直线和椭圆位置关系总结大全

1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx b
mx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210
m k n x kbnx b +++-=当0∆>时
直线和椭圆相交当0∆=时
直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y a
b =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解
注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。

02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。

2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k
∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1
x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。

2三角形面积
1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22
221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=
- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22
221x y b a
+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212
AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意
12
S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。

3弦的中点问题
01中点弦所在直线方程问题
02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题
类型题一：直线与椭圆位置
1.已知直线2+=kx y 和椭圆12
32
2=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。

2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。

3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式
1.已知椭圆：19
22
=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。

2.已知椭圆12
2=+ny mx 与直线1=+y x 相交于B A ,两点C 为AB 的中点。

22=AB ，OC 的斜率为2
2（O 为原点），求椭圆方程。

3.已知椭圆22
41x y +=及直线y x m =+．
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为2105
，求直线的方程．4.已知直线m x y +=与椭圆14
22
=+y x 相交于B A 、两点，当m 变化时，求AB 的最大值。

类型题三：弦中点问题（点差法）
1.已知椭圆19
362
2=+y x ，弦AB 的中点是)1,3(M ,求弦AB 所在的直线方程。

2.直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截的弦的中点坐标是
（）（A）(31,－32)（B）(－32,31)（C）(2
1,－31)（D）(－31,21)3.已知椭圆22
1369
x y +=，椭圆内一点(4,2)P ,则以P 为中点的弦所在的直线的斜率是（A）21（B）－2
1（C）2（D）－24．中心在原点，一个焦点为1F ()50,0的椭圆截直线23:-=x y l 所得的弦的中点的横坐标为2
1，求椭圆的方程．
5．已知椭圆方程为19
25:2
2=+y x C ，求：（1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；
（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；
（3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。

类型题四：与三角形面积有关的问题
1.过椭圆22
154
x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点，O 为坐标原点，求OAB ∆的面积。

2.椭圆120
452
2=+y x 的两个焦点为21,F F ，过左焦点作直线与椭圆交于B A ,两点，若2ABF ∆的面积为20，求直线的方程。

3.已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x G 的离心率为36，右焦点为)0,22(，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于B A ,两点，以AB 为底边作等腰三角形顶点为P （-3,2）.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）求PAB ∆的面积.
4.若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．
5.已知椭圆22
142
x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．
6.已知21,F F 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则______=b .
7.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(30)-，，(30)，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点．
（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由.类型题五：与向量有关的问题
1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 上的点P 到两定点)3,0(-，)3,0(的距离之和等于4，直线1+=kx y 与C 交于A，B 点.若OB OA ⊥，求k 的值.
2.直线2y kx =+与椭圆2213
x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），求k 的值．
3.已知直线1+=kx y 与双曲线1322=+y x 相交于B A 、两点，O 是坐标原点，如
果OB OA ⊥,求k 的值。

4.已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限的一点，B 也在椭圆上，且满足OA ＋OB ＝0(O 为坐标原点)，→2AF ·→21F F ＝0，且椭圆的离心率为22
.(1)求直线AB 的方程；
(2)若△ABF 2的面积为42，求椭圆的方程．
类型题六：定值定点问题
1.已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523
．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点．①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3
M -，求证：MA MB ⋅ 为定值．
2.已知椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>,经过点P
3
(1,)
2
，离心率是
3
2
.
(I)求椭圆C的方程；
(II)设直线l与椭圆C交于,A B两点，且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M，求证：直线l恒过定点．
3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2，离心率为32
．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．。