小波变换与傅里叶变换的对比异同
小波变换与傅里叶变换的比较
小波变换与傅里叶变换的比较在信号处理领域中，小波变换（Wavelet Transform）和傅里叶变换（Fourier Transform）是两种常用的数学工具。
它们都可以用于分析和处理信号，但在某些方面有着不同的优势和应用场景。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行比较，探讨它们的异同点和适用范围。
一、基本原理傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
它通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加来表示原始信号。
傅里叶变换可以提供信号的频谱信息，帮助我们了解信号中不同频率成分的强度和相位。
小波变换是一种时频分析方法，它在时域和频域上都具有一定的局部性。
小波变换通过将信号与一组特定的小波函数进行卷积，得到信号在不同尺度和位置上的时频信息。
小波变换可以提供信号的时频局部特征，能够更好地捕捉信号中短时变化和非平稳性。
二、分辨率和局部性傅里叶变换具有较好的频率分辨率，可以准确地分析信号的频率成分。
然而，傅里叶变换对于时域信息的分辨率较低，不能提供信号的时域局部特征。
这使得傅里叶变换在处理非平稳信号时存在一定的局限性。
小波变换具有较好的时频局部性，可以同时提供信号的时域和频域信息。
小波变换通过选择不同的小波函数，可以在不同尺度上分析信号的时频特征。
这使得小波变换在处理非平稳信号和瞬态信号时更加有效。
三、多分辨率分析傅里叶变换只能提供全局频率信息，无法对信号进行多尺度分析。
而小波变换可以通过多分辨率分析，将信号分解成不同尺度的小波系数。
这使得小波变换能够更好地揭示信号的局部细节和结构。
四、应用领域傅里叶变换广泛应用于频谱分析、滤波器设计、图像处理等领域。
通过傅里叶变换，我们可以了解信号的频率成分、频域滤波和频谱特性。
傅里叶变换在数字音频处理、图像压缩、通信系统等方面有着重要的应用。
小波变换在信号处理领域的应用也非常广泛。
小波变换可以用于信号去噪、特征提取、图像压缩、模式识别等方面。
小波变换在非平稳信号处理、图像分析和模式识别等领域有着独特的优势。
小波变换与傅里叶变换的对比分析
小波变换与傅里叶变换的对比分析引言：在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换是两种常用的数学工具。
它们在信号的频域分析和时域分析方面有着不同的特点和应用。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行对比分析，探讨它们的异同以及各自的优势和适用场景。
一、基本原理1. 傅里叶变换：傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
它通过将信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加来表示。
傅里叶变换的基本原理是将信号在频域上进行分解，得到信号的频谱信息。
2. 小波变换：小波变换是一种将时域信号转换为时频域信号的数学方法。
它通过将信号分解为一系列小波基函数的线性组合来表示。
小波变换的基本原理是将信号在时频域上进行分解，得到信号的时频特性。
二、分辨率1. 傅里叶变换：傅里叶变换在频域上具有高分辨率，能够精确地表示信号的频谱信息。
但是，傅里叶变换无法提供信号在时域上的信息。
2. 小波变换：小波变换在时频域上具有高分辨率，能够提供信号在时域和频域上的信息。
小波变换通过不同尺度的小波基函数对信号进行分解，可以获得信号的时频局部特征。
三、时频局部性1. 傅里叶变换：傅里叶变换将信号分解为一系列的正弦和余弦函数，其频谱信息是全局性的。
傅里叶变换无法提供信号在不同时间段的时频特性。
2. 小波变换：小波变换将信号分解为一系列的小波基函数，其时频信息是局部性的。
小波变换能够提供信号在不同时间段的时频特性，对于非平稳信号的分析具有优势。
四、应用场景1. 傅里叶变换：傅里叶变换广泛应用于信号滤波、频谱分析和图像处理等领域。
它能够准确地表示信号的频谱信息，对于周期性信号的分析效果较好。
2. 小波变换：小波变换广泛应用于信号压缩、边缘检测和非平稳信号分析等领域。
它能够提供信号在时频域上的局部特征，对于非平稳信号的分析效果较好。
五、小波变换与傅里叶变换的关系小波变换和傅里叶变换是相互关联的。
小波变换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它通过引入尺度参数，对信号进行了更精细的时频分析。
小波变换与傅里叶变换的对比异同
小波变换与傅里叶变换的对比异同IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。
而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。
（时频能量守恒）。
二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。
但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。
这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。
借此，计算机的处理才成为可能。
所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。
小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。
