利用MATLAB软件编写辛普森求积公式程序
MATLAB数值分析实验二(复合梯形、辛普森和龙贝格求积,以及二重积分计算等)
佛山科学技术学院实验报告课程名称_______________ 数值分析________________________实验项目_______________ 数值积分____________________专业班级机械工程姓名余红杰学号2111505010 指导教师陈剑成绩日期月日一、实验目的b1、理解如何在计算机上使用数值方法计算定积分 a f ""X的近似值；2、学会复合梯形、复合Simpson和龙贝格求积分公式的编程与应用。
3、探索二重积分.11 f （x, y）dxdy在矩形区域D = ｛（ x, y） | a _ x _ b, c _ y _ d｝的数值D积分方法。
二、实验要求（1）按照题目要求完成实验内容；（2）写出相应的Matlab程序；（3）给出实验结果（可以用表格展示实验结果）；（4）分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。
（5）写出实验报告。
三、实验步骤1、用不同数值方法计算积xln xdx =-- 0 9（1）取不同的步长h，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两公式的精度。
（2）用龙贝格求积计算完成问题（1 ）。
2、给出一种求矩形区域上二重积分的复化求积方法，然后计算二重积分..e"y dxdy，其中积分区域D二｛0乞x岂1,0岂y乞1｝。
1.%lnt_t.m复化梯形：function F = Int_t(x1,x2,n)%复化梯形求积公式% x1,x2为积分起点和中点%分为n个区间，没选用步长可以防止区间数为非整数。
%样点矩阵及其函数值：x = lin space(x1,x2 ,n+1);y = f(x);m = len gth(x);%本题中用Matlab计算端点位置函数值为NaN,故化为零: y(1) = 0;y(m) = 0;%算岀区间长度，步长h：h = (x2 -x1)/n;a = [1 2*o nes(1,m-2) 1];%计算估计的积分值：F = h/2*sum(a.*y);%f.mfun cti on y = f(x)y = sqrt(x).*log(x);%run 11.mclc,clear;%分为10个区间，步长0.1的积分值：F = In t_t(0,1,10);F10 = F%分为100个区间F = In t_t(0,1,100);F100 = F%误差计算W10 = abs((-4/9)-F10);W100 = abs((-4/9)-F100);W = [W10 W100]%复化辛普森：%l nt_s.mfun cti on F = In t_s(x1,x2 ,n)%复化梯形求积公式% x1,x2区间，分为n个区间。
复合辛普森 matlab 二重积分
复合辛普森 matlab 二重积分在数值计算中，二重积分是一种常见的数值计算方法，可以用于求解二维平面上某个区域内的函数积分值。
而辛普森法则是一种通过近似曲线与函数的面积来计算积分值的方法。
复合辛普森法则是辛普森法则的一种扩展，通过将区域划分为多个小矩形，并在每个小矩形内使用辛普森法则来计算积分值，从而提高计算的精度。
在MATLAB中，我们可以利用复合辛普森法则来计算二重积分。
下面将介绍如何使用MATLAB来实现复合辛普森法则进行二重积分的计算。
首先，我们需要定义一个二重积分的函数。
假设我们要计算的函数为f(x, y)，其中x和y是二维坐标。
我们可以在MATLAB中通过定义一个函数来表示f(x, y)，例如：```matlabfunction z = f(x, y)% 这里是函数表达式，根据实际情况来定义z = ...end```接下来，我们需要确定积分区域。
假设积分区域为一个矩形，左下角的坐标为(a, c)，右上角的坐标为(b, d)。
为了方便计算，我们将矩形划分为Nx * Ny个小矩形。
然后，我们需要确定每个小矩形的边界。
令dx = (b - a) / Nx和dy = (d - c) / Ny，表示x和y方向上每个小矩形的长度。
接下来，我们可以利用复合辛普森法则来计算二重积分的近似值。
具体步骤如下：1. 创建一个初始积分值变量I，初始化为0。
2. 使用双重循环来遍历每个小矩形的顶点，即遍历变量i和j分别从1到Nx和1到Ny。
3. 在每个小矩形内，利用辛普森法则计算积分值。
假设当前小矩形的左下角坐标为(x0, y0)，右上角坐标为(x1, y1)。
则可以通过以下代码计算积分值：```matlabx = [x0, (x0 + x1) / 2, x1];y = [y0, (y0 + y1) / 2, y1];z = f(x, y);I = I + dx * dy / 9 * (z(1) + 4 * z(2) + z(3));```4. 循环结束后，变量I即为二重积分的近似值。
复合梯形公式、复合辛普森公式matlab
复合梯形公式、复合⾟普森公式matlab 1. ⽤1阶⾄4阶Newton-Cotes公式计算积分程序：function I = NewtonCotes(f,a,b,type)%syms t;t=findsym(sym(f));I=0;switch typecase 1,I=((b-a)/2)*(subs(sym(f),t,a)+subs(sym(f),t,b));case 2,I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),t,a)+4*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...subs(sym(f),t,b));case 3,I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),t,a)+3*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...3*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+subs(sym(f),t,b));case 