量子力学常用公式
量子力学普朗克公式
普朗克函数反函数普朗克函数 (Planck function) 是物理学中一个用于描述热辐射的函数，它由德国物理学家普朗克 (Max Planck) 创立。
普朗克函数的反函数也是物理学研究中的一个重要部分。
一、普朗克函数的定义普朗克函数是指一个与温度，波长和辐射强度相关的函数。
它通常用于描述黑体辐射过程中的能量分布和辐射强度的密度。
普朗克函数被广泛地应用于天体物理学、气象学、空间科学、核物理学等领域，因为它能帮助科学家们更好地理解和解释物质的热量特性。
二、普朗克函数的特性普朗克函数被定义为：$$B(\nu, T) =\frac{2h\nu^3}{c^2}\cdot\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_bT}}-1}$$其中，$B(\nu, T)$ 表示在温度为 $T$ 的黑体内，频率为 $\nu$ 的辐射强度密度，$h$ 表示普朗克常数，$c$ 表示光速，$k_b$ 表示玻尔兹曼常数。
普朗克函数有以下几个特点：1. 频率越高，辐射强度密度越大。
2. 在短波长处，普朗克函数函数值急剧上升，而且在极短波长处，函数值趋近于无穷大。
3. 随着温度的升高，普朗克函数曲线向短波长方向移动，且曲线最大值也会向短波长方向移动。
三、普朗克函数反函数的意义普朗克函数反函数，也称为辐射定律，是指一个从辐射强度密度到温度之间的关系式。
它是普朗克函数的逆运算，意义重大。
普朗克函数反函数的求解可以帮助我们在物理学领域中解决很多实际的问题。
例如，它可以被用来计算太阳辐射的温度、判断天体运动的情况等等。
四、普朗克函数反函数的公式普朗克函数反函数字面上的意思是一个可以将辐射强度密度转化为温度的函数。
它可以用下面这个公式进行求解：$$T = \frac{h\nu}{k_b{ln(\frac{2h\nu^3}{Ic^2}+1)}}$$其中，$T$ 表示温度，$I$ 表示辐射强度密度，$\nu$ 表示频率，$h$ 表示普朗克常数，$c$ 表示光速，$k_b$ 表示玻尔兹曼常数。
量子力学_第二章_粒子流密度
(9)
2 0
sin n xdx
=
cos n xdx
( n 1)!! n!! 2
n为正偶数 n为正奇数
2 0
(10)
(n 1)!! n!! a0 2 sin ax 0 x dx a0 2
量子力学常用积分公式
(11)
0
e ax x n dx
(4)
x sin axdx
1 1 sin ax x cos ax a a2
2x 2 x sin ax ( 2 ) cos ax a a2 a
2
(5)
x
2
sin axdx
量子力学常用积分公式 (6)
x cos axdx
2
1 x cos ax sin ax a a2
同理可得量子力学 的电荷守恒定律：
量子力学的质量 J 0 守恒定律 t | ( r , t ) |2 i e Je 0 J J ( ) t 2
在空间闭区域τ 中将上式积分，则有：
2 i （ ）d [ ]d t 2 i （ ）d [ ]d t 2
t
闭区域τ 上找到粒 子的总几 率在单位 时间内的 增量 其微分形式与 流体力学中连 续性方程的形 式相同
表明电荷总量 不随时间改变 质量密度 和 质量流密度矢 量
e e e | (r , t ) | 2 i J e eJ e ( ) 2
电荷密度 和 电流密度矢量
（二）再论波函数的性质
量子力学 公式
量子力学公式
量子力学中的一些常见公式包括：
1. 薛定谔方程式：描述了量子物理学的宏观世界，即微观粒子如何随着时间的推移而演变。
其一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t=HΨ，其中i是虚数单位，ℏ是普
朗克常数的约化常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
2. 波粒二象性：描述了物质粒子的波动性质和粒子性质之间的相互作用关系。
其表达式为λ=h/p，其中λ是波长，h是普朗克常数，p是粒子的动量。
3. 测量理论：物理量的测量和观测结果有一定的概率性和不确定性。
测量理论采用概率统计的方法来描述这种不确定性。
最常见的公式是海森堡不确定性原理：ΔxΔp≥h/4π，其中Δx和Δp分别表示位置和动量的不确定度，h 是普朗克常数。
4. 费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计：描述了物质粒子的统计行为。
费米-狄拉克统计用于描述费米子（如电子、质子等）的行为，玻色-爱因斯坦统计用于描述玻色子（如光子、声子等）的行为。
5. 波函数的复共轭：Ψ^（r，t）。
6. 归一化条件：∫Ψ（r，t）^2d3r=1。
7. 位置算符：x。
8. 动量算符：-iℏ∇。
9. 能量算符：iℏ∂/∂t。
10. 完备性条件：∫ψn^（r）ψm（r）d3r=δnm。
以上公式仅供参考，如需更准确的信息，建议查阅量子力学相关的书籍或咨询专业人士。
量子力学常用数学公式
(3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系 .计算速度 并证明它大于光速. (解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:
⋅
q
=
i
∂H ∂
⋅
p
,本题中
i
q
i
= v,
