量子力学公式
量子力学普朗克公式
普朗克函数反函数普朗克函数 (Planck function) 是物理学中一个用于描述热辐射的函数，它由德国物理学家普朗克 (Max Planck) 创立。
普朗克函数的反函数也是物理学研究中的一个重要部分。
一、普朗克函数的定义普朗克函数是指一个与温度，波长和辐射强度相关的函数。
它通常用于描述黑体辐射过程中的能量分布和辐射强度的密度。
普朗克函数被广泛地应用于天体物理学、气象学、空间科学、核物理学等领域，因为它能帮助科学家们更好地理解和解释物质的热量特性。
二、普朗克函数的特性普朗克函数被定义为：$$B(\nu, T) =\frac{2h\nu^3}{c^2}\cdot\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_bT}}-1}$$其中，$B(\nu, T)$ 表示在温度为 $T$ 的黑体内，频率为 $\nu$ 的辐射强度密度，$h$ 表示普朗克常数，$c$ 表示光速，$k_b$ 表示玻尔兹曼常数。
普朗克函数有以下几个特点：1. 频率越高，辐射强度密度越大。
2. 在短波长处，普朗克函数函数值急剧上升，而且在极短波长处，函数值趋近于无穷大。
3. 随着温度的升高，普朗克函数曲线向短波长方向移动，且曲线最大值也会向短波长方向移动。
三、普朗克函数反函数的意义普朗克函数反函数，也称为辐射定律，是指一个从辐射强度密度到温度之间的关系式。
它是普朗克函数的逆运算，意义重大。
普朗克函数反函数的求解可以帮助我们在物理学领域中解决很多实际的问题。
例如，它可以被用来计算太阳辐射的温度、判断天体运动的情况等等。
四、普朗克函数反函数的公式普朗克函数反函数字面上的意思是一个可以将辐射强度密度转化为温度的函数。
它可以用下面这个公式进行求解：$$T = \frac{h\nu}{k_b{ln(\frac{2h\nu^3}{Ic^2}+1)}}$$其中，$T$ 表示温度，$I$ 表示辐射强度密度，$\nu$ 表示频率，$h$ 表示普朗克常数，$c$ 表示光速，$k_b$ 表示玻尔兹曼常数。
量子力学常用数学公式
ℏ2 ℏ2 * =− ∇ ⋅ (ψ ∇ψ )dτ + ∇ψ * ∇ψdτ ∫∫∫ ∫∫∫ 2m 2m
又 AB 沿界面的投影 c 也是常数，因而
α ，α
1
2
存在约束条件：
atg α 1 + btg α 2 = c
求(1)的变分,而将
（2） 看作能独立变化的,有以下极值条件 (3)
α ,α
1
2
δI = n1 a secα 1 tg α 1 dα 1 + n2 b secα 2 tg α 2 d α 2 = 0
∫
∫
∞
0
sin 2 ax πa dx = 2 2 x
∞
(16)
0
xe − ax sin bxdx =
2ab (a + b 2 ) 2
2
(a > 0)
∫
∞
0
xe − ax cos bxdx =
a 2 −b 2 (a 2 + b 2 ) 2
(a > 0)
第二章：函数与波动方程
[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能 V ( x) =
(3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系 .计算速度 并证明它大于光速. (解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:
⋅
q
=
i
∂H ∂
⋅
p
,本题中
i
q
i
= v,
p = p ,因而
i
v=
∂ m 2c 4 + c 2 p 2 = ∂p
c2 p m 2c 4 + c 2 p 2
再求（2）的变分 (3)与(4)消去 d
量子力学 公式
量子力学公式
量子力学中的一些常见公式包括：
1. 薛定谔方程式：描述了量子物理学的宏观世界，即微观粒子如何随着时间的推移而演变。
其一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t=HΨ，其中i是虚数单位，ℏ是普
朗克常数的约化常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
2. 波粒二象性：描述了物质粒子的波动性质和粒子性质之间的相互作用关系。
