量子力学中的力学量
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律
2. 例子（运动恒量举例）
<1>自由粒子的动量
ˆ2 p ˆ 当粒子不受外力，即 H 时 2 ˆ p ˆ, H ˆ ] i [p ˆ ] j[p ˆ ] k[p ˆ]0 ˆ x,H ˆ y,H ˆ z,H 如果 0 ， [p t
dp 0 ，即为量子力学中的动量守恒定律。 则有 dt
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
Байду номын сангаас
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
化。因 完全描写态，知道 ( r , t ) 后，即可求得每一个时刻 t 各 dinger 方 程 ， 故 o 力 学 量 的 变 化 。 而 态 ( r , t ) 的 变 化 遵 从 Schr
2 dinger 方程不仅可以直接描写 ( r , t ) 的变化，而且还能间 Schr o
二、守恒定律
ˆ 1 d F F ˆ 不显含时间 t ，即 ˆ,H ˆ ] 中，如果 F 1. 在运动方程 [F dt t i ˆ dF F ˆ ˆ ＝0，即 F 平均值不随 0 ，并且 [F, H] 0 (即对易)，则有 dt t
量子力学中力学量
位置期望值与测量
误差
位置期望值的测量误差取决于粒 子所处的量子态，对于某些特殊 量子态，位置期望值的测量误差 可能非常大。
03 动量算符与动量期望值
动量算符的定义与性质
动量算符
在量子力学中，动量算符是用来描述粒子动量的算符，其定义为-iℏ∂/∂x，其中ℏ是 约化普朗克常数，∂/∂x是偏导数算子。
自旋算符在量子力学中具有重要 的意义，因为粒子的自旋是一种 内禀自由度，与粒子的其他自由
度一样重要。
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02 位置算符与位置期望值
位置算符的定义与性质
位置算符
在量子力学中，位置算符是一个线性算子，用于描述粒子在空间中的位置状态。
位置算符的性质
位置算符具有连续性和对称性，其本征值和本征函数分别表示粒子的位置和概 率幅。
位置期望值的计算与意义
位置期望值
在量子力学中，位置期望值是指粒子在某个时刻 处于空间某点的概率幅的平均值。
04 角动量算符与角动量期望 值
角动量算符的定义与性质
定义
角动量算符是描述粒子角动量的物理量，通常用L表示。
性质
角动量算符具有旋转不变性，即系统绕某轴旋转时，角动量算符的值不会改变。此外，角动量算符还 具有对易关系，即L_x、L_y、L_z三个分量之间相互独立且不对易。
角动量期望值的计算与意义
性质
动量算符是线性算符，具有可对易性、连续性和时间演化等性质，这些性质在量 子力学中具有重要意义。
动量期望值的计算与意义
计算
动量期望值是描述粒子动量的统计平均值，可以通过将粒子态函数代入动量算符进行计算。
意义
动量期望值可以反映粒子在某一时刻的平均动量，对于理解量子力学中的波粒二象性以及测量问题具有重要意义。
量子力学中力学量的测量原理
量子力学中力学量的测量原理量子力学中力学量的测量引言•量子力学是一门研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子的行为。
•在量子力学中，我们可以通过测量来了解粒子的性质和状态。
力学量•在经典力学中，力学量是描述物体运动状态的量，如速度、质量和位置等。
•在量子力学中，力学量也被称为可观察量，它们对应着物理量的算符。
物理量的算符•物理量的算符是量子力学中描述力学量的数学工具。
•量子力学中的物理量算符通常用大写字母表示，如位置算符为X，动量算符为P。
•利用物理量算符，我们可以对量子态进行测量，得到相应的物理量的数值结果。
测量的过程1.准备态：首先，我们需要准备一个量子态，描述了粒子的状态。
2.选择算符：根据我们想要测量的力学量，选择相应的算符。
3.作用算符：将选定的算符作用在量子态上，得到一组特定的本征态。
4.测量结果：进行实际测量，获取力学量的定量结果。
5.归一化：根据测量结果，归一化量子态，使其表示测量后的状态。
物理量的本征态和本征值•在量子力学中，力学量的本征态是力学量算符的本征方程的解。
•根据本征方程，每个力学量都有一系列对应的本征态，每个本征态对应着一个特定的本征值。
•本征值表示在测量时可能得到的物理量数值。