p = p ,因而
i
v=
∂ m 2c 4 + c 2 p 2 = ∂p
c2 p m 2c 4 + c 2 p 2
∫
∫
∞
0
sin 2 ax πa dx = 2 2 x
∞
(16)
0
xe − ax sin bxdx =
2ab (a + b 2 ) 2
2
(a > 0)
∫
∞
0
xe − ax cos bxdx =
a 2 −b 2 (a 2 + b 2 ) 2
(a > 0)
第二章：函数与波动方程
[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能 V ( x) =
由(1)(2)求得电荷动能=
1 2 Beℏn mv = 2 2mc
再求运动电荷在磁场中的磁势能 ,按电磁学通电导体在磁场中的势能
磁矩 * 场强 电流 * 线圈面积 * 场强 ev * πr 2 * B v = , v 是电荷的旋转频率 , v = , = = c c c 2πr
代入前式得 运动电荷的磁势能=
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是 r ,线速度 是 v ,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:
Bev mv 2 = c r
2π
(1)
又利用量子化条件,令 p = 电荷角动量
量子物理公式总结
量子物理公式总结量子物理是研究微观物质的行为规律的物理学分支，描述了微观世界的奇妙现象和量子系统的特性。
本文将对一些常见的量子物理公式进行总结和解释。
1. 波函数与薛定谔方程波函数是描述量子系统的数学工具，通常用符号ψ表示。
薛定谔方程是描述波函数演化随时间变化的定律。
薛定谔方程的一般形式为：iħ(∂ψ/∂t) = Hψ，其中i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，H是系统的哈密顿算符。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了波函数随时间的演化。
2. 波动性与粒子性的双重性质根据德布罗意假说，微观粒子也具有波动性。
德布罗意波长λ = h/p，其中h是普朗克常数，p是粒子的动量。
这个公式表明，质量较小的粒子具有更强的波动性。
3. 平面波的波函数平面波是一种纯粹的波动模式，其波函数可以表示为ψ(x) =Ae^(ikx)，其中A是归一化系数，k是波矢，x是位置。
平面波的波函数具有连续的能量谱和动量谱。
4. 薛定谔方程的定态解薛定谔方程的定态解是指系统在某个特定能级上的解。
定态波函数可以用复数形式表示为ψ(x) = φ(x)e^(iEt/ħ)，其中φ(x)是空间部分的波函数，E是能量。
定态解是量子力学中最基本的解，并用来描述电子在原子中的行为。
5. 测量与不确定原理根据不确定原理，无法同时精确测量粒子的位置和动量。
不确定原理的数学形式是ΔxΔp ≥ ħ/2，其中Δx是位置的不确定度，Δp是动量的不确定度，ħ是约化普朗克常数。
这意味着粒子的位置和动量无法同时完全确定，存在一定的不确定性。
6. 角动量算符与角动量量子化角动量算符描述了粒子的旋转运动特性，通常用符号L表示。
它是一个矢量算符，包括轨道角动量和自旋角动量。
角动量的量子化表明，角动量只能取一系列离散的值，即量子化。
7. 定态Schrödinger方程定态Schrödinger方程是薛定谔方程的简化形式，适用于定常态。
它可以写成Hψ = Eψ，其中H是系统的哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。
4.3量子力学公式的矩阵表示
2 = 1, b1 = 2
同样步骤得
再由波函数归一化条件
1 1 ψ −1 = 2 − 2i −1
典型例题
例1、用坐标轮换的方法，写出 l 、用坐标轮换的方法， 函数， 表达。 函数，用球函数 Ylm 表达。 解：我们知道 L = 2h (即l 的全部本征函数为： 的全部本征函数为：
F1n F2n M
L L L =0
(4.3 − 6)
L Fnn − λ L M M L
方程（ 久期方程。 方程（4.3-6）称为久期方程。求解久期方程 可得到一组 值 ）称为久期方程 求解久期方程 可得到一组λ 它们就是F的本征值 把求得的λ 的本征值。 λ1 , λ 2 , L λ n L ; 它们就是 的本征值。把求得的 i 分别代入 （4.3-5）式中就可以求得与这 i 对应的本征矢 ）式中就可以求得与这λ
( ai1 (t ), ai 2 (t ),
L ain (t ) L), 其中 其中i=1,2, …n, …。 。
(3). 薛定谔方程
∂ψ ( x, t) ˆ ih = Hψ (x,t) ∂t
（ Q表象： ψ x, t） ∑ an (t )un ( x) =
n
dan (t ) ˆ ih ∑ un ( x) = ∑ an (t ) Hun ( x) dt n n
3 y − iz = −h = −hφ1−1 8π r
ˆ 的本征函数， ˆ 即 φ 1−1 的确是 Lx 的本征函数，本征值是 L x
= − h。
并积分： 左边乘以u m ( x ) 并积分
*
dam ( x) ih = ∑ an (t ) H mn = ∑ H mn an (t ) dt n n
量子力学公式
(2)
(3)
都是常数,总动量平方 总能量是:
=
=
但 正整数.
