与椭圆有关的轨迹问题.
椭圆定义在一些数学问题中的应用——以轨迹方程、三角形、立体几
分别为 an ,bn , cn ， ∆An BnCn 的面积为 Sn ， n = 1, 2, 3, ，
b1
>
c1 ， b1
+ c1
=2a1 ， an+1
=
an ， bn+1
=
cn
+ an 2
，
cn+1
=
bn
+ an 2
，则 (
)
A. {Sn} 为递减数列
B. {Sn} 为递增数列
C. { } S2n−1 为递增数列 , {S2n } 为递减数列
椭圆定义中包括定点、定量等多方面联系，利用这 种联系可以将椭圆上任意一点到两定点的距离有机联系 在一起，可将其中一个量转化为另外一个量研究 [1]。
应用定义求方程是求曲线方程的一种重要方法，它 是在根据题意求曲线形状的情况下确定量的关系，进而 得出方程的形式。需要注意，在求出方程后要验证是否 有不符合条件的点存在。
椭圆定义在一些数学问题中的应用
——以轨迹方程、三角形、立体几何、数列为例 周培祥
（安徽合肥一六八中学，安徽合肥 230601）
JIAOXUE ANLI
教学 案例
摘 要：笔者通过对几类与椭圆定义知识有关的数学问题的研究，引导学生思考利用椭圆定义相关知识来探究解决问题
的数学本质，从而激发学生对知识应用的求知欲和探索欲。
作品，才能切身享受学习语文的无穷乐趣，为全面提高课堂教学效率创造有利条件。
关键词：语文阅读；问题；“学的活动”
中图分类号：G427
文献标识码：A
文章编号：2095-624X（2019）35-0090-02
引 言 学好语文不仅要使学生夯实鉴赏能力的基本功，而 且 要 注 重 培 养 学 生 的 实 践 能 力， 这 是 提 高 学 生 语 文 核 心素养的关键环节。正如我国教育家张志公先生曾经指 出：“语文课应该上成语文活动课。”可见，在初中语 文阅读教学中，教师只有巧妙地设计“学的活动”，才 能让学生在活动中走进作品、分析作品和感悟作品，才 能切身享受学习语文的无穷乐趣，为全面提高课堂教学 效率创造有利条件。 一、初中语文阅读教学中存在的突出问题 语数外三门主科在中考中各占据 150 分，无论是学 生与家长，还是教师与学校，都非常重视学科教学的革 新，并取得了令人瞩目的教学成果。但由于受应试教育 制度、教师实绩与报酬挂钩的影响，片面追求平均分、
轨迹问题方法与例题大全
轨迹问题一、什么是轨迹？轨迹就是目标点的横纵坐标之间的一个等量关系 二、求轨迹的一般方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。
三、注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。
在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
3．求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第二课时与椭圆有关的轨迹问题
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预习教材，思考问题 问题1 椭圆是如何定义的？ 问题2 椭圆的标准方程是如何推导的？
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[预习自测]
1．(多选)下列说法中正确的是( AC )
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的 点的轨迹是线段
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课时作业 巩固提升
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又点 P 在椭圆x42＋y82＝1 上， 所以24x2＋28y2＝1， 即中点 Q 的轨迹方程为 x2＋y22＝1.
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利用定义法解决与椭圆有关的轨迹问题
定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件， 看 所求动点轨迹是否符合 椭圆 的定义．若符合椭圆的定义，则用 _待__定__系__数__法___求解即可．
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第二课时 与椭圆有关的轨迹问题
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[学习目标] 1.了解求曲线轨迹方程的三种方法：定义法、直接法、代入法． 2.初步解决与椭圆有关的轨迹问题．
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必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升
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[解析] 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，则点 D 的坐
标为(x0,0)．由点 M 是线段 PD 的中点，得 x＝x0，y＝y20.
