几何画板探求椭圆轨迹的几种作法
巧用几何画板探索椭圆轨迹
（ 斛÷） ＾ ２ ２
方程。
教师 ： “ 以上解法是很典 型的。这里设点Ａ、 的 坐标 ， 但 并不需要求出 ， 只是利用Ａ、 曰 的坐标进行过 渡 。这是解析几何 中常用 的一种求轨迹方法——设 而不求 。 寻找动点之 间的关系是求轨迹问题的关 键。 还有其他解法没有？”
２
看 一个具体 的例子 ： 如图 １ ， 过 椭 圆 ＋ ＝ １ （ 。 ＞ ６ ＞
ａ ｚ ｂ
教师： “ 点Ｐ 与Ａ、 Ｂ 两点的坐标的关系怎样 ？” 学生 ： “ 根 据 中点 坐 标 公 式 得 到 ：ｘ ｌ ＋ Ｘ ２， ｖ ：
２ ｙｌ ＋ ） ， ２ ， ，
一
ｆ Ｆ 严
＼ 、 ．
／
，
＼ ～
图３ 图４ “ 猜猜看 ， 点Ｊ Ｐ 的轨迹是什么？” 不少学生 已经利用几何画板演示 了出来 ：拖 动 主 动 点 Ａ， 得到点Ｐ 的轨迹 是一个 小椭 圆 ， 并 且 这 个
小椭圆的长轴是线段０ 即半焦距 。（ 如 图４ ）
２ ２
于 是 有 二 ： 一 ． — Ｘ ｌ ＋ — ｘ ２ 一娑 ： ｋ ： ＿ ｌ ｙ ＿ ， ｒｘ ２ ， ２ ， Ｘ ＋Ｃ
化简得—— 一＋ —Ｌ ： １ ， 此 即为所求 的轨迹
（ ＿ ｃ ＿ ） ｚ （ ｃ） ｂ ｚ
２ ２０
方 程 。”
，
ｉ
图 １
一 ／
图 ２
；
“ 有ｋ ： ￣ Ｙ ｌ － ｙ， 还有 ： ， ｌ。”
Ｘｌ －Ｘ２ Ｘ＋Ｃ
“ 如何 得 ￣ ｌ Ｊ Ｙ Ｉ － Ｙ ２ ７”
Ｘ１ － Ｘ２
几何画板演示 ：拖动 主动点Ａ在椭圆上转动 或 制作点Ａ 在 椭圆上运动 的动画按钮 ， 跟踪 点Ｍ， 得 到 点Ｍ的轨迹是一个小 圆。如 图２ ， 怎样求 出这个小 圆
数学中常用几何画板绘制椭圆
数学中常⽤⼏何画板绘制椭圆圆锥曲线是⾼中数学的重点和难点，也是历来⾼考的必考内容，所以对于⾼中⽣来说，弄懂圆锥曲线这块难啃的⾻头，是很有必要的。
其中要熟练掌握的圆锥曲线之⼀就是椭圆，它是圆锥与平⾯的截线，其实要想画出椭圆，其⽅法不⽌⼀种，下⾯就⼀起来通过学学椭圆的五种画法。
⽅法⼀、利⽤椭圆第⼀定义构造椭圆椭圆第⼀定义：平⾯内到两个定点的距离之和等于定长2a（a>0）的点的轨迹就是椭圆，按照此定义可画出椭圆，具体步骤如下：1.单击“圆⼯具”，在画板的适当位置任意画⼀个圆，将圆⼼的标签改为F1。
单击“点⼯具”，在圆上任意画⼀点C，同时选中点F1和点C，执⾏“构造”-“线段”命令，构造出线段F1C。
单击“点⼯具”，在线段F1C任意画⼀点F2。
2.在圆上任意画⼀点E，并构造线段EF1和线段EF2。
选中线段EF2，执⾏“构造”-“中点”命令，构造线段EF2的中点F。
3.选中线段EF2和点F，执⾏“构造”-“垂线”命令，构造出线段EF2的垂直平分线j。
同时选中线段EF1和直线j，选择“构造”-“交点”命令，构造线段EF1和直线j的交点G。
4.选中点G和点E（把点E称做是点G的相关点，改变G点的位置，点E的位置也跟着改变），选择“构造”-“轨迹”命令，可画出椭圆。
拖动点B 和点F2可改变椭圆的形状。
⽅法⼆、利⽤椭圆第⼆定义画椭圆椭圆的第⼆定义：设动点M（x， y）与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l： x＝a2/c的距离的⽐是常数（a>c>0），则点M的轨迹是椭圆。
点F 是椭圆的⼀个焦点，直线l是椭圆中对应于焦点F的准线，常数e＝c/a（0<e<1）。
具体的操作步骤如下：步骤⼀打开⼏何画板，使⽤“点⼯具”画任意⼀点F，使⽤“线⼯具”画直线L（点F不在L上）。
