9个求积公式
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
几个低阶求积公式
几个低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1,2,4时，就分别 得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。
(1) 梯形公式
当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式
b
a
f
(x)dx
1(b a) f
2
(a)
f
(b)
定理6.2 （梯形公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有
连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为
（2） 辛卜生公式
当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式（或 称抛物线公式）
b a
f
(x)dx
1 6
(b
a)
f
(a) 4 f
(a b) 2
f
(b)
定理6.3（辛卜生公式的误差）设在[a,b]上具有连 续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为
R2
(
f
)
(b a)5 2880
f (4) ()
定理证明从略。
(a,b)
（3） 柯特斯公式。 当n=4时，牛顿-柯特斯公式为
b
a
f
(x)dxຫໍສະໝຸດ b a790f
(x0
)
32
f
(x1
)
12
f
(x2
)
32
f
(x3
)
7
f
(x4
)
定理6.4（柯特斯公式的误差）设在[a,b]上具有 连续的6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为
R4 (
f
)
8 945
b
4
a
7
f
(6) ()
R1
(
f
)
(b
求和公式和求积公式
求和公式和求积公式求和公式：1.等差数列求和公式：等差数列是一组数字，其中每个数字与前一个数字之间的差都是相等的。
例如，1，3，5，7，9是一个等差数列，差为2、等差数列求和公式可以表示为：S=(n/2)×(a+l)，其中S是等差数列的和，n是等差数列中的数字个数，a是等差数列的首项，l是等差数列的末项。
2.等比数列求和公式：等比数列是一组数字，其中每个数字与前一个数字之间的比例都是相等的。
例如，1，2，4，8，16是一个等比数列，比例为2、等比数列求和公式可以表示为：S=(a×(1-r^n))/(1-r)，其中S是等比数列的和，a是等比数列的首项，r是等比数列的公比，n是等比数列的项数。
3.平方和公式：平方和公式是指连续整数平方的和。
平方和公式可以表示为：S=(n×(n+1)×(2n+1))/6，其中S是连续整数平方的和，n是最后一个整数。
4.立方和公式：立方和公式是指连续整数立方的和。
立方和公式可以表示为：S=(n^2×(n+1)^2)/4，其中S是连续整数立方的和，n是最后一个整数。
求积公式：1.阶乘公式：阶乘是指从1到一些正整数的所有整数的乘积。
阶乘的公式表示为：n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1，其中n是正整数。
2.乘方公式：乘方是指将一个数自乘若干次。
乘方的公式表示为：a^n=a×a×a×...×a，其中a是底数，n是指数。
3.组合公式：组合是指从n个物品中取出r个物品的方式数，不考虑顺序。
组合的公式表示为：C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)，其中C是组合数，n是总物品数，r是取出的物品数。
4.乘法原理：乘法原理用于计算多个事件同时发生的总次数。
乘法原理的公式表示为：总次数=事件1发生的次数×事件2发生的次数×...×事件n发生的次数。
数值分析-数值积分详解
xk
和 Ak 的代数问题.
b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
11
例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。
1 1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1)
12
3.
插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
b
a
f ( x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b a 而高为 f ( ) 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 I (图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f ( ) 的值.
将 f ( ) 称为区间 [a, b]上的平均高度.
k 0
n
16
4 .
定义2
求积公式的收敛性与稳定性
在求积公式中，若
lim
n h 0 k 0
Ak f ( xk )
n
b
a
f ( x)dx,
( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的. 其中 h max 1i n
在求积公式中，由于计算 f ( xk )可能产生误差 k ，
ab 的“高度” f (c ) 2
近似地取代平均
高度 f ( )，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a ) f ( ab ). 2
6
一般地，可以在区间 [a, b] 上适当选取某些节点 xk ， 然后用 f ( xk ) 加权平均得到平均高度 f ( )的近似值，这样 构造出的求积公式具有下列形式：
代数精度插值求积及复化公式
a b n (k i ) 所以： Ak li ( xk ) Ai (k i) k 0
( i 0,1, ,n )所以，求积公式 7 1 是插值型的。
(必要性) 设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有次数不大于n 的多项式f (x)，按（7-6）其求积余项Rn = 0，即这时插值型求积公 式是精确成立的。由定义1,n+1个节点的插值型求积公式至少具有 n次代数精度。（证毕） 注：n+1个节点的求积公式不一定具有n次代数精度.其原因是 此求积公式不一定是插值型的。 例： 例3 考察求积公式：
1
xdx 0 右边
§2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式 本节介绍节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特 斯（Newton-Cotes）公式。 2.1 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式 设将积分区间[a, b] 划分为n等分,步长h=(b-a)/n,求积节点取为 xk = a+kh(k=0,1,…,n),由此构造插值型求积公式,则其求积系数为:
b bBiblioteka n x x j Ak lk ( x )dx dx (k 0,1, , n) 引入变换x a th a a j 0 xk x j jk n n n n t j b a ( 1)n k 则有 : Ak h dt ( t j )dt ( k 0,1, , n) 0 0 n k !( n k )! j 0 k j j 0
2h A A A 1 0 1 h 4h 0 h ( A A ) A A , A 1 1 1 1 0 3 3 3 2h h 2 ( A1 A1 ) 3
数值分析10_4。4高斯型求积公式
Px
x
n1
Q( x)
其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
b
a
x
f
xdx
b
a
x Qx dx
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作
8
即
b
a
x
Q
x
dx
n
Ak
Q
xk
k 0
注意到 n1xk 0 知 Qxk f xk ，从而有
b
a
x f
x dx
n
Ak
f
xk
k 0
Gauss-Chebyshev求积公式为
1
1
1 1 x2
f
xdx
3
f
3 2
f 0
f
3 2
,
华长生制作
19
例 计算积分
1 2 x dx
1 1 x 2
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x
于是有
1 1
2 x 1 x2
dx
3
2 3 2
2
2
3 2
多项式。n+1次Chebyshev多项式
Tn1x cos[(n 1) arccos x]
的零点为
xk
cos 2k 1 , k
2n 2
0,1,
, n.
