数字图像处理---Lecture4---傅里叶变换
图像处理之傅里叶变换
图像处理之傅⾥叶变换图像处理之傅⾥叶变换⼀、傅⾥叶变换傅⾥叶变换的作⽤：⾼频：变化剧烈的灰度分量，例如边界低频：变化缓慢的灰度分量，例如⼀⽚⼤海滤波：低通滤波器：只保留低频，会使得图像模糊⾼通滤波器：只保留⾼频，会使得图像细节增强OpenCV:opencv中主要就是cv2.dft()和cv2.idft()，输⼊图像需要先转换成np.float32 格式。
得到的结果中频率为0的部分会在左上⾓，通常要转换到中⼼位置，可以通过shift变换来实现。
cv2.dft()返回的结果是双通道的（实部，虚部），通常还需要转换成图像格式才能展⽰（0,255）。
import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)dft_shift = np.fft.fftshift(dft)# 得到灰度图能表⽰的形式magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1]))plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) #时域转换到频域dft_shift = np.fft.fftshift(dft) #将低频部分拉到中⼼处rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) #确定掩膜的中⼼位置坐标# 低通滤波mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1# IDFTfshift = dft_shift*mask #去掉⾼频部分，只显⽰低频部分f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift) #将低频部分从中⼼点处还原img_back = cv2.idft(f_ishift) #从频域逆变换到时域img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) #该函数通过实部和虚部⽤来计算⼆维⽮量的幅值plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()img = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dft_shift = np.fft.fftshift(dft)rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) # 中⼼位置# ⾼通滤波mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0# IDFTfshift = dft_shift*maskf_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)img_back = cv2.idft(f_ishift)img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()。
傅里叶变换在数字图像处理中的应用课件
• 由欧拉公 式
f (t)
F (n1 )e jn1t
• 其中 n
F (0) a0
F (n1 )
1 2
(an
jbn )
引入了负频率
F (n1 )
1 2
(an
jbn )
10
非周期信号的频谱分析
当周期信号的周期T1无限大时,就演变成 了非周期信号的单脉冲信号
T1
频率也变成连续变量
1
2
T1
0 d
n1
11
非周期函数傅立叶变换分析式
F (w) f (t )e jwt dt f(t) Nhomakorabea1
2
F ().e jtd
频谱演变的定性观察
1
2
T1
F (n1)
-T/2
T/2
F (n1) 1
F (n1 )
-T/2
T/2
1
2
2
13
三.从物理意义来讨论FT
(a) F(ω)是一个密度函数的概念 (b) F(ω)是一个连续谱 (c) F(ω)包含了从零到无限高
傅里叶变换
连续时间信号 的傅里叶变换
号周 期 性 信
信非 号周
期 性
离散时间信号 的傅里叶变换
号周 期 性 信
信非 号周
期
性
连续函数的 傅立叶变换
一、三角函数的傅里叶级数:
f1(t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
直流 分量
基波分量 n =1
谐波分量 n>1
N 1
j 2 mn
X (m) x(n)e N , m 0,1, 2,3, 4,...N 1
数字像处理中的离散傅里叶变换
数字像处理中的离散傅里叶变换数字图像处理中的离散傅里叶变换数字图像处理是指利用计算机或其他数字设备对图像进行处理、分析和改良的过程。
而数字信号处理中的离散傅里叶变换是一种常用的图像处理工具，它能将图像从时域转换到频域，分析图像的频谱特征，从而实现一系列的图像处理操作。
