椭圆中轨迹问题探究知识分享
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结数学椭圆知识点总结「篇一」1.椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆;(2)若a=c，则集合P为线段;(3)若a2.椭圆的标准方程和几何性质一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。
(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程。
三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c。
(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴。
椭圆方程的第一定义：⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上. ii. 中心在原点，焦点在轴上。
②一般方程.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为(一象限应是属于)。
⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴;长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距.⑤准线：或.⑥离心率.⑦焦点半径：i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出。
ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出。
由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”。
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆。
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程。
椭圆轨迹方程的求法
从课本看椭圆轨迹的求法一、待定系数法由不对称的两点确定椭圆方程时，由于焦点的位置不确定，一般可以用椭圆方程的一般形式，不必考虑焦点位置，直接用待定系数求解即可。
【例1】求经过两点)21,0(),31,31(-Q P 的椭圆的标准方程。
【答案】1415122=+y x 【解析】由于椭圆的焦点位置不确定，可以设椭圆方程的一般形式122=+ny mx 椭圆经过)21,0(),31,31(-Q P 两点，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+14199n n m ，解之得⎩⎨⎧==45n m 故所求椭圆的标准方程为1415122=+y x . 二、定义利用定义求椭圆方程，关键在于从题干中寻找“动点到两定点的距离和为常数”，找准这一关系式，则确定了标准方程中的a ，c 。
【例2】一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 【答案】2213627x y += 【解析】设动圆圆心为),(y x M ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ， 将圆方程化解得()2234x y ++=，()223100x y -+=当⊙M 与1O 外切时，有12O M R =+，①当⊙M 与2O 内切时，有210O M R =-，② 将①②两式的两边分别相加，得1212O M O M +=，由椭圆的定义知，M 的轨迹是以1O 、2O 为焦点的椭圆则有3,6==c a ．从而所求椭圆方程为2213627x y +=. 【例3】如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点(1,0)B 是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程。
【答案】13422=+y x 【解析】因为1l 是线段BP 的垂直平分线，所以||||QB QP =即42QA QB AP AB +==>=由椭圆定义可知Q 点的轨迹是椭圆，且3,1,2===b c a ，所以曲线C 的方程为13422=+y x . 三、直接法直接法是将题干中的几何关系直接转化，化简，在处理时要注意几何关系有意义的前提条件，最后判断方程的曲线，曲线的方程是否一一对应。
椭圆焦点三角形_五心_轨迹探究
左 、 右 焦 点 ， 点 Ｐ 在 楠 圆 Ｃ 上 （ 异 于 左 右 顶 点 ） ， 通 常
把
称 为 楠 圆 的 焦 点 三 角 形 ．
旁 三 角 形
的“
五心”（ 内
心
外 、
心 、
重心
垂心
、
、
心 ）
具 有 相 似 的 来 源 背 景 ， 丰 富 的 几 何 性 质 ， 统 的 一 向 量
表 示 ． 当 它 们 和 圆 锥 曲 线 的 焦 点 三 角 形 结 合 时 ， 则
１
—
攀
—
－
—
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—
—
—
＊
ｍｎ ｍｎ３
Ａｌ 设 则 ｘ Ｊ （
ｙ ， ：
），
ｉ ｒ ｉ
故 内 心 １ 的
轨 迹 方 程 为 ＋ ｙ 古 士 ２ ：ｃ
３
＝ ｌ （ ｘ
１ ） ．
解法五 设
Ｆ Ｆ ，
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｜
＿
Ｚ Ｆ ＰＦ ｓｉ ｎ
１
２
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２
＼
ｓ ｎ ｉ ａ
则 ＝ ？ ， ／
ｓ
＋ ａ
ｃ
，
故旁心
Ａｆ
的 轨 迹 方 程 为 ｘ
ｙ ＾ ＝ ａ （
０
） ．
收 稿 期 （
日
０ ２
：
—
１ ９ — ０ ９
２ ３ ）
点 则 的 一 ，
的 内 心 Ｇ 的 轨 迹 是 椭 圆 ， 其方
程 为
＊ Ｃ
＇
＋ ａ
ｃ
Ｆ
Ｃ ＝ Ｆ Ａ Ｆ
＋ Ａ Ｆ Ｐ
椭圆重点知识点复习
