用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
巧用几何画板探索椭圆轨迹
（ 斛÷） ＾ ２ ２
方程。
教师 ： “ 以上解法是很典 型的。这里设点Ａ、 的 坐标 ， 但 并不需要求出 ， 只是利用Ａ、 曰 的坐标进行过 渡 。这是解析几何 中常用 的一种求轨迹方法——设 而不求 。 寻找动点之 间的关系是求轨迹问题的关 键。 还有其他解法没有？”
２
看 一个具体 的例子 ： 如图 １ ， 过 椭 圆 ＋ ＝ １ （ 。 ＞ ６ ＞
ａ ｚ ｂ
教师： “ 点Ｐ 与Ａ、 Ｂ 两点的坐标的关系怎样 ？” 学生 ： “ 根 据 中点 坐 标 公 式 得 到 ：ｘ ｌ ＋ Ｘ ２， ｖ ：
２ ｙｌ ＋ ） ， ２ ， ，
一
ｆ Ｆ 严
＼ 、 ．
／
，
＼ ～
图３ 图４ “ 猜猜看 ， 点Ｊ Ｐ 的轨迹是什么？” 不少学生 已经利用几何画板演示 了出来 ：拖 动 主 动 点 Ａ， 得到点Ｐ 的轨迹 是一个 小椭 圆 ， 并 且 这 个
小椭圆的长轴是线段０ 即半焦距 。（ 如 图４ ）
２ ２
于 是 有 二 ： 一 ． — Ｘ ｌ ＋ — ｘ ２ 一娑 ： ｋ ： ＿ ｌ ｙ ＿ ， ｒｘ ２ ， ２ ， Ｘ ＋Ｃ
化简得—— 一＋ —Ｌ ： １ ， 此 即为所求 的轨迹
（ ＿ ｃ ＿ ） ｚ （ ｃ） ｂ ｚ
２ ２０
方 程 。”
，
ｉ
图 １
一 ／
图 ２
；
“ 有ｋ ： ￣ Ｙ ｌ － ｙ， 还有 ： ， ｌ。”
Ｘｌ －Ｘ２ Ｘ＋Ｃ
“ 如何 得 ￣ ｌ Ｊ Ｙ Ｉ － Ｙ ２ ７”
Ｘ１ － Ｘ２
几何画板演示 ：拖动 主动点Ａ在椭圆上转动 或 制作点Ａ 在 椭圆上运动 的动画按钮 ， 跟踪 点Ｍ， 得 到 点Ｍ的轨迹是一个小 圆。如 图２ ， 怎样求 出这个小 圆
数学中常用几何画板绘制椭圆
数学中常⽤⼏何画板绘制椭圆圆锥曲线是⾼中数学的重点和难点，也是历来⾼考的必考内容，所以对于⾼中⽣来说，弄懂圆锥曲线这块难啃的⾻头，是很有必要的。
其中要熟练掌握的圆锥曲线之⼀就是椭圆，它是圆锥与平⾯的截线，其实要想画出椭圆，其⽅法不⽌⼀种，下⾯就⼀起来通过学学椭圆的五种画法。
⽅法⼀、利⽤椭圆第⼀定义构造椭圆椭圆第⼀定义：平⾯内到两个定点的距离之和等于定长2a（a>0）的点的轨迹就是椭圆，按照此定义可画出椭圆，具体步骤如下：1.单击“圆⼯具”，在画板的适当位置任意画⼀个圆，将圆⼼的标签改为F1。
单击“点⼯具”，在圆上任意画⼀点C，同时选中点F1和点C，执⾏“构造”-“线段”命令，构造出线段F1C。
单击“点⼯具”，在线段F1C任意画⼀点F2。
2.在圆上任意画⼀点E，并构造线段EF1和线段EF2。
选中线段EF2，执⾏“构造”-“中点”命令，构造线段EF2的中点F。
3.选中线段EF2和点F，执⾏“构造”-“垂线”命令，构造出线段EF2的垂直平分线j。
同时选中线段EF1和直线j，选择“构造”-“交点”命令，构造线段EF1和直线j的交点G。
4.选中点G和点E（把点E称做是点G的相关点，改变G点的位置，点E的位置也跟着改变），选择“构造”-“轨迹”命令，可画出椭圆。
拖动点B 和点F2可改变椭圆的形状。
⽅法⼆、利⽤椭圆第⼆定义画椭圆椭圆的第⼆定义：设动点M（x， y）与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l： x＝a2/c的距离的⽐是常数（a>c>0），则点M的轨迹是椭圆。
点F 是椭圆的⼀个焦点，直线l是椭圆中对应于焦点F的准线，常数e＝c/a（0<e<1）。
具体的操作步骤如下：步骤⼀打开⼏何画板，使⽤“点⼯具”画任意⼀点F，使⽤“线⼯具”画直线L（点F不在L上）。
过点F作⼀条直线，在直线上取⼀点P；步骤⼆选中点F、P执⾏“度量”--“距离”命令，度量FP的长度；选中点F和度量的FP的长度，执⾏“构造”--“以圆⼼和半径绘圆”构造以点F为圆⼼，FP为半径的圆。
信息技术应用用几何画板探究点的轨迹椭圆
