质因数、最大公因数和最小公倍数。
下面介绍几种数的整除特征：能被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8；能被5整除的数：个位上是0、5；能被3（9）整除的数：各数字和是3（9）的倍数；能被4（25）整除的数：末两位数能被4（25）整除；能被8（125）整除的数：末三位数能被8（125）整除；能被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和之差（大减小）能被11整除。
能被7（11、13）整除的数：末三位数与前几位数之差（大减小）能被7（11、13）整除；能被A整除的数：能同时被A的几个互质因数整除。
例1、一个六位数43□57□能被72整除，这个六位数是。
例2、在532的后面添上三个数字，组成一个六位数，使这个六位数能同时被3、4、5整除，那么这个六位数最小是。
练习一1.六位数□3475□能被45整除，这个六位数最大是是。
2.相同字母代表相同的数，不同字母代表不同的数，四位数8A1B能同时被5、6整除，问这个最小的四位数是。
3.七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。
4.四位数3AA1能被9整除，求A= 。
5.已知整数5A6A7A8A9A能被11整除，满足这个条件的整数A有。
6.七位数22A333A能被4整除，且它的末两位数字组成的两位数3A是6的倍数，A是。
7.在254的后面添上三个数字，组成一个六位数，使这个六位数能同时被4、5、6整除，那么添上的三个数字的和最小是。
8.在123的后面添上2个数字，组成一个五位数，使这个五位数能同时被3、5、7整除，那么这个五位数是。
例3、将一个长60分米、宽45分米的长方形铁皮剪割成若干个相同的小正方形铁皮，如果铁皮正好没有剩余，那么每个正方形的面积最大是多少平方分米？至少剪割了多少个正方形？例4、用一些长12厘米、宽8厘米的长方形，拼一个正方形，这个正方形的面积最小是多少平方厘米？最少要用多少个长方形？练习二1.将一个长40分米、宽24分米的长方形铁皮，剪割成若干个大小相同的小正方形铁皮，要求铁皮正好没有剩余，那么每个正方形的面积最大是平方分米，至少剪割了个正方形。
【五升六】小学数学奥数第13讲：最小公倍数-教案
六年级备课教员：×××第13讲最小公倍数一、教学目标： 1. 理解公倍数和最小公倍数的意义。
2. 把问题转化成求最小公倍数的问题。
3. 学会用分解质因数法求最小公倍数。
4. 假设推理能力得到提升。
二、教学重点： 1. 用分解质因数法求最小公倍数。
2. 培养学生假设推理能力。
三、教学难点：转换问题成求最小公倍数问题。
四、教学准备：PPT、卡片五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：大家喜欢玩游戏吗？生：喜欢。
师：今天我们来玩一个新游戏——抢倍数。
左边分为小5组，右边分为小7组。
师：规则和分组：有7张数字卡片，这些数字分别是5、6、9的倍数。
每组快速派一名代表上来。
其他学生共同商讨，只能拿一张。
拿到它们倍数最多的小组为胜。
（PPT出示）（卡片为25、30、45、54、90、108、120）师：请获胜的队伍来说说你为什么选择这个数？生：90既是5的倍数,又是6的倍数，还是9的倍数。
师：说的真棒！90既是5的倍数,又是6的倍数，还是9的倍数，这里我们把 90叫做5、6、9的公倍数，今天我们就来学习“最小公倍数”。
板书：最小公倍数二、探索发现授课（40分）（一）例题一：（10分）有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少？（PPT出示)师：同学们，我们先来看看除数和余数，它们有什么关系？生：除数和余数的差都是3。
师：不错，如果我们把这个数加上3后，这个“新数”能被10、7、4整除。
那么这个问题转换成什么了呢？生：求4、7、10的最小公倍数。
师：是！4、7、10的最小公倍数是多少呢？快拿出你们的笔算一算。
生：140。
师：回答得又快又正确，请这位同学来告诉老师是怎么算的？生：4、10是合数，先把它们分解成4=2×2,10=2×5，它们有最大公约数是2。
所以三个数最小公倍数是2×2×5×7=140。
奥数讲座-第十三讲 分解质因数
奥数讲座第一讲一般复合应用题第二讲和差、和倍问题第三讲差倍、年龄问题第四讲盈亏问题第五讲鸡兔同笼问题第六讲容斥原理第七讲植树问题第八讲方阵问题第九讲平均数问题第十讲行程问题（一）第十一讲行程问题（二）第十二讲数的整除第十三讲分解质因数第十四讲求因数个数第十五讲最大公因数和最小公倍数第十六讲余数问题第十七讲周期问题第十八讲尾数与平方数第十九讲奇偶分析第二十讲数列第二十一讲幻方和数阵第二十二讲一笔画第二十三讲分数应用题第二十四讲比和比例第二十五讲还原问题第二十六讲牛吃草问题第十三讲分解质因数2009年03月09日星期一下午 07:411、有四个不同质因数的最小自然数是多少？2×3×5×7=2102、把232323的全部质因数的和表示为AB，那么A×B×AB的积是多少？232323=3×7×13×23×37 3＋7＋13＋23＋37=83 8×3×83=19923、31÷（）=（）…… 7，要在算式的括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？31－7=24 24=2×2×2×3 2×2×2=8 2×2×3=12 3种4、六（1）班同学买了310本本子，如果分给每个同学相同数量的本子后还余下37本，问：六（1）班有多少个同学？310－37=273 273=3×7×13 39人5、有四个小朋友，年龄逐个增加1岁，四人年龄的乘积是360，问：其中年龄最大的一个是几岁？