详解傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换与小波变换在信号去噪中的应用
傅里叶变换与小波变换在信号去噪中的应用
傅里叶变换和小波变换是研究信号处理的基本技术，在信号去噪中都有应用。
1. 傅里叶变换：傅里叶变换是根据信号的复数表达，首先将时间和频率分离，把一段时间的信号映射到它的频谱上。
在信号处理时，可以利用它分离需要保留的部分信号和多余噪声，具体可以采用以下步骤：
（1）利用傅里叶变换将原始信号变换到频域；
（2）在频域上滤波处理，滤除多余的噪声；
（3）利用傅立叶逆变换将处理后的信号再变换回时域，获得处理后的信号。
2. 小波变换：小波变换是研究信号处理的重要技术，与傅里叶变换类似，它可以把时间和频率分离，把一段时间的信号映射到它的小波变换频谱上。
特别是它可以满足时空局部性，把一段时间内不同时间段和不同频率段的信号分离，提高频谱分析的精度，这在信号去噪方面特别有用。
另外，它还有把信号去噪后的特点：对离散的非定时噪声的去除效果比傅里叶变换的去除效果好。
若想实现信号去噪，可以按照以下步骤：
（1）将原始信号变换到频域，可以采用傅里叶变换或者小波变换；
（2）在频域上滤波处理，滤除多余的噪声；
（3）将处理后的信号再变换回时域，特别是对于小波变换，可以利用它把信号去噪后的特点：对离散的非定时噪声的去除效果比傅里叶变换的去除效果好。
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换和小波变换都是信号处理领域中常见的数学工具。
傅里叶变换能够将一个信号分解成若干个正弦和余弦函数，这些正弦和余弦函数在频域中表示了信号的频率和振幅特征。
小波变换则是通过将信号与一组基函数进行内积运算，得到各个频带上的信号能量，从而实现信号的时频分析。
相较于傅里叶变换，小波变换具有多分辨率的特点，能够更细致地描述信号的时域与频域信息。
在信号处理、图像处理、通信等领域，这两个变换被广泛地使用。
傅立叶变换与小波变换的比较
傅立叶变换与小波变换的比较傅立叶分析和小波分析都是数字信号处理中常用的基本方法。
它们俩的共同点，都是用一些基本的东西（fourier是用sin和cos，小波是用不同的wavelet，如haar）来组合出各种各样的函数。
傅立叶分析是联系时域（或者是空间域）与频率域的纽带，是一种纯频域的应用最为广泛的信号分析方法，它在频域具有完全准确的定位性，但在时域无任何分辨能力。
换句话说就是，傅立叶分析反映了整个信号全部时间内的整体频域特性。
小波分析，顾名思义，就是又小又波动的分析。
“小”是指它在时域都具有紧支集或近似紧支集，这使得小波母函数在时频域都具有较好的局部特征（紧密集中）；“波动”是指小波函数具有正负交替的波动性。
若要用一句话来概括二者，可大致描述为：傅立叶分析是一种能在频域对信号进行准确分析的高效方法，小波则是针对傅立叶分析在时域上的不足而提出的，可以局部集中地在时频域对信号进行分析的方法。
通俗地说，傅立叶能联系空间（时间）域和频率域，但是不能有尺度的变化，另外，它对于频率域上反转对应回时域的某处却缺乏相应的处理能力，这是它的缺点。
也就是说，它可以告诉你，信号中的哪个频率高，但是无法告诉你具体高多少，哪个位置高，为什么这么高，却不能立刻告诉你。
小波就不一样了，具有多尺度特性，可以把频率强度和位置（时刻）联系起来，一定程度上解决了傅立叶分析分析的缺点。
小波分析已经在很多信号分析领域取得了出色的应用。
这并不是说小波分析方法可以替代傅立叶分析分析方法。
如果是单纯进行频率域上面的分析就没有必要使用小波分析方法，使用傅立叶方法更简单，效果也更好。
其实如果仅仅是为了简单的用一用小波的话，只要知道数字滤波器是怎么回事就会做小波分析了。
简单的说，在普通工程应用中，小波分析就是对一个序列做一次滤波就完了，只不过它这个滤波不一定是为了平滑减噪之类的，它滤波的结果在不同领域有不同的用途，比如说在语音信号压缩领域，就是利用它滤波以后，有很多0这样一个特点来达到压缩的目的，在信号奇异性检测领域，就是利用它滤波之后，原来的信号有突变的地方，滤波结果是一个较大的值，而没有突变的地方，滤波结果是接近于0的值，不过原本小波分析和傅立叶分析一样，都是很复杂的数学分析，只不过Mallet这个人通过一些方法证明了这个分析可以通过一个简单的滤波操作来完成，所以以后的工程应用中只要直接滤波就行了。
从傅里叶到小波变换
参考来源：
1.耿则勋，邢帅，魏小峰.小波变换及在遥感图像处理中的应用.测绘出版社； 2.博客https:///enjoy_pascal/article/details/81478582； 3.维基百科https:///wiki/Fourier_series#History； 4.THE WAVELET TUTORIAL 5.等
二、快速 傅里叶变换 （插曲篇）
…..
