附录A：量子力学中常用的数学工具
量子力学中的格林函数
量子力学中的格林函数量子力学中的格林函数（Green's function）是一种重要的数学工具，用于描述线性方程的解。
格林函数是量子力学中时间和空间演化的基本对象，具有广泛的应用。
本文将介绍格林函数的基本定义、性质以及在量子力学中的应用。
格林函数最早由英国数学家格林（George Green）在19世纪中叶提出，用于求解泊松方程。
在量子力学中，格林函数用于求解薛定谔方程、波动方程和狄拉克方程等线性偏微分方程。
首先，我们来介绍格林函数的基本定义。
假设有一个线性偏微分方程：\[Lx(y)=f(y)\]其中L是一个微分算符，x是未知函数，f是已知函数。
那么格林函数G(x,y)定义为满足以下条件的函数：当y满足方程Ly(y)=δ(x-y)时（其中δ(x-y)是狄拉克δ函数），有：\[x(y) = \int G(x, y) f(y) dy\]这样，通过求解方程Ly(y)=δ(x-y)再求解x(y)，我们就可以得到未知函数x的表达式。
格林函数的性质非常重要。
首先，格林函数是一个关于x和y的函数，具有连续性和可导性。
其次，格林函数满足方程：\[L_xG(x,y)=δ(x-y)\]这是由定义可得的。
另外，格林函数还满足以下对称性：\[G(x,y)=G(y,x)\]这是因为δ函数的对称性。
另一个重要的应用是在凝聚态物理学中的格林函数理论。
格林函数理论可以用来研究电子在晶格中的行为，描述电子的传导性质以及其他物理量的计算。
格林函数可以描述凝聚态系统中的激发态和物理过程，如电子-电子相互作用、激发态的衰减等。
格林函数理论在材料科学、纳米技术等领域有广泛的应用。
除上述应用外，格林函数还在量子场论、统计物理、凝聚态物理学等领域有深入研究和应用。
利用格林函数的方法，我们可以推导许多量子系统的性质和行为，为理解和解释微观世界提供了有力的工具。
总结一下，格林函数是量子力学中重要的数学工具，用于描述线性方程的解。
它的基本定义以及性质使得我们可以求解各种量子系统的动力学行为，并研究诸如粒子传播、响应函数等物理量。
量子力学中的格林函数
量子力学中的格林函数格林函数是量子力学中一种重要的数学工具，用于描述一个系统中的时间演化过程。
它是波动方程的解析解，可以提供关于系统中各种物理量的信息。
在量子力学中，哈密顿量（描述系统的能量和相互作用）可以通过波函数的时间演化来得到。
格林函数是波函数的时间演化操作的逆运算，它可以反演哈密顿量并得到波函数的解析解。
格林函数的定义是通过两个算符之间的关联函数来给出的。
假设我们有两个算符A和B，那么它们的关联函数定义为G(t) = ⟨A(t)B(0)⟨其中⟨...⟨表示对系统所有可能状态的平均。
格林函数G(t)可以看作是A和B之间的相关程度，它描述了一个算符在时间t上的作用对另一个算符的影响。
对于一个具体的系统，我们可以通过求解波动方程和使用卷积定理来得到格林函数的解析表达式。
格林函数是一个二阶张量，可以表示为一个矩阵，在时间和空间上都有特定的依赖性。
量子力学中最常见的格林函数是时间格林函数和频率格林函数。
时间格林函数描述了系统在不同时间点上的行为，它可以用来计算系统的能量谱和激发态。
频率格林函数则描述了系统在不同频率上的响应，可以用来计算各种物理量的频谱。
格林函数还有许多重要的应用。
例如，在凝聚态物理中，格林函数可以用来计算电子在晶格中的传输性质，如电导率和热传导率。
在量子场论中，格林函数用于计算粒子的相互作用过程。
格林函数在计算机模拟和数值算法中也有广泛的应用。
格林函数在量子力学中具有重要的地位和作用。
它提供了描述系统行为的数学工具，可以用来计算各种物理量的性质和行为。
通过求解波动方程和使用卷积定理，我们可以得到格林函数的解析表达式，并用它来研究系统的时间和频率行为。
格林函数不仅在理论研究中有广泛应用，而且在实际计算和模拟中也具有重要的价值。
温伯格 产生湮灭算符-概述说明以及解释
温伯格产生湮灭算符-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述温伯格-沃尔面产生湮灭算符是量子力学中重要的数学工具，它在描述多粒子系统中的相互作用过程中起到了关键的作用。
该算符是由德国物理学家格雷戈尔·温伯格和约翰·温伯格以及奥地利物理学家弗里茨·沃尔面所提出的。