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
1
Ak 1
1 1
x2
lk xdx
,k
n 1
0,1,
n.
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss-
积分公式
dx 5 4x x2
(请你写出答案)
例 25 解 求原函数
1 x dx .
1
4
因为
1 x 4 (1 2 x 2 x 4 ) 2 x 2 (1 x 2 ) 2 ( 2 x) 2 (1 2 x x 2 )(1 2 x x 2 )
[套用公式⒄]
32 x2 x2 2 arcsin 3 ( x 2)2 2 3 2
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是数学的一个重要分支，研究的是函数的极限、导数和积分等概念及其应用。
下面将介绍16个微积分公式，包括导数和积分的基本公式以及一些常用的微积分技巧。
一、导数的基本公式1. 常数函数的导数公式：常数函数的导数为0。
这是因为常数函数在任意点的斜率都是0。
2. 幂函数的导数公式：幂函数的导数等于指数乘以底数的指数减1。
3. 指数函数的导数公式：指数函数的导数等于该函数自身乘以底数的自然对数。
4. 对数函数的导数公式：对数函数的导数等于该函数自身除以自变量。
5. 三角函数的导数公式：三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系推导得出。
二、积分的基本公式1. 定积分的基本公式：定积分可以看作是函数在给定区间上的面积。
计算定积分可以使用牛顿-莱布尼茨公式，即求导和积分的逆运算。
2. 不定积分的基本公式：不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。
计算不定积分可以使用导数和积分的基本公式。
三、微积分的常用技巧1. 函数的导数与原函数的关系：函数的导数可以用来求函数的原函数，而函数的原函数可以用来求函数的积分。
2. 导数的链式法则：如果一个函数是两个函数的复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来计算。
3. 积分的换元法：积分的换元法是一种常用的求积法则，可以通过变量代换来简化积分的计算。
4. 积分的分部积分法：分部积分法是积分的一种常用技巧，可以将一个复杂的积分转化为两个简单的积分。
5. 积分的化简技巧：有时候，积分的式子可以通过一些化简技巧来简化，如分子分母的拆分、积分区间的变换等。
6. 导数的极值问题：导数可以用来求函数的极值点，通过判断导数的正负可以确定函数的增减性。
7. 积分的应用：积分在物理学、经济学等领域有广泛的应用，如求曲线的长度、求物体的质心等。
8. 微分方程的解法：微分方程是微积分的一个重要应用，可以用来描述物理系统的变化规律。
求解微分方程可以通过积分的方法来得到解析解。
9. 隐函数的求导：隐函数是指用一个方程来表示的函数，它的导数可以通过求偏导数来计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章共包含9个求积公式，1个余项公式。
1，机械求积公式
f x dx = A k f (x k )n
k =0b a
2，插值求积公式
Ln x dx =b a [ l k (x )dx b
a L (x k )n k =0] 3，梯形求积公式
f x dx =
b −a b a [f a +f b ] R n x =− b −a 3f ′′ ξ 4，辛普森求积公式
f x dx =
b −a b a [f a +f (a +b )+f b ] R n x =− b −a (b −a )4f (4) ξ 5，复合梯形公式 f x dx =ℎb
a [f a + f x k n−1k =1+f
b ] h=(b-a)/n
R n x =−
b −a h 2f ′′ ξ
6，复合辛普森公式
f x dx =ℎb a [f a +4 f x k +12 n−1k =0+2 f x k n−1k =1+f b ] h=(b-a)/n
R n x =−
b −a (h )4f (4) ξ
7，高斯求积公式
ρ(x )f x dx = A k f (x k )n k =0b a
其中x k 为高斯点，n+1个节点对应2n+1级代数精度。
高斯点公式：ωn+1=（x-x 0）（x-x 1）…（x-x n ）= x n+1 + a 0x n + a 1x n-1+…+a n-1x+a n ，用 ρ(x )ωn +1 x φk (x )dx b
a =0(k=0,…，n)求出待定系数a ，解方程ωn+1=0得高斯点。
重新代入 ρ(x )f x dx = A k f (x k )n k =0
b a 中求解方程组得到系数A 。
余项：
R n x =f 2n +2 ξ ρ x ωn +12b
a
(x )dx 8，高斯-勒让德公式
f x dx = A k f (x k )n
k =01−1
ρ x =1
高斯点：P n+1（x ）=0的x 值。
A k ： f x dx = A k f (x k )n k =0b a 中求解方程组 9，高斯-切比雪夫公式
1−x 2= A k f (x k )n k =01−1≈π f (x k )n k =1
高斯点；T n+1（x ）=0的x 值。
x k =cos （2k +12n +2π）,k=0,1,…n 或: cos （2k−12n π）,k=1,…n
A k ：πn +1
10，求积公式的余项
R n x =Kf m+1 ξ
K 与f （x ）无关，故设f x =x m+1，
Kf m+1 ξ = x m+1dx − A k n k =0b a (x k )m+1=1m+2(b m +2−a m +2)− A k (x k )m+1n k =0 K=
1(m +1)![1m +2(b m +2−a m +2)− A k (x k )m +1]n k =0。