复数轴
i
-1 -i
1
实数轴
若干次方后为1 1，-1，i，-i
三、短时傅里叶变换
左加右减
From wavelet tutorial
海森堡测不准原理
FROM THE WAVELET TUTORIAL
四、小波变换
不是傅里叶变换，没有加窗操作
小波家族庞大，类型丰富
小波基本应用实例：
[1]申莎莎.基于小波变换与傅里叶变换对比分析及其在信号去噪中的应用 [J].山西师范大学学报（自然科学版）， 2018,32（3）：27-32. （1）作者分析了傅里叶变换与小波变换的基本区别，阐述了二者之间的联系和各自的优缺点。 （2）作者利用matlab对小波变换的不同阈值选取方式下的信号去噪进行对比分析，发现小波变换能有效对信号进 行消噪。
[2]王延仓，张兰，王欢，等.连续小波变换定量反演土壤有机质含量[J].光谱学与光谱分析，2018,38（11）：
3521-3527. （1）作者利用连续小波变换对原始土壤有机质高光谱反射率数据进行预处理，发现经预处理后的高光谱反射率数
据在反演土壤有机质精度上有所提高。
（2）研究表明在连续小波算法下，5nm光谱分辨率预测精度最高，其次为80nm光谱分辨率的宽波段，经小波变换 分解后估测土壤有机质含量的最佳精度可提高 19%，宽波段最佳精度提高10%。说明连续小波变换可以用于宽波段 数据的分析。
傅里叶变换及小波分析(修改后)
图像处理
1.基于小波变换的图像压缩
基于二维小波分析的图像压缩方法有很多, 比较成功的有小波包、小波变换零树压缩、 小波变换矢量量化压缩等。二维小波分析 用于图像压缩是小波应用的 一个重要方面。 一个图像做小波分解后,可得到一系列 不同 分辨率的子图像。不同分辨的子图像对应的 频率 是不同的。高分辨率(即高频)子图像上
，这就要求 (t) 具
2.要求 (t)dt 0 ，表明 (t) 具有波动性。
R
总之，(t)是像波一样的快速衰减函数，形如小
的波，这就是(t) 称为小波的原因。
构造小波的意义
小波变换在分析诊断信号有着自身的显著优势， 然而并不是每个小波都能分析处理任意的信号， 运用小波有很强的选择性，针对不同的信号需 要应用符合其条件的小波，如何选择小波是小 波研究中的热点和难点问题。
小波变换
小波变换是在傅立叶分析的基础上发展起来的， 作为时—频分析方法，小波分析比傅立叶分析 有着许多本质性的进步。
小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时 局部化的分析方法，无论分析低频或者高频信 号，它都能自动调节时—频窗，以适应实际分 析的需要，它在低频部分具有较高的频率分辨 率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高 的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉 为分析信号的显微镜。
2.在汽车主动防撞雷达中应用
线性调频信号用于汽车主动防撞雷达中，匹 配傅里叶变换快速算法，可准确识别信号的 峰值，即使在较低信噪比条件下，仍具有较 强的信号检测和识别能力，体现了匹配傅里 叶变换快速算法的优越性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.汽车零部件形状精度检测诊断
4.汽车减速箱中主振源检测
傅立叶变换的局限性：
傅立叶变换是信号分析和处理的理论基础， 有着非凡的意义，起着重大的作用。但是傅立 叶变换有它明显的缺陷，信号任何时刻的微小 变化会牵动整个频谱。实际信号往往是时变信 号、非平稳过程，了解它们的局部特性常常是 很重要的。人们通过预先加窗的方法即采用短 时傅立叶变换，用时间窗的一段信号来表示它 在某个时刻的特性，显然，窗越宽，时间分辨 率越差，但为提高时间分辨率而缩短窗宽时， 又会减低频率分辨率。因此短时傅立叶变换不 能同时兼顾时间分辨率和频率分辨率。
小波变换与傅里叶变换的对比异同
小波变换与傅里叶变换的对比异同IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。
而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。
（时频能量守恒）。
二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。
但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。
这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。
借此，计算机的处理才成为可能。
所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。
小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。
但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。
用更为专业的俗语，叫再生核。
也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。
这就叫冗余性。
这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。
但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。
为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。
傅里叶变换与小波变换区别
傅里叶变换的特点：
对于数据信号的去噪,傅立叶变换是将信号完全的放在频率域中分析,但无法给出信号在每一个时间点的变化情况,无论信号在时间轴上任何一点产生突变,都将会影响到整个频域的信号。
因此,傅立叶变换不能有效的区分出信号中出现的尖峰是由突变部分还是不平稳白噪声引起的。
小波变换的特点
小波变换是以某些特定的函数为基,将数据信号展开成级数系列,它是空间(时间)和频率的局部变换,因此,小波变换可同时在时域和频域中对数据信号进行多尺度联合分析,从而能有效地从信号中提取信息。
对于数据信号的去噪,由于小波分析可以同时在时域和频域中对信号进行联合分析,并且它具有多尺度细化分析的功能。
因此,我们可以在不同的分解层上和不同的小波基函数下对信号的突变部分和噪声进行有效的区分,从而实现信号的消噪。