360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×66、某个院子里共有5个小朋友，每个小朋友的年龄都小于13岁，他们年龄的乘积是18480，这5个小朋友中年龄最小的最少是几岁？18480=2×2×2×2×3×5×7×11=4×6×10×7×11=8×6×5×7×11=2×12×10×7×11这5个小朋友中年龄最小的最少是2岁7、有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三人年龄数的乘积是1620，问这三个学生年龄各是多少岁？1620=2×2×3×3×3×3×5=9×12×158、在右面的算式里，四个小纸片各盖住一个数字，被盖住的四个数字之和是多少？1992=2×2×2×3×83=24×83 2＋4＋8＋3=179、将14、33、35、30、75、39、143、169八个数平均分成两组，使这两组的乘积相等。
五年级奥数分解质因数讲座及练习答案
五年级奥数集训专题讲座（四）——分解质因数把一个合数，用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。
我们课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。
其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题.例1:把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个,小于18个,一共有多少种不同的分法？分析:18的约数有1、2、3、6、9、18。
除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法.例2：写出若干个连续的自然数,使它的积是15120。
分析：先把15120分解质因数,进而组合因数，使几个因数成为连续的自然数。
15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7=5×（2×3）×（2×2×2)×（3×3）=5×6×7×8×9【巩固练习】:有四个孩子，恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的几岁？解：3024=2×2×2×2×2×3×3×3×7=8×6×9×7答：这四个孩子中年龄最大的是9岁。
例3：将2、5、×14、24、27、55、56、99八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等。
分析：14=2×7 24=2×2×2×3 27=3×3×3 55=5×1156=2×2×2×7 99=3×3×11 2 5可以看出，这八个数中，共含有八个2,六个3,二个5,二个7和二个11，如果要把这八个数分成两组且积相等，那么,每组数中应含有四个2，三个3，一个5,一个7，一个11。
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第13讲分解质因数
【专题精华】
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。
应用分解质因数的方法，能启发我们寻找解决难题的突破口，从而顺利解题。
【教材深化】
[题1] 一个两位数除1477余49，这个数可以是多少？
[敏捷思维] 一个两位数除1477余49，如果1477减去49，差一定能被这个两位数整除，然后把差进行分解，分解时必须注意这个两位数必须比余数49大。
<全解> 1477-49=1428
1428=2×2×3×7×17
这样的两位数有：3×17=51 2×2×17=68 2×2×3×7=84
答：这个数可以是51、68或84。
<拓展探究> 利用分解质因数解决此题，关键要注意所求的两位数一定要比余数大。
[能力冲浪]
1、5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？
2、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少？
3、有四个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们年龄相乘的积是360，其中年龄最大的一个是多少岁？
[题2] 班主任舒老师带领五（1）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知舒老师与学生共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。
这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？
<敏捷思维> 312=23×3×13
若取312=3×104，104为师生总人数，则每人种树3棵，但104-1=103不是3的倍数，与题目中条件不符。
若取312=6×52，52为师生总人数，教师1人，学生51人，学生人数是3的倍数，则每人种树6棵。
若取312=8×39，39为师生总人数，教师1人，学生38人，学生人数不是3的倍数，与题目中学生按人数恰好平均分成三组不符。
<全解>因此，这个班共有学生51人，每人种树6棵。
<拓展探究> 知道两个数的积，要求这两个数，只要把这个积分解质因数，再根据题目中的条件适当组合就可以了。
[能力冲浪]
1、班主任李老师带领三（三）班同学去种树，学生人数恰好平均分成3组，如果老师与学生每人种树一样多，共种572棵树。
那么这个班共有学生多少人？每人种多少棵树？
