力学量算符和量子力学公式的
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第二讲 力学量算符
（2-20）
ˆ,a ˆ 1 ˆ 是方向的动量算符， a ˆ 与a ˆ 满足的对易关系 a 其中 p ˆ n ＝a ˆ n n 1 ＝ na ˆ n 1 ˆ a ˆ n ＝a N
＝ n n n ＝n n
（2-21）
ˆ 的本征值为粒子数 n 0,1, 2.... ，故称 N ˆ ＝a ˆ a ˆ 为粒子数算符， n 为 n 粒子态 即N
（5）证明:论据同（4） ：
2 2 [ p, pf p] p f p pf p p( pf f p) p
h pf p i
5
石家庄学院量子力学考研辅导习题讲解之二 力学量算符
主讲教师
吴海滨
（6）证明:论据同（4） ：
2 2 2 2 2 h [ p, f p ] pf p f p ( pf f p) p f p i
qpfp pfpq hipf qpfp pqfp hipf ( qp pq ) fp hipf hi ( fp pf )
（3）证明:同前一题论据：
[ q, fp 2 ] qfpp fppq fqpp fppq fqpp fp ( qp hi ) fqpp fpqp hifp
f ( qp pq ) p hifp 2hifp
（4）证明:根据题给对易式外，另外应用对易式
[ p , f ( q )]
h f i
( f )
df dq
2 2 2 2 [ p, p f] p f p f p p ( pf f p)
2 h 2 p [ p, f ] p f i
h 2 p f i h pf p i h f p2 i
量子力学第二章
ˆ F r r
ˆ 就称 r 为算符 F 相应本征值 的本征函数
2、本征方程的解 简并
（1）分离解：
ˆ F 本征值 本征函数
1 2
1
2
2、连续解
ˆ F
3、简并、非简并 非简并：一个本征值 m 对应一个本征函数
例题（1 p x是否是厄米算符？(x , 0, 0) ：）ˆ
(全微分
d ( * ) *
*
x
dx (
x
)* dx )
ˆ dx * ( i d ) dx Px dx i d ( * ) ( i ) ( i ( * ) (i x
z
2 2
2 ma
2
(1,2,1)
6 2 E111
121
8 a
3
sin
a
2 a
y sin
a
z
(2,1,1)
当能量次低时，发生3重简并
211
8 a
3
sin
2 a
x sin
a
y sin
a
z
例： 绕定轴转动的刚体称为平面转子，假设其转动惯量 用 I 表示，转角用 表示，则其哈密顿算符表示为 ，试求算符 的本征值和本征函数。
4、算符对易
BA ˆˆ ˆˆ AB ˆˆ BA ˆ ˆ A、 B对易 ˆ ˆ A、 B不对易
5、单位算符
ˆ I
例题: （ ） F d , 1 ˆ
量子力学力学量用算符表达
,
y
i
x,
lˆx
,
z
i
y,
lˆy , z i x,
lˆz , z 0.
推出
lˆ , x ε i x
Levi-Civita符号
ε 是一个三阶反对称张量，定义如下：
ε ε ε
, , 1, 2,3或x, y, z
ε123 1
整理课件
9
还可以证明:
lˆ , pˆ ε i pˆ ,
第3章
力学量用算符表达
整理课件
1
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
讨论
d ,V (r) , , 2
dx
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c2 2 整理c课1A件ˆ1 c2 Aˆ 2
ˆˆ ˆˆ
这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处!
整理课件
5
由下列关系式:
xpˆ x pˆ x x i ,
xpˆ y pˆ y x 0,
ypˆ y pˆ y y i ,
zpˆ z pˆ z z i ,
xpˆ z pˆ z x 0
概括
量子力学中最基本的对易关系:
x pˆ pˆ x i δ
n0 n!
则可定义算符 ˆ 的函数 F ˆ 为
例如 不难看出
F ˆ F n 0ˆ n n0 n!
F x eax , 可定义
F
d dx
ad
e dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
量子力学_3.1力学量用算符表达
2 1 1 2 2 ˆ l sin 2 2 sin sin
(d) 逆算符 设
ˆ ,
1 ˆ ˆ ,则可以定义算符 之逆 为
能够唯一地解出
ˆ 1
并非所有的算符都有逆算符, 例如投影算符就不存在逆.