过点F作⼀条直线，在直线上取⼀点P；步骤⼆选中点F、P执⾏“度量”--“距离”命令，度量FP的长度；选中点F和度量的FP的长度，执⾏“构造”--“以圆⼼和半径绘圆”构造以点F为圆⼼，FP为半径的圆。
运用几何画板绘制椭圆的有效方法
图 3 准线法绘制椭圆
单圆法第一种做法：打开几何画板软件，作出一个
三、同心圆法
圆并隐藏圆周上的控制点 B，该圆的半径为 2a；在圆内
同心圆法的原理是椭圆的参数方程，即椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
=1（a＞b＞0）的参数方程是
x=a y=b
cosθ cosθ
（θ
。 为参数）
在几何画板中定义坐标系，并且绘制两个圆心为原
线，而这条定直线就叫做准线和椭圆准线定义，即垂直
于长轴所在直线的直线，方程为：x =± a2 。 c
具体步骤为：打开软件，定义坐标系并且将原点设
置为 A 点；用左侧工具栏中工具作出线段 CD 并做 E 点
于 CD 上；同时选中 C、E，并测量出 CE 长度，同理将 CD
长度测量出来；打开计算器并且输入 CE/CD，然后双击
YANJIU
研 运用几何画板绘制椭圆的有效方法
究
嫩江县高级中学 于翠玲
在圆锥曲线中，曲线上的点到定点的距离与到定直 线的距离的商是常数 e，且 0<e<1 时为椭圆。椭圆教学 是中学数学教学中的重点和难点，椭圆的知识和图像都 极为抽象，学生很难理解。不仅如此，有些教师在绘制椭
26 圆图形时也会感到困难，并且准确性不够。而运用几何 画板软件画出的椭圆既准确又美观，还能增加教学的趣味 性，引发学生的学习兴趣，可以让学生轻松、直观地观察并 理解椭圆的定义及其性质，从而收到很好的教学效果。 几何画板以点、线、圆作为基础图形，对这些基础图 形进行拼接、平移、变换、度量、构造、轨迹追踪以及对基 本图形的性质进行运用。学生可以在此过程中探究图形 的内在关系并发现数学的本质，探究数学的奥妙和趣味 性，激发学习数学的兴趣。笔者结合自身教学经验，在总 结、归纳、提炼和创新的基础上整理出七种常用的运用 几何画板绘制椭圆的方法，分享如下： 一、定义法 定义法的原理是圆锥曲线的统一定义，即焦点距离 与到准线距离的商是定值的点的轨迹。椭圆的定义，即 平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数，这个 动点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点 的距离叫作椭圆的焦距。 绘制的具体步骤为：打开软件，新建文件，在绘画板 内画线段 AB 的同时在 AB 上绘制出 C 点，然后在 AB 外选取 D、E 两点，满足 DE>AB；选中 A、C 两点进行标 记向量，然后通过标记向量将 D 平移，得到 D'；选中 D 和 D' 点，绘制出一个以 D 为圆心，以 D 和 D' 间距离为 半径的圆并且隐藏；同理，标记 B、C 两个点为标记向 量，并且作出 E 的平移点到 E' 点，构造出圆，隐藏 E' 点；运用点工具做出两个圆周交点为 F、G 两点。 接下来分两种方法研究。 分别选中 F、C 和 G、C 两组点进行构造轨迹绘制出 椭圆曲线，如图 1 所示。
应用几何画板作椭圆和双曲线
即｝ＩＰＦ．１一』ＰＦ。ｌ ｆ—Ｉ彳ｃＩ—Ｉ口ｃＩ＝ｌＡＢ｝＝２ａ．