2、有3个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，他们年龄之积为2184，3个小朋友的年龄各是多少？
3、张爷爷今年84岁，他告诉邻居：“我家有3个孙子，他们三个年龄的乘积才有我这么大，而且这三个孙子中，有两个孙子的年龄的和正好是另外一个孙子的年龄。
”问这三个孙子各几岁？
【生活数学】
[题3] 在射箭运动中，每射一箭的环数是0（脱靶）或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数的积都是1764，但甲的总环数比乙的总环数多4环，求甲、乙两人的总环数各是多少？
<敏捷思维> 1764=9×7×7×4×1 1764=7×7×4×3×3
甲射的五箭环数是7环、7环、9环、4环、1环，乙射的五箭环数是7环、7环、4环、3环、3环。
<全解> 因此甲射的总环数是28环，乙射的总环数是24环。
<拓展探究>
将1764分解质因数1764=2×2×3×3×7×7，再经过试探组合成五个数的积，并且两组的和相差4，只有这两种环数是满足要求的。
[能力冲浪]
1、夏心怡是一名四年级的学生，她说：“这次考试，我的名次乘我的年龄再乘我的考试分数，结果是2910。
”你能算出夏心怡的名次、年龄与她这次考试的分数吗？
2、一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米。
那么，这个长方体的表面是多少平方厘米？
3、2002年哪几天，年数、月数、日数的乘积恰好等于120120？
[题4]饶向东用2.16元买一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。
问饶向东买了多少张画片？
<敏捷思维> 由题意可知，画片的单价×张数=216分。
它们乘积的质因数与216的
质因数相同。
我们可以先把216分解质因数，216=23×33=8×27=9×24，显然216分可以买8分的画片27张，也可以买9分的画片24张，所以饶向东买了24张画片27张，符合题意。
[全解] 饶向东买了24张画片。
<拓展探究> 解此题的关键是会把总价进行转化。
要明白画片的单价乘张数等于总价，然后再根据分解的质因数适当组合就行了。
[能力冲浪]
1、一个质数加上6或者减去6得到的数仍是质数，在50以内有多少个这样的质数。
2、自然数a乘2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？
3、把750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的钱正好是得钱人数的12倍。
求获奖人数和每人分得的钱数。
【感受奥赛】
[题5]把若干自然数1、2、3、……乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？
<敏捷思维> 因为这个乘积末尾零的个数都是由这个数质因数中2的个数及5的个数决定的，所以要使乘积值末尾有13个零，就必须要13个因数2和13个因数5，显然，在若干个连续自然数中，2的个数比5的个数多，因此，只要凑够5的个数就行了。
<全解>在5、10、15、20中各含有一个因数5，25中含有两个因数5；30、35、40、45中各含有一个因数5，50中含有两个因数5；55含有一个因数5，即有13个5，因而最后出现的自然数最小应该是55。
<拓展探究> 积的末尾0的个数是由2和5的个数决定的。
[能力冲浪]
1、如果要使连乘积“745×32×20×a”算式积的末五位数都是0，a应填入的自然数最小应是。
2、把若干个自然数1、2、
3、
4、……乘在一起，如果已知这个乘积的最末十三位数恰好都是零，那么最后出来的自然数最大应该是几？
3、1×2×3×4×5×……×99×100的积的末尾连续有多少个的零？
13、分解质因数提高篇
1、扬长小学五（2）班同学在班主任饶老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生种树一样多，共种了1073棵。
那么平均每人种了多少棵树？
2、一个数a与60的乘积为完全平方数，求a的最小值和这个完全平方数。
3、有1、2、3、
4、
5、
6、
7、
8、9九张牌，甲、乙、丙三人各拿了三张。
甲说：“我的三张牌的积是48。
”乙说：“我的三张牌的和是15。
”丙说：“我的三张牌的积是63。
”问他们各拿了哪三张牌？
4、要使4个数的积175×72×225×□的结果的最后六位数都是零，问□中的数最小填入几？
5、有3个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，而且3个数的乘积是15400。
试求这3个自然数。
6、已知五个数依次是13、12、15、25、20。
它们每相邻的两个数相乘得到四个数，这四个数每相邻两个相乘得到三个数，这三个数每相邻两个相乘得到两个数，这两个数相乘得一个数，请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到几个0？
7、心怡和张颖计算甲、乙两个大于1的自然数的乘积，心怡把甲数的个位数字看错了，得乘积473，张颖把甲数的十位数字看错了，得乘积407。
那么甲、乙两数的乘积应是多少？
8、把111222个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多1，这个长方阵每一横行有多少棋子？
9、将下面八个数分成二组，每组4个数，要求各组4个数的乘积相等：14，33，35，39，30，75，143，169。
10、武汉东湖公园用几条船分5次将150名游客渡过河去，已知每次船载的人数相等且至少载2人，每次应用多少条船？每条船载多少人？（2006年武汉某重点中学招生试题）。