但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。
用更为专业的俗语，叫再生核。
也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。
这就叫冗余性。
这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。
但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。
为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。
小波变换与傅里叶变换的区别和联系
小波变换与傅里叶变换的区别和联系小波变换（WaveletTransform）和傅里叶变换（FourierTransform）是现代信号处理领域的两种重要变换技术。
不论它们有哪些相似之处，这两种变换技术也在许多方面存在本质上的不同。
本文将通过对小波变换和傅里叶变换的综述介绍它们的区别和联系。
一、小波变换小波变换是一种信号处理的重要技术，它的基本思想就是将信号划分成瞬态信号和非瞬态信号，以提取瞬态信号中的特征，从而得到更丰富的信息。
它的实质是将时域的信号转换到时频域的信号，这样可以获取时域信号中隐藏的频率特性。
小波变换有两个主要优势：时间精度高和高分辨率。
它可以准确地定位信号变化的时间；而且，由于小波变换采用分段处理的方式，因此其分辨率更高。
二、傅里叶变换傅里叶变换（Fourier Transform）是一种时域到频域的变换技术，它可以将时间域的信号转换到频域。
傅里叶变换可以精确地表示频域信号；它可以将平稳信号拆分成不同的频率分量，其变换结果是一个复数函数。
傅里叶变换最大的优势就是其时域到频域的变换非常有效。
傅里叶变换可以将频域信号简化到时域信号，从而可以快速计算出信号的频率特性。
三、小波变换与傅里叶变换的区别（1）小波变换是一种由瞬态信号构成的时频域变换，是将短时信号分解成多个小时间片，获取每个小时间片的频率特性；而傅里叶变换是一种将平稳信号从时域转换到频域的变换技术，它可以将信号拆分成不同的频率分量。
（2）傅里叶变换更侧重于精确表示频域信号；而小波变换更侧重于时精度和高分辨率。
（3）同时，小波变换和傅里叶变换可以获取信号的频率特性，但是它们获取信号的方式有很大不同。
四、小波变换与傅里叶变换的联系小波变换和傅里叶变换都可以获取信号的频率特性，因此，它们也具有一定的共性。
（1）小波变换和傅里叶变换都使用矩阵运算来进行计算，可以有效提高处理速度。
（2）通过比较两种变换技术的优劣，可以帮助使用者更好地选择合适的信号处理技术。
小波与傅里叶的区别
小波级数是两重求和，小波系数的指标不仅有频率的指标 ，而且还有时间的指标 。也就是说，小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标 ，在不同时刻 ，小波系数也是不同的。这样就克服了上面所述的第一个不足。
由于小波函数具有紧支撑的性质，即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息，从而克服了上面所述的第二个不足。
小波变换的“时间—频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间—频率分析所希望的。
根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。如，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。
为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，首先要选好小波函数。
选择小波函数的“四项原则”。
小波分析的最重要的应用是滤波，为了保证滤波不失真，小波函数必须具有线性相位，至少具有广义线性相位。小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号，这就要使用函数的导数，小波函数至少是 连续。由前面分析可知，小波函数必须具有紧支撑的性质。所以，正交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。
为了克服以上两点局限性，这就要求：
（1） 将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。
（2） 使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或 加窗傅立叶变换的窗函数。
小波分析之前，大家曾尝试着用加窗傅里叶变换，加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。在较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的Fourier 变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。若减小时间窗（减小 ），高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。总上所述，加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。
小波变换与傅里叶变换的比较及应用优势
小波变换与傅里叶变换的比较及应用优势在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换都是常用的数学工具。
它们在不同的应用场景下发挥着重要的作用。