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少弋，，Biblioteka ’画法２：１．以坐标原点０为圆心，分别以ａ、ｂ（ａ，ｂ＞０）为半径画两个圆： ２．圆ＯＡ与ｘ轴的正方向交于点Ｃ，过Ｃ作ｘ轴的垂线， ３．在圆ＯＡ上取一点Ｐ，连接ＯＰ，直线ＯＰ与过点ｃ且和Ｘ轴垂直的直 线交于点Ⅳ＇过点Ⅳ作ｘ轴的平行线ＮＭ； ４．过点Ｐ作ＰＲ垂直于ＯＰ，交Ｘ轴于点Ｒ：
学教师的“好伙伴”所以自己在数学教学实践不断地总结和探索以提高教 学效果，即使如此也难免有疏漏之处望批评指正。 参考文献：
［１］ 《几何画板实例教程》，清华大学出版社２００２版． ［２］ 《数学通报》，９９８年第１２期上．
万方数据
年唪捷博览；４３
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一．椭■的西法： 画法１： １．在ｘ轴上取两点Ｆ，、Ｅ，使】ＯＦ，Ｉ＝ｌ ＯＦ２Ｉ，用它们作为两个焦点 ２．在图形外作一条线段，使它的长度为２ａ，（２口＞ｆ，．‘１）： ３．以，Ｉ为圆心，２口为半径作圆，在圆上任取一点Ｐ；
５．过点Ｒ在ｘ轴的垂线交直线ＮＭ于点Ｍ： ６．分别选中点Ｍ和点尸，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出 双曲线。 理论根据：设么ｘＯＰ＝中， 则ＩＯＲｌ＝ＩＯＰ ｓｅｃ中＝ａｓｅｃ咖，ｌＫＭＩ＝ＮＣ『＝ｌＯＣ【ｔｇ中＝ｂｔｇ由， 根据双曲线的参数方程知，点Ｍ的轨迹是一个双曲线。 笔者虽然使用《几何画板》的时间不长，但体会到《几何画板》是数
用几何画板绘制椭圆的方法
用几何画板绘制椭圆的方法作椭圆的方法很多，在此仅举4种方法。
例1：利用椭圆的定义作椭圆。
[简要步骤]：（1）作点A、B，以及线段CD（定长）；（2）以点A为圆心，CD为半径作圆，并在圆A上任意取一点E；（3）连接AE、BE，并作BE的垂直平分线FG，交BE于点F，交AE于点G；（4）同时选中点G和点E，作轨迹，如图1。
图1例2：利用椭圆的参数方程作椭圆。
本例的作图原理就是先计算x = a cos t，y = b sin t（-π≤t ≤π），然后根据算得的x、y的值作出点（x，y），最后作出轨迹。
[简要步骤]：（1）显示坐标轴，在x、y轴上分别取点C、D，测量并计算出点C的横坐标和点D的纵坐标，然后将标签分别改为a和b；（2）以任意点E为圆心，点F为圆上一点作圆，在圆上任取一点G，测量角FEG的值，并将标签改为t；（3）将角度设置为弧度制，计算a cos t和b sin t的值，并依次选中，画出点H (a cos t，b sin t)；（4）同时选中点H和点G，作轨迹，如图2。
图2例3：利用椭圆的参数方程的几何意义作椭圆。
[简要步骤]：（1）作水平线段AB，在线段AB上取一点C，以点A为圆心，分别以点B、C为圆上一点作两个同心圆，在大圆上任取一点D，连接AD，交小圆于点E；（2）过点D作线段AB的垂线，并过点E作垂线的垂线，两线交于点F；（3）同时选中点D和点F，作轨迹，如图3。
图3例4：利用压缩圆的方法作椭圆。
我们知道，将圆压缩就成了椭圆，因此，我们可以以椭圆的短轴与长轴之比作为压缩比，将圆压缩成椭圆。
[简要步骤]：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心，以点B为圆上一点作圆，在圆上任取一点D；（2）过点D作线段AB的垂线，交线段AB于点E；（3）作线段FG、GH，依次选中线段FG、GH，并标识为比例；（4）以点E为缩放中心，将点D以标识的比例压缩，得点D'；（5）同时选中点D和点D'，作轨迹，如图4。
信息技术应用用几何画板探究点的轨迹椭圆
• [3]用铅笔尖（M）把细绳拉 紧，在板上移动观察图像
. M.