测量结果的统计性质•在量子力学中，测量结果通常是物理量的本征值，但测量结果是随机的。
•根据测量原理，我们只能预测测量结果出现的概率，无法预测具体的单次测量结果。
测量的不确定性原理•测量的不确定性原理是量子力学中一项重要的原理，它描述了力学量的不确定度之间的关系。
•根据该原理，对于某对不对易力学量（如位置和动量），不能同时精确地测量它们的值。
•不确定性原理对于解释某些现象（如波粒二象性）具有重要意义。
小结•在量子力学中，我们可以通过测量力学量来了解粒子的性质和状态。
•测量的过程涉及准备态、选择算符、作用算符、测量结果和归一化等步骤。
•测量结果是随机的，只能预测出现结果的概率。
•不确定性原理描述了力学量的不确定度之间的关系。
量子力学中的量子力学力学量的期望与方差
量子力学中的量子力学力学量的期望与方差量子力学是研究微观粒子行为的理论体系，它具有独特的物理规律和奇特的现象。
在量子力学中，描述粒子性质的力学量扮演着重要的角色。
而了解力学量的期望与方差对于理解粒子的行为和量子系统的描述起着至关重要的作用。
一、量子力学的基本概念了解量子力学中力学量的期望与方差之前，我们首先需要了解量子力学的基本概念和表述。
量子力学描述的对象是微观粒子，而不同于经典力学中粒子位置和动量的确定，量子力学中的粒子状态由波函数表示。
波函数是一个复数函数，它包含了粒子的全部信息。
在量子力学中，力学量用算符来表示，而这些算符对应着可观测的物理量，比如位置、动量、能量等。
如何计算力学量的期望值和方差，则是我们接下来要讨论的内容。
二、力学量的期望与方差力学量的期望值可以理解为对于同一量子态的多次测量结果的平均值。
在量子力学中，期望值可以通过力学量的算符（对应于力学量的数学表达式）作用于波函数得到。
对于某一力学量A，其期望值的计算公式为：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩其中，|ψ⟩表示量子态的波函数。
利用算符作用于波函数后，可以得到一个新的波函数，然后再将其与原波函数进行内积，得到力学量的期望值。
方差则是表示每次测量结果与其期望值之间的偏离程度。
在量子力学中，对于某一力学量A，其方差的计算公式为：σ²(A) = ⟨(A - ⟨A⟩)²⟩其中，A - ⟨A⟩表示每次测量结果与期望值的差值，然后再对这些差值进行平方，再取平均值。
三、力学量的期望与方差的物理意义力学量的期望值和方差与量子系统的本征态（能量的本征态、动量的本征态等）以及不确定性原理密切相关。
首先，期望值作为力学量的平均值，反映了粒子在某一给定状态下的一般性质。
比如，在一个粒子处于能量本征态时，其能量的期望值就等于能级的本征值，这相当于经典力学中的能量。
其次，方差则表示了粒子在某一给定状态下对力学量测量结果的分散程度。
方差越小，说明测量结果越准确，即粒子对于该力学量的测量结果越稳定。
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
量子力学中的量子力学力学量的守恒定律
量子力学中的量子力学力学量的守恒定律量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论，它揭示了微观世界中的各种现象和规律。
在量子力学中，存在着一些重要的力学量，它们的守恒定律是研究量子世界中物质运动和相互作用的基础。
本文将就量子力学中的一些重要力学量及其守恒定律展开讨论。
一、动量守恒定律在经典力学中，动量是质量乘以速度，通过质点的质量和速度来描述物体的运动状态。
在量子力学中，动量也是一个十分重要的量子力学力学量。
动量算符的本征值代表了相应粒子的运动状态。
量子力学中的动量守恒定律指出，在一个孤立系统中，粒子在相互作用过程中的总动量保持不变。
这可以通过量子力学中的动量算符对应的守恒定律来描述。
二、能量守恒定律能量是描述物体状态的一个基本物理量，它在物质的变化过程中起着至关重要的作用。
在量子力学中，能量也是一个极为重要的力学量。
根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总能量保持不变，这意味着在相互作用过程中，能量可以从一种形式转化为另一种形式，但总能量守恒。
这一定律是量子力学中能量守恒的基础。
三、角动量守恒定律角动量是描述物体围绕某一轴心旋转的运动状态的物理量。
在量子力学中，角动量也是一个非常重要的力学量。
根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总角动量保持不变。