圆锥曲线★知识网络★第1讲椭圆★知识梳理★1.椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点F l、F2的距离之和为常数2a（2a |F2F2|）的动点P的轨迹叫椭圆，其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点.当PF1 PF2 2a F^2时,P的轨迹为椭圆；；当PF1 PF2 2a F^2时，P的轨迹不存在；当PF1 PF? 2a FT?时，p的轨迹为以F1、F2为端点的线段（2）椭圆的第二定义：平面内到定点F与定直线丨（定点F不在定直线I上）的距离之比是常数e（0 e 1）的点的轨迹为椭圆（利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）★重难点突破★重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义法和待定系数法、坐标转移法、求椭圆的标准方程，能通过方程 研究椭圆的几何性质及其应用难点:椭圆的几何元素与参数a，b ，c 的转换的关系1•要有用定义的意识则AB［解析］ABF 2的周长为4a 20， AB =8 2•求标准方程要注意焦点的定位4 m 1m 3［解析］当焦点在x 轴上时，22重难点：运用数形结合，围绕“焦点三角形” ，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数a,b,c2x问题1已知F l 、F2为椭圆251的两个焦过F i 的直线交椭圆于A 、B 两点若F 2A 122x问题2木椭圆4 2y_ m 1的离心率为 1 2，则m16m -综上 3或3★热点考点题型探析★ 考点1椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用［例1 ］(湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭 圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ,焦距为2c ,静放在点 A 的小球(小球的半径不计) 次回到点A 时，小球经过的路程是 A . 4a B . 2(a — c) C . 2(a+c)D .以上答案均有可能［解析］按小球的运行路径分三种情况 ：(1)A C A ,此时小球经过的路程为 2(a — c);⑵A B D B A ,此时小球经过的路程为 2(a+c);⑶A P B Q A 此时小球经过的路程为 4a,故选D【名师指弓I 】考虑小球的运行路径要全面 题型2求椭圆的标准方程［例2 ］设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4、2 — 4,求此椭圆方程.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数 a ,b ,c的数量关系.［警示］易漏焦点在 y 轴上的情况. 考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率(或范围) ［例3 ］在厶ABC 中，A 30°,| AB| 2, S ABC 3 .若以A B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的 离心率em 4 1 当焦点在y 轴上时，m 216~3，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第【解题思路】将题中所给条件用关于参数a，b,c 的式子“描述”出来［解析］设椭圆的方程为2y b 22y 2 a1(a b0)则,b c 4(、2.2 2b c1)解之得:4 - 2 , b=c = 4•则所求的椭圆的方程为 2x 32 2y_ 16x 2或16 2红132【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率1S ABC — |AB| |AC|si nA 屈 ［解析］2|AC| 2j3 |BC| J|AB|2| AC f 2|AB| |AC|cosA 2| AB| 2|AC| |BC| 2、3 2【名师指引】（1 ）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也 随之确定 （2） 只要列出a 、b 、c 的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3） “焦点三角形”应给予足够关注题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）P（x,y ），用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为 x 的函数，关键是要具有“函数思想” 考点4椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题x 2［例4 ］已知实数x,y 满足42y_ 21 2 ，求X 2y X 的最大值与最小值2 2把x y X 看作X 的函数2X 2 y 1 21 2— y 2 x ［解析］由 4 2 得 21 2222 - X X 22 X 2yX 1 2 X X 2 1 2-(X 1) 3-,x ［ 2,2］22232 2 — 2 2当X 1时,x y x 取得最小值2 ,当x 2时，x y x取得最大值6 【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错 考点3椭圆的最值问题题型：动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值2X［例5 ］椭圆161上的点到直线I ：y 9 0的距离的最小值为【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数［解析］在椭圆上任取一点P 设P （4cos ,3sin）.那么点P 到直线l 的距离为: 14cos 3sin1厂1212|【名师指引】也可以直接设点 【解题思0 1［例6］已知椭圆C 的中心为坐标原点 。
椭圆的轨迹方程PPT课件
2020年9月28日
汇报人：云博图文 日期：20XX年10月10日
21
2020年9月28日
y
M O
Ax
18
练习解答
解：设M (x, y)，A(5，0), B(5，0)
y
y
kMA x 5 , kMB x 5
B
yy
kMA
kMB
2
x5
x
5
2
y
M O
Ax
y2 2x2 50 2x2 y2 50
2020年9月28日
M的轨迹方程为：x2 y2 1 25 50
y0 2
x0
x, y0
2y
点P(x0 , y0 )在圆 x2 y2 4 上，所以
x02 y02 4 x2 4 y2 4
x2 y2 1 轨迹是焦距为2 3，e 3 的椭圆
4
2
2020年9月28日
y
P
M
x
O
D
4
椭圆的第一定义——点的轨迹
y
如图：在圆C：(x 1)2 y2 16内有一点A(1, 0). B为圆C上一点，AB的垂直平分线与CB的连
C1
求圆心P的轨迹
P C2
2020年9月28日
x
9
典型例题 y 解：动圆P与C1外切，与C2内切
PC1 RP RC1
PC2 RC2 RP