温伯格-沃尔面算符在量子场论中也扮演着重要的角色，特别是在描述电磁相互作用以及粒子的产生和湮灭过程时。
温伯格-沃尔面算符被定义为一对互为共轭的算符，分别用a和a†表示，它们与粒子的产生和湮灭有着密切的关系。
其中，a†算符表示粒子的产生，而a算符则表示粒子的湮灭。
这两个算符在量子力学的形式体系中起到了重要的作用，能够用于构建系统的哈密顿量以及描述系统的演化过程。
温伯格-沃尔面算符具有一系列特殊的性质，比如它们满足一定的对易关系，即[a, a†] = 1。
这个对易关系是描述产生和湮灭算符之间互相作用的基础，也是构建量子场论的重要基础之一。
此外，温伯格-沃尔面算符还具有正定性和严格的归一化条件等性质，这些性质使得它们在描述物理过程时具有很强的实用性和可计算性。
温伯格-沃尔面算符的应用非常广泛。
它们在量子力学以及量子场论的各个领域都扮演着重要的角色。
比如，在量子力学中，它们可以用于描述系统中粒子的数目变化以及相应的能量变化；在量子场论中，它们可以描述粒子的产生和湮灭过程，以及粒子与场之间的相互作用。
除此之外，温伯格-沃尔面算符还在量子信息和量子计算等领域有着广泛的应用。
综上所述，温伯格-沃尔面产生湮灭算符在量子力学和量子场论中具有重要的地位和作用。
它们的定义、性质以及应用都是研究这两个领域的基础知识。
对于理解多粒子系统的相互作用以及粒子的产生和湮灭过程，深入了解和掌握温伯格-沃尔面算符是非常重要的。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：本文将按照以下结构进行讨论：1. 引言：在引言部分，将对温伯格产生湮灭算符进行简要介绍，并说明本文的目的和意义。
量子力学波函数
量子力学波函数量子力学波函数是描述微观粒子行为的数学工具。
在量子力学中，波函数是对粒子状态的完全描述，包括位置、动量、能量等。
通过波函数，我们可以预测粒子在不同条件下的行为以及它们的统计性质。
本文将简要介绍量子力学波函数的定义、性质和应用。
一、波函数的定义在量子力学中，波函数用Ψ表示，它是一个复数函数。
波函数Ψ本身并不直接描述物理可观测量，而是通过对波函数模的平方进行解释来提供物理信息。
波函数的模的平方|Ψ|^2给出了粒子存在于不同位置的概率分布。
二、波函数的性质1. 波函数的归一化：波函数在整个空间内的积分的平方根是1，即∫|Ψ|^2dV=1，这保证了粒子存在的概率是100%。
2. 波函数的连续性：波函数和它的一阶偏导数在空间中是连续的，确保了粒子在空间中的平滑运动。
3. 波函数的线性叠加：对于多粒子系统，波函数是各个粒子波函数的乘积。
在相互作用小的情况下，波函数具有线性叠加的性质。
4. 波函数的统计解释：波函数的模的平方给出了找到粒子在特定位置的概率。
根据波函数统计解释，粒子不存在于位置x的概率为|Ψ(x)|^2。
三、波函数的应用1. 粒子位置的概率预测：通过计算波函数的模的平方，可以得到粒子存在于不同位置的概率分布。
这对于理解粒子在各种势场中的行为非常重要。
2. 量子力学算符的期望值计算：波函数与相应的算符作用后的积分可以计算粒子某个物理可观测量的期望值，如位置、动量、能量等。
3. 波函数的演化：根据薛定谔方程，波函数可以随时间演化。
这对于研究粒子在复杂系统中的行为和量子纠缠等现象非常重要。
结论量子力学波函数是预测和描述微观粒子行为的重要工具。
通过波函数，我们可以计算粒子的概率分布、物理量的期望值以及粒子的演化过程。
波函数的定义和性质对于理解量子力学的基本原理和应用具有重要意义。
参考文献：1. Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. L. (1965). The Feynman Lectures on Physics Vol. III. California Institute of Technology.2. Griffiths, D. J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall.注：以上内容仅供参考，如需详细了解量子力学波函数，请查阅专业教材和相关研究文献。
量子力学中的旋转群与角动量代数
