量子力学的数学准备

量子力学的数学准备(暑期读物)写在前面的话06光信、电科的同学们：暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。

由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时，加之学期缩短(由18-19周缩短为16-17周)，实际教学时间缩减近三分之一。

无论是从学校的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看，都不允许减少教学内容。

为此我编写了一个暑期读物，以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习和预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。

我知道大家暑假都很忙，要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬父母帮着做一些事情，要游览大好河山感受大自然的美，要准备考托考吉考这考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。

但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物，此处所说的看决不是指“Look ”，而是指“Read, Deduce and Consider ”，即阅读、推导、思考。

为此，带上数学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。

有人说19世纪是机器的世纪，20世纪是信息的世纪，而21世纪将是量子的世纪。

让我们为迎接量子世纪的到来做好准备吧！刘骥 谨此I. 一个积分的计算计算积分⎰+∞∞--≡dx e I x2⎰⎰+-+∞∞--+∞∞--=≡edy edx eI x y x (2222θπ=+∞-⎰⎰0202r dr rd e π=∴I由此我们可以得到积分公式：πnx n n dx ex2!)!12(22-=⎰+∞∞--0221221222!)!12(2)32)(12(21221221222I n I n n I n dxe x n de x dx exI nn n x n x n x nn -==--=-=-=-=≡--∞∞---∞∞---+∞∞--⎰⎰⎰Λ 问题：对于积分⎰--≡112dx e J x可以仿照上述方法计算吗？为什么？如果不能，该如何计算其近似值？II. 厄密多项式及相关问题在处理线性谐振子时会碰到求解下列方程的有限解问题0)()()(222=-+x y x dxx y d λ[2)(x y 是待求的有限函数，λ下面尝试用级数法求解方程将nx xy =)(代入方程(1)会出现n x因而方程(1)① 考察方程(1)在区间),(+∞-∞两端±∞→x 由于λ是常数，相对)(2+∞→x 可忽略，方程(1)在±∞→x 的渐近式为02=-''y x y 观察可发现2/2x e-是方程(2)的近似解。

2/2xe -当然不是方程(1)的解)(x y ，但当±∞→x 时)(x y 应表现出2/2xe-的渐近行为，于是我们可以合理地假设)(x y 中应包含因子2e-② 令2/2)()(x ex h x y -=，代入(1)，得0)()1()(2)(=-+'-''x h x h x x h λ (3)方程(3)称为Hermit ③ 级数法求解Hermit 方程 令∑∞=)(k kx ax h ，代入(3)，(0∑∞=k k [(0∑∞=k kΛ,2,1,0,)2)(1(122=++-+=+k a k k λk a k k (4)由递推公式(4)可以看出，0a 确定后，2a 、4a 、…等所有下标为偶数的展开系数随之确定，1a 确定后，3a 、5a 、…等所有下标为奇数的展开系数随之确定。

不妨令⎩⎨⎧==奇数，为偶数为,21k b C a k b C a k k k k ，21,C C 为任意常数，则不管k 为偶数还是奇数都有k k b k k λk b )2)(1(122++-+=+ (5)于是))11)(7)(3()7)(3(!33()!6)9)(5)(1(!4)5)(1(!21()(7151311260402001ΛΛ+---+--+-+++---+--+-+=x b x b x b x b C x b x b x b b C x h λλλλλλλλλλλλ (6))()(2211x h C x h C +≡ ④)(x y 当λ取任意常数值(λi.对任一有限的x ii. ±∞→x 时，无穷级数)(1x h 或)(2x h 有限，即使趋向无穷大也不能快于2/x e 。

由式(5)，)(1x h 或)(2x h 的相邻项系数比(后项比前项)kk k λk b b k k k 2)2)(1(122−−→−++-+=∞→+，根据无穷级数收敛判别法则，条件i 是满足的，即)(1x h 或)(2x h 是收敛的。

至于是否满足条件ii ，难以直接看出。

为此我们考察函数2x e的泰勒展开式ΛΛ++++++=)!2/(!3!216422k x x x x ekx ，其相邻项系数比kk k k k 21)2(1]!1)2[()!2(−−→−+=+∞→。

一个无穷级数在±∞→x 时的渐近行为取决于其高次项， )(1x h 或)(2x h 与2x e 有相同的(∞→k )相邻项系数比，因而221201)(,)(x x x x xe b x h e b x h −−−→−−−−→−±∞→±∞→。

显然这不满足上述的条件ii ，即12+≠n λ时，方程(1)没有有限解。

⑤12+=n λ时，方程(1)有有限解12+=n λ时，式(5)变为k k b k k n k b )2)(1()12(122+++-+=+，由0b (或1b )可推出n b b b ,,,42Λ(或n b b b ,,,53Λ)，而042===++Λn n b b ，)(1x h 或)(2x h 截断成为多项式。