ε ε ε
, , 1, 2,3或x, y, z
ε123 1
还可以证明:
lˆ ˆ ε ip ˆ , , p ˆ ε ilˆ lˆ , l
即角动量各分量的对易式为:
lˆx , lˆx 0,
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d , V ( r ) , , 2 dx
讨论
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
ˆ 称为线性算符， 凡满足下列规则的算 c A ˆ A 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ
称为厄米算符, 也称为自共轭算符. ※
x, p x ,
l , V x (实)等都是厄米算符.
两个厄米算符之和仍为厄米算符, 但它们的积, 一
ˆ, ˆ 0 (可对易). 般不是厄米算符, 除非
关于厄米算符的重要定理: 体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为 实数. 证明如下: ˆ 的平均值为 在 态下厄米算符
如果体系处于一种特殊的态, 测量 A 所得结果是 唯一确定的, 即涨落 A2 0 , 则这种状态称为力学 量 A 的本征态. 在本征态下, 由式(2)可以看出, 被积函数必须为零, 即 必须满足
或
ˆA 0 A
(d) 逆算符 设
ˆ ,
1 ˆ ˆ ,则可以定义算符 之逆 为
能够唯一地解出
ˆ 1
并非所有的算符都有逆算符, 例如投影算符就不存在逆.
ε ε ε
, , 1, 2,3或x, y, z
ε123 1
还可以证明:
lˆ ˆ ε ip ˆ , , p ˆ ε ilˆ lˆ , l
即角动量各分量的对易式为:
lˆx , lˆx 0,
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d , V ( r ) , , 2 dx
讨论
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
ˆ 称为线性算符， 凡满足下列规则的算 c A ˆ A 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ
称为厄米算符, 也称为自共轭算符. ※
x, p x ,
l , V x (实)等都是厄米算符.
两个厄米算符之和仍为厄米算符, 但它们的积, 一
ˆ, ˆ 0 (可对易). 般不是厄米算符, 除非
关于厄米算符的重要定理: 体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为 实数. 证明如下: ˆ 的平均值为 在 态下厄米算符
如果体系处于一种特殊的态, 测量 A 所得结果是 唯一确定的, 即涨落 A2 0 , 则这种状态称为力学 量 A 的本征态. 在本征态下, 由式(2)可以看出, 被积函数必须为零, 即 必须满足
或
ˆA 0 A
力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常 把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
i (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)
0
a1 a2
把波函数归一化
/2
a1 a1
/2 /2
a1*
a2*
a1 a1
2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2
1 2
11
同理
/ 2
1 2
11
最后，把矩阵对角化。
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m* dx，得
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
Fk1
Fk 2
F1k a1(t)
F2k
a2
(t
)
Fkk
ak
(t
)
对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表
量子力学 公式
量子力学公式
量子力学中的一些常见公式包括：
1. 薛定谔方程式：描述了量子物理学的宏观世界，即微观粒子如何随着时间的推移而演变。
其一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t=HΨ，其中i是虚数单位，ℏ是普