班级： ____________姓名：____________学号：____________一、知识回顾1．短轴长为8，离心率为3的椭圆两焦点分别为F1、 F2，过点F1作直线l交椭5圆于 A、B 两点，则ABF 2的周长为.2．点 P 与定点 F（2,0）的距离和它到定直线x 8 的距离之比是 1:2，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
二、探索新知1.用《几何画板》探究动点 M 的轨迹探究 1：F是定点，l是不经过点F的定直线，动点M到定点F的距离和它到定直线 l 的距离的比e是小于 1 的常数，观察动点 M 的轨迹；探究 2：在0 e 1的范围内，改变e的大小，或改变点F与直线l的相对位置，观察动点 M 的轨迹变化。
2.椭圆的第二定义若点 M ( x, y) 与定点F的距离和它到定直线l 的距离的比是常数e（0 e 1），则点 M 的轨迹是一个椭圆。
定点 F叫，定直线 l 叫。
设椭圆 x 2y 21上任一点 M ( x, y) ，焦点坐标为 F ( c,0)(c 0) 。
a 2b 2问题 1：你能否将椭圆上一点 M(x,y)到焦点F (c,0)( c0) 的距离表示成点M横坐标 x 的函数？|MF |(x c) 2y 2解：2y2代入消去 y 2得：x1a 2b 21问题 2：你能推导出对应焦点 F (c,0)(c0) 的准线方程吗？x a2表示点 M(x,y)到定直线的距离，故准线方程为。
c推广：（ 1）对于椭圆x2y 2 1 ，相应于右焦点 F (c,0)的是右准线，方程是，a 2 b 2根据对称性，相应于左焦点 F ( c,0) 的是左准线，方程是。
（2）对于椭圆y2x 2 1 的准线方程是．a 2b2问题 3：点 M到焦点的距离和它到对应准线的距离之比的常数 e 是什么？MFd3.离心率的几何意义：椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比。
三、应用举例例 1、求椭圆x2y21的右焦点和右准线；左焦点和左准线；25162例 2、椭圆x2y21上的点M到左准线的距离是 2.5 ，求M到右焦点的距离；2516例 3、已知点M为椭圆x2y21的上任意一点， F1、 F2分别为左右焦点；2516椭圆内有一点 A(1,2)，求|MA|5| MF1 |的最小值。
利用几何画板研究直线与椭圆的位置关系
利用《几何画板》研究“直线与椭圆的位置关系”教学目的本课主要是说明在一次研究性学习活动中，借助于几何画板来进行数学实验，使学生顺利的完成了观察、发现、猜想、论证这样几个步骤。
借助于多媒体信息技术进行数学实验，不仅可以使教学活动变得形象生动，提高教学质量，最重要的是可以激发学生的学习兴趣，培养学生创新思维，提高发现、猜想能力，使学生真正成为富有创新思想，具有创造力的人才。
学情分析数学研究性学习是在教师的指导下，以学生所学知识和学生的自主性、探究性学习为基础，采用类似于科学研究的方法，促进学生创新发展的一种新型学习方式。
旨在通过学生亲身实践获取直接经验，养成科学精神和科学态度，掌握基本的科学方法，提高综合运用所学知识发现问题和解决实际问题的能力。
常规教学过程中，大都是教师传递前人的经验和规律，教授固定的解题方法，让学生死记硬背公式和规律，虽然短期内效果明显，然则不利于培养学生善于发现问题、解决问题的能力，不利于培养其自主、创新的精神，不利于培养现代社会急需的创新型人才。
而中学生学习较忙，因此，教师可以充分挖掘新教材，去挖掘出“值得研究”的问题，作为研究的课题，指导学生在课堂上进行研究，这样，在一定意义下，能更好实现研究性学习的目的，解决素质与应试的矛盾。
数学是一门科学，含有观察、实验、发现、猜想等实践部分，尝试、假说、度量和分类是数学家常用的计巧，这些也应是教学中必须有的。
由于传统教学模式是粉笔+黑板，因此，学生应有的观察、实验、发现、猜想等实践部分，就被教师滔滔不绝的讲解所替代。
学生呢？犹如进电影厅看电影一样，整个过程很顺畅，但没有机会、没有认真地思考过问题，所以，当他们遇到一些虽简单的问题的时候，就显得手无举措，求助与教师。
这样的教学模式搞研究性学习显然是不行的。