4,I=((b-a)/90)*(7*subs(sym(f),t,a)+...32*subs(sym(f),t,(3*a+b)/4)+...12*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...32*subs(sym(f),t,(a+3*b)/4)+7*subs(sym(f),t,b));case 5,I=((b-a)/288)*(19*subs(sym(f),t,a)+...75*subs(sym(f),t,(4*a+b)/5)+...50*subs(sym(f),t,(3*a+2*b)/5)+...50*subs(sym(f),t,(2*a+3*b)/5)+...75*subs(sym(f),t,(a+4*b)/5)+19*subs(sym(f),t,b));case 6,I=((b-a)/840)*(41*subs(sym(f),t,a)+...216*subs(sym(f),t,(5*a+b)/6)+...27*subs(sym(f),t,(2*a+b)/3)+...272*subs(sym(f),t,(a+b)/2)+...27*subs(sym(f),t,(a+2*b)/3)+...216*subs(sym(f),t,(a+5*b)/6)+...41*subs(sym(f),t,b));case 7,I=((b-a)/17280)*(751*subs(sym(f),t,a)+...3577*subs(sym(f),t,(6*a+b)/7)+...1323*subs(sym(f),t,(5*a+2*b)/7)+...2989*subs(sym(f),t,(3*a+4*b)/7)+...1323*subs(sym(f),t,(2*a+5*b)/7)+...3577*subs(sym(f),t,(a+6*b)/7)+751*subs(sym(f),t,b));endsyms xf=exp(-x).*sin(x);a=0;b=2*pi;I = NewtonCotes(f,a,b,1)N=1:I =N=2:I =N=3:I =(pi*((3*3^(1/2)*exp(-(2*pi)/3))/2 - (3*3^(1/2)*exp(-(4*pi)/3))/2))/4N=4:I =(pi*(32*exp(-pi/2) - 32*exp(-(3*pi)/2)))/452. 已知，因此可以通过数值积分计算的近似值。
MATLAB数值分析实验二(复合梯形、辛普森和龙贝格求积,以及二重积分计算等)
佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 数值积分专业班级 机械工程 姓 名 余红杰 学 号 2111505010 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日一、实验目的1、理解如何在计算机上使用数值方法计算定积分⎰badxx f )(的近似值;2、学会复合梯形、复合Simpson 和龙贝格求积分公式的编程与应用。
3、探索二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(在矩形区域},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=的数值积分方法。
二、实验要求（1） 按照题目要求完成实验内容； （2） 写出相应的Matlab 程序；（3） 给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； （4） 分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。
（5） 写出实验报告。
三、实验步骤1、用不同数值方法计算积分149xdx =-（1）取不同的步长h ，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两公式的精度。
（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。
2、给出一种求矩形区域上二重积分的复化求积方法，然后计算二重积分xyDedxdy -⎰⎰，其中积分区域{01,01}D x y =≤≤≤≤。
1.%Int_t.m 复化梯形：function F = Int_t(x1,x2,n)% 复化梯形求积公式% x1,x2 为积分起点和中点%分为n个区间，没选用步长可以防止区间数为非整数。
%样点矩阵及其函数值：x = linspace(x1,x2,n+1);y = f(x);m = length(x);%本题中用Matlab计算端点位置函数值为NaN,故化为零：y(1) = 0;y(m) = 0;%算出区间长度，步长h：h = (x2 -x1)/n;a = [1 2*ones(1,m-2) 1];%计算估计的积分值：F = h/2*sum(a.*y);%f.mfunction y = f(x)y = sqrt(x).*log(x);%run11.mclc,clear;%分为10个区间，步长0.1的积分值：F = Int_t(0,1,10);F10 = F%分为100个区间F = Int_t(0,1,100);F100 = F%误差计算W10 = abs((-4/9)-F10);W100 = abs((-4/9)-F100);W = [W10 W100]%复化辛普森：%Int_s.mfunction F = Int_s(x1,x2,n)% 复化梯形求积公式% x1,x2 区间，分为n个区间。
复合梯形和复合辛普森MATLAB程序
fork=1:(b-a)/h,
s= s+y(k)+y(k+1)+4*z(k);
end
s=s*h./6;
③龙贝格求积程序
function[q,R]=Romberg(a,b,eps)
h=b-a;
R(1,1)=h*(0+sqrt(b).*log(b))/2;
M=1;
J=0;
err=1;
whileerr>eps
五．实验结果比较与分析
（1）
h = 0.2时，结果如下：
h = 0.02时，结果如下：
h = 0.002时；得到的结果如下：
由结果（1）可知对于同一步长h，复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即h越小时，积分精度越高。实验结果说明不存在一个最小的h,使得精度不能再被改善。又两个相应的关于h的误差（余项）Rn(f)=- h2f’’(η)；Rn(f)=- (h/2)4f(4)(η),其中η属于a到b。可知h愈小，余项愈小，从而积分精度越高。