朗克常数的约化常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
2. 波粒二象性：描述了物质粒子的波动性质和粒子性质之间的相互作用关系。
其表达式为λ=h/p，其中λ是波长，h是普朗克常数，p是粒子的动量。
3. 测量理论：物理量的测量和观测结果有一定的概率性和不确定性。
测量理论采用概率统计的方法来描述这种不确定性。
最常见的公式是海森堡不确定性原理：ΔxΔp≥h/4π，其中Δx和Δp分别表示位置和动量的不确定度，h 是普朗克常数。
4. 费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计：描述了物质粒子的统计行为。
费米-狄拉克统计用于描述费米子（如电子、质子等）的行为，玻色-爱因斯坦统计用于描述玻色子（如光子、声子等）的行为。
5. 波函数的复共轭：Ψ^（r，t）。
6. 归一化条件：∫Ψ（r，t）^2d3r=1。
7. 位置算符：x。
8. 动量算符：-iℏ∇。
9. 能量算符：iℏ∂/∂t。
10. 完备性条件：∫ψn^（r）ψm（r）d3r=δnm。
以上公式仅供参考，如需更准确的信息，建议查阅量子力学相关的书籍或咨询专业人士。
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
量子力学习题解答-第3章
一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量 ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理
2. 广义统计诠释
设力学量 具有分离谱的正交归一本征函数系 本征值为 ，即
或
这个本征函数系是完备的，即 （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以用这个本征函数系展开
*习题证明如果对于所有（希尔伯特空间中）的函数 都有 ，那么，对于所有的 和 就有 （即，两种对于厄密算符的定义—等式和—是等价的）。提示：首先设 ，然后令 。
证明：
若对于Hilbert空间中任意函数 ，都有
，
设
，其中 是一任意常数（复数）
我们有
上式对任意常数 都成立， 分别取 ，有
两式相加得到所要结果
证明:假设 和 （即： 是 和 的共同本征方程），并且函数集 是完备的，因此任意（Hilbert空间中的）函数 都能表示成 线性叠加 ，那么有
因为上式对任意的 都成立，所以得到 ，这显然与所给条件矛盾，所以两个非对易算符不能具有共同的完备本征函数系。
习题求式所给方程
的解。注意 和 都是实常数。
解:
习题在下面的具体例子中应用公式 ：（a） =1；（b） ；（c） ；（d） 。在每种情况下，解释结果，特别是参考公式，，和能量守恒（式后的评注）。
（c）在这个基中，求出算符 里的9个矩阵元，并写出矩阵 。它是厄密矩阵么
解：（a） ;
（b）
（c）
显然它不是厄密矩阵。
习题一个两-能级体系的哈密顿为：
，
这里 ， 是正交归一基， 是量纲为能量的一个实数。求出它的本征值和归一化的本征矢（用 和 的线性迭加）。相应于这个基表示 的矩阵 是什么
2. 广义统计诠释
设力学量 具有分离谱的正交归一本征函数系 本征值为 ，即
或
这个本征函数系是完备的，即 （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以用这个本征函数系展开
*习题证明如果对于所有（希尔伯特空间中）的函数 都有 ，那么，对于所有的 和 就有 （即，两种对于厄密算符的定义—等式和—是等价的）。提示：首先设 ，然后令 。
证明：
若对于Hilbert空间中任意函数 ，都有
，
设
，其中 是一任意常数（复数）
我们有
上式对任意常数 都成立， 分别取 ，有
两式相加得到所要结果
证明:假设 和 （即： 是 和 的共同本征方程），并且函数集 是完备的，因此任意（Hilbert空间中的）函数 都能表示成 线性叠加 ，那么有
因为上式对任意的 都成立，所以得到 ，这显然与所给条件矛盾，所以两个非对易算符不能具有共同的完备本征函数系。
习题求式所给方程
的解。注意 和 都是实常数。
解:
习题在下面的具体例子中应用公式 ：（a） =1；（b） ；（c） ；（d） 。在每种情况下，解释结果，特别是参考公式，，和能量守恒（式后的评注）。
（c）在这个基中，求出算符 里的9个矩阵元，并写出矩阵 。它是厄密矩阵么
解：（a） ;
（b）
（c）
显然它不是厄密矩阵。
习题一个两-能级体系的哈密顿为：
，