其表达式为λ=h/p，其中λ是波长，h是普朗克常数，p是粒子的动量。
3. 测量理论：物理量的测量和观测结果有一定的概率性和不确定性。
测量理论采用概率统计的方法来描述这种不确定性。
最常见的公式是海森堡不确定性原理：ΔxΔp≥h/4π，其中Δx和Δp分别表示位置和动量的不确定度，h 是普朗克常数。
4. 费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计：描述了物质粒子的统计行为。
费米-狄拉克统计用于描述费米子（如电子、质子等）的行为，玻色-爱因斯坦统计用于描述玻色子（如光子、声子等）的行为。
5. 波函数的复共轭：Ψ^（r，t）。
6. 归一化条件：∫Ψ（r，t）^2d3r=1。
7. 位置算符：x。
8. 动量算符：-iℏ∇。
9. 能量算符：iℏ∂/∂t。
10. 完备性条件：∫ψn^（r）ψm（r）d3r=δnm。
以上公式仅供参考，如需更准确的信息，建议查阅量子力学相关的书籍或咨询专业人士。
4.3量子力学公式的矩阵表示
2 = 1, b1 = 2
同样步骤得
再由波函数归一化条件
1 1 ψ −1 = 2 − 2i −1
典型例题
例1、用坐标轮换的方法，写出 l 、用坐标轮换的方法， 函数， 表达。 函数，用球函数 Ylm 表达。 解：我们知道 L = 2h (即l 的全部本征函数为： 的全部本征函数为：
F1n F2n M
L L L =0
(4.3 − 6)
L Fnn − λ L M M L
方程（ 久期方程。 方程（4.3-6）称为久期方程。求解久期方程 可得到一组 值 ）称为久期方程 求解久期方程 可得到一组λ 它们就是F的本征值 把求得的λ 的本征值。 λ1 , λ 2 , L λ n L ; 它们就是 的本征值。把求得的 i 分别代入 （4.3-5）式中就可以求得与这 i 对应的本征矢 ）式中就可以求得与这λ
( ai1 (t ), ai 2 (t ),
L ain (t ) L), 其中 其中i=1,2, …n, …。 。
(3). 薛定谔方程
∂ψ ( x, t) ˆ ih = Hψ (x,t) ∂t
（ Q表象： ψ x, t） ∑ an (t )un ( x) =
n
dan (t ) ˆ ih ∑ un ( x) = ∑ an (t ) Hun ( x) dt n n
3 y − iz = −h = −hφ1−1 8π r
ˆ 的本征函数， ˆ 即 φ 1−1 的确是 Lx 的本征函数，本征值是 L x
= − h。
并积分： 左边乘以u m ( x ) 并积分
*
dam ( x) ih = ∑ an (t ) H mn = ∑ H mn an (t ) dt n n
量子力学的基本原理与公式
量子力学的基本原理与公式量子力学是描述微观世界行为的物理学理论，它基于一些基本原理和公式。
本文将介绍量子力学的基本原理和公式，并探讨其应用。
一、波粒二象性原理量子力学的基础是波粒二象性原理，即微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
这一原理由德布罗意提出，并通过实验证明。
根据波粒二象性原理，物质粒子的行为可以用波函数来描述。
波函数是一个数学函数，描述了粒子在空间中的概率分布。
它可以通过薛定谔方程得到。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，用于描述波函数随时间的演化。
二、量子力学的基本公式1. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它表明对于某些物理量，无法同时准确测量其位置和动量。
不确定性原理由海森堡提出，并用数学公式表示为：Δx · Δp ≥ ħ/2其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ħ为普朗克常数。
不确定性原理告诉我们，粒子的位置和动量不能同时被完全确定。
2. 库仑定律库仑定律是描述电荷之间相互作用的定律，它在量子力学中仍然适用。
库仑定律的数学表达式为：F = k · (q1 · q2) / r^2其中，F表示电荷之间的力，k为库仑常数，q1和q2为两个电荷的大小，r为它们之间的距离。