五种傅里叶变换的比较
五种傅里叶变换包括常规的傅里叶变换（FT）、短时傅里叶变换（STFT）、小波变换（WT）、希尔伯特变换（HT）和希尔伯特黄变换（HHT）。
它们的主要区别和联系如下：
1. 傅里叶变换（FT）：将一个以时间t为自变量的连续的信号f(t)转换为以频率为自变量的函数F(jf)，该函数是复数形式的。
此变换的前提是信号是平稳的，即其频率特性不会随时间变化。
2. 短时傅里叶变换（STFT）：在傅里叶变换的基础上，对每个时间段内的信号进行傅里叶变换，从而得到该时间段的频谱。
STFT可以处理非平稳信号，因为其可以将信号的时间依赖性和频率依赖性分开。
3. 小波变换（WT）：与傅里叶变换类似，小波变换也是将信号分解成不同的频率成分。
不同的是，小波变换使用的是小波基，可以更好地适应处理非平稳信号。
4. 希尔伯特变换（HT）：对一个信号进行希尔伯特变换可以得到该信号的解析信号，该解析信号可以更好地表示信号的相位信息。
5. 希尔伯特黄变换（HHT）：是一种用于处理非线性和非平稳信号的变换，其基于经验模式分解（EMD），可以将信号分解成一系列固有模式函数（IMF）。
每个IMF都可以进行希尔伯特变换，从而得到该IMF的相位信息。
总的来说，五种傅里叶变换都是为了更好地处理和解析信号，选择哪种变换取决于具体的应用场景和信号的性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
详解傅里叶变换与小波变化希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。
如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。
考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。
有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。
另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。
我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。
我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。
要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。
要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。
很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。
变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。
如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。
那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。
小波变换自然也不例外的和basis有关了。
再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。
既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。
一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。
比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。
而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n= av_n，a是eigenvalue)。
总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。
好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。
当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。
接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。
傅立叶级数最早是Joseph Fourier这个人提出的，他发现，这个basis 不仅仅存在与vector space，还存在于function space。
这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。
在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。
你的vector basis 可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。
唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。
好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。
我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样again，这是一个无限循环的函数。
其中的1，cosx,sinx,cos2x…..这些，就是傅立叶级数。
傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。
为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。
那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？现在先复习一下vector正交的定义。
我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：那什么是function正交呢？假设我们有两个函数f(x)和g(x)，那是什么？我们遵循vector的思路去想，两个vector求内积，就是把他们相同位置上对应的点的乘积做一个累加。
那移过来，就是对每一个x 点，对应的f和g做乘积，再累加。