这里 ， 是正交归一基， 是量纲为能量的一个实数。求出它的本征值和归一化的本征矢（用 和 的线性迭加）。相应于这个基表示 的矩阵 是什么
算符与量子力学中的力学量
量子力学研究的对象是微观粒子 ， 而微 观 粒 子 的最 重 要 的 特 性 是具 有 波 粒 二 象 性 ， 是 与 宏 观 粒子 根 本 这
不 同的特性 。 因此 ， 微 观 粒 子 的 描 述 方 式 、 究 方 法 及 观 察 、 结 出 的规 律 都 与 经 典 力 学 有 着 很 大 的差 别 。 对 研 总 在 量 子 力 学 中 ， 观 粒 子 的状 态 是用 一个 波 函数 Ｉ ，）来 描 述 的 。 微 ｊ ｔ ， （ 波恩 对 波 函数 的统 计解 释 为 ： 函 数 波 的模 的 平 方 ｌ （ ，） 。 出 了 微 观 粒 子 在 某 处 出 现 的 几 率 密 度 。 而 使 用 波 函 数 来 描 述 微 观 粒 子兼 顾 了微 ‘ ｒ ｔ ｌ给 ； Ｉ 从
与研究 。
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・２ ・ ０
新 疆师 范大学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
＝
Ａｉ
一
∑ Ａｉ ｉ Ｐ
。
ｉ ，２ … 一１ ， Ｎ
式 中 Ｐ ： ｉ ９ ｔ ｔ 是 Ａｔ ｉ ｎ ３ Ｎ ｌｇ， ｔ 的几 率
类 比求 力 学 量 Ａ 的平 均 值 的运 算 ， 子力 学 中求 微 观 粒 子 位 置 的 平 均 值 的运 算 应 为 量
批注本地保存成功开通会员云端永久保存去开通
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第） 自然 科 学 版 ） 新 （
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎｉｎ ｒ ａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＸｉ ｊ ｇ Ｎｏ ｍ ｌＵｎ ｖ ｒｉｙ ａ
（ ａ ｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｓ Ｅｄ ｔｏ ） Ｎ ｔ ｒ ｜Ｓ ｉ ｎ ｅ ｉｉ ｎ
Ｖ ０１ ．２１． ｏ． Ｎ ３
２０ ０ ２年 ９月
Ｓ ｂ． ０ ２ ｕ ２ ０
量子力学教程-周世勋-第三章算符
C 为常数
ˆ, B ˆ, B ˆ ] = C[ A ˆ ] C 为常数 [CA
ˆ +A ˆ ,B ˆ ,B ˆ ,B ˆ] ˆ] = [A ˆ]+[A [A 1 2 1 2 ˆA ˆ ˆ ˆ ,B ˆ +A ˆ [A ˆ ,B ˆ] ˆ ]A [A 1 2 , B] = [ A 1 2 1 2
∂ ˆ ˆ ∂ ˆ ˆ ˆ, ∂ B ˆ] [ A, B ] = [ A , B] + [ A ∂t ∂t ∂t
中，因
+ * % d d ˆ + = ⎛ h ∂ ⎞ = ⎛− h ∂ ⎞ = P ˆ 。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来 = − ，所以 P x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx dx ⎝ i ∂x ⎠ ⎝ i ∂x ⎠
ˆ 是厄密算符。 证明 P x
∫
∞
−∞
ˆ φ dx = ϕ *φ |∞ − ϕ *P −∞ x
3．其他对易关系 （1）角动量算符与位置算符之间的对易关系
67
ˆ , x] = [ yP ˆ , zP ˆ , x] = 0 [L x z y ˆ , y ] = [ yP ˆ − zP ˆ , y ] = − z[ P ˆ , y ] = z[ y, P ˆ ] = ihz [L x z y y y
ˆ −1 , FF ˆ =G ˆ ˆ −1 = F ˆ −1 F ˆ = 1。 F
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
ˆ为 ˆ ( x ) = af ( x ) ，其中 F 对于非齐次线性微分方程： Fu
d 与函数构成的线性算符，a 为常数。 dx
ˆ = 0， 其解 u 可表示为对应齐次方程的通解 u。与非齐次方程的特解 υ 之和，即 u = u0 + v 。因 Fu 0
ˆ, B ˆ, B ˆ ] = C[ A ˆ ] C 为常数 [CA