库仑定律描述了电荷之间的吸引和排斥力。
3. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的核心方程，描述了波函数随时间的演化。
薛定谔方程的基本形式为：H · Ψ = E · Ψ其中，H为哈密顿算符，Ψ为波函数，E为能量。
薛定谔方程告诉我们，波函数的演化取决于系统的哈密顿量和能量。
4. 统计解释量子力学引入了统计解释来解释物理量的测量结果。
根据统计解释，波函数的平方代表了测量结果的概率分布。
测量一个物理量时，得到的结果是随机的，但按照波函数的概率分布，某些结果出现的概率更大。
三、量子力学的应用1. 原子物理量子力学的应用之一是研究原子的结构和性质。
通过求解薛定谔方程，可以得到原子的能级和波函数。
量子计算精确计算公式
量子计算精确计算公式量子计算是一种基于量子力学原理的计算模型，它利用量子比特的叠加和纠缠特性来进行计算，相比传统计算模型，量子计算具有更强的并行性和计算能力。
在量子计算中，精确计算公式是非常重要的，它可以帮助我们准确地描述量子系统的演化和性质。
本文将介绍一些常见的量子计算精确计算公式，并讨论它们在量子计算中的应用。
1. 薛定谔方程。
薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程，它可以用来计算量子系统的波函数随时间的演化。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = HΨ。
其中，Ψ是系统的波函数，H是系统的哈密顿量，i是虚数单位，ħ是普朗克常数。
薛定谔方程可以精确地描述量子系统的演化，包括系统的能级结构、波函数随时间的演化等。
2. 波函数的归一化条件。
在量子力学中，波函数的归一化条件是非常重要的，它可以帮助我们确定量子系统的态。
波函数的归一化条件可以用来计算系统的概率分布，以及系统的平均性质。
波函数的归一化条件的一般形式为：∫|Ψ|²dV = 1。
其中，Ψ是系统的波函数，dV是系统的体积元。
波函数的归一化条件可以帮助我们确定系统的态，并计算系统的性质。
3. 哈密顿量的本征值方程。
在量子力学中，哈密顿量的本征值方程是描述系统能级结构的重要方程。
哈密顿量的本征值方程可以用来计算系统的能级和能级之间的跃迁。
哈密顿量的本征值方程的一般形式为：HΨ = EΨ。
其中，H是系统的哈密顿量，Ψ是系统的波函数，E是系统的能级。
哈密顿量的本征值方程可以帮助我们确定系统的能级结构，以及计算系统的能级。
4. Heisenberg不确定性原理。
Heisenberg不确定性原理是量子力学中的基本原理之一，它描述了位置和动量之间的不确定性关系。
Heisenberg不确定性原理可以用来计算系统的不确定性，以及系统的测量误差。
Heisenberg不确定性原理的一般形式为：ΔxΔp ≥ħ/2。
其中，Δx是位置的不确定性，Δp是动量的不确定性，ħ是普朗克常数。
上海市考研物理学复习资料电动力学与量子力学重要公式整理
上海市考研物理学复习资料电动力学与量子力学重要公式整理电动力学与量子力学是物理学中非常重要的两个分支领域，对于考研学生来说，掌握其中的重要公式是非常关键的。
为了帮助考生更好地复习电动力学与量子力学，下面将对一些重要的公式进行整理。
1. 电动力学重要公式：(1) 库仑定律：F = k * |q1 * q2| / r^2其中，F表示两个点电荷之间的电力，q1和q2分别表示两个电荷的大小，r表示两个电荷之间的距离，k表示电磁力常数。
(2) 电场强度公式：E = F / q其中，E表示电场强度，F表示电荷所受的电力，q表示电荷的大小。
(3) 电势差公式：V = W / q其中，V表示电势差，W表示电场力做的功，q表示电荷的大小。
(4) 电容公式：C = Q / V其中，C表示电容量，Q表示电荷的大小，V表示电势差。
(5) 安培环路定理：∮B·dl = μ0 * I其中，∮B·dl表示磁场沿环路的环路积分，μ0表示真空中的磁导率，I表示电流的大小。
2. 量子力学重要公式：(1) 德布罗意关系式：λ = h / p其中，λ表示波长，h表示普朗克常数，p表示物体的动量。
(2) 薛定谔方程：Hψ = Eψ其中，H表示哈密顿算符，ψ表示波函数，E表示能量。