量子力学中的旋转群与角动量代数量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而旋转群和角动量代数是量子力学中重要的数学工具。
本文将介绍旋转群和角动量代数在量子力学中的应用，以及它们的基本概念和性质。
旋转群是指在空间中保持距离和角度不变的变换集合。
在量子力学中，旋转群描述了粒子在空间中的旋转对称性。
旋转群的元素可以表示为旋转矩阵，它们作用在量子态上，使其发生旋转变换。
旋转群的性质决定了旋转变换对量子态的影响，从而影响粒子的测量结果。
旋转群的表示理论是描述旋转群作用在量子态上的数学工具。
表示理论将旋转群的元素表示为矩阵形式，使其作用在量子态上。
这些矩阵称为旋转算符，它们描述了旋转变换对量子态的影响。
旋转算符是幺正算符，保持量子态的归一性和内积不变。
旋转群的表示可以通过角动量代数来描述。
角动量代数是一种代数结构，描述了旋转群的对称性。
在量子力学中，角动量代数是描述粒子角动量的数学工具。
角动量代数包括角动量算符的对易关系和升降算符的定义。
角动量算符的对易关系决定了角动量的量子化规律，即角动量的取值只能是一系列离散的值。
角动量代数的基本概念是角动量算符和升降算符。
角动量算符是描述粒子角动量的物理量，通常用J表示。
角动量算符有三个分量，分别对应于粒子在三个坐标方向上的角动量。
升降算符是改变角动量态的算符，通常用J+和J-表示。
升降算符使角动量态在角动量空间中上升或下降一个单位。
利用角动量代数，可以推导出角动量算符的本征值和本征态。
角动量算符的本征值表示粒子的角动量大小，本征态表示粒子的角动量方向。
角动量算符的本征值是离散的，且满足一定的选择定则。
本征态是旋转群的不可约表示，具有一定的对称性。
角动量代数在量子力学中有广泛的应用。
例如，它可以用来描述电子的自旋角动量。
自旋角动量是电子固有的角动量，不依赖于电子的运动状态。
自旋角动量的本征值可以解释电子在磁场中的行为，例如朗德因子和塞曼效应。
另外，角动量代数还可以用来描述多电子系统的角动量耦合和分裂。
量子力学应用于原子物理的数值计算方法
量子力学应用于原子物理的数值计算方法量子力学是研究微观世界的基础理论，它描述了原子和分子的行为。
在原子物理中，量子力学的数值计算方法被广泛应用，以解决复杂的物理问题。
本文将介绍一些常用的量子力学数值计算方法，并探讨它们在原子物理中的应用。
首先，我们来了解一下量子力学数值计算方法的基本原理。
量子力学中的基本方程是薛定谔方程，它描述了系统的波函数随时间的演化。
然而，由于薛定谔方程的复杂性，直接求解它并不容易。
因此，数值计算方法成为解决量子力学问题的重要工具。
一种常用的数值计算方法是有限差分法。
它将连续的波函数空间离散化为有限个网格点，并用差分近似替代导数运算。
通过迭代求解离散化的薛定谔方程，我们可以得到系统的波函数随时间的演化。
有限差分法简单易懂，适用于一维和二维系统的计算，例如一维势阱和二维谐振子等。
然而，对于更复杂的系统，有限差分法的计算量会急剧增加，限制了其应用范围。
另一种常用的数值计算方法是变分法。
变分法通过构造一个试探波函数的集合，并通过最小化能量来寻找系统的基态波函数。
这种方法可以得到较精确的结果，尤其适用于求解多体系统的基态。
变分法的一个重要应用是计算原子的电子结构。
通过构造适当的试探波函数，我们可以求解原子的薛定谔方程，并得到电子的能级和波函数。
这对于理解原子的光谱性质和化学反应机理非常重要。
除了有限差分法和变分法，还有一些其他的数值计算方法在原子物理中得到了应用。
例如，量子蒙特卡洛方法通过随机抽样的方式模拟量子系统的行为，可以用于计算原子和分子的能量、结构和动力学性质。
路径积分法则通过将量子系统的路径积分化为经典系统的路径积分来求解系统的波函数和物理量。
这种方法在描述原子和分子的量子涨落和量子隧穿等现象时非常有用。
总的来说，量子力学应用于原子物理的数值计算方法丰富多样，每种方法都有其适用范围和优缺点。
这些方法为我们理解原子世界的奥秘提供了重要的工具。
通过数值计算，我们可以模拟和预测原子的行为，揭示原子的内部结构和相互作用规律。
量子力学升降算符
量子力学升降算符引言量子力学是描述微观粒子行为的理论，而量子力学升降算符则是其中重要的数学工具之一。
升降算符是量子力学中的一种线性算符，用于描述粒子在能级之间跃迁的过程。
本文将详细介绍量子力学升降算符的定义、性质以及在实际应用中的重要性。