±∞→x 时，多项式趋向无穷的速度不快于2/2x e，满足条件ii ，因而我们可以得到方程(1)的有限解。

具体地说，12+=n λ，n 为偶数时，)(1x h 截断成为只含有偶数次幂的n 次多项式，而)(2x h 仍为无穷级数，此时可选任意常数02=C ，得到方程(1)的有限解2/112)()(x e x h C x y -=。

12+=n λ，n 为奇数时，)(2x h 截断成为只含有奇数次幂的n 次多项式，而)(1x h 仍为无穷级数，此时可选任意常数01=C ，得到方程(1)的有限解2/222)()(x e x h C x y -=。

⑥Hermit(厄密)多项式12+=n λ时，)(1x h 或)(2x h 截断成为n 次多项式，其中的常数0b 或1b 习惯上这样选取：使多项式最高次项的系数为n2。

这样的多项式称为Hermit 多项式，记为)(x H n ，其通项公式：==2[0)(n k n x H 由此通项公式可具体写出任意阶的厄密多项式，如1)(0=x H ，x x H 2)(1=，24)(22-=x x H ，x x x H 128)(33-=124816)(244+-=x x x H ，……归纳起来，方程0)(2=-+''y x y λ在12+=n λ时存在有限解，对应的解为2/2)()(x n n n ex H C x y -=，⑦Hermit 多项式的微商表示方法及递推公式 Hermit 多项式还可写为nx n xn n dxed ex H 22)1()(--= (8)由通项公式(7)可得厄密多项式的一个递推公式 (9) 由微商表示(8)可得第二个递推公式 (10)由(9),(10)可得第三个递推公式(11)⑧常数n C 由归一化条件确定按照量子力学，)(x y n 应满足归一化条件，即1)()(2222==⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx x H eC dxx y n x nn 。

其中的积分值计算出来后，就能得到常数n C 。

将微商表示(8)代入上述积分，得⎰⎰+∞∞--+∞∞---=dx dxed x H dx x He nx n n n n x 22)()1()(2⎰+∞∞-----=)()()1(112n x n n ndxe d d x H⎰+∞∞----'--=dx dxed x H n x n nn112)()1(⎰+∞∞-------=dx dxedx H n n x n n n 11112)()1(2π!2)(!220n dx ex H n n x n===⎰+∞∞--Λ (12)于是⑨两个常用的关于)(x y n 递推关系由(11)得，)(21)()(11x H x nH x xH n n n +-+=，那么)(!21)(2/2/12x xH e n x xy n xn n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=π)()!1(2121)()!1(21212/2/1112/2/1122x H en n x H en n n x n n xn +-+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππ即利用(10)式)(2)(1x H xH x H n n n+-='，类此上面的计算可得⑩)(x y n 满足正交性，即n m dx x y x y n m ≠=⎰+∞∞-,0)()(证明：不妨设n m >，仿照(12)式中的做法⎰⎰+∞∞---+∞∞-=dx ex H n dx x y x y x n m nn m 2)(!2)()(再将厄密多项式的微商表示(8)代入，⎰--+∞∞--=n dx x y x ynm nn m )1(!2)()(0)1(!2112=-=+∞∞-------n m x n m nm n dxednIII. δ函数1．定义 ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(x x x δ，且1)(=⎰+∞∞-dx x δ。

2．性质 i. )()(x x δδ=-， ii. )0(),(1)(≠=a x aa x δδ iii.)()()(00x f dx x x x f =-⎰+∞∞-δ3．δ函数是某些通常函数序列的极限“δ函数显然不是通常意义的函数。

人们现在说，它是广义函数。

具体地说，它是某种通常函数系列的极限，而这极限是在积分的意义上说的。

”（梁昆淼《数学物理方法》第三版，p108）除了梁昆淼书中给出的三个例子，即i. )(rect 1)(lim 0l x l x l →=δ， ii.x Kxx K sin 1)(lim πδ∞→=iii. 221)(lim xx +=∞→εεπδε之外，量子力学中还经常用到下面几种： iv. ⎰+∞∞-=dx ek ikxπδ21)( v. gx xg x g 22)(sin )(limπδ∞→=先验证iv ，k Rkdx e dx e R R Rikx R ikx sin 12121limlimπππ∞→+-∞→+∞∞-==⎰⎰ 再验证v ，0≠x 时，0)(sin 22lim =∞→gx xg g π0=x 时，∞→==∞→→∞→∞→πππggx xg gx xg g x g g limlimlim lim 22022)(sin )(sin⎰⎰+∞∞→+∞∞-∞→+∞∞-∞→==dx gx xg dx gx xg g g g 222221)(sin )(sin limlimlim πππ注意到π===-=⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-dx xxx xd dx x x dx xx 2sin 12cos 2122cos 1sin 2221)(sin 22lim =∴⎰+∞∞-∞→dx gx xg g π 符合δ函数的定义。