本文将介绍数字图像处理中的离散傅里叶变换原理、应用以及一些常见的变换方法。
一、离散傅里叶变换的原理离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是对离散信号进行频域分析的一种数学工具。
离散傅里叶变换可以将一个长度为N的离散序列变换成一个长度为N的频谱序列。
其离散傅里叶变换的数学表达式如下：X(k) = Σ(x(n)*e^(-j2πkn/N)) (n=0,1,...,N-1; k=0,1,...,N-1)其中，X(k)为频谱序列，x(n)为原始信号序列，e为自然对数的底，j为虚数单位。
离散傅里叶变换可以将时域上的图像转换为频域上的频谱图，进而分析图像的频谱特征。
二、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在数字图像处理中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 图像滤波：通过离散傅里叶变换可以实现图像频域上的滤波操作，对图像进行降噪、增强边缘等处理。
例如，可以利用傅里叶变换将图像转换到频谱域，通过频谱的阈值处理去除高频噪声，然后再将图像转换回时域。
2. 图像压缩：离散傅里叶变换常被用于图像数据的压缩。
通过将图像转换到频域，可以利用频域的统计特性进行数据的压缩。
例如，可以通过选择合适的频率分量进行舍弃或者量化，以减少图像数据的存储空间。
3. 图像识别：离散傅里叶变换可以提取图像的频谱特征，用于图像识别和模式匹配。
例如，可以通过傅里叶变换得到图像的频谱图，并提取频谱的主要特征进行分类和识别。
4. 彩色图像处理：离散傅里叶变换可用于彩色图像处理。
可以将彩色图像的每个通道分别进行离散傅里叶变换，然后进行频域上的处理操作，最后再将变换后的通道合成为最终的彩色图像。
图像处理中的傅里叶变换
FFT是DFT的一种高效实现，它广 泛应用于信号处理、图像处理等 领域。
频域和时域的关系
频域
频域是描述信号频率特性的区域，通过傅里叶变换可以将 时域信号转换为频域信号。在频域中，信号的频率成分可 以被分析和处理。
时域
时域是描述信号时间变化的区域，即信号随时间的变化情 况。在时域中，信号的幅度和时间信息可以被分析和处理。
其中n和k都是整数。
计算公式
X(k) = ∑_{n=0}^{N-1} x(n) * W_N^k * n，其中W_N=exp(-
2πi/N)是N次单位根。
性质
DFT是可逆的，即可以通过DFT 的反变换将频域信号转换回时域
信号。
快速傅里叶变换（FFT）
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高 效计算DFT的算法，它可以将DFT 的计算复杂度从O(N^2)降低到 O(NlogN)。
通过傅里叶变换，我们可以方便地实现图像的滤波操作，去除噪声或突出某些特 征。同时，傅里叶变换还可以用于图像压缩，通过去除高频成分来减小图像数据 量。此外，傅里叶变换还可以用于图像增强和图像识别，提高图像质量和识别准 确率。
PART 02
傅里叶变换的基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种 将时域信号转换为频域信号的方 法。它将一个有限长度的离散信 号x(n)转换为一个复数序列X(k)，
傅里叶变换的物理意义是将图像中的每个像素点的灰度值表 示为一系列正弦波和余弦波的叠加。这些正弦波和余弦波的 频率和幅度可以通过傅里叶变换得到。
通过傅里叶变换，我们可以将图像中的边缘、纹理等高频成 分和背景、平滑区域等低频成分分离出来，从而更好地理解 和处理图像。
数字图像处理中的快速傅里叶变换算法
数字图像处理中的快速傅里叶变换算法数字图像处理是一门非常重要的学科，它主要关注如何对数字图像进行处理和分析。
在数字图像处理中，傅里叶变换是一种非常重要的工具，在很多领域都有广泛的应用。
特别是在数字信号处理和图像处理领域，傅里叶变换是一种重要的工具，它可以将时域信号转化成频域信号，进行频域分析和处理，帮助我们从中获取更多的信息。
在数字图像处理中，快速傅里叶变换算法是一种非常重要的算法，它拥有很高的计算效率和精度，被广泛应用于数字图像处理中。
一、傅里叶变换傅里叶变换是数学中的一种重要的工具，它可以将任意一个函数分解为一系列正弦波的加权和。
在数字图像处理中，傅里叶变换可以将图像表示为一个二维函数，其中每个分量代表着不同的频率。
通过傅里叶变换，我们可以了解图像中不同颜色和亮度的分布状况，从而帮助我们更好地进行图像处理和分析。
二、快速傅里叶变换算法快速傅里叶变换算法是对传统傅里叶变换进行优化得到的一种算法。
传统的傅里叶变换算法计算复杂度很高，需要进行许多乘法和加法运算，运算时间很长，难以满足实时处理的要求。
为了解决这个问题，人们开发出了快速傅里叶变换算法，它可以有效地缩短傅里叶变换的运算时间，提高计算效率。
快速傅里叶变换算法的基本思想是将傅里叶变换的计算分解为多个较小的傅里叶变换，从而实现快速计算。