1. 定义在量子力学中，升降算符通常用来描述粒子在能级之间跃迁时的行为。
升算符通常表示为”a+“，而降算符则表示为”a-“。
这两个算符是共轭转置关系。
具体而言，对于一个给定的能级n，升降算符可以定义如下：•升算符a^+：它使得粒子从能级n跃迁到能级n+1，并改变了粒子的动量和自旋等性质。
•降算符a^-：它使得粒子从能级n跃迁到能级n-1，并同样改变了粒子的动量和自旋等性质。
升降算符可以用数学表达式表示为：a^+ |n⟩= √(n+1) |n+1⟩a^- |n⟩= √n |n-1⟩其中，|n⟩表示能级为n的态矢量，√(n+1)和√n是归一化因子。
2. 性质量子力学升降算符具有以下重要性质：•归一化：升降算符保持态矢量的归一化。
即，对于任意的态矢量|ψ⟩，有⟩ψ|ψ⟩ = ⟩a+ψ|a+ψ⟩ = ⟩a-ψ|a-ψ⟩。
•升降关系：升算符和降算符之间存在以下关系：–a^- a^+ |n⟩ = (a^+ a^- + 1) |n⟩ = (n+1) |n⟩–a^+ a^- |n⟩ = (a^- a^+ - 1) |n⟩ = n |n⟩这个关系可以用来计算升降算符作用在一个能级为n的态矢量上的结果。
•升降运算：升降算符可以用来计算能级之间的跃迁概率。
对于一个处于能级为n的态矢量|n⟩，应用升降算符可以得到：–a^+ |n⟩= √(n+1) |n+1⟩–a^- |n⟩= √(n) |n-1⟩这样，我们可以计算出粒子从能级n跃迁到n+1或者n-1的概率。
3. 应用量子力学升降算符在实际应用中具有广泛的重要性。
以下是几个应用示例：•能级跃迁：升算符和降算符可以用来描述粒子在不同能级之间跃迁的过程。
量子力学中的时间演化算子与哈密顿量
量子力学中的时间演化算子与哈密顿量量子力学是一门研究微观粒子行为的科学。
量子力学的基本原理是薛定谔方程，它描述了量子系统的时间演化。
在量子力学中，哈密顿量是一个很重要的概念，它与时间演化算子密切相关。
一、哈密顿量的含义和作用哈密顿量是描述量子系统能量的算符，它对应着一个物理量，可以用来计算系统的能量。
哈密顿量作用在量子态上，得到的结果是这个量子态的能量值。
在量子力学中，波函数是描述量子态的数学工具。
波函数可以根据哈密顿量来求解，即利用薛定谔方程。
薛定谔方程是一个关于波函数的微分方程，它描述了波函数随时间演化的规律。
二、时间演化算子的定义和性质时间演化算子是用来描述量子态随时间演化的数学工具。
它可以看作是一个泛函，将初始时刻的量子态演化到某个时刻的量子态。
时间演化算子的定义式如下：$$U(t,t_0)=\mathrm{e}^{-\frac{i}{\hbar}H(t-t_0)}$$其中，$t$表示目标时刻，$t_0$表示初始时刻，$H$表示哈密顿量，$\hbar$表示约化普朗克常数。
$\mathrm{e}$表示自然对数的底数，$i$表示虚数单位。
时间演化算子具有以下性质：（1）幺正性时间演化算子是幺正算子，即满足$U(t,t)^{\dagger}=U(t,t)^{-1}$，其中$\dagger$表示厄米共轭。
这个性质保证了时间演化过程中的概率守恒。
（2）线性性时间演化算子具有线性性质，即$U(t,t_0)(\alpha\psi_1+\beta\psi_2)=\alpha U(t,t_0)\psi_1+\betaU(t,t_0)\psi_2$，其中$\alpha,\beta$为复数。
（3）半群性时间演化算子具有半群性质，即$U(t,t_0)U(t_0,t_1)=U(t,t_1)$，其中$t\geq t_1\geq t_0$。
三、时间演化算子与哈密顿量的关系时间演化算子和哈密顿量是密切相关的。
根据薛定谔方程，波函数的时间演化可以表示为：$$\psi(t)=U(t,t_0)\psi(t_0)$$将时间演化算子的定义式代入上式得到：$$\psi(t)=\mathrm{e}^{-\frac{i}{\hbar}H(t-t_0)}\psi(t_0)$$此式称为时间演化算子的运算式，它描述了波函数随时间演化的规律。