(3) 算符期望值公式：<A> = ∫ψ*Aψ dV其中，<A>表示算符A的期望值，ψ表示波函数，A表示算符，dV表示体积元。
(4) 不确定度原理：ΔxΔp ≥ (h / 4π)其中，Δx表示粒子位置的不确定度，Δp表示粒子动量的不确定度，h表示普朗克常数。
(5) 波函数归一化条件：∫|ψ|^2 dV = 1其中，ψ表示波函数，dV表示体积元。
以上是电动力学与量子力学中一些重要的公式整理，深入理解和掌握这些公式对于考研物理学的学生来说至关重要。
希望考生们能够通过不断的复习和练习，熟练掌握这些公式，并能够灵活运用到解题中，取得优异的成绩。
量子力学公式范文
量子力学公式范文量子力学是研究微观粒子在原子、分子和亚原子尺度下行为的物理学理论。
它是20世纪初由一些著名的科学家如普朗克、爱因斯坦、玻尔等人提出的，致力于描述微观世界的实验事实和观察结果。
量子力学公式则是量子力学的数学表达方式，帮助我们更好地理解和计算微观世界的现象和性质。
以下是一些常见的量子力学公式。
1. 德布罗意公式（De Broglie Formula）德布罗意公式是根据德布罗意假设提出的，描述微观粒子（如电子、光子）的波粒二象性。
根据该公式，任何一种粒子都对应着一种特定的波动性质。
其数学表达式为：λ=h/p其中，λ表示粒子的波长，h为普朗克常数，而动量p等于质量m与速度v的乘积。
2. 斯特恩-格拉赫实验公式（Stern-Gerlach Experiment Formula）斯特恩-格拉赫实验是研究自旋量子数的实验，结果显示自旋只能够取两个可能的方向。
其公式描述为：ΔSz=-ħ/2其中，ΔSz表示自旋在z方向上的测量值，ħ为约化普朗克常数。
3. 薛定谔方程（Schrödinger Equation）薛定谔方程是量子力学最重要的基本方程之一，用于描述量子体系的演化。
薛定谔方程的一维形式为：iħ(∂ψ/∂t)=-ħ^2/(2m)(∂^2ψ/∂x^2)+Vψ其中，i表示虚数单位，ħ为约化普朗克常数，ψ为波函数，t表示时间，m为粒子质量，V为势能。
4. 测不准原理（Heisenberg's Uncertainty Principle）测不准原理是量子力学的基本原则之一，表明我们无法同时完全准确地测量一个粒子的位置和动量。
其数学表达为：ΔxΔp≥ħ/2其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ħ为约化普朗克常数。
5. 能级公式（Energy Level Formula）能级公式用于描述量子体系中粒子的能级。
对于一维势阱来说，能级公式表达为：En=(n^2π^2ħ^2)/(2mL^2)其中，En表示第n个能级的能量，m为粒子质量，L为势阱长度，n 为正整数。
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(2)
(3)
都是常数,总动量平方 总能量是:
=
=
但 正整数.
#
[3]平面转子的转动惯量为 ,求能量允许值.
(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角 ）决定,它的运动是一种
刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量 ,但 是角速度,能量是
利用量子化条件,将 理解成为角动量, 理解成转角 ,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有
(1)
又利用量子化条件,令 电荷角动量 转角
(2)
即 (3)
由(1)(2)求得电荷动能=
再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能= , 是电荷的旋转频率, ,代入前式得
运动电荷的磁势能= (符号是正的)
点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( )
#Hale Waihona Puke [5]对高速运动的粒子(静质量 )的能量和动量由下式给出:
(1)
(2)
试根据哈密顿量 (3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.