PC1 PC2 RP RC1 RC2 RP
PC1 PC2 RC1 RC2 16
C1
C1,C2为定点 P到两个定点的距离为定值
动点P的轨迹是椭圆 2a 16 2c C1C2 8
整理可得：9x2 25y2 225 标准方程为：x2 y2 1
高中数学 破题致胜微方法(椭圆的参数方程)四 利用椭圆的参数方程求轨迹(1)
利用椭圆的参数方程求轨迹今天我们研究利用椭圆的参数方程求轨迹问题.已知椭圆的标准方程，则可以将椭圆的方程改写成参数方程，通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标，利用动点与椭圆上已知点的关系，建立坐标等式，消去参数化简得到动点的轨迹方程. 先看例题例：定点(0,2)A 与椭圆2221x y +=上的动点M 相连线段的中点的轨迹的参数方程为？注意椭圆的参数方程：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：焦点在x 轴上的椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数. 焦点在y 轴上的椭圆：22221(0)y x a b a b +=>>，cos ,()sin x b y a θθθ=⎧⎨=⎩为参数. 以上的[)0,2θπ∈.例2：点P 为椭圆221691x y +=上异于长轴端点的任意一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，求 12PF F 重心的轨迹方程.总结：1.一般处理此类问题，先利用椭圆的参数方程,设出椭圆上点的坐标，注意：如果是椭圆的一部分，要注意参数方程中参数θ的范围.2.利用动点与已知点的关系，建立有关动点的等式，得到参数方程.消去参数后得到动点的普通方程轨迹方程.练习题：1.已知点A在椭圆22114436x y+=上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且12AMMB=，试求动点M的轨迹方程.2.已知椭圆方程为22221x ya b+=，椭圆长轴的左、右顶点分别为A1，A2，P是椭圆上任一点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，且A1Q与A2Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程. 练习题解析：1.已知点A在椭圆22114436x y+=上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且12AMMB=，试求动点M的轨迹方程.2.已知椭圆方程为22221x y a b+=，椭圆长轴的左、右顶点分别为A 1，A 2，P 是椭圆上任一点， 引 A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，且A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程. 解：设椭圆的参数方程为cos ,(2sin x a y b θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数,且0). 则P 点坐标为 ()cos ,sin a b θθ ，由题意知，cos θ≠1，sin θ≠0 . ∵1sin cos A P b k a a θθ=+，2sin cos A P b k a a θθ=-， ∴111(cos 1),sin A Q A P a k k b θθ-+==- 221(cos 1).sin A Q A P a k k b θθ--==- ∴A 1Q 的方程为(cos 1)()sin a y x a b θθ+=-+ ① A 2Q 的方程为(cos 1)()sin a y x a b θθ-=-- ② ①×② ，得()()22222222222(cos 1)sin a a y x a x a b b θθ-=⋅-=-⋅-. 化简整理，得224221(0),x y y a a b +=≠即为所求的轨迹方程.。
人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第二课时与椭圆有关的轨迹问题
人A数学选择性必修1
预习教材，思考问题 问题1 椭圆是如何定义的？ 问题2 椭圆的标准方程是如何推导的？
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人A数学选择性必修1
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[预习自测]
1．(多选)下列说法中正确的是( AC )
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的 点的轨迹是线段
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课时作业 巩固提升
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又点 P 在椭圆x42＋y82＝1 上， 所以24x2＋28y2＝1， 即中点 Q 的轨迹方程为 x2＋y22＝1.
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利用定义法解决与椭圆有关的轨迹问题
定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件， 看 所求动点轨迹是否符合 椭圆 的定义．若符合椭圆的定义，则用 _待__定__系__数__法___求解即可．
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第二课时 与椭圆有关的轨迹问题
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[学习目标] 1.了解求曲线轨迹方程的三种方法：定义法、直接法、代入法． 2.初步解决与椭圆有关的轨迹问题．
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必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升
人A数学选择性必修1
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[解析] 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)，则点 D 的坐
标为(x0,0)．由点 M 是线段 PD 的中点，得 x＝x0，y＝y20.