F1
F2
观察作图过程：
由于绳长固定，所以 M 点到 两个定点F1、F2的距离和为定值。
回顾：我们把平面上到定点的距离 等于定长的点组成的图形叫做圆。
请同学们类比圆的定义归纳总结出 椭圆的定义。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点， 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和记为常数 2a
M
F1
F2
MF1 MF2 2a 2c
• 问题1：为什么衬托部分恰好是一个椭圆？ • 问题2：折痕上究竟有几个点在椭圆上？
问题1：为什么形成的空白部分是椭圆？
证明： 过点F2做直线m的垂线交圆于点A 连接AF1交m于点P，连接F2P
直线m垂直平分 AF2
PA PF2
PF2 PF1 PA PF1 AF1 R F1F2
点P在以F1、F2为焦点的椭圆上
A
P
F2
m
F1
问题2：折痕上究竟有几个点在椭圆上？
证明： 在m上任取异于P点的点Q 连接AQ,F1Q,F2Q AQ F2Q
A
P
F2
Q
m
F1
F1Q F2Q AQ F1Q AF1 R
点Q在该椭圆外，点P是唯一的公共点，
即m是椭圆的切线
在生活实践中我们经常用到椭圆，比如木工吊顶时不知道椭圆的两个定点，又 怎么来画椭圆呢？
机械制图中常用到的四心圆法又是如何画椭圆的呢？
MF1 MF2 2a 2c
课堂小结
课堂有限，知识无限。椭圆作为圆锥曲线中 的一种。这节课我们通过两个小游戏，探索 出了它的定义。同学们能否利用这节课学习 到的方法，去探索和发现其他圆锥曲线的美
信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
2
6 3
，-1
2
MP 2 MF MP MN .MP 2 MF MP MN .
m in
m in
过点P1，-1作PN0
l于N
0交椭圆于M
0
,当M运动
到与M
重合
0
，
即P, M , N三点共线时，MP 2 MF 取得最小值.
答案：MP
2
MF
的最小值为3，此时M
解：（1）依题意可得椭圆左焦点为 F13,0, 右焦点为 F2 3,0，由椭圆第二定义可得
MF1 d1
e
c a
3 5,
而
MF1
3.d1
5
MF1 3
5.
（2）方法一（直接法）：由椭圆定义可得 MF1 MF2 2a 10,而MF1 3, MF2 7
设点M到右准线的距离为d 2 , 由椭圆第二定义可得
4 5
，求点
M 的轨迹.
探究 F是定点，l是不经过F的定直线，动点M到定点F的
距离和它到定直线 l的距离比e是小于1的常数.猜想M
的轨迹是什么？
几何画板探究M的轨迹
发现：M的轨迹是椭圆
信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
概念分析
椭圆的第二定义：
平面内到一个定点F和一条定直线 l 的距离的比
人教A版数学选修1-1 第二章 2.1椭圆
信息技术应用
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
白银市第一中学 陈彦娟
信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
一、回顾旧知
椭圆的定义： PF1 PF2 2a F1F2 .
三种方法求椭圆轨迹
∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q
∴|AQ|＝|PQ|，∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6（＞|AB|），
∴由椭圆的定义可知：
点Q的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，
且2a＝6,2c＝4
∴a=3，c=2
∴点Q的轨迹方程为 ＋ ＝1.
跟踪训练：
已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
同理，直线BM的斜率kBM＝ (x≠5)．
由已知有 × ＝－ (x≠±5)，
化简，得点M的轨迹方程为 ＋ ＝1 (x≠±5)．
例题变式：
若将例题中的－ 改为a(a<0)，曲线形状如何？
设点M(x，y)，则 · ＝a(x≠±5)．
化简得， ＋ ＝1 (x≠±5)．
(1)当a＝－1时，曲线表示圆x2＋y2＝25 (x≠±5)，去掉两点(±5,0)．
∴点P的轨迹方程为 ＋ ＝1.6.