因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，所以点 P 的坐标满足圆的方程，即 x20＋y20＝4.① 把 x0＝x，y0＝2y 代入方程①，得 x2＋4y2＝4， 即x42＋y2＝1，
怎样运用椭圆的定义求解与椭圆有关的轨迹问题
而h ′1()x =12x，h ′2()x =-2x .由h ′1()x 0=h ′2()x 0得-12x 20=-2x 0，解得x 0，y 0=，所以p èø，则m =èø2+.画出h 1()x=12x和h 2()x =-x 2+m 的图象，如图1、2、3所示.由图可知，当m时，两个函数图象有1个交点；当m =时，两个函数图象有2个交点；当m 时，两个函数图象有3个交点.即当m >时，方程有1个根；当m =时，方程有2个根；当m 时，方程有3个根.将原方程解的个数转化为两个函数h 1()x =12x和h 2()x =-x 2+m 的交点的个数.而两个函数一定一动，确定两个函数图象相切时的位置，便可确定两个函数图象交点的个数.利用导数的几何意义便可求得切点的坐标，进而得到两图象相切时m 的取值.函数、方程之间的联系紧密.在解答含参方程问题时，我们要注意将问题转化为函数问题来求解，利用导数法、函数的图象来分析、解答问题.这样不仅能拓宽解题的思路，还能有效地提升解题的效率.(作者单位:江西省赣州市赣县中学)图1图2图3求解圆锥曲线轨迹问题的方法有很多，比如定义法、直接法、相关点法（或叫代入法）、参数法等.对于与椭圆有关的轨迹问题，我们也同样可以运用这些方法来求解.其中定义法是应用范围最广、使用频率最高的一种方法.而椭圆的定义有三种:第一、二、三定义,本文重点探讨如何运用椭圆的这三个定义来求解与椭圆有关的轨迹问题.一、椭圆的第一定义椭圆的第一定义：平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.在求解与椭圆有关的轨迹问题时，我们可以直接套用椭圆的第一定义，寻找动点到两定点的距离之和，然后建立关系式,即∣F 1F 2∣=2c ,|PF 1|+|PF 2|=2a ,得到椭圆的焦距、长轴长，进而求得曲线的轨迹方程.例1.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，M 为椭圆上的一个动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是（）.A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：不妨设椭圆C 的右焦点为F 2，根据椭圆的第一定义不难得到：|PF 1|+|PO |=12(|MF 1|+|MF 2|)=a >c ,根据椭圆的第一定义可知点P 的轨迹是椭圆.解：设椭圆C 的右焦点为F 2，坐标原点为O ，由椭圆的定义得|MF 1|+|MF 2|=2a >2c ，则|PF 1|+|PO |=12(|MF 1|+|MF 2|)=a >c ，则点P 的轨迹是以F 1、O 为焦点的椭圆，故本题答案为B 项.二、椭圆的第二定义圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e 的点的轨迹，其中定点为焦点，定直线为准线.当0<e <1时该曲线为椭圆；当e =1时该曲线为抛物线；当e >1时该曲线为双曲线.椭圆的第二朱园娇章长红解题宝典39解题宝典定义将焦半径的长度转化为到准线的距离，突出曲线上动点的横坐标.在解题时，我们只需要明确准线的位置和椭圆上的动点的横坐标，便可使问题得解.例2.已知点P 是正四面体V -ABC 侧面VBC 上一点，且点P 到底面ABC 的距离与它到顶点V 的距离相等，则动点P 的轨迹（）.A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分解：过P 作PD ⊥平面ABC 于D ，过D 作DH ⊥BC 于H ，连接PH ，如图1，由题意可得BC ⊥平面DPH ，所以BC ⊥PH ，故∠PHD 为二面角V -BC -A 的平面角，令其为α，则在Rt△PDH 中，||PD :||PH =sin α，又点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，即||PV =||PD ，所以||PV :||PH =sin α<1，所以在平面VBC 中，点P 到点V 的距离与到直线BC 的距离之比为sin α<1，由椭圆的第二定义知P 点的轨迹为椭圆在平面VBC 内的一部分．解答这个题目的关键是作出并求得点P 到底面的距离.通过添加辅助线，设二面角V -BC -A 为α，由二面角的定义可得点P 到点V 的距离与定直线BC 的距离之比为一个常数，根据椭圆的第二定义即可得到问题的答案.三、椭圆的第三定义椭圆的第三定义也叫椭圆的斜率积定义，是指平面内动点到两定点A 1(a ,0)和A 2(-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.其中两定点为椭圆的顶点.椭圆的第三定义将斜率的乘积作为主要关系，那么我们在解题时可以根据斜率的这种关系来进行求解.例3.