因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，所以点 P 的坐标满足圆的方程，即 x20＋y20＝4.① 把 x0＝x，y0＝2y 代入方程①，得 x2＋4y2＝4， 即x42＋y2＝1，
怎样运用椭圆的定义求解与椭圆有关的轨迹问题
而h ′1()x =12x，h ′2()x =-2x .由h ′1()x 0=h ′2()x 0得-12x 20=-2x 0，解得x 0，y 0=，所以p èø，则m =èø2+.画出h 1()x=12x和h 2()x =-x 2+m 的图象，如图1、2、3所示.由图可知，当m时，两个函数图象有1个交点；当m =时，两个函数图象有2个交点；当m 时，两个函数图象有3个交点.即当m >时，方程有1个根；当m =时，方程有2个根；当m 时，方程有3个根.将原方程解的个数转化为两个函数h 1()x =12x和h 2()x =-x 2+m 的交点的个数.而两个函数一定一动，确定两个函数图象相切时的位置，便可确定两个函数图象交点的个数.利用导数的几何意义便可求得切点的坐标，进而得到两图象相切时m 的取值.函数、方程之间的联系紧密.在解答含参方程问题时，我们要注意将问题转化为函数问题来求解，利用导数法、函数的图象来分析、解答问题.这样不仅能拓宽解题的思路，还能有效地提升解题的效率.(作者单位:江西省赣州市赣县中学)图1图2图3求解圆锥曲线轨迹问题的方法有很多，比如定义法、直接法、相关点法（或叫代入法）、参数法等.对于与椭圆有关的轨迹问题，我们也同样可以运用这些方法来求解.其中定义法是应用范围最广、使用频率最高的一种方法.而椭圆的定义有三种:第一、二、三定义,本文重点探讨如何运用椭圆的这三个定义来求解与椭圆有关的轨迹问题.一、椭圆的第一定义椭圆的第一定义：平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.在求解与椭圆有关的轨迹问题时，我们可以直接套用椭圆的第一定义，寻找动点到两定点的距离之和，然后建立关系式,即∣F 1F 2∣=2c ,|PF 1|+|PF 2|=2a ,得到椭圆的焦距、长轴长，进而求得曲线的轨迹方程.例1.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，M 为椭圆上的一个动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是（）.A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：不妨设椭圆C 的右焦点为F 2，根据椭圆的第一定义不难得到：|PF 1|+|PO |=12(|MF 1|+|MF 2|)=a >c ,根据椭圆的第一定义可知点P 的轨迹是椭圆.解：设椭圆C 的右焦点为F 2，坐标原点为O ，由椭圆的定义得|MF 1|+|MF 2|=2a >2c ，则|PF 1|+|PO |=12(|MF 1|+|MF 2|)=a >c ，则点P 的轨迹是以F 1、O 为焦点的椭圆，故本题答案为B 项.二、椭圆的第二定义圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e 的点的轨迹，其中定点为焦点，定直线为准线.当0<e <1时该曲线为椭圆；当e =1时该曲线为抛物线；当e >1时该曲线为双曲线.椭圆的第二朱园娇章长红解题宝典39解题宝典定义将焦半径的长度转化为到准线的距离，突出曲线上动点的横坐标.在解题时，我们只需要明确准线的位置和椭圆上的动点的横坐标，便可使问题得解.例2.已知点P 是正四面体V -ABC 侧面VBC 上一点，且点P 到底面ABC 的距离与它到顶点V 的距离相等，则动点P 的轨迹（）.A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分解：过P 作PD ⊥平面ABC 于D ，过D 作DH ⊥BC 于H ，连接PH ，如图1，由题意可得BC ⊥平面DPH ，所以BC ⊥PH ，故∠PHD 为二面角V -BC -A 的平面角，令其为α，则在Rt△PDH 中，||PD :||PH =sin α，又点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，即||PV =||PD ，所以||PV :||PH =sin α<1，所以在平面VBC 中，点P 到点V 的距离与到直线BC 的距离之比为sin α<1，由椭圆的第二定义知P 点的轨迹为椭圆在平面VBC 内的一部分．解答这个题目的关键是作出并求得点P 到底面的距离.通过添加辅助线，设二面角V -BC -A 为α，由二面角的定义可得点P 到点V 的距离与定直线BC 的距离之比为一个常数，根据椭圆的第二定义即可得到问题的答案.三、椭圆的第三定义椭圆的第三定义也叫椭圆的斜率积定义，是指平面内动点到两定点A 1(a ,0)和A 2(-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.其中两定点为椭圆的顶点.椭圆的第三定义将斜率的乘积作为主要关系，那么我们在解题时可以根据斜率的这种关系来进行求解.例3.设P 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的动点，F 1,F 2为椭圆的两个焦点，I 为△PF 1F 2的内心，求点I的轨迹方程．