这样就可以通过迭代的方式，逐步将傅里叶变换的计算分解为多个较小的傅里叶变换，从而获得更高的计算效率。
快速傅里叶变换算法一般采用分治的思想，将二维傅里叶变换分解为两个一维傅里叶变换，从而实现二维傅里叶变换的计算。
三、应用领域快速傅里叶变换算法被广泛应用于数字图像处理领域。
在图像去噪、图像压缩、图像增强、图像分割等领域，傅里叶变换都有着很广泛的应用。
特别是在数字信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频域分析和处理，帮助我们了解信号的频域特性和频谱分布状况，从而更好地进行信号处理和分析。
四、总结快速傅里叶变换算法是数字图像处理中非常重要的一种算法，它可以快速、高效地实现傅里叶变换的计算，提升计算效率，满足实时处理的要求。
数字图像处理-傅立叶变换
第5章 图像变换
➢ 加法定理
第5章 图像变换
第5章 图像变换
➢ 位移定理
第5章 图像变换
➢ 相似性定理
结论：一个“窄”的函数有一个“宽”的频谱
第5章 图像变换
第5章 图像变换
➢
旋转不变性
由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ角度，
首先，我们来看Fourier变换后的图像， 中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。
因此，我们可以在Fourier变换图中，选 择所需要的高频或是低频滤波。
第5章 图像变换
傅立叶变换在卷积中的应用
直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。 傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘 积。
f (i, j)
G(S)
第5章 图像变换
(4)可分离性
M 1N1
j 2 ( ux vy )
F(u,v)
f (x, y)e M N
x0ห้องสมุดไป่ตู้y0
M 1 N1
j2 vy j2 ux
{[ f (x, y)e M ]e N }
x0 y0
u 0,1,2, , M 1 v 0,1,2, , N 1
第5章 图像变换
结论: ex2 与 eu2 为傅立叶变换函数对。
即，高斯函数的傅立叶变换依然是高斯函数
第5章 图像变换
例2. 矩形函数
矩形函数形式如下:
f
(x)
A
0
| x | T 2
| x | T 2
第5章 图像变换
根据傅立叶变换的定义，其傅立叶变换如下：
F (u) f (x)e j2uxdx
数字图像处理-傅里叶变换
(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v)) • 能量谱: E=|F(u,v)|2
11
e j 2 xu yv/ N
12
F ( x)
二维傅立叶变换
•傅立叶谱：
|F(u,v)|= [R2(u,v)+I2(u,v)]1/2
1
x N 1 y N 1
f ( x, y)e j 2 (uxvy ) / N
N x0 y0
f ( x, y)
1
u N 1 v N 1
F (u, v)e j 2 (uxvy ) / N
N u0 v0
• 变换对 f ( x, y ) F (u, v)
10
二维傅立叶变换
• 傅立叶变换：F(u,v)=|F(u,v)|ej(u,v) • 傅立叶谱：
f ( , 0 ) F (, 0 )
34
傅立叶变换性质 6 线性
• 如果f1(x,y)F1(u,v), f2(x,y)F2(u,v),则
af1(x,y)+ bf2(x,y) aF1(u,v)+bF2(u,v)
35
傅立叶变换性质 7 比例性
• 如果f(x,y)F(u,v),则
f (ax,by) 1 F (u , v ) | a || b | a b
30
傅立叶变换性质 4 共轭对称性
• 如果f(x,y)F(u,v), F*(-u,-v)是共轭复数，则 –F(u,v)= F*(-u,-v) –|F(u,v)|= |F*(-u,-v)|
31
傅立叶变换性质 5 旋转
32
33
• 设f(x,y)F(u,v),
傅里叶变换与数字图像处理
傅里叶变换与数字图像处理(2012-05-24 20:06:24)转载▼标签：it傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦和/余弦和的形式。
傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时域和频域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。
一维傅里叶变换及其反变换单变量连续函数，f(x)的傅里叶变换F(u)定义为等式：u=0，1，2，…，M一1同样，给出F(u)，能用反DFT来获得原函数：其中，u=0，1，2，…，M一1。
因此，我们看到傅里叶变换的每项[即对于每个u 值，F(u)的值由f(x)函数所有值的和组成。
f(x)的值则与各种频率的正弦值和余弦值相乘。