要想把数学研究性学习开展好，就必须进行数学实验，但传统意义上的数学实验显然不能满足需要。
因此，多媒体进入课堂就成为必然。
目前能够提供数学实验的软件比较少，但是“几何画板”及“立体几何画板”这两个数学实验教育软件的介入，将使得传统教学发生很大的变化。
几何画板与椭圆曲线教学整合案例论文
几何画板与椭圆曲线教学整合案例摘要：几何画板是理科教学比较成熟的教育软件平台，为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境，能把比较抽象的几何图形形象化，使静态图形动态化、抽象的概念形象化、枯燥的内容趣味化，促进学生发现、提出、探究和解决问题的能力，提高学生表达、交流及使用信息技术的能力。
关键词：几何画板圆锥曲线整合【案例叙述】圆锥曲线的知识点是高考中的重中之重，考点主要放在圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和求解轨迹方程等。
同时，圆锥曲线的考查也是高中教学的一个难点，原因是圆锥曲线研究的主要对象是图象与方程之间的关系，我们既可以通过方程来研究图象的性质，又可以通过图象来研究方程。
对于圆锥曲线知识，我们应采用什么样的教学方式，才能让学生学好和掌握这一知识？对于圆锥曲线的教学，老师们都有这样的共识，利用传统教学方式存在以下问题：（1）在讲解过程中，教师只能通过一系列枯燥无味的推导、论证然后给出结论；面对这一系列的推导、证明，学生既难理解，又很容易遗忘。
（2）仅仅利用粉笔和黑板，教师既不能呈现出圆锥曲线的整个生成过程，又很难用数形结合的思想帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质。
（3）面对大量圆锥曲线的作图及知识点的机械验证，教师既费时、费力，又难以用图象的动态模拟去直接验证每一个结论的正确性。
运用几何画板，可以将圆锥曲线的生成过程直观地呈现出来，有利于学生用数形结合的思想进行学习。
同时，也可以让他们观察图形的变化过程，提出猜想，并在老师的指导下给出证明，然后运用几何画板直接验证结论的正确性。
这个过程，一方面可以帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质，体现出了新课改下探究式学习的原则；另一方面又能很好地激发学生的学习兴趣及积极性。
【实例制作及应用】题目：椭圆及其性质课件使用方法：（1）利用课件1，如图（1）所示，双击a=3.00及b=2.00输入椭圆的长半轴及短半轴的值，可以得到我们想要的椭圆，同时也可以看到相应椭圆的离心率及准线方程的值。
几何画板极坐标方程生成椭圆
几何画板极坐标方程生成椭圆在几何学中，椭圆是一种典型的几何图形。
通过极坐标方程，我们可以简洁而优雅地描述椭圆的形状和特性。
本文将介绍几何画板的极坐标方程生成椭圆的原理和应用。
几何画板是一种用于绘制几何图形的工具，它通过连接直线、曲线和点来构造图形。
几何学中的一大突破是引入了极坐标系，它以极径（r）和角度（θ）来描述点的位置。
椭圆的极坐标方程可以表示为：r = a(1 - ε²) / (1 - εcosθ)其中，a代表椭圆的长半轴长度，ε代表离心率。
离心率决定了椭圆的形状，当0 < ε < 1时，椭圆的形状更加扁平；当ε = 0时，椭圆变为圆形；当ε > 1时，椭圆的形状更加拉长。
通过几何画板的极坐标方程，我们可以得到一系列点的坐标，进而绘制出椭圆的形状。
以椭圆的长半轴长度为5，离心率为0.8为例，我们可以计算并绘制出椭圆的形状。
首先，选择一系列角度θ的取值，比如0°到360°，并计算对应的极径r。
根据极坐标方程，可以通过插入不同的θ值来计算得到相应的r值。
接下来，将计算得到的点连接起来，就可以得到椭圆的形状了。
在实际应用中，几何画板的极坐标方程生成椭圆有着广泛的应用。
比如，在卫星轨道设计中，可以利用椭圆的极坐标方程来描述卫星的运行轨迹，帮助人们预测卫星的位置和轨迹。
同时，在建筑设计中，椭圆的极坐标方程也可以用来设计独特的建筑形状，赋予建筑物以艺术感和美感。