（2）相关点法：
当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步ห้องสมุดไป่ตู้为
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标P(x，y)，已知曲线上动点坐标Q(x1，y1)．
(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．
3、求点的轨迹方程：
（1）定义法：
用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件（已知两焦点的距离或坐标）转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义产生椭圆的基本量a，b，c.
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几何画板探求椭圆轨迹的几种作法几何图形的绘制，我们通常是用直尺和圆规，它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。
从某种意义上讲几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸。
因为这种把所有绘图建立在基本元素点、线、圆上的做法和数学作图思维中公理化思想是一脉相承的。
用几何画板探求椭圆的轨迹，可进一步理解椭圆的定义以及以动画形式展示动点轨迹如何形成椭圆。
让学生在数学的实验过程中体验数学之美及培养学生的创新能力。
几何画板绘图中，构造轨迹的前提条件是：选定两点，一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。
其中路径可以是任何线（线段、直线、射线）轨迹、函数图象。
一、椭圆的定义
椭圆的定义：到两个定点f1，f2的距离和等于常数2a（2a＞f1f2）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点f1，f2叫做椭圆的焦点。
根据椭圆的定义，在几何画板绘图中，我们要确保动点到两个定点的距离为常数且大于两定点间距离。
以下探求椭圆轨迹的实验环境为几何画板5.0环境下进行实验操作。
方法一：
（1）在画板上作线段f1f2。
（2）在画板上作另一条线段ab，使ab＞f1f2。
（3）在线段ab上任取一点c，“构造”线段ac；“构造”线段bc。
（4）以点f1为圆心、线段ac为半径，“构造”圆f1。
（5）以点f2为圆心、线段bc半径，“构造”圆f2。
（6）圆f1与圆f2交于点m、p，并选择“跟踪”点m、p。
（7）选中点c，在编辑菜单下操作类按钮设置为动画，标记为“动点m、p形成轨迹”。
（8）当鼠标点击“动点m、p形成轨迹”按钮时，点m、p运动，运点的轨迹是椭圆。
方法二：
（1）在画板上作圆a，在圆内和圆上分别取点b、c，“构造”直线ac，“构造”线段bc。
（2）“构造”线段bc的中点作垂直平分线交直线ac于p。
（3）选定c点和p点，单击菜单命令：【构造】→【轨迹（u）】
二、由限定条件作椭圆的轨迹
根据椭圆的标准方程：■+■=1（a＞b＞0）或■+■=1（a＞b＞0）可得其参数方程为■=cosα■=sinα或■=cosα■=sinα。
由椭圆的参数方程可作部分限定条件的椭圆。
方法三：
（1）在画板上作圆o，作圆o的直径ab。
（2）在圆o上任取点,，过点m作ab的垂线mn交ab于点n。
（3）“构造”线段mn，取mn中点p，设置点m为动画，“跟踪”点p。
点p的轨迹是椭圆。
方法四：
（1）在画板上作两同心圆o，作大圆的直径ab。
（2）在大圆上任取点c，过点c作ab的垂线交ab于点d，“构造”线段cd，“构造”线段oc交小圆于点m。
（3）过点m作cd的垂线mp交cd于点p。
设置点c为动点，“跟踪”点p。
点p的轨迹是椭圆。
方法五：
（1）在画板上作圆o，作圆o的直径ab。
（2）分别过点a、点b作ab的垂线m、n。
（3）在圆上任取点c，“构造”线段oc，过点c作oc的垂线（即圆o的切线）交直线m于点e，交直线n于点f。
（4）“构造”线段be、线段af相交于点p，设置点c为动画，“跟踪”点p。
点p的轨迹是椭圆。
用几何画板探求椭圆的轨迹，可以使学生更好地参与到教学过程中来，进行数学实验。
本文由两个方面出发探求椭圆的轨迹，根据问题的内容，展示作图的思想，进行数学学习、数学探索，概括了作椭圆图形的几种方法，体验到数学的本质，探究知识之间的联系，发现数学规律，寻找解决问题的方法。
（作者单位莆田第十一中学）。