ˆ +A ˆ ,B ˆ ,B ˆ ,B ˆ] ˆ] = [A ˆ]+[A [A 1 2 1 2 ˆA ˆ ˆ ˆ ,B ˆ +A ˆ [A ˆ ,B ˆ] ˆ ]A [A 1 2 , B] = [ A 1 2 1 2
∂ ˆ ˆ ∂ ˆ ˆ ˆ, ∂ B ˆ] [ A, B ] = [ A , B] + [ A ∂t ∂t ∂t
中，因
+ * % d d ˆ + = ⎛ h ∂ ⎞ = ⎛− h ∂ ⎞ = P ˆ 。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来 = − ，所以 P x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx dx ⎝ i ∂x ⎠ ⎝ i ∂x ⎠
ˆ 是厄密算符。 证明 P x
∫
∞
−∞
ˆ φ dx = ϕ *φ |∞ − ϕ *P −∞ x
3．其他对易关系 （1）角动量算符与位置算符之间的对易关系
67
ˆ , x] = [ yP ˆ , zP ˆ , x] = 0 [L x z y ˆ , y ] = [ yP ˆ − zP ˆ , y ] = − z[ P ˆ , y ] = z[ y, P ˆ ] = ihz [L x z y y y
ˆ −1 , FF ˆ =G ˆ ˆ −1 = F ˆ −1 F ˆ = 1。 F
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
ˆ为 ˆ ( x ) = af ( x ) ，其中 F 对于非齐次线性微分方程： Fu
d 与函数构成的线性算符，a 为常数。 dx
ˆ = 0， 其解 u 可表示为对应齐次方程的通解 u。与非齐次方程的特解 υ 之和，即 u = u0 + v 。因 Fu 0
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(x,t) Fˆ (x,t)
把波函数 (、x,t) 分别(x,向t) 展开{g (x)}
(x,t) ag (t)g (x)dg
(x,t) bg (t)g (x)dg
代入到算符方程中，得
bg (t)g (x)dg ag (t)Fˆg (x)dg
上式两端做运算 g*， L得dx
bg
b2
(t
)
F21
F22
L
L L L L
bk (t) Fk1 Fk 2 L
L L L L
F1k L a1(t)
F2k
L
a2
(t
)
L L L
Fkk L ak (t)
L O L
或简写为 2．本征方程
bm (t) Fmnan (t)
n
Fˆ (x,t) (x,t)
p
ih
2
0 0
L
2 0
3 L
0
3
0
L
L L L O
1/ 2 0 0 0 L
0
3/2
0
0
L
H h 0 0 5 / 2 0 L
0
0
0
7/2
L
L L L L O
二、量子力学公式的矩阵表示
以下内容都是在 表G象下进行的。
1．算符方程
(x,t) Fˆ (x,t)
b1(t) F11 F12 L
L O L
式中 H mn
* m
(x)。Hˆ上n (式x)d简x 写为
ih dam
dt
n
H mnan
4．平均值公式
F(t)
*(x,t)Fˆ (x,t)dx
am* (t)an (t)
m*
(
x)
Fˆn
(
x)dx
mn
am* (t)Fmnan (t)
mn
a1*(t) a2*(t) L
1
2
h
eipx / h
p (x)dx
ih
p
* p
(
x)
p
(
x)dx
ih ( p p)
p
或
xpp
* p
(
p)
ih
p
p
(
p)dp
(
p
p)
ih
p
(
p
p)dp
ih ( p p)
p
例3．动量表象中 的Fˆ 矩阵元为
Fpp
* p
(
p)Fˆ
p, ih
p
p (
（2）不论在任何具体表象中，任何厄米算符 的Fˆ矩阵元 一F定mn 是 一个数值，故其可以在公式中随意移动位置；
（3）在不同的表象中，算符的矩阵元可能会不同，但是该算符 的本征值不会改变；
（4）如果的本征值为连续谱，则
Gˆg (x) gg (x)
{g (x构)}成正交归一完备基矢组。
算符 满Fˆ足
F11 F12 L
F21
F22
L
L L L
Fk1 Fk 2 L L L L
F1k L a1(t)
F2k
L
a2
(t
)
a1(t)
a2
(t
)
L L L L
Fkk L ak (t) L O L
ak (t) L
F11 F12 L
F21
F22 L
Fm*n m (x)[Fˆn (x)]*dx n*(x)Fˆm (x)dx Fnm
即矩阵中关于对角线对称的元素一定互为复共轭。或者
Fmn Fn*m Fmn