设P 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的动点，F 1,F 2为椭圆的两个焦点，I 为△PF 1F 2的内心，求点I的轨迹方程．解析：由于本题是与焦点三角形的内切圆有关的问题，所以要依据分割图形的面积来寻找圆的半径和三角形三边之间的关系.由内心I 是动点，F 1和F 2是两个定点，我们可联想到椭圆的第三定义，结合这两个关系式得到IF 1与IF 2的斜率之积是一常数，根据椭圆的第三定义就不难发现并求得点I 的轨迹方程.解：如图2，设内切圆I 与F 1F 2的切点为H ，半径为r ，且设F 1H =y ，F 2H =z ,PF 1=x +y ,PF 2=x +z ,c =a 2+b 2，则{y +z =2c ,2x +y +z =2a ,所以直线IF 1与IF 2的斜率之积为k IF 1∙k IF 2=-IH 2F 1H ∙F 2H=-r 2yz ，而根据海伦公式可得△PF 1F 2的面积为()x +y +z r =xyz ()x +y +z ，因此k IF 1∙k IF 2=-x x +y +z =-a -ca +c .根据椭圆的斜率积定义可得I 点的轨迹是以F 1F 2为长轴，离心率为e 的椭圆，其标准方程为x 2c 2+y 2a -c a +c∙c 2=1()y ≠0.我们知道，椭圆中有个重要的结论：椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上任意一点到椭圆长轴的两个端点的斜率之积等于-b2a2.椭圆的第三定义是这个结论的逆命题.因此，对于椭圆中与角度、斜率有关的问题，我们都可以利用椭圆的第三定义，根据椭圆中与角度、斜率建立关系式，求得椭圆的方程.以上三个题目分别借助椭圆的第一定义、第二定义、第三定义求解与椭圆有关的轨迹问题.在解题过程中，我们要学会依据题意，结合图形，紧扣椭圆的三个定义对题目中的条件进行转化，比如，例1是根据椭圆的第一定义将中位线转化为动点到两定点的距离之和，例2是根据椭圆的第二定义，将点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离之间的关系转化为点P 到点V 的距离与到直线BC 的距离之比，例3是根据椭圆的第三定义，将圆的半径和三角形三边之间的关系转化为k IF 1∙k IF 2.通过转化便可建立动点满足的等量关系式，联系椭圆的定义，从而达到解答与椭圆有关的轨迹问题的目的.(作者单位:江西省余干第一中学)图1图240。
与椭圆有关的轨迹方程的求法
与椭圆有关的轨迹方程的求法一.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，可用定义直接探求.例1：已知两圆169)4(:221=+-y x C ，9)4(:221=++y x C ，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式 解：设动圆圆心),(y x M ，半径为r 如图所示，由题意:圆Ｍ内切于圆C 1，∴r MC -=131， 圆Ｍ外切于圆C 2 ，∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ,∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且82,162==c a ，48222=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x 。
例2．在周长为定值的ABC ∆中,已知|AB |6=，且当顶点C 位于定点P 时,C cos 有最小值为257，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程. 解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,设 )3(2>=+a a CB CA 为定值，则C 点的轨迹是以B A ,为焦点的椭圆， 焦距62==AB c ，因为：1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥， 由题意得 25,25718122==-a a，此时，PB PA =，P 点坐标为)4,0(±， 所以C 点的轨迹方程为：)0(1162522≠=+y y x 。
例3．已知圆16)1(:22=++y x B 及点)0,1(A ，C 为圆B 上任一点，求线段AC 的垂直平分线l 与线段BC 交点P 的轨迹方程。
专题39 椭圆知识点和典型例题(解析版)
专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上焦点在轴上 图形标准方程 范围且 且 顶点、、、、轴长 短轴的长长轴的长焦点 、、焦距对称性 关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点 【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
_解决一类椭圆切线有关的轨迹问题的策略探究——以2014年高考数学广东卷文_理科第20题为例