本文将比较小波变换和傅里叶变换的特点，并探讨它们各自的应用优势。
一、小波变换和傅里叶变换的基本原理小波变换是一种多尺度分析方法，它将信号分解成不同的频率成分，并提供了时间和频率的局部信息。
小波变换通过对信号进行多尺度分解和重构，可以有效地捕捉信号的瞬态特征。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，得到信号在不同频率上的振幅和相位信息。
傅里叶变换可以帮助我们理解信号的频谱特性。
二、小波变换和傅里叶变换的比较1. 时间-频率分辨率小波变换具有良好的时间-频率分辨率特性。
它可以提供信号在不同时间和频率上的局部信息，能够更准确地定位信号的瞬态特征。
而傅里叶变换的时间-频率分辨率是固定的，无法提供信号的局部信息。
2. 多尺度分析能力小波变换通过多尺度分解和重构，可以将信号分解成不同频率成分，并提供每个频率成分的时间信息。
这使得小波变换在分析非平稳信号和瞬态信号时具有优势。
而傅里叶变换只能提供信号的频率信息，对于非平稳信号的分析能力较弱。
3. 时域和频域信息的平衡小波变换将时域和频域信息平衡地融合在一起，使得分析结果更加全面。
它可以提供信号的时域特征和频域特征，有助于更好地理解信号的性质。
而傅里叶变换只能提供信号的频域特征，无法提供时域信息。
三、小波变换和傅里叶变换的应用优势1. 信号处理小波变换在信号处理领域广泛应用。
它可以用于信号去噪、信号压缩、图像处理等方面。
小波变换的时间-频率分辨率和多尺度分析能力使得它在处理非平稳信号和瞬态信号时更加准确和有效。
2. 数据压缩小波变换在数据压缩领域有着重要的应用。
它可以将信号分解成不同频率成分，并根据各个频率成分的重要性进行压缩。
由于小波变换具有良好的时间-频率分辨率，它可以更好地保留信号的重要信息，实现更高效的数据压缩。
小波变换比傅里叶变换好在哪里_小波变换与傅里叶变换详解
小波变换比傅里叶变换好在哪里_小波变换与傅里叶变换详解小波变换与傅里叶变换有什么区别吗？小波变换与傅里叶变换哪个好？我们通过小波变换与傅里叶变换的详细解读、小波变换与傅里叶变换的区别、傅里叶变换缺点方面来解析。
小波变换与傅里叶变换的区别傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的函数表示信号，因此，不能同时作时域频域分析。
小波分析中，利用联合时间一尺度函数分析信号，通过平移和伸缩构造小波基，由于小波同时具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以同时进行时频域分析。
傅里叶变换的不足
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。
而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。
做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。
尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。
可见，傅里叶变换处理非平稳信有天生缺陷。
它只能获取一段信总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。
因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。
小波变换与傅里叶变换详解从傅里叶变换到小波变换，并不是一个完全抽象的东西，可以讲得很形象。
小波变换有着明确的物理意义，如果我们从它的提出时所面对的问题看起，可以整理出非常清晰的思路。
下面就按照傅里叶--》短时傅里叶变换--》小波变换的顺序，讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。
一、傅里叶变换关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了，默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。
小波变换与傅里叶变换的对比
小波变换与傅里叶变换的对比在信号处理领域，小波变换（Wavelet Transform）和傅里叶变换（Fourier Transform）是两种常见的数学工具。
它们在信号的时频分析、数据压缩等方面有着广泛的应用。
本文将对小波变换和傅里叶变换进行对比，探讨它们的异同点以及各自的优势。
一、基本原理1.1 小波变换小波变换是一种多尺度分析方法，它通过将信号分解为不同频率和时间分辨率的小波基函数来描述信号。
小波基函数是一组具有局部性质的函数，可以在时域和频域上进行变换。
小波变换的核心思想是将信号分解为不同尺度的频率成分，从而实现对信号的时频局部分析。
1.2 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它将信号表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶变换可以将信号的时域特征转化为频域特征，从而实现对信号频率成分的分析。
二、分析方法2.1 时频局部分析小波变换具有时频局部分析的能力，可以精确地描述信号在时间和频率上的变化。
由于小波基函数具有局部性质，它可以在时域和频域上进行变换，从而能够更好地捕捉信号的瞬态特征和频率变化。
傅里叶变换则是一种全局分析方法，它将信号转换为频域表示，无法提供信号在时间上的局部信息。
虽然傅里叶变换可以得到信号的频谱信息，但无法获得信号在不同时间段内的频率变化情况。
2.2 分辨率小波变换可以通过选择不同的小波基函数来实现不同的时间和频率分辨率。