它表明矩阵是厄米矩阵。一般说来，实的对称矩阵都是厄米矩阵。
特例：力学量算符在自身表象中的矩阵。
Gmn
m*
(
x)Gˆn
(
x)dx
一、力学量算符的矩阵表示
力学量 满Gˆ足的本征方程 力学量算符 满Fˆ 足
Gˆn (x) gnn (x) (x,t) Fˆ (x,t)
把波函数 (、x,t) 分别(x,向t) 展开{n (x)}
(x,t) an (t)n (x)
n
(x,t) bn (t)n (x)
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
gn
m*
(
x)n
(
x)dx
gnmn
g1 0 L 0 0
0
g2
0
L
0
Gˆ 0 L L L 0
0 0 0 gn 0
L L L L O
算符在自身表象下是一个对角矩阵，并且本征值就是对角元
素。它的阵迹就是全部本征值之和。
说明：
（1）欲求力学量 在Fˆ 表G象下的矩阵表示，必须知道力学量 Gˆ 的本征解，才能计算 Fˆ的矩阵元；
L
LL
Fk1 L
Fk 2 L LL
F1k F2k L
Fkk
L
L a1(t)
L
a2
(t
)
L L 0
L
ak (t)
O L
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常把 求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
(t
)
g*gdx dg
ag
(t
)
* g
Fˆ
g
dx
dg
bg (t) (g g)dg ag (t)Fgg dg
bg (t) Fggag (t)dg
其中，算符 Fˆ的矩阵元
Fgg
* g
(
x)
Fˆg
(
x)dx
例1．坐标表象中 的Fˆ 矩阵元为
Fxx
* x
( x) Fˆ
x,
ih
x
§4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
一、力学量算符的矩阵表示 二、量子力学公式的矩阵表示
§4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
量子力学的三个基本要素是波函数、算符和薛定格方程。上一节 讲了波函数的矩阵表示，为了保证理论体系的一致性，必须实现力 学量算符与量子力学公式的矩阵表示。
在量子力学中，将坐标表象下的表示称为波动力学方法，把任意 力学量表象下的表示称为矩阵力学方法。在量子力学的历史上，上 述两种表示方法几乎是同时发展起来的，后来，狄拉克证明了它们 是等价的。
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m*，L得dx
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
n
n
bm(t) an (t) m* Fˆndx
n
令 Fmn m* (x)Fˆn (x)dx
0 0
2 0
0 3 L
3
0
L
L L L L O
n
0 1 2 3 ...
m 0 0 1/ 2 0
1 1/ 2 0 1
0 ... 0 ...
2 0 1 0 3 / 2 ... 3 0 0 3 / 2 0 ...
... ... ... ... ... ...
0 1 0 0 L
1 0 2 0 L
x
(x)dx
(
x
x)Fˆ
x,
ih
x
(
x
x)dx
Fˆ
x,
ih
x
(
x
x)
其中，x为变数，x、 为x本征值。
例2．动量表象中 的xˆ矩阵元为
xpp
* p
(
x)
x
p (x)dx
1
2 h
eipx / h x p (x)dx
1
2 h
ih
p
eipx
/
h
p
(
x)dx
ih
p
xmn
* m
x
n
dx
1
n
2
m,n1
n
2
1
m,n1
pmn
* m
ih
d dx
n dx
ih
n
2
m,n1
n
2
1
m,n1
Hmn
* m
Hˆ
n
dx
Enmn
n
1 2
h
mn
所以，它们的矩阵表示分别是
1
xmn
n 2
m,n1
n
2
1
m,n
1
0 1 0 0 L
1 0 2 0 L
x
1
2
p)dp
(
p
p)Fˆ
p, ih
p
(
p
p)dp
Fˆ
p,
ih
p
(
p
p)
例4．求一维谐振子中，坐标算符、动量算符和能量算符在能量 表象中的矩阵表示。
解：
x
n
(x)
1
n
2
n1
(
x)
n
2
1
n1
(
x)
d
dx
n
(
x)
n
2
n1
(
x)
n
2
1
n1
(
x)
坐标算符、动量算符和能量算符在能量表象中的矩阵元分别为
0
a1 a2
把波函数归一化
/2