这意味着，在相互作用过程中，物体的角动量可以通过转移、转换等方式进行变化，但系统的总角动量保持不变，这是量子力学的一个重要特征。
四、自旋守恒定律自旋是描述微观粒子自身旋转性质的物理量。
在量子力学中，自旋也是一个重要的力学量。
根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总自旋保持不变。
这意味着，在相互作用过程中，粒子的自旋可以发生变化，但总自旋守恒。
自旋守恒定律在量子力学的各个领域中都有重要的应用，特别是在粒子物理学中更为明显。
五、电荷守恒定律电荷是描述物质中基本粒子带有电性的特征，是量子力学中的一个重要力学量。
根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总电荷保持不变。
第三章-量子力学中的力学量 lt
第三章例题剖析1 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是ILH 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。
（1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动[解]：（1）ϕ∂∂-= i L zˆ 22222ˆˆϕ∂∂-= zL L2222222ˆ2ˆˆϕ∂∂-===I IL IL Hz能量的本征方程： )()(ˆϕψϕψE H =，or )()(2222ϕψϕψϕE I =∂∂- 引入 222IE =λ⇒=+0)()(222ϕψλϕψϕd dλϕϕψi Ae=)(由波函数的单值性 )()2(ϕψϕπψ=+λϕλϕπi i AeAe=+)2( ⇒ 12=πλi eππλn 22= ⇒ n =λ ,2,1,0±±=nIn E n 222 =∴，ϕψin Ae=其中 π21=A（2） IL H2ˆˆ2=，在球极坐标系中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L 体系的能量算符本征方程：),(),(ˆϕθψϕθψE H= ),(),(sin 1sin sin 122222ϕθψϕθψϕθθθθθE I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂- ),(),(sin 1sin sin 1222ϕθλψϕθψϕθθθθθ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂其中22IE =λ，以上方程在πθ≤≤0的区域内存在有限解的条件是λ必须取)1(+l l ，),2,1,0( =l ，即 )1(+=l l λ ,2,1,0=l于是方程的形式又可写成),()1(),(sin 1sin sin 1222ϕθψϕθψϕθθθθθ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂l l 此方程是球面方程，其解为),(),(ϕθϕθψlm Y =lm l ±±±==,,2,1,0,2,1,0由)1(+=l l λ及IE 2=λ，可解得体系的的能量本征值Il l E l 2)1(2+=,2,1,0=l2 氢原子处于 ()()()32121113,,,,,,44r r r ψθϕψθϕψθϕ=+状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （4）角动量的z 分量有无确定值？如果有，求其确定值。
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xpˆx ihx d ˆx x ih x ih ihx p dx
ˆxx ih xpˆx p
算符
ˆxx ih xpˆx p
ˆ, B ˆ ˆ 的对易子 A 引入对易子：Aˆ 和 B
Aˆ, Bˆ AˆBˆ BˆAˆ
对易子有如下性质 ˆ ˆ] [Aˆ, B ] [Bˆ,A
ˆ A 就不行。因 方程 O
ˆ1 A O
A
ˆ 2 A O
ˆ(c11 c 2 2 ) c1Oˆ 1 c2Oˆ 2 A(c 1 c 2 ) O
ˆ A ˆB ˆ 表示，对任意波 B. 算符之和： O 函数进行变换所得的新波函数完全相等，即
ˆ O
c11 c 2 2
E(c11 c 2 2 )
c 1 E 1 c 2 E 2
c1Hˆ 1 c2Hˆ 2
ˆ是线性算符 仅当H
ˆ(c11 c 2 2 ) E(c11 c 2 2 ) H