不过问题是，f和g都是无限函数阿，x又是一个连续的值。
怎么办呢？向量是离散的，所以累加，函数是连续的，那就是…….积分！我们知道函数内积是这样算的了，自然也就容易证明，按照这个形式去写的傅立叶展开，这些级数确实都是两两正交的。
证明过程这里就不展开了。
好，下一个问题就是，为什么它们是正交basis如此重要呢？这就牵涉到系数的求解了。
我们研究了函数f，研究了级数，一堆三角函数和常数1，那系数呢？a0,a1,a2这些系数该怎么确定呢？好，比如我这里准备求a1了。
我现在知道什么？信号f(x)是已知的，傅立叶级数是已知的，我们怎么求a1呢？很简单，把方程两端的所有部分都求和cosx的内积，即：然后我们发现，因为正交的性质，右边所有非a1项全部消失了，因为他们和cosx的内积都是0！所有就简化为这样，a1就求解出来了。
到这里，你就看出正交的奇妙性了吧:)好，现在我们知道，傅立叶变换就是用一系列三角波来表示信号方程的展开，这个信号可以是连续的，可以是离散的。
傅立叶所用的function basis是专门挑选的，是正交的，是利于计算coefficients的。
但千万别误解为展开变换所用的basis都是正交的，这完全取决于具体的使用需求，比如泰勒展开的basis就只是简单的非正交多项式。
有了傅立叶变换的基础，接下来，我们就看看什么是小波变换。
首先来说说什么是小波。
所谓波，就是在时间域或者空间域的震荡方程，比如正弦波，就是一种波。
什么是波分析？针对波的分析拉（囧）。
并不是说小波分析才属于波分析，傅立叶分析也是波分析，因为正弦波也是一种波嘛。
那什么是小波呢？这个”小“，是针对傅立叶波而言的。
傅立叶所用的波是什么？正弦波，这玩意以有着无穷的能量，同样的幅度在整个无穷大区间里面振荡，像下面这样：那小波是什么呢？是一种能量在时域非常集中的波。
它的能量是有限的，而且集中在某一点附近。
比如下面这样：这种小波有什么好处呢？它对于分析瞬时时变信号非常有用。
它有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题。
恩，以上就是通常情况下你能在国内网站上搜到的小波变换文章告诉你的。
但为什么呢？这是我希望在这个系列文章中讲清楚的。
不过在这篇文章里，我先点到为止，把小波变换的重要特性以及优点cover了，在下一篇文章中再具体推导这些特性。
小波变换的本质和傅立叶变换类似，也是用精心挑选的basis来表示信号方程。
每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个scaling function，中文是尺度函数，也被成为父小波。
任何小波变换的basis函数，其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移后的集合。
下面这附图就是某种小波的示意图：从这里看出，这里的缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。
这样的好处是，小波的basis函数既有高频又有低频，同时还覆盖了时域。
对于这点，我们会在之后详细阐述。
小波展开的形式通常都是这样（注意，这个只是近似表达，严谨的展开形式请参考第二篇）：其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。
和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。
小波级数通常有很多种，但是都符合下面这些特性：1.小波变换对不管是一维还是高维的大部分信号都能cover很好。
这个和傅立叶级数有很大区别。
后者最擅长的是把一维的，类三角波连续变量函数信号映射到一维系数序列上，但对于突变信号或任何高维的非三角波信号则几乎无能为力。
2.围绕小波级数的展开能够在时域和频域上同时定位信号，也就是说，信号的大部分能量都能由非常少的展开系数，比如a_{j,k}，决定。
这个特性是得益于小波变换是二维变换。
我们从两者展开的表达式就可以看出来，傅立叶级数是，而小波级数是。
3.从信号算出展开系数a需要很方便。
普遍情况下，小波变换的复杂度是O(Nlog(N))，和FFT相当。
有不少很快的变换甚至可以达到O(N)，也就是说，计算复杂度和信号长度是线性的关系。
小波变换的等式定义，可以没有积分，没有微分，仅仅是乘法和加法即可以做到，和现代计算机的计算指令完全match。
可能看到这里，你会有点晕了。
这些特性是怎么来的？为什么需要有这些特性？具体到实践中，它们到底是怎么给小波变换带来比别人更强的好处的？计算简单这个可能好理解，因为前面我们已经讲过正交特性了。
那么二维变换呢？频域和时域定位是如何进行的呢？恩，我完全理解你的感受，因为当初我看别的文章，也是有这些问题，就是看不到答案。
要说想完全理解小波变换的这些本质，需要详细的讲解，所以我就把它放到下一篇了。
接下来，上几张图，我们以一些基本的信号处理来呈现小波变换比傅立叶变换好的地方，我保证，你看了这个比较之后，大概能隐约感受到小波变换的强大，并对背后的原理充满期待:)假设我们现在有这么一个信号：看到了吧，这个信号就是一个直流信号。
我们用傅立叶将其展开，会发现形式非常简单：只有一个级数系数不是0，其他所有级数系数都是0。
好，我们再看接下来这个信号：简单说，就是在前一个直流信号上，增加了一个突变。
其实这个突变，在时域中看来很简单，前面还是很平滑的直流，后面也是很平滑的直流，就是中间有一个阶跃嘛。
但是，如果我们再次让其傅立叶展开呢？所有的傅立叶级数都为非0了！为什么？因为傅立叶必须用三角波来展开信号，对于这种变换突然而剧烈的信号来讲，即使只有一小段变换，傅立叶也不得不用大量的三角波去拟合，就像这样：看看上面这个图。
学过基本的信号知识的朋友估计都能想到，这不就是Gibbs现象么？Exactly。
用比较八股的说法来解释，Gibbs现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛所引起的，即使在N趋于无穷大时，这一现象也依然存在。
其实通俗一点解释，就是当变化太sharp的时候，三角波fit不过来了，就凑合出Gibbs了:)接下来我们来看看，如果用刚才举例中的那种小波，展开之后是这样的：看见了么？只要小波basis不和这个信号变化重叠，它所对应的级数系数都为0！也就是说，假如我们就用这个三级小波对此信号展开，那么只有3个级数系数不为0。