(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组: ,本题中 , ,因而
(4)
从前式解出 (用 表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.
其次求粒子速度 和它的物质波的群速度 间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式右方,又用 于(3)式左方,遍除 :
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：
如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为 则 这将导得下述折射定律
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子： 仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有 ，你怎样解决矛盾？
（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程
(1)
(1)说明 是量子化的
(2) ( ……..) (2)
(3)代入能量公式,得能量量子化公式: (3)
#
[4]有一带电荷 质量 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是 ,线速度是 ,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:
(解)设原来的薛定谔方程式是
将方程式左边加减相等的量 得:
这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解 ,
从能量本征值来说,后者比前者增加了C。
#
[8]设粒子势能的极小值是
(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量
其中动能平均值一定为正:
=
=
用高斯定理:
=
中间一式的第一项是零,因为 假定满足平方可积条件,因而 因此 ,能让能量平均值 因此 令 (本征态)则 而
求微分: (4)
求积分: (5)
将(4)(5)代量子化条件:
T是振动周期,T= ,求出积分,得
正整数
#
[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为
(解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如 ),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:
按照波包理论，波包群速度 是角频率丢波数的一阶导数：
=
最后一式按照（4）式等于粒子速度 ，因而 。
又按一般的波动理论，波的相速度 是由下式规定
（ 是频率）
利用（5）式得知
（6）
故相速度（物质波的）应当超过光速。
最后找出 和 的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：
， （7）
#
[6]（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律
得证
#
[9]设粒子在势场 中运动(1)证明其能量的平均值是: (1)
其中W是能量密度(2)证明能量守恒公式
(2)
其中 (能流密度)
(证明)(1)三维粒子的能量算符是: (3)
求 在状态 中的平均值
由于 ，将此式代入前一式：
最末一式按高斯定理化为面积分
若 满足平方可积条件，则 ，S考虑为无限远处的界面。结果证得公式⑴
(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度 应等于光波的群速度 光程原理作 ,依前题相速 ,而 , 是折射率, 是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度 ,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.
前一非难是将光子的传播速度 看作相速度 的误解.
#
[7]当势能 改变一常量C时,即 ,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?
⑵求⑴式中能量密度W的时间偏导数，注意 。 一般都含时间， ， 也是如此，因而：
粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式：
又设 则有
公式⑵得证。
[10]设N个粒子的哈密顿量为：
⑴
是它的任一态函数，定义：
⑵
⑶
求证： ⑷
[证明]按定义：
⑸
多粒子的体系的状态 应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其共轭方程式： （6a）
设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有
又AB沿界面的投影c也是常数，因而 ， 存在约束条件：
（2）
求(1)的变分,而将 , 看作能独立变化的,有以下极值条件
(3)
再求（2）的变分
(3)与(4)消去 和 得
(5)
[乙法]见同一图,取 为变分参数,取0为原点，则有:
求此式变分,令之为零,有：
这个式子从图中几何关系得知,就是(5).
在量子化条件中,令 为振子动量, 为振子坐标,设总能量E
则
代入公式得:
量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅 的四倍,要决定振幅 ,注意在A或B点动能为0, ,(1)改写为:
(2)
积分得:
遍乘 得
[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间 而不用位移 ,按题意振动角频率为 ,直接写出位移 ,用 的项表示:
量子力学常用积分公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7 )
( )
(8)
(a<0)
( 正偶数)
(9) =
( 正奇数)
( )
(10)
( )
(11)) ( )
(12)
(13)
(14)
(15)
(16) ( )
( )
第二章：函数与波动方程
[1]试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能 ]
(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化条件式:
(6b)
将前二式等式右方的式子代替左方的 ， ，代进式⑸
————————————⑺
又待证的公式的等号左方第二项是：
⑻
------------------------------------⑼