F(u)值的范围覆盖的域(u的值)称为频率域，因为u决定了变换的频率成分(x 也作用于频率，但它们相加，对每个u值有相同的贡献)。
F(u)的M项中的每一个被称为变换的频率分量。
使用术语“频率域”和“频率成分”与“时间域”和“时间成分”没有差别，如果x是一个时间变量，可以用它来表示f(x)的域和值。
二维DFT及其反变换一维离散傅里叶变换及其反变换向二维扩展是简单明了的。
一个图像尺寸为M×N 的函数f(x，y)的离散傅里叶变换由以下等式给出：像在一维中的情形一样，此表达式必须对u值(u=0，1，2，…，M-1)和v值(v=0，1，2，…，N-1)计算。
同样，给出F(u,v)，可以通过反傅里叶变换获得，f(x，y)，由表达式给出：其中，x=0，1，2，…，M-1，y=0，1，2，…，N-1。
变量u和v是变换或频率变量，x和y是空间或图像变量。
正如在一维中的情形那样，常量1／MN的位置并不重要，有时它在反变换之前。
其他时候，它被分为两个相等的常数1/根号MN，分别乘在变换和反变换的式子前。
定义傅里叶谱、相角和频率谱：并且其功率谱为：其中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。
通常在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数。
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傅里叶变换
1.
傅里叶变换对的平移性质
以 表示函数和其傅里叶变换的对应性
f x, ye j 2 u0x / M v0 y / N Fu u0 , v v0 f x x0 , y y0 Fu, ve j 2 ux0 / M vy0 / N
傅里叶变换
二维连续傅里叶变换及反变换
二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定 义为
F(u, v)
f ( x, y)e j 2 uxvydxdy
给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到 f(x,y)
f ( x, y)
F (u, v)e j 2 uxvydudv
F u Ru I u
2
1 2 2
R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
相角或相位谱为
I u u arctan R u
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示
功率谱（谱密度）为
Pu Fu Ru I u
F u e j 2ux / M
x=0,1,2,…,M-1
u0
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
j 从欧拉公式 e cos j sin
M 1 x 0 j ( 2ux ) / M f x e
1 F (u ) M
1 M 1 M
M 1 x 0
2 2 2
f(x)的离散表示
f x f x 0 x x
x 0 ,1, 2 ,..., M 1
F(u)的离散表示
F u F u u
u 0 ,1, 2 ,..., M 1
傅里叶变换
二维离散傅里叶变换及反变换
图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
MN
m 0 n 0
f*表示f的复共轭。对于实函数， f*＝f 相关定理
f x, y hx, y F*u, vHu, v
f x, yhx, y Fu, v Hu, v
*
傅里叶变换
自相关理论
f x, y f x, y Fu, v Ru, v I u, v
引入极坐标 x r cos, y r sin, u cos, v sin 将f(x,y)和F(u,v)转换为 f r, 和 F, 。将它 们带入傅里叶变换对得到
f r , 0 F , 0
f(x,y)旋转角度 0 ，F(u,v)也将转过相同 的角度 F(u,v)旋转角度 0 ，f(x,y)也将转过相同 的角度
f x cos(2ux) / M j sin( 2ux) / M
M 1 x 0
f x cos 2ux / M j sin 2ux / M
傅里叶变换(三谱，哪三谱？)
傅里叶变换的极坐标表示
F u F u e j u
幅度谱或频率谱为
1 F (u , v ) MN
M 1 N 1
f x , y e j 2 ux / M vy / N
x0 y0
u=0,1,2,…,M-1,
M 1 N 1 u0 v0
v=0,1,2,…,N-1
给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y),
f ( x, y )
F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变 换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计 算傅里叶变换。
傅里叶变换
6.