解 题 研 究J I E T I Y A N J I U解决一类椭圆切线有关的轨迹问题的策略探究—以 2014 年高考数学广东卷文 / 理科第 20 题为例赵银仓 （广 省 莞市 莞中学）摘要：从不同 面 的两条切 相交 生的交点 迹 展开分析， 找适 学生思 的表征方式，突破 的障碍， 化解决的策略，以提高学生分析 与解决 的能力及思 能力.关键词： 切 ； 迹 ；策略探究2014 年高考数学广东卷文 / 理科第 20 题：已知椭圆 C ： x 2 + y 2= 1（a > b > 0）的一个焦点为（姨5 ，0），a 2b 2离心率为 姨5.3（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若动点 P （x 0，y 0）为椭圆 C 外一点，且点 P到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程.立二者的方程，减元化 一元二次方程利用判 式 0 来化. 因此 用恰当的方式表示切 的方程，在已知切 点 P 的情况下， 其斜率是常用策略.解法 1：当过点 P （x 0 y 0， ）的两条切线斜率存在时， ） 则切线方程可统一设为 y - y 0 = k （x - x 0 .x 2 y 22 2联立椭圆方程 + = 1，消去 y ，得（4 + 9k ）x +9 4 （ （ 2）- 36 = 0.18k y 0- kx 0）x + 9 y 0- kx 0判别式2 22（22= 18 k （y 0））［（）-- kx- 36 4 + 9k y 0- kx 04］= 0，化简，得（y 0 - kx 0）2 - 9k 2 - 4 = 0，即（x 20 - 9）k 2 - 2x 0y 0k + y 20 - 4 = 0.y 2- 4 依题意，得 k 1·k 2 == -1，x 20 - 9这是关于椭圆的两条切线相交产生的交点轨迹问 即 x 02 + y 02 = 13.题，绝大多数学生不能有效地表征问题，找不到合理当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图象的解决途径，或有一点思路却无法实施解题计划. 下 （ 略） 得 P 是直线 x = -3，x = 3，y = 2，y = -2 的面从不同层面对问题展开分析，寻找适应学生思维状 四个交点，都满足 x 02 + y 02 = 13， 况的表征方式，突破问题的障碍，优化解题策略，提故点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2 = 13.升思维能力.解法 2：同解法 1，由判别式 = 0，得（y 0 - kx 0） -2一、策略探究9k 2 - 4 = 0.姨 k 姨 k 2 ，- - 4 = 0 容易得到椭圆 C 的标准方程为 x 2 + y 2 = 1，难点 0220. 在于第（）问的解决策略探究 9 4即（y 0k + x 0） - 9 - 4k =.以上二式相加，可得 x 02 + y 02 = 13.2下同解法 1，略.策略 ：引入斜率表示切线方程，用判别式来确1定位置关系.【评析】引入斜率作为参数，可方便地表示出切线 分析：解决 曲 与直 相切 的通法是方程，判别式为 0 揭示二者相切的本质. 解法 1 基于收稿日期：2014—09—15作者简介：赵银仓 （1963—），男，中学高 教 ，主要从事高中数学教育及教学研究．2015 年第 1—2 期107解题研究J I E T I Y A N J I U对两条切线具有相同的性质，它们的斜率适合同一个方程这一隐性条件的挖掘；而解法2 则应用了类比推理，在得到两个方程的情况下，结合方程组的特点整体消参. 两种解法异曲同工，运用设参，消参，化简这一思维策略.策略 2：联立两条切线方程，采用整体消参策略.分析：的著特点“点 P 到 C 的两条切相互垂直”，可化“点P 为椭圆 C 的两条相互垂直切的交点”，引入其中一条切的斜率参数来表示两条切的方程，立方程求解.解法 3：由解法 1 知，= 0，（kx0 - y0）2 - 4 - 9k2 = 0.所以 kx0 - y0 = ±姨4 + 9k2 .因为过点 P（x ，y）的切线方程为 y - y = k（x - x），0000 即 y - kx = y0 - kx0，所以一条切线方程为 y = kx ±姨4 + 9k2，即 y - kx = ±姨4 + 9k2 .同理，另一条切线方程为 y = - k 1x ±姨4 +k 92，即 x + ky = ±姨4k2 + 9 .以上二式平方相加，得（1 + k2）（x2 + y2）=（1 + k2）（4 + 9），即 x2 + y2 = 13.下同解法 1，略.【评析】联立两条切线的方程就可用斜率表示点P 的坐标，即得动点P 的参数方程. 事实上，观察两条切线方程的结构特征，就能整体消掉斜率求得普通方程，即用交迹法来求动点的轨迹方程.策略 3：以切点坐标为参数，运用导数突破难点.分析：比抛物，可通数求得其上一点的切的斜率，因而先研究用数来表示上任一点的切的斜率.引理：过椭圆x2 +y2= 1 上的任一点 M（x1，y1） a2 b2作椭圆的切线，则该切线方程为 b2x1x + a2y1y = a2b2.引理的证明可从如下二个角度来思考.思路 1：用通法证明，通过联立方程让判别式为0 来推理论证.