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附录A ：量子力学中常用的数学工具1. 常用数学符号 1.1 克雷内克符号克雷内克（Kronecker ）符号i j δ在物理中有广泛应用，其定义为1,0,i j i ji jδ=⎧=⎨≠⎩ （A1-1） 可以用来简洁地表示基矢量或本征函数之间的正交归一性关系*i j i j dx ψψδ=⎰ （A1-2）1.2 列维·西维塔符号列维·西维塔（Levi-Civita ）符号i j k ε又称为三阶反对称张量，其定义为1,123,231,3121,132,213,3210,i j ki jk i jk ε+=⎧⎪=-=⎨⎪⎩其它 （A1-3） 可以用来简洁地表示矢量积的分量关系,,,(),k i j k i j i j k i j k i j i j k A B A B A B C A B C εε⨯=⨯⋅=∑∑v v vvv （A1-4）1.3. 微分算符在坐标表象下，动量对应梯度算符，梯度算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为11sin x y z r e e e e e e x y z r r r θϕθθϕ∂∂∂∂∂∂∇=++=++∂∂∂∂∂∂v v v v v v （A1-5）利用球坐标表达式r r re =v v，得到1sin r e e ϕθθθϕ∂∂⨯∇=-∂∂v v v （A1-6）上式决定了角动量在球坐标中的表示形式。
（A1-6）式的平方为球面拉普拉斯算符22211sin sin sin θθθθθϕΩ∂∂∂∆=+∂∂∂ （A1-7） 与角动量平方相对应。
拉普拉斯算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为222222222211r x y z r r r Ω∂∂∂∂∆=∇=++=+∆∂∂∂∂ （A1-8）与动能相对应。
2．常用数学函数 2.1．Γ函数及其应用Γ函数是阶乘的推广，也称伽马函数，其定义为10()0t x x e t dtx ∞--Γ=>⎰ （A2-1）它具有一些的典型特殊值1122()(1)!,()()n n n Γ=-Γ+=Γ= （A2-2） 下面的积分可以化为Γ函数22112201||()2n nn n ed ed e d ξξζξξξξζζ-∞∞∞-----∞+===Γ⎰⎰⎰ （A2-3） 21122sin(tan )sin (),,0()xb atx a x etbtdt x x a a b -∞--=Γ>+⎰（A2-4）2.2．谐振子能量本征函数和厄密多项式厄密多项式的定义为22()(1)n nx x n nd H xe en N dx -=-∈ （A2-5）满足微分方程0)(2)(2)(=+'-''x nH x H x x H n n n，具有性质()(1)()n n n H x H x -=-，并满足带权重的正交性关系2,()()2x nl n l n H x H x e dx n ∞--∞=⎰（A2-6）前4个厄密多项式为230123()1,()2,()42,()812H x H x x H x x H x x x===-=- （A2-7）谐振子能量的本征函数为2212()()x n n n x N eH x αψα-= （A2-8）其中归一化系数为n N =2.3 角动量与球函数归一化的球谐函数定义为,,(,)(1)(cos ),,||m m im l m l m l Y N P el N m l ϕθϕθ=-∈≤ （A2-9） 其中,l m N 为归一化系数，而2/22(1)()(1),||2!m l m ml l l l m x d P x x m l l dx++-=-≤⋅ （A2-10）为连带勒让德函数。
球谐函数满足球面赫姆霍兹方程,,(1)0l m l m Y l l Y Ω∆++=和递推公式,1,1,1,11,1cos sin l ml m l mi l m l m Y e ϕθθ+-±+±-±== （A2-11）是角动量平方及其z 分量的共同本征函数。
前几个球谐函数为0,01,01,122,02,1222,2,1),sin i i i Y Y Y e Y Y e Y e ϕϕϕθθθθθθ±±±±±±====-==（A2-12）2.4 氢原子径向波函数与缔合拉盖尔多项式缔合拉盖尔多项式的定义为()()kk nn k d L x L x dx= （A2-13）其中()()n xx nn nd L xe e x dx -= （A2-14）称为拉盖尔多项式，满足拉盖尔微分方程''()(1)'()()0n n n xL x x L x nL x +-+=。