具有高频率分辨率的小波基函数可以更好地描述信号的瞬态特征，而具有低频率分辨率的小波基函数则适用于分析信号的低频成分。
傅里叶变换的频率分辨率是固定的，无法根据需要进行灵活调整。
因此，在需要同时分析信号的瞬态特征和频率变化时，小波变换具有更大的优势。
三、应用领域3.1 信号去噪小波变换在信号去噪方面有着广泛的应用。
由于小波基函数具有局部性质，它可以将信号分解为不同频率和时间分辨率的成分。
通过滤除小波变换后的高频细节成分，可以实现对信号中的噪声进行消除。
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小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。
而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。
（时频能量守恒）。
二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。
但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。
这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。
借此，计算机的处理才成为可能。
所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。
小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。
但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。
用更为专业的俗语，叫再生核。
也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。
这就叫冗余性。
这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。
但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。
为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。
第一步，尺度离散化。
一般只将a二进离散化，此时b是任意的。
这样小波被称为二进小波。
第二步，离散b。
怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。
也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。
所以b取尺度的整数倍就行了。
也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。
当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。
（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是?<A<=B<+INF,并且小波函数线性无关,此时小波基称为Reisz基.并且，如果变换后能量守恒，(A=B=1)，并且线性无关，这就是标准离散正交小波基。
这种分解也就是大家熟知的直和分解。
若A和B不相等，且相差很大，我们就说小波不是紧框架的，所以双正交，对偶小波也就自然而然引进来了。
若A 和B不相等，但又相差不大，这时稳定重构也是可能的，这时成为几乎紧框架的。
（好像说这样小波有橹棒性特点，也就是粗略分解，但却精确重构。
）经过3步，我们最终地得到了一个二进离散化稳定的小波变换，这正是我们要的结果。
三、快速算法。
如果说现代数字信号处理革命的算法，甚至是很多快速算法的老始祖，或者是满矩阵向量乘法一个几乎不可抗拒的最小计算量NlogN，那就是令我不得不佩服的快速傅里叶变换（FFT）。
这里我不想解释过多的基2算法，和所谓的三重循环，还有那经典的蝶形单元，或是分裂基之类，我想说的就是一种时频对应关系。
也就是算法的来源。
我们首先明确，时域的卷积对应频域的相乘，因此我们为了实现卷积，可以先做傅里叶变换，接着在频域相乘，最后再做反傅里叶变换。
这里要注意，实际我们在玩DSP。
因此，大家要记住，圆周卷积和离散傅里叶变换，是一家子。
快速傅里叶是离散傅里叶的快速算法。
因此，我们实现离散线性卷积，先要补零。
然后使得它和圆周卷积相等。
然后就是快速傅里叶变换，频域相乘，最后反快速傅里叶变换。
当然，如果我们就需要的是圆周卷积，那我们也就不需要多此一举的补零。
这里，我们可以把圆周卷积，写成矩阵形式。
这点很重要。
Y=AX。
这里的A是循环矩阵。
但不幸的是A仍然是满阵。
小波的快速算法。
MALLAT算法，是一个令人振奋的东西。
它实质给了多分辨率分析（多尺度分析）一个变得一发而不可收的理由。
它实质上，讲了这样一个意思。
也就是。
我在一个较高的尺度（细节）上作离散二进稳定的小波变换，得到了一个结果（小波系数），我若是想得到比它尺度低的小波系数（概貌），我不用再计算内积，只是把较高尺度的小波系数和低通或高通滤波器卷积再抽取即可。
但是，所有这些证明的推导是在整个实轴上进行的。
即把信号看成无限长的。
但这仍不是我们想要的。
还有，我们还必须在较高尺度上作一次内积，才可以使用此算法。
因此，我们开始简化，并扩展此理论。
第一，我们把信号的采样，作为一个较高层的小波系数近似初始值。
（这是可以的，因为小波很瘦时，和取样函数无异）。
第二，我们把原来的卷积，换为圆周卷积。
这和DSP何尝不一样呢？它的物理意义，就是把信号作周期延拖（边界处理的一种），使之在整个实轴上扩展。
这种算法令我为之一贯坚持的是，它是完全正交的，也就是说是正交变换。