当切线的斜率 k 存在时，设过点 M（x1，y1）的切线方程为 y - y = k（x - x），1 1联立椭圆方程x2 y2 2 2 2 2+ = 1，消去 y，得（b + a k）x +a2 b22 ） 2 2 2 2（）- a b = 0.2a k（y1 - kx1 x + a y1 - kx12 2 2 2 2= 0.整理得（x1 - a）k - 2x1y1k + y1 - b2 （ 2 2 2当 x1≠±a 时，经验证））（-1 =（2x1y1 - 4 x1 - a y12 2 2 2 2 2 20.b）= 4（b x1 + a y1 - a b）=解得 k = x1y1 .x12 - a2又因为x12 + y12 = 1，a2 b2可得 a2 - x12 = a2y12 .b22所以 k = - b x1 .2a y1所以过点 M 的切线方程为 y - y1 = - b2x1 ），a y1即 b2x1x + a2y1y = a2b2.当 x1 = ±a 时，y1 = 0，此时斜率不存在，切线方程为 x = ±a 也适合.综上，过点 M 的切线方程为 b2x1x + a2y1y = a2b2.思路2：用导数的几何意义证明，即导数表示在该点处曲线的斜率. 不过要注意在椭圆方程中将 y 理解为 x 的隐函数，方可求导.由椭圆的方程x2+y2= 1，得1y2 = 1 -1x2.a2 b2 b2 a2 两边分别看成关于 x 的函数，求导，b22 y·y′ = - a22 x，即y′ = -b2x（y1≠0）.a2y以下同思路 1，略.解法 4：过点 P 引椭圆 C 的两条切线，设切点分），（，）别为 A（x1，y1 B x2 y2 .则切线 PA 的方程为 4x1x + 9y1y = 36，切线 PB 的方程为 4x2x + 9y2y = 36.，），因为切线 PA，PB 都过点 P（x0 y0所以 4x0x1 + 9y0y1 = 36，4x0x2 + 9y0y2 = 36.又因为x12 + y12 = 1，x22 + y22 = 1，49 9 4≠≠4x0x + 9y0y = 36，所以（，），（，）都是方程组 2 2y≠4≠ 92015 年第 1—2 期的解.消去 y，整理得（9y20 + 4x20）x2 - 72x0x + 4 × 81 - 81y02 = 0. ①所以 x x = 81（9 - x 22）. ②1 29y02 + 4x02同理，y y = 16（9 - x02）. ③9y02 + 4x021 2因为 PA⊥PB，所以 16x1x2 + 81y1y2 = 0. ④将②，③代入④，16 ×81（4 - y02）+ 81 ×16（9 - x02）= 0，9y02 + 4x029y02 + 4x02即 x20 + y20 = 13.所以点 P 的轨迹方程为 x20 + y20 = 13.解法 5：同解法 4，由方程①，可得x + x = 72x0 ，x x = 81（4 - y02）.9y02 + 4x021 2 1 29y02 + 4x02由 16x1x2 + 81y1y2 = 0，两边乘以 y20，得2）（），16y0 x1x2 +（36 - 4x0x1 36 - 4x0x2 = 02 2 （）即（x0 + y0）x1x2 - 9x0 x1 + x2 + 81 = 0.解题研究J I E T I Y A N J I U 为 A（x1，y1），B（x2，y2）.当 y0≠0 时，则弦 AB 所在直线的斜率存在.设其方程为 y = kx + b，与椭圆方程x2 +y2 = 1 联 9 4 立，消去 y，得（4 + 9k2）x2 + 18kbx + 9b2 - 36 = 0.= 182k2b2 - 36（4 + 9k2）（b2 - 4）> 0，即 9k2 - b2 + 4 > 0.所以 x1 + x2 = - 18kb ，x1x2 = 9b2 - 36 .4 + 9k2 4 + 9k2因为 PA⊥PB，所以 16x1x2 + 81y1y2 = 0，即 16x1x2 + 81（kx1 + b）（kx2 + b）= 0.2） 2= 0.变形，得（16 + 81k）x1x2 + 81kb（x1 + x2 + 81b代入整理，得 13b2 - 81k2 = 16.所以 9k2 - b2 + 4 =3613（1 + k2）> 0 恒成立.因为弦 AB 的方程可表示为 4x0x + 9y0y =36，所以 k = -4x0，b =4，x20 + y20 = 13.9y0y0当 y0 = 0 时，则直线 PA，PB 的斜率分别为±1，可所以81（4 - y02）（x02 + y02）-9x0·72x0+ 81 = 0.求得 x0 = ±姨13 .9y02 + 4x02 9y02 + 4x02 所以点 P 的轨迹方程为 x02 + y02 = 13.化简，得 x02 + y02 = 13.【评析】待定切点弦直线方程，将问题条件“两条【评析】以切点坐标为参数，可以快捷地写出斜切线相互垂直”转化为斜率与截距之间的关系，再利率，表示出切线方程，发现切点弦方程，运用韦达用点 P 的坐标来表示切点弦的方程，这样就找到点的定理得到参数与变量之间的关系，同样将“两条切坐标、斜率与截距之间的关系，代入即得所求方程. 线相互垂直”转化为切点坐标之间的关系，代入消这种“算两次”的方法其实就是一种等量传递，其作参，难点在于整理运算. 