氢原子的径向波函数为02122()()(),0r na l l r r nl nl n l na na R r N eL n l -++=>≥ （A2-15） 其中nl N 为归一化系数。
记0/r a ξ=，前几个径向波函数为)/2/21,02,02,12/3/344213,03,13279272/33,2(),()),()()2,()()()R r e R r e R r e R r e R r e R r e ξξξξξξξξξξ------==-==-+=-=（A2-16） 2.5 散射相移与球贝塞尔函数l 阶球贝塞尔函数和球诺伊曼函数的定义分别为1122()(),()()l l l l j x x n x x ++==（A2-17）其中()J x ν和()N x ν分别为ν阶贝塞尔函数和诺伊曼函数20()cos ()(1)()(),()!(1)2sin n v n v n J x J x xJ x N x n v n ννννπνπ∞+-=--==Γ++∑ （A2-18） 球贝塞尔函数和球诺伊曼函数是球贝塞尔方程22(1)'''[1]0l l l l l y y y x x +++-=的两个线性独立的特解，具有渐近形式1111()sin(),()cos()22x x l l j x x l n x x l x x ππ→∞→∞−−−→-=−−−→- （A2-19）散射问题中，径向波函数的渐近形式为112()sin()r l l l R r Ar kr l πδ→∞-−−−→-+，它与球贝塞尔函数()l j kr 的位相差l δ称为相移，相移在散射截面的计算中非常重要。
整数阶的球贝塞尔函数和球诺伊曼函数都是初等函数，前几个分别为001122222133sin cos (),()sin cos cos sin (),()3sin 3cos sin 3cos 3sin cos (),()x xj x n x x x x x x x x x j x n x x x x x x x x x x x x x j x n x x x ==--+==---+-==- （A2-20） 2.6 狄拉克函数狄拉克函数是一个广义函数，定义为0,0(),()1,0x x x dx x δδ∞-∞≠⎧==⎨∞=⎩⎰（A2-21）可以表示质点或点电荷的密度，在量子力学中常常用来表示本征函数集合的完备性*(')()(')n n n x x x x ψψδ∞==-∑ （A2-22）和连续谱本征函数的正交归一性关系。
狄拉克函数及其导数具有选择性质()()(),'()()'()x a f x dx f a x a f x dx f a δδ∞∞-∞-∞-=-=-⎰⎰（A2-23）狄拉克函数的积分为亥维赛（Heaviside ）函数，也称单位阶跃函数1,0()()0,0xx x d x εδξξ-∞≥⎧==⎨<⎩⎰（A2-24）3．常用数学公式 3.1矢量积分公式封闭曲线积分的斯托克斯公式为DDA dl A dS ∂⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰v v v vÑ （A3-1）其中D ∂为曲面D 的边界曲线。
封闭曲面积分的高斯公式为VVA dS A dV ∂⋅=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰v v vÒ （A3-2）其中V ∂为空间区域V 的边界曲面。
3.2 级数求和公式22222221111,,6268n n n n n n πππ∞====⋅∑∑∑为偶数为奇数（A3-3） 44444441111,,9029096n n n nnnπππ∞====⋅∑∑∑为偶数为奇数 （A3-4） 66666661111,,9452945960n n n n n n πππ∞====⋅∑∑∑为偶数为奇数（A3-5） 3.3 统计公式在给定概率分布()i i P Q q w ==时，随机变量Q 的期待值为i i i Q w q =∑ （A3-6）其函数()f Q 的期待值为()()i i i f Q w f q =∑ （A3-7）随机变量Q 的方差为2222()()Q Q Q Q Q ∆=-=- （A3-8）。