解析：由于本题是与焦点三角形的内切圆有关的问题，所以要依据分割图形的面积来寻找圆的半径和三角形三边之间的关系.由内心I 是动点，F 1和F 2是两个定点，我们可联想到椭圆的第三定义，结合这两个关系式得到IF 1与IF 2的斜率之积是一常数，根据椭圆的第三定义就不难发现并求得点I 的轨迹方程.解：如图2，设内切圆I 与F 1F 2的切点为H ，半径为r ，且设F 1H =y ，F 2H =z ,PF 1=x +y ,PF 2=x +z ,c =a 2+b 2，则{y +z =2c ,2x +y +z =2a ,所以直线IF 1与IF 2的斜率之积为k IF 1∙k IF 2=-IH 2F 1H ∙F 2H=-r 2yz ，而根据海伦公式可得△PF 1F 2的面积为()x +y +z r =xyz ()x +y +z ，因此k IF 1∙k IF 2=-x x +y +z =-a -ca +c .根据椭圆的斜率积定义可得I 点的轨迹是以F 1F 2为长轴，离心率为e 的椭圆，其标准方程为x 2c 2+y 2a -c a +c∙c 2=1()y ≠0.我们知道，椭圆中有个重要的结论：椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上任意一点到椭圆长轴的两个端点的斜率之积等于-b2a2.椭圆的第三定义是这个结论的逆命题.因此，对于椭圆中与角度、斜率有关的问题，我们都可以利用椭圆的第三定义，根据椭圆中与角度、斜率建立关系式，求得椭圆的方程.以上三个题目分别借助椭圆的第一定义、第二定义、第三定义求解与椭圆有关的轨迹问题.在解题过程中，我们要学会依据题意，结合图形，紧扣椭圆的三个定义对题目中的条件进行转化，比如，例1是根据椭圆的第一定义将中位线转化为动点到两定点的距离之和，例2是根据椭圆的第二定义，将点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离之间的关系转化为点P 到点V 的距离与到直线BC 的距离之比，例3是根据椭圆的第三定义，将圆的半径和三角形三边之间的关系转化为k IF 1∙k IF 2.通过转化便可建立动点满足的等量关系式，联系椭圆的定义，从而达到解答与椭圆有关的轨迹问题的目的.(作者单位:江西省余干第一中学)图1图240。
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数学规律的理论推导 数学解题方法探究 变式训练提高能力
2020/6/20
一、根据定义确定轨迹方程 例1．（2008辽宁）在平面直角坐标系xOy中，
点P到两点(0, )(0,3 － )，3的Байду номын сангаас离之和
等于4，设点P的轨迹为C． （1）写出C的方程； （2）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为 何值时OA⊥OB？此时AB的值是多少？
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二、待定系数法确定轨迹方程
•
例2．（2008年山东）已知曲线C1： ax
y b
1(ab0)
• 所圆为围半顶成 径 点的 为 的封 椭2 3闭 圆5 ．图 ．记形C的2面为积以为曲线4 C5 ，1与曲坐线标C轴1的的内交切点
• （Ⅰ）求椭圆C2的标准方程； • （Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段
• （1）求椭圆C的方程； • （2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直
于x轴的直线上的点，|OP|=λ|OM| ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
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三、相关点法确定轨迹方程
例5．设A、B为椭圆长轴的两端点，P为椭 圆上一动点（不同于A、B），作AQ⊥PA， BQ⊥PB，求直线AQ与BQ的交点Q的轨迹 方程．
y
P
A
O
B x
Q
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探究方法小结
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AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．
• （1）若|MO|=λ|OA|（为坐标原点），当点A在 椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
• （2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积 的最小值．
2020/6/20
• 例4（2009宁夏海南）已知椭圆C的中心为直 角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一 个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.