解法 4 与解法 5 基本相同，用就是简化过程.二者同为代入消参. 区别在于前者利用两个切点的策略 5：观察特殊情形，归纳并验证一般情形.横坐标之积与纵坐标之积的对称性，由横坐标之积分析：察、、明是数学探究中常用的表达式，类比得出纵坐标之积的表达式，而后者的策略，特是理疑可从特殊情形入手. 则是直接消去纵坐标，利用韦达定理消参，消参的此而言，容易想到教材中在研究的范途径不同. 所用的外切矩形，其点到中心（原点）的距离恰策略 4：从切点弦方程入手，实施“算两次”以、短半两直角的直角三角形的斜. 这策略. 个是否具有一般性？可从外切矩形角的分析：把两个切点看作两个切点的弦所在的度是否改入手探究.直与的交点，待定切点弦直方程并与方程立，消元用达定理沟通各参量与量之的系.解法 6：设过点 P（x0，y0）的两条切线的切点分别解法 7：设 P（x ，y）关于原点的对称点 P（′-x ，-y），0000 则由椭圆关于原点成中心对称知，过点 P 与点 P′分别引椭圆的两条切线，依题意知它们围成一个中心在原点的矩形.109 2015 年第 1—2 期解 题 研 究 J I E T I Y A N J I U由解法 3 知，一组平行切线方程为 y = kx± 姨4 + 9k 2 ，即 kx - y ± 姨4 + 9k 2 = 0.则 它们之间的距离，即矩形的一边长为 d 1 =2 姨4 + 9k 2. 姨k 2+ 1同理，另一组切线方程为 y = - k 1x ±姨4 +k92 ，即 x + ky ± 姨4k 2 + 9 = 0.则它们之间的距离，即矩形的另一边长为 d 2 = 2姨4k 2+ 9 . 姨k 2 + 1所以PP ′ = 姨d 12 + d 2222+ 9）=姨4（4 + 9k ）+4（4k1 + k 21 + k 2= 2 姨13所以 OP =12 PP ′ = 姨13 ，即 x 20 + y 20 = 13.下同解法 3，略.）的两条切线的 解法 8：同解法 7，设过点 P （x 0，y 0切点分别为 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则切线 PA 的方程为 4x 1x + 9y 1y = 36，切线 PB 的方程为 4x 2x + 9y 2y = 36.， ）的两条切线的切点分别同理，设过点 P （′-x 0-y， ）， （ ， ），为 C （-x 1 -y 1 D -x 2-y 2则切线 P ′C 的方程为 4x 1x + 9y 1y = -36，切线 P ′D11= 36姨+ 81 - 5x 12 81 - 5x 2281 × 2 - 5（x 2 + x 2）= 36姨1812 - 81 × 5（x 21 + x 22）+ 25x 21 x 2213［81 × 2 - 5（x 2 + x 2）］= 36姨1213 × 812 - 81 × 65（x 21 + x 22）+ 45 × 81（x 21 + x 22 - 9） = 2 姨13 . 所以 OP =12 PP ′ = 姨13 ，即 x 20 + y 20 = 13.故点 P 的轨迹方程为 x 20 + y 20 = 13.【评析】显然，通过表示出两条切线方程，求出交点，再来验证对角线的长度不变运算量会很大，十分不便. 解法 7 与解法 8 都是通过用两条平行线间的距离公式使运算量大幅降低. 区别在于前者以斜率为参数研究不变性，而后者以切点坐标为参数研究不变性，其推理过程稍多些.策略 6： 引入椭圆的参数方程，化归三角恒等 变形.分析： 的参数方程以角度表示坐 ，可将化 三角 ，借助于三角运算的灵活性 程的 化与思的 化.解法 9：设过点 P （x ，y ）的两条切线的切点分别0 0为 A （3cos α，2sin α），B （3cos β，2sin β）， 则切线 PA 的方程为 2xcos α + 3ysin α = 6，切线 PB 的方程为 2xcos β + 3ysin β = 6. 由椭圆关于原点成中心对称图形知，过点 P （′-x ，-y ）0 0的方程为 4x 2x + 9y 2y = -36. 的两条切线分别与 PA ，PB 平行，四条切线围成的矩四条切线围成的矩形的边长分别为 d 1=72 ， 形的边长如下：11d 1 = 12d 2 = 72 .姨4cos α + 9sin α 姨16x 22 + 81y 22 d 2 = 12因为 4x 12 + 9y 12 = 36，4x 22 + 9y 22 = 36，PA ⊥PB ， 姨4cos β + 9sin β所以 16x 1x 2 + 81y 1y 2 = 0. 因为 PA ⊥PB ，162x 12 x 22 = 812y 12 y 22 ，所以 4cos αcos β + 9sin αsin β = 0.代入化简，得 16x 12 x 22 = 81（9 - x 12）（9 - x 22），65x 12 x 22 =化简，得 16cos 2αcos 2β = 81sin 2αsin 2β，65cos 2αcos 2β = 81 × 9（x 12 + x 22 - 9）.81（cos 2α + cos 2β - 1）.