正变换Y=AX；反变换X=A’Y；一般对于标准正交基，A’是A的共轭转置，对于双正交A’是A的对偶矩阵。
但不管如何，我们可以大胆的写，AA’=A’A=I。
这里I是单位矩阵。
那怎样操作才是最快的呢？我们来分析A的特点，首先A是正交阵，其次A是有循环矩阵特点，但此时A上半部分是由低通滤波器构成的循环子矩阵，下半部分是由高通滤波器构成的子矩阵，但却是以因子2为循环的。
为什么，因为你做了2抽取。
所以我们可以，实现小波变换用快速傅里叶变换。
这时如果A是满阵的，则复杂度由O(N.^2）下降到O(NlogN)。
但还有一点，我们忘了A是稀疏的，因为信号是很长的，而滤波器确实很短的，也就是这个矩阵是个近似对角阵。
所以，快速傅里叶是不快的，除非你傻到含有零的元素，也作了乘法。
因此，小波变换是O(N)复杂度的。
这是它的优势。
但要实现，却不是那么容易，第一个方法，稀疏矩阵存储和稀疏矩阵乘法。
第二个方法，因子化。
因子化，是一个杰出的贡献。
它在原有的O(N)的复杂度基础上，对于长滤波器，又把复杂度降低一半。
但量级仍然是O(N)。
四、时频分析对于平稳信号，傅里叶再好不过了。
它反映的是信号总体的整个时间段的特点。
在频率上，是点频的。
而对于非平稳信号，它就无能为力了。
而小波恰好对此派上用场。
小波是反映信号，某个时间段的特点的。
在频域上，是某个频率段的表现。
但小波，作为频谱分析确实存在很多问题。
但我们确实可以做出很多的小波满足这个特点。
大家可以看冉启文的《小波变换与分数傅里叶变换》书，这里我不再赘述。
还有，我们老是说小波是近似频域二分的，这在DSP上是怎样的，最近我也在思考。
五、压缩、消噪、特征提取傅里叶变换的压缩，已经广泛应用了。
它的简化版本就是DCT变换。
而小波包的提出，也就使DCT有些相形见拙。
首先，它提出代价函数，一般就是熵准则。
其次，一个自适应树分解。
再次，基于矩阵范数或较少位编码的稀疏化策略。
这些使小波包的压缩近乎完美。
小波包是从频域上实现的。
从时域上，我们也可采用类似的分裂和并算法，来实现信号最优的表达，这种可变窗小波成为MALVAR小波。
记住，压缩是小波最大的优势。
消噪，一般的傅里叶算法，一般可以是IIR滤波和FIR滤波。
两者各有优缺点。
而小波的消噪，一般也是由多层分解和阈值策略组成。
我们需要的是信号的特点，噪声的特点，然后确定用不用小波，或用什么小波。
这点上，小波的优势并不是很明显。
特征提取。
这是小波的显微镜特点很好地运用。
利用模极大值和LIPSCHITZ指数，我们可以对信号的突变点做分析。
但这里面的问题也是很多。
首先，在不同尺度上，噪声和信号的模极大值变化不同。
再次，一般我们用求内积方法，求模极大值，而不用MALLET算法，或者改用叫多孔算法的东西来做。
这点，我没任何体会，希望大家多讨论吧。
这里，我不能谈应用很多的细节。
但我们必须明确：1.你要对小波概念有着明确的理解。
对诸如多分辨率，时频窗口与分析，框架，消失矩，模极大值，LIPSCHITZ 指数等有着清醒地认识。
2.你必须考虑小波在此问题上的可行性，这点尤为重要，小波不是万能的。
3.你必须考虑什么样的小波是合适的。
4.你必须给出一个评价的标准。
（熵准则，模极小则等）5.你必须确定一种算法，是用小波还是小波包或是类小波。
（MALLET，直接求内积，多孔，模极大值重构）。
6.最后，你要把你做的效果还其他人的作比较，看看有没有优势。
7.自己编写几乎所有程序，不依靠TOOLBOX里任何的函数。
（一些常用的除外）。
这样相信你会获益不少。
我个人的理解：小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，他的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的，两者主要的不同点：1、傅立叶变换实质是把能量有限信号f(t)分解到以{exp(jωt)}为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W-j和V-j所构成的空间上去的。
2、傅立叶变换用到的基本函数只有sin(ωt),cos(ωt),exp(jωt)，具有唯一性；小波分析用到的函数（即小波函数）则具有多样性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。
小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断地试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数。
3、在频域分析中，傅立叶变换具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(ω1t)+(ω2t)+(ω3t)，但在时域中傅立叶变换没有局部化能力，即无法从f(t)的傅立叶变换中看出f(t)在任一时间点附近的性态。
事实上，F(w)dw是关于频率为w的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的。
4、在小波分析中，尺度a的值越大相当于傅立叶变换中w的值越小。
5、在短时傅立叶变换中，变换系数S(ω，τ)主要依赖于信号在[τ-δ，τ+δ]片段中的情况，时间宽度是2δ（因为δ是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2δ是一个定值）。
在小波变换中，变换系数Wf（a,b）主要依赖于信号在[b-aΔφ，b+aΔφ）片断中的情况，时间宽度是2aΔφ，该时间的宽度是随尺度a变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。