>> h=0.002;
>> t=TiXing_quad(a,b,h)
>> s=Simpson_quad(a,b,h)
（2）
>> a=0;
>> b=1;
>> eps=10^-8;
>> [quad,R]=Romberg(a,b,eps)
（3）
>> a=0;
>> b=1;
>> eps=10^-4;
>> q=ZiShiYingSimpson('sqrt(x).*log(x)',a,b,eps)
复合辛普森公式matlab例题
文章标题：深度剖析复合辛普森公式在Matlab中的应用1.引言复合辛普森公式是数值分析中常用的积分逼近方法，在工程和科学领域都有广泛的应用。
本文将深入探讨复合辛普森公式的原理和在Matlab中的具体例题应用，以帮助读者全面理解该方法的实际操作和应用场景。
2.复合辛普森公式简介复合辛普森公式是一种数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上使用辛普森公式进行积分逼近，最终得到整个积分区间上的近似值。
其公式表达为：\[ S_n(h) = \frac{h}{3}[f(x_0) + 4\sum_{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1}) +2\sum_{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i}) + f(x_n)] \]其中，\(h\)为步长，\(n\)为分割的小区间数。
3. Matlab实例应用假设要对函数\(f(x) = x^3 + 2x^2 + 4x + 1\)在区间\([a, b]\)上进行积分逼近，可以通过Matlab编程实现复合辛普森公式的应用。
需要确定积分区间的上下限，然后计算步长\(h\)，接着编写Matlab代码进行求解。
```matlabfunction result = simpson(f, a, b, n)h = (b - a) / n;x = a:h:b;y = f(x);result = h/3 * (y(1) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)) + y(end));end% 调用simpson函数进行积分逼近f = @(x) x.^3 + 2*x.^2 + 4*x + 1;a = 1;b = 2; n = 4;result = simpson(f, a, b, n);disp(result);```在以上Matlab代码中，首先定义了一个名为simpson的函数，用于计算复合辛普森公式的近似积分值。
自适应Simpson积分算法(MATLAB及C++实现代码)
自适应S i m p s o n积分算法(M A T L A B及C++实现代码)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN自适应Simpson积分算法（MATLAB及C++实现代码）(计算数学课用)在CSDN论坛中找到了却要金币，无奈之下自己写了一份。
对于类似问题，改一下积分函数和区间即可。
针对问题：数学上已经证明了∫41+x2xx=x 1成立，所以可以通过数值积分来求π的近似值。
试利用自适应Simpson算法计算积分近似值。
C++版：(直接复制粘贴在VC++即可运行)/*用自适应Simpson积分方法计算积分值*/#include<iostream>#include<cmath>int n=0; 写积分函数文件：function y =f(x)y=4./(1+x.^2);end2.编写Simpson 迭代函数文件function y = Simpson( A,B,e,S )h=(B-A)/2;S1=h/6*(f(A)+f(A+h/2)+4*f(A+h/2));S2=h/6*(f(A+h)+4*af(A+3/2*h)+f(B));if abs(S-S1-S2)<10*e y= S1+S2;else y=Simpson(A,(A+B)/2,e/2,S1)+Simpson((A+B)/2,B,e/2,S2); endend3.编写脚本调用文件ticclear;a=0; b=1; %积分区间e=; %误差容限h=(b-a)/2;S=h/3*(f(a)+f(b)+4*f(1/2*(a+b))); %第一次Simpson积分值t=Simpson(a,b,e,S) %最终自适应方法积分值abs(pi-t) %实际误差e %设置的误差容限toc %返回所用时间亲测可用。
这两个代码本质上是一样的。
我先用C++语言写好，然后又换用成MATLAB语言。
三用MATLAB实现定积分计算
s=s+feval(f,z1(j))+feval(f,z2(j));
0,2*pi,1000)
end
s=
s=s*h/2;
-267.2458
Gauss-lobatto是改进的高斯积分方法,采取自适应求积方法
三 用MATLAB实现定积分计算： 2 sin xdx 0
⑴ 矩形公式与梯形公式 z1 =
形的公求式积代公数式精。度为对于1，f 辛(x)甫=1森, x公, 式x 2的, x代3，数应精该度有为 3。
节成点立我x，ba下i和们依f面系先(次介x数考11)将绍dfA虑f(x的i(，xx节))是d=使点x1取t代数, (x消数xAb,为1对xaa精f22)(2区/bx,度而21x间)尽使3代等可用Ab入2分2能(fa1，(的1高1x1)即2限计的)f可制(算所得a，的谓2b到n积高确给分斯b定定近2公aA后似t式1,)同A值d。2时t有,x确1代,x定数2
这两种用随机模拟的方式求积分近似值的方法 z=sum(y)*pi/2/n
/2
z=
蒙特卡罗方法
sin xdx
1.0010
0
3、蒙特卡罗方法的通用函数与调用格式
均值估计法
随机投点法 (设0≤ f(x) ≤1)
b
a
f
( x)dx
ba n
n i1
f
(a (b a)ui )
直接调用。这里被积函数为内部函数，无需另外定义。
s=gaussinteg(‘sin', 0, pi/2,1000) s=
1.0000
6000
§2 数值积分应用问题举例4000
2000
0
一 求卫星轨道长度