所以 PP ′ 所以 PP ′= 姨d 12 + d 22= 姨d 12 + d 22122122=72 2+72 2=姨+2 2222222姨16x 1+ 81y116x 2 + 81y 24cos α + 9sin α4cos β + 9sinβ1102015 年第 1—2 期解 题 研 究J I E T I Y A N J I U法 9 沿用前面验证外切矩形对角线的长度不变的策略，= 12姨11+而解法 10 则直面问题，用两个参数表示交点坐标，直9 - 5cos 2α9 - 5cos 2β接验证交点到中心 （原点） 的距离不变这一特征，过18 - 5（cos 2α + cos 2β）= 12（9 - 5cos 2α）（9 - 5cos 2β）程看似难，其实由于三角变形的灵活性运算过程并不姨= 12姨18 - 5（cos 2α + cos 2β）复杂.81 - 45（cos 2α + cos 2β）+ 25cos 2αcos 2β二、反思感悟= 12姨13［18 - 5（cos 2α + cos 2β）］13× 812 - 13 × 45（cos 2α+cos 2β）+ 5 × 81（cos 2α+cos 2β-1）数学问题解决的必要条件是对问题进行合理的表= 2姨13 .征，即通过认真分析审视问题，全面把握理解问题中所以，1，OP= PP ′ = 姨 13所含的数学结构，通过联想转化为自己容易理解的另2即 x 02 + y 02 = 13.一个数学结构. 这种对数学问题表征的方式直接影响故点 P 的轨迹方程为 x 02 + y 02 = 13.着问题解决的思维策略. 如果能从多种不同角度对问解法 10： 设切点分别为 A （3cos α， 2sin α）， 题进行理解，充分挖掘自己的不同模块的知识经验， B （3cos β，2sin β）， 形成理解问题的不同的表征方式，就可以拓宽问题的则切线 PA 的方程为 2xcos α + 3ysin α = 6，切线理解与转化渠道，从而可选择接近问题本源，解决问 PB 的方程为 2xcos β + 3ysin β = 6.题相对快捷的方法与策略，这样就打开了解决问题的3（sin β - sin α）通道. 如前述广东高考解析几何试题，大多数学生在联立以上二个方程，可解得 x =，sin （ β - α） 平时的学习中，缺少对问题表征能力的培养，在高考2（cos β - cos α）y =，即点 P 轨迹的参数方程.时无法找到适合自己的问题表征方式，因而无法形成 sin （ α - β）消去参数化为普通方程， 解决问题的有效途径. 如果能够从参数的选择，观察 因为 PA ⊥PB ，归纳等不同角度来表征问题，就形成以切线的斜率为 所以 4cos αcos β + 9sin αsin β = 0.参数，结合韦达定理消参或联立两条切线方程整体消变形整理，得 65cos 2αcos 2β = 81（cos 2α + cos 2β - 1）. 参，以切点坐标为参数，运用导数列切线方程消参求2 2解，观察特殊情形通过外切矩形的对角线入手，这样 所以 x 2 + y 2 =就极大地拓展了问题解决的思路，并发现以斜率为参sin （β - α）=18 - 5（cos2α+ cos 2β）.数这个表征方式接近问题的本质，思维直接，过程简sin （2β -α）2便. 在高三教学中，要经常引导学生对综合问题进行 因为 sin （β - α）多元表征训练，这样会加强学生的审题能力、理解能 = sin 2βcos 2α + cos 2βsin 2α - 2sin αsin βcos αcos β2222822力、推理能力与运算能力，提升分析问题与解决问题=（1 - cos β）cos α + cos β（1 - cos α）+ cos α + cos β的思维能力，从而实现提高学生分析问题与解决问题 92 2 10 2 2能力的教学目标.= cos α + cos β -cos αcos β 9 参考文献：= cos 2α + cos 2β - 10 × 81（cos 2α + cos 2β - 1）［1］曹才翰，章建 ． 数学教育心理学［M ］. 北96518 - 5（cos 2α + cos 2β）京：北京 范大学出版社，2006. =，13［2］ ． 解析几何中一 典型 解的分析［J ］.代入上式，得点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2 = 13. 中国数学教育（高中版），2012（9）：34－36.【评析】引入椭圆参数方程表示切点坐标，以角度 ［3］赵银仓． 解决一 抛物 切 的策略与 为参数表示切线方程，将问题条件“两条切线相互垂 困因分析［J ］. 中学教研（数学），2014（1）： 直”转化为关于切点坐标参数的两个角度的关系. 解15－19.111 2015 年第 1—2 期。
圆锥曲线：有关椭圆的小题总结 高考数学
m足∠ = ∘ ,则
∘
≥ = ,
【解析】由题意得： +
=
，所以当＞＞，则＜ ＜ ，所
以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当 = ＞时，曲线
+
= ，所以表示圆，半径为 ，当 = , ＞时，曲线为
= ，所以 = ± ，所以表示两条直线，故选：
为
以只要求∠ 为直角时点横坐标的值，因为 = ，所以当
∠ 为直角时，点在圆 + = 上，解方程组:
得: =
±
,
所以点 横坐标的取值范围是:
+ =
�� +
−
＜＜
.