此外，对于学习者来说，几何画板的极坐标方程生成椭圆也是一个有趣且有启发性的实践项目。
通过亲自计算和绘制椭圆的形状，学习者可以更好地理解极坐标系和椭圆的几何特性，提升几何学习的兴趣和能力。
当然，在实际应用中，我们也可以利用计算机软件和数学建模工具来生成椭圆，以获得更加准确的结果。
不过，通过几何画板的极坐标方程生成椭圆的方法，更加直观和可视化，有助于加深对于几何学概念的理解和应用。
总的来说，几何画板的极坐标方程生成椭圆是一种简洁而有趣的方式，能够帮助我们描述和理解椭圆的形状和特性。
人教版A版高中数学选修1-1第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆 信息技术应用《几何画板》探究点的轨迹---椭圆教
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a>b>0)
y2 a2
+
x2 b2
=1(a>b>0)
3.椭圆的几何性质：
e c (0 e 1) a
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
概念重温
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内 一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与 OM交于点P，则点P的轨迹是
课课件件名 名
用《几何画板》探用究《几点何画的板》轨探迹究点：的轨椭迹：圆椭圆
焦半径公式：
焦点在x轴：｜MF1| = a + ex , 左加右减
|MF2| = a - ex
焦点在y轴：｜MF1| = a + ey , 下加上减
|MF2| = a - ey
课课件件名 名
用《几何画板》探用究《几点何画的板》轨探迹究点：的轨椭迹：圆椭圆
椭圆的第二定义
1、定义：平面内到一个定点F和一条定直线 l
（F不在 l上） 的距离的比为常数e(0<e<1)的点
M的轨迹，叫椭圆。定点F叫焦点，定直线 l 叫准 线。
2、定义式：
_|_M___F__1_|_ d1
=e
_|_M___F__2_|_ d2
=e
左对左，右对右
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
椭圆的方程与准线方程
x2 a2
+
y2 b2
=1
左对左，右对右
右准线 方程：
x=
a2 c
左准线 方程：
x=-ac2
左准线 左准线 右准线
几何画板椭圆第一定义的模拟实验步骤
几何画板椭圆第一定义的模拟实验步骤
以下是模拟实验椭圆第一定义的步骤：
1. 准备实验材料：一张几何画板、一支铅笔和一根细线。
2. 在几何画板上找到一个合适的中心点，并用铅笔在该点做一个小标记。
3. 使用针将细线的一端固定在几何画板上的中心点上。
4. 用铅笔将细线的另一端固定在画板上适当的位置，确保线条拉直，并且线长稍长于几何画板的两个半径之和。
5. 将铅笔以一定的角度保持固定，然后将细线沿着画板来回移动，绕着中心点旋转线条。
6. 在细线被拉挺的同时，保持细线与铅笔尖端的距离始终不变。
7. 观察细线运动时留下的痕迹，这些痕迹将形成一个闭合的曲线。
8. 这个曲线即为椭圆。
根据椭圆的定义，椭圆是平面上所有距离到两个固定焦点的距离之和恒定的点的轨迹。
这个模拟实验能够帮助你直观地理解椭圆第一定义，即两个焦点和椭圆上所有点到这两个焦点距离之和的恒定关系。
参与实验的过程可以帮助你更好地理解和记忆椭圆的特征。
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人教版本数学学科高二年级选修1-1第二章2.1椭圆
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
明光市明光第二中学 郑伟
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
回顾
我们在前面学习了椭圆的哪些知识
求曲线方程的方法步骤?