量子力学不仅要求力学量算符是线性算符， 而且方程是线性齐次，
ˆ ˆ B [A, ]
S0
n1s1 ˆ ˆ ˆ ˆ B [A, B]B
ˆn ] Bˆ[Aˆ, B ˆn 1 ] [Aˆ, B ˆ]Bˆn 1 [Aˆ, B
ˆ]Bˆn1s1 [Aˆ, B ˆ]Bˆn1 Bˆs1[Aˆ, B
S0 n 2
ˆ B ˆ B ˆ s[A, ˆ]Bˆ n s 1 [A, ˆ]Bˆ n 1 B
ˆ B ˆ) A ˆ A B (Aˆ B
ˆA ˆB ˆ 表示，对任意波函 C. 算符之积: O ˆ ，则 数，有 O
ˆB ˆ B ˆ A A
D. 逆算符：算符
ˆ 将任一波函数 O
ˆ O
ˆ 使 若有另一算符 R ˆ R ˆO ˆ1 ， ˆ 为 O ˆ 的逆算符，并表为 R 则称 R
例如:
iapˆ x / h ˆ O e
a d dx (x)
ˆ (x) e O
(x a) (x)
d a e dx (x)
e
ˆx /h iap
(x)
n
n
所以
a
n
d
n0
n! dx
(x) (x a) (x)
1 iapˆ x / h ˆ O e
i (c11 c 2 2 ) t c i
1
c1Hˆ1 c2Hˆ 2
1 t c i
2
2 t
ˆ是线性算符 仅当H
ˆ(c11 c 2 2 ) H
例如 2. 对不显含时间的薛定谔方 程 ˆ H E ˆ ˆ H 2 E 2 ，则 若 H 1 E 1，
Ⅴ . 当 V(x, t) V(x) 时，体系能量平均值 不随 t 变，体系处于某能量状态的概率，也不 随时间改变。力学量的平均值如何随 t 变？
§4.1 表示力学量算符的性质 （1）一般运算规则：一个力学量如以算符 ˆ O 表示。它是一运算
ˆ (x, y, z) (x, y, z) O
量子力学中的力学量
ˆ Ⅰ . 在以坐标表示的波函数中，要计算 p x 的平均值时，我们必须引进算符
ˆ p x ih x
p x (r, t)( ih )(r, t)dr x
*
于是要问，力学量用算符来表示，那它的性质 是什么？从物理上讲， 对算符有那些制约 Ⅱ. 在一些定态中，求一个体系的能量可取 值，是通过在一定条件下，求解不含时间的薛定 谔方程（或能量本征方程）
ˆ] Bˆ[Aˆ, C ˆ] [Aˆ, B ˆC ˆ [Aˆ, B ]Cˆ
ˆ] A ˆ [Bˆ , C ˆ] [Aˆ, C ˆ] B ˆ, C ˆ [Aˆ B
并有
s ˆ ˆ ˆ n s 1 ˆ ˆ ˆ [A, B ] B [A, B]B n
n 1
S0
证：n 1,成立 设： n-1 成立， 即 n1 n 2 s
ˆun Enun H
同样要问，
其他力学量的可测得值是如何确定的？
xˆ和 pˆx 不能同时取确定值 Ⅲ . 在某一时刻， 是否所有力学量都不能同时取确定值，那些
.
可以，那些不可以？ Ⅳ. 在量子力学中，体系的波函数对体系作 了充分的描述，即可以给出体系所有可能的信息 那如何从 (r, t) 得到这些信息？
A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学 方程是线性齐次方程。 由于态叠加原理，所以在量子力学中的算 符应是线性算符。所谓线性算符，即
ˆ(c ) cOˆ O
ˆ(c11 c 2 2 ) c1Oˆ 1 c2Oˆ 2 O
例如 1. ˆ i H Fra bibliotek t1
2
c11 c 2 2
x
ˆ A e
1 ˆn A n!
如果函数不能以幂级数表示，则还可以由算 符的自然展开来定义算符的函数。 （2）算符的对易性 一般而言，两算符的乘积和次序有关，
不能彼此对换。
ˆe 若 A
则
ˆ i L y /h 2 ,
ˆ i L z /h ˆe 2 B
，
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
所以
显然，
ˆO ˆ1 O ˆ1Oˆ 1 O
E. 算符的函数： 设：F(x) 在 x=0 处，有各级导数
F(x) F (n) (0) n x n!
n
则定义算符的函数
F (0) ˆ n ˆ A F(A) n!
例如: 于是
x 它有各级导数， x (n) e (e )
0
1。
1 n e x n!
代表一个变换，是将空间分布的概率幅从
(x, y, z) (x, y, z)
Oˆ
例：
iapˆ x / h，于是 ˆ Oe
a d dx (x)
ˆ(x) e O
( a) n d n (x) n n! dx n 0
(x a)
(x)
即将体系的概率密度幅沿 x 方向移动距离 a .