傅里叶变换及小波分析(修改后)

2.短时傅里叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变 换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克 服的缺陷，即当窗函数确定后，矩形窗口的形状就确定了， 只能改变窗口在相平面的位置，而不能改变窗口的形状。 因此短时傅里叶变换本质上是具有单一分辨率的分析，若 要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)。因此，短时 傅里叶变换比较适合用来分析平稳信号，不适合分析非平 稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求 有较高的时间分辨率。而波形变化比较平缓的时刻，主频 是低频，则要求有较高的频率分辨率，短时傅里叶变换不 能兼顾两者。
小波变换的应用
1.由前面的我们知道：对于高频谱的信息，时间间隔 要相对较小以给出比较好的精度，而对于低频谱的 信息，时间间隔要相对较宽以给出完全的信息，亦 即需要一个灵活可变的时间—频率窗，使在高“中 心频率”时自动变窄，而在低“中心频率”时自动 变宽，傅里叶变换无法达到这种要求，它只能作全 局分析，而且只对平稳信号的分析有用。
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源自文库
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傅里叶级数：原信号是周期、连续的，经傅 里叶级数之后结果是离散的。
傅里叶变换：原信号是非周期、连续的，经 傅里叶变换之后，结果也是连续的。
适用于数字信号的傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换都是针对连续信号 而言的，那么对于数字信号而言，是否有对 应的傅里叶分析呢？答案是肯定的，这就是 离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶 变换（DFT）。
小波变换
小波变换是在傅立叶分析的基础上发展起来的， 作为时—频分析方法，小波分析比傅立叶分析 有着许多本质性的进步。
小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时 局部化的分析方法，无论分析低频或者高频信 号，它都能自动调节时—频窗，以适应实际分 析的需要，它在低频部分具有较高的频率分辨 率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高 的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉 为分析信号的显微镜。
图像处理
1.基于小波变换的图像压缩
基于二维小波分析的图像压缩方法有很多, 比较成功的有小波包、小波变换零树压缩、 小波变换矢量量化压缩等。二维小波分析 用于图像压缩是小波应用的 一个重要方面。 一个图像做小波分解后,可得到一系列 不同 分辨率的子图像。不同分辨的子图像对应的 频率 是不同的。高分辨率(即高频)子图像上
傅里叶变换
什么是傅里叶分析？
贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的 傅里叶分析
时域——分析信号随时间的变化。 频域——该信号中所包含的各种频率分量。
为什么要进行傅里叶分析？
时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化 情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确 揭示信号的频率组成和各频率分量大小。
小波分析基本原理
对模拟信号 f (t)的积分变换
Wf a, b f t ab t dt
R
称为小波变换，其中，
ab(t) a1/2(atb)
是由 (t)经平移和放缩的结果，当满足一定条件
时 (t)称为允许小波函数。
允许小波函数 (t)应满足的条件：
1.要求
2
(t) dt
有快速衰R减性。
信号频谱代表了信号在不同频率分量成分的 大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰 富的信息。
1.周期信号的傅里叶级数
时域
频域
2.非周期信号的傅里叶变换
时域
频域
对比发现
周期信号其频谱为离散谱； （傅里叶级数） 非周期信号其频谱为连续谱；（傅里叶变换）
E Fn
T1
2
2
0 2
w
T1
F0 (w)
，这就要求 (t) 具
2.要求 (t)dt 0 ，表明 (t) 具有波动性。
R
总之，(t)是像波一样的快速衰减函数，形如小
的波，这就是(t) 称为小波的原因。
构造小波的意义
小波变换在分析诊断信号有着自身的显著优势， 然而并不是每个小波都能分析处理任意的信号， 运用小波有很强的选择性，针对不同的信号需 要应用符合其条件的小波，如何选择小波是小 波研究中的热点和难点问题。
3.离散时间傅里叶变换（DTFT）
对非周期、离散信号的傅里叶分析称为离散 时间傅里叶变换。
原信号是非周期、离散的，经离散时间傅里 叶变换后，结果是连续的。
4.离散傅里叶变换（DFT）
对周期、离散信号的傅里叶分析称为离散傅 里叶变换。
原信号是周期、离散的，经离散傅里叶变换 后，结果是离散的。
2.在汽车主动防撞雷达中应用
线性调频信号用于汽车主动防撞雷达中，匹 配傅里叶变换快速算法，可准确识别信号的 峰值，即使在较低信噪比条件下，仍具有较 强的信号检测和识别能力，体现了匹配傅里 叶变换快速算法的优越性。
3.汽车零部件形状精度检测诊断
4.汽车减速箱中主振源检测
傅立叶变换的局限性：
傅立叶变换是信号分析和处理的理论基础， 有着非凡的意义，起着重大的作用。但是傅立 叶变换有它明显的缺陷，信号任何时刻的微小 变化会牵动整个频谱。实际信号往往是时变信 号、非平稳过程，了解它们的局部特性常常是 很重要的。人们通过预先加窗的方法即采用短 时傅立叶变换，用时间窗的一段信号来表示它 在某个时刻的特性，显然，窗越宽，时间分辨 率越差，但为提高时间分辨率而缩短窗宽时， 又会减低频率分辨率。因此短时傅立叶变换不 能同时兼顾时间分辨率和频率分辨率。
3. 小波变换时一种新的变换分析方法，它继承和发展了 短时傅里叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不 随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间—频 率窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。他的主 要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因 此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小 波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究 中。从此，小波变换越来越引起人们的重视，其应用领域 越来越广泛，如:信号处理、图像处理、电力系统的故障诊 断等，并取得了可喜成果。
离散傅里叶变换（DFT）的应用
由于计算机等数字设备只能处理数字信号， 即无论是时域还是频域，都要求是离散的。 因此，DFT在实践中占有最重要的地位。
1.在数字滤波器中应用
采用FFT算法技术进行滤波，则几乎可以做 到接近理想滤波器的效果，这种滤波器的特 点是利用了离散化的傅里叶变换算法，先对 信号的频谱进行分析，再根据滤波要求直接 剔除不需要的频谱，因此能很干净的滤除信 号中的干扰。