建系 设点 列式 代化
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
引例
x2
y2
若方程
1
m2 (m 1)2
表示准线平行于
x轴的椭圆，求m的取值范围。
2018年安徽省第三届一师一优课大赛 2018年安徽省第三届微课大赛
联系信箱：704531508@
x a2 c
相应于焦点F‘(-c.0) 准线方程是 x a 2
c
对于椭圆
y2 x2 a2 b2 1
焦点F（0,c)准线方程是
相应于焦点F‘(0,-c) 准线方程是
y
a2
c,
y a2 c
2.常数 e c a
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
思考
若点M(x,y)与定点F（c,0）的距离和 它到定
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
平方化简
(x c)2 y2 c
a2 x
a
c
M（x,y）与F（c,0）的距离
M (x, y)与直线x a2 的距离 c
离心率e
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
结论2
1.对于椭圆
x2 a2
y2 b2
1
焦点F（c,0)准线方程是
回顾小结
本节课你学习了哪些知识？
本节课你接触了哪些数学思想？
课件名
练习
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
1 椭圆 x2 y2 1 上有一点p到右准线的 100 36
的距离是10 ，求点P到左焦点F的距离。
2 已知椭圆满足：e=0.5，右准线方程为x=4，求椭 圆的标准方程。
课件名
思考
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
直线
x
a 2 的距离的比是常数
c
e
c a
（a>c>0）
求点M的轨迹方程？ 学生课后求解
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
应用
例1.已知椭圆
x a
2 2
y2 b2
1的右焦点Fc,0, 椭圆上任一点M (x0, y0 )
求：MF 的最大值，最小值，并求取的最值时M的坐标？
解:由椭圆的第二定义可得MF e，所以MF d e d
几何画板探究M的轨迹
发现：M的轨迹是椭圆
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
结论1
椭圆的第二定义：
F不在L上
1、定义：平面内到一个定点F和一条定直线 l
的距离的比为常数e(0<e<1)的点M的轨迹，叫椭圆。 y
定点F叫焦点，定直线 l 叫准线。
M•
椭圆左焦点F1，对应左准线l1 ， 2 椭圆右焦点F2，对应左准线l2l
因为d a2 c, e c
c
a
解得MF a ex0
由x0 a, a,解得MF a c, a c
所以当M(-a,0)时MF最大，最大值是a+c
所以当M(a,0)时MF最小，最大值是a-c
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
拓展
焦半径公式：
焦点在x轴：｜MF1| = a + ex , |MF2| = a - ex
例3、设椭圆的左焦点为F，AB为过焦点F的弦， 证明：以AB为直径的圆与左准线相离。
解： AA1
AF e
, BB1
BF e
l A1
A
y
AA1 AF, BB1 BF
N
AA1 BB1 2O1N
O1
F
O
x
AB AF BF 2r O1N r
B1 B
直线与圆相离
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
•
F1
o F2
l1
N
x
l2l
2、定义式： | MF1 | e
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
问题
椭圆的准线方程与常数e分别是什么？
解：由椭圆定义 MF1 MF2 2a (2a>2c)
代入坐标 MF1 (x c)2 y2 , MF2 (x c)2 y2
1： 点M（x,y)与定点F（4，0）的距离和它到定直线
l:
x
25 4
的距离的比为
4 5
，求点M的轨迹.（课本41页例6）
2：点P与定点F（2，0）的距离和它到定直线l: X=8
的距离的比为1:2,求点M的轨迹.（课本43页B组第2题）
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
探究
F是定点，l是不经过F的定直 线，动点M到定点F的距离和它 到定直线l的距离比e是小于1的 常数。猜想M的轨迹是什么？
焦点在y轴：｜MF1| = a + ey , |MF2| = a - ey
左加右减 下加上减
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
例2、若椭圆：x2 y2 1内有一点P（1，－1），F为 43
右焦点，椭圆上有一点M，使｜MP｜＋2｜MF｜
值最小，求：点M的坐标。
解析
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