=
试卷讲评课件
【例3】已知椭圆
x2
上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
试卷讲评课件
【证明】如图,设 , ≤ ＜, ＜ ≤ ,过点作
⊥ ,垂足为,则 = + , = − , = ,所以
∠ =
∠ =
+
,∠
=
−
迹E的方程为
+
=
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为
+
=
，
+
=
试卷讲评课件
x2
练习3.已知A、B分别为椭圆E： 2
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理解与椭圆有关的轨迹问题的， 掌握与椭圆有关的轨迹问 题求解策略。 【学法指导】
用运动、变化的观点认识椭圆，感知数学与实际生活的 联系，培养类比、数形结合的思想．
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复习回顾
1.椭 圆 的 定 义 ： 2.椭 圆 的 焦 点 在 x轴 上 时 ， 椭 圆 的 标 准 程 方为 焦点坐标是 焦点坐标是 焦距是 ； ； 椭圆的焦点在 y轴 上 时 ， 椭 圆 的 标 准程 方为 ，焦距是 3.a, b, c三 者 之 间 的 关 系 是 ：
答案 若题目条件中某动点 P 满足到两定点距离和为定值， 此时若利用坐标代入化简非常麻烦，可利用椭圆的定义得 到点 P 的轨迹是椭圆，再求出椭圆的方程，这种解法称为 定义法．
问题 2 除利用定义外，还有什么方法确定一个点的轨迹是椭 圆？
答案 利用求轨迹方程的相关点法 (代入法 )得到点的轨迹 方程，如果和椭圆标准方程形式吻合，那么这个动点的轨迹 就
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理论迁移
例 1 在 圆x 2 y 2 4上 任 取 一 点 P , 过 点P作x轴 的 垂 线 段 PD，D为 垂 足 。 当 点 P在 圆 上 运 动 时 ， 线 段 PD的 中 点 M的 轨迹是什么？
x 2 y 1, 点M的 轨 迹 是 一 个 椭 圆 4
注 意 轨 迹 方 程 和 轨 迹区 的别 ： 1.轨 迹 方 程 ： 只 求 出 方 即 程可 ；
1．利用椭圆的定义可以判断点的轨迹是否为椭圆，要注意 变形的等价性． 2．利用椭圆定义可以进行椭圆上点到焦点距离的转化． 3．与椭圆有关轨迹问题的常用解法：待定系数法，定义法， 相关点法(代入法).
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课后作业
作业本 1.课 本 42页
习题 2.1
B组1,2
练习册 完成《步步高学案》 预习作业 预 习 ： 椭 圆 的 简 单 几性 何质
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说明：求出曲线的方程之后 要检验舍去一些不满足条件 8 的点
理论迁移
例 3 已知 B、C 是两定点，且|BC|＝6，△ABC 的周长为 16.试求顶点 A 的轨迹方程．
解 如图，以 BC 边所在直线为 x 轴， 以线段 BC 的中点为坐标原点建立平 面直角坐标系，则有|AB|＋|BC|＋|AC| ＝16.∵|BC|＝6，
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2.轨 迹 ： 求 出 方 程 还 要 明 说方 程 所 表 示 的 图 形
理论迁移 例2 设 点A, B坐 标 分 别 为 （ - 5,0） ， （ 5,0） 直 线AM，BM相 交 于 点 M， 且 它 们 的 斜 率 之 积 4 是- ， 求 点 M的 轨 迹 方 程 9
x y 1( x 5) 25 100 9
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复习回顾
4.求 椭 圆 的 标 准 方 程 ： (1)已 知 椭 圆 的 焦 点 的 位 ： 置 A:若焦点在 x轴 上 ， 可 设 椭 圆 的 方 为 程 B :若焦点在 y轴 上 ， 可 设 椭 圆 的 方 为 程 ( 2)未 知 椭 圆 的 焦 点 的 位 ， 置可 设 椭 圆 的 方 程 为 5.已 知 椭 圆 的 方 程 为 8 x 2 16 y 2 1, 则 椭圆的标准方程为 焦点坐标是 焦距为
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理论迁移
小结 利用定义法得到点的轨迹是椭圆， 可直接根据待定系 数法得到椭圆的方程；由于解题过程的不可逆，要注意剔除 轨迹中不合题意的点．
11
达标检测
1. 点 P(x，y)到定点 A(0，－1)的距离与到定直线
14 y＝－14 的距离之比为 ，求动点 P 的轨迹方程． 14
12
归纳延伸
9
理论迁移
例 3 已知 B、C 是两定点，且|BC|＝6，△ABC 的周长为 16.试求顶点 A 的轨迹方程．
∴|AB|＋|AC|＝10>6. ∴点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，
且a＝5，c＝3. ∴b2＝16.
由于△ABC三顶点A、B、C不共线， ∴顶点A的纵坐标不能为0.
x y ∴顶点 A 的轨迹方程为 ＋ ＝1 (y≠0)． 25 16
若椭圆上一点 P到 椭 圆 一 个 焦 点 的
3
2 离为 ，则点 P到 另 一 个 焦 点 的 距 离 为 16
自主学习
自学教材 34 ~ 36页 内 容 ， 思 考 《 导 学 》 案 24页 问 题 探 究 三 ： 问 题 一问 ，题 二
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问题探究
问题 1
与椭圆有关的轨迹问题
怎样利用定义来探求与椭圆有关的轨迹问题？
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理论迁移
例 1 在 圆x 2 y 2 4上 任 取 一 点 P , 过 点P作x轴 的 垂 线 段 PD，D为 垂 足 。 当 点 P在 圆 上 运 动 时 ， 线 段 PD的 中 点 M的 轨迹是什么？
y
分析：利用相关点法求 解
求解思路： 设M ( x , y ), P ( x0 , y0 ),由M为 线 段 PD 的中点得到点 M与 点P坐 标 之 间 的 关系式，并由点 P的 坐 标 满 足 圆 的 方程得到点 M的 坐 标 所 满 足 的 方 程 。