#
[3]平面转子的转动惯量为 ,求能量允许值.
(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角 ）决定,它的运动是一种
刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量 ,但 是角速度,能量是
利用量子化条件,将 理解成为角动量, 理解成转角 ,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有
(1)
又利用量子化条件,令 电荷角动量 转角
(2)
即 (3)
由(1)(2)求得电荷动能=
再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能= , 是电荷的旋转频率, ,代入前式得
运动电荷的磁势能= (符号是正的)
点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( )
#Hale Waihona Puke [5]对高速运动的粒子(静质量 )的能量和动量由下式给出:
(1)
(2)
试根据哈密顿量 (3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.
(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组: ,本题中 , ,因而
(4)
从前式解出 (用 表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.
其次求粒子速度 和它的物质波的群速度 间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式右方,又用 于(3)式左方,遍除 :
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：
如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为 则 这将导得下述折射定律
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子： 仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有 ，你怎样解决矛盾？
量子力学角动量公式
量子力学角动量公式量子力学中的角动量公式，就像是一把神奇的钥匙，能为我们打开微观世界的神秘大门。
在我们日常生活的宏观世界里，对于物体的转动和角动量的理解相对直观。
比如说，一个旋转的陀螺，我们能清楚地看到它的转动。
但在微观世界中，角动量的概念和表现可就大不相同啦。
咱先来说说量子力学角动量的基本公式：$J^2 = j(j + 1)\hbar^2$ 以及 $J_z = m_j\hbar$ 。
这里的 $j$ 代表角量子数，$m_j$ 则是磁量子数，而 $\hbar$ 是约化普朗克常数。
记得有一次，我给学生们讲解这个公式的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这东西看不见摸不着的，学它有啥用啊？”我笑着跟他们说：“同学们，就好比你们在玩拼图，每一块拼图看起来没啥特别，但当它们都拼在一起，就能呈现出一幅完整美丽的画面。
量子力学的角动量公式也是这样，虽然单个看起来有点复杂和抽象，但当它和其他的知识结合起来，就能让我们理解原子、分子，甚至是整个微观世界的运行规律。
”那咱们再深入一点聊聊这个公式。
在量子力学里，角动量不再是像宏观世界那样连续变化的，而是离散的、量子化的。
这就好比上楼梯，你只能站在特定的台阶上，而不能处于两个台阶之间的位置。
比如说氢原子中的电子，它的角动量就遵循这些公式。
电子的状态不是随意的，而是由特定的角量子数和磁量子数决定。
这就决定了电子能处于哪些特定的轨道，从而影响着原子的化学性质和物理性质。
再举个例子，在研究晶体结构的时候，角动量公式也发挥着重要作用。
晶体中的原子或者离子的排列方式，与它们的角动量特性息息相关。
想象一下，我们就像是微观世界的探险家，而角动量公式就是我们手中的地图和指南针。
它指引着我们在这个充满神秘和奇妙的微观领域中前行，让我们能够揭示那些隐藏在微小尺度下的奥秘。
总之，量子力学角动量公式虽然看似复杂难懂，但它却是我们探索微观世界的有力工具。
只要我们用心去理解，去探索，就能发现它背后所蕴含的无尽奥秘和美妙。