分离性——二维傅里叶变换的全过程
先通过沿输入图像的每一行计算一维变换 再沿中间结果的每一列计算一维变换 可以改变上述顺序，即先列后行 上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换
F u , v F u ,v
F u , v F u , v
其中，F*(u,v)为F(u,v)的复共轭。
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个 复数叫做互为共轭复数.
周期性和共轭对称性举例
对于一维变换F(u)，周期性是指F(u)的周期长 度为M，对称性是指频谱关于原点对称
傅里叶变换的频率谱是对称的
F u, v F u,v
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质 快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
二维傅里叶变换的性质
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
平移性质 分配律 尺度变换（缩放） 旋转性 周期性和共轭对称性 平均值 可分性 卷积 相关性
傅里叶变换
F(0,0)表示
1 F 0 , 0 MN
M 1 N 1 x0 y 0
f x , y
这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅 里叶变换等于图像的平均灰度级
傅里叶变换
如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是 对称的(共轭对称性)，即
F u, v F u,v
傅里叶变换
2.
分配律
根据傅里叶变换的定义，可以得到
f1 x, y f 2 x, y f1 x, y f 2 x, y f1 x, y f 2 x, y f1 x, y f 2 x, y
半周期的傅里叶频谱 全周期的傅里叶频谱
一幅二维图像的傅里叶频谱
中心化的傅里叶频谱
傅里叶变换
6.
分离性
1 M 1 j 2ux / M 1 N 1 j 2vy / N F u , v e f x , y e M x 0 N y 0 1 M 1 j 2ux / M e F x, v M x 0
傅里叶变换
5.
周期性和共轭对称性
F u , v F u M , v F u , v N F u M , v N f x, y f x M , y f x, y N f x M , y N 上述公式表明
F u, v Ru, v I u, v
2
1 2 2
R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部
相角或相位谱为
I u, v u, v arctan , R u v
傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示
功率谱为
F u , v e
j 2 ux / M vy / N
x=0,1,2,…,M-1,
y=0,1,2,…,N-1
注：u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量
傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示
F u, v F u, v e j u ,v
幅度谱或频率谱为
Pu, v Fu, v Ru, v I u, v
2 2 2
F(u,v)的原点变换
f x , y 1
x y
F u M / 2 , v N / 2
用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频 率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心 u=0,1,2,…,M-1, v=0,1,2,…,N-1
一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在
空间域进行
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义
F(u)
为
f ( x)e j 2uxdx
其中， j
1
给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f ( x)
F (u)e j 2uxdu
傅里叶变换
傅里叶的性质 快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
为什么要在频率域研究图像增强
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一
些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非 常普通 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的 某些性质
可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间 域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导
尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但只需 根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v)得到 f(x,y) 只需一个周期里的变换就可将F(u,v)在频域里完全 确定 同样的结论对f(x,y)在空域也成立
傅里叶变换
5.
周期性和共轭对称性
如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有 共轭对称性
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换
单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅 里叶变换F(u)定义为
F (u ) 1 M
M 1
x 0
f x e j 2ux / M
u=0,1,2,…,M-1
给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
M 1
f (x)
当u0=M/2且v0=N/2,
j 2 u0 x / M v0 y / N
e
e
j ( x y)
1
x y
带入（1）和（2），得到
f x, y1
x y
Fu M / 2, v N / 2