量子力学_2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
§2.2 方势
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrödinger 方程来处 理一类简单的问题——一维定态问题。 这样讨论的意义有： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其它基本原理；
（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论， 量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；
x a/2
, x a / 2
求粒子的能量和本征函数。
讨论
(1) 粒子的最低能量不为零
E1
2π 2
2ma 2
利用不确定性关系也可求解：
x ~ a p ~ / x a / x 则 E ~ p2 / 2m ~ (p)2 / 2m ~ 2 / 2ma 2 0
(2)波函数的对称性 当n奇数时，波函数为对称的
证明：按照假设有
ψ1
2m 2
[E
V
( x )]ψ1
0
(14)
ψ2
2m 2
[E
V
( x )]ψ 2
0
(15)
ψ1 (15) ψ2 (14) ψ1ψ2 ψ2ψ1 0
即 积分得
(ψ1ψ2 ψ2ψ1) 0 ψ1ψ2 ψ2ψ1 C
--------证毕
定理 7 设粒子在规则势场V(x)（(V(x)中无奇点)中运动，若存在
（4）一维问题是处理各种复杂问题的基础。
2.2.1 无限深方势阱， 离散谱
求解 S — 方程 分四步：
V(x)
（1）列出各势域的一维S—方程 I
II
III
（2）解方程
（3）使用波函数标准条件定解
（4）确定归一化系数
0
a
势函数
V
(
x)
第三章 一维势场中的粒子 new 2(1) 量子力学教学课件
第3章 一维势场中的粒子@ Quantun 第6页
定理 2 对应于能量E，总可找到方程(1)的一组实解， 凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加 。 证明： 假设ψ(x)是方程(1)的对应于E的一个解，若是实 解，则归到实解集合中去。若是复解，按定理 1， ψ*(x) 也必是方程属于E的一个解，则它们的叠加
两边除以
（ x ,y ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
1 2d 2 1 2d 2 1 2 d 2
X 2 d 2 X x V 1 ( x ) Y 2 d 2 Y y V 2 ( y ) Z 2 d 2 Z z V 3 ( z ) E
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第8页
空间反射算符P 定义为Pψ(x) = ψ(-x)，按定理 3，若 V(-x) = V(x)，则ψ(-x)和ψ(x)都是对应E的量子态。若对 应E，方程(1)的解无简并，则解必具有确定的宇称，即 偶宇称 Pψ(x) = ψ(-x)= ψ(x)，或者 奇宇称 Pψ(x) = ψ(-x)= -ψ(x)。 证明： 由于无简并， Pψ(x) = ψ(-x) = Cψ(x) P2ψ(x) = P Cψ(x) = C2ψ(x), P2ψ(x) = ψ(x), 则有C2=1，C = ±1。 若能级有简并，能量本征态不一定具有确定宇称。
2 [
2
d2 dx 2
V1 ( x )] X ( x )
Ex X (x)
2 [
2
d2 dy 2
V2 ( y )]Y ( y )
E yY ( y )
2 [
2
d2 dz 2
V3 ( z )] Z ( z )
811《量子力学》 - 中国科学院
811《量子力学》中科院研究生院硕士研究生入学考试《量子力学》考试大纲本《量子力学》考试大纲适用于中国科学院研究生院物理学相关各专业（包括理论与实验类）硕士研究生的入学考试。
本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。
掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
一．考试内容：（一）波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。
波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化，薛定谔方程的定态解，态叠加原理。
（二）一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振，d--函数和d-势阱中的束缚态，一维简谐振子。
（三）力学量用算符表示坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定度关系，角动量算符。
连续本征函数的归一化，力学量的完全集。
力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。
（四）中心力场两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。
（五）量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，谢振子的占有数表象。
（六）自旋电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。
（七）定态问题的近似方法定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。
（八）量子跃迁量子态随时间的演化，突发微扰与绝热微扰，周期微扰和有限时间内的常微扰，光的吸收与辐射的半经典理论。
第4讲 量子力学
ψ 1×(4) –ψ 2×(3)
对于束缚态粒子，
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第12页
定理 7 设粒子在觃则势场V(x)中运动，若存在束缚态，
则必定是丌简并的。 证明： 设ψ 1(x), ψ 2(x)是方程(1)属于能级E的两个束缚
态解，则有
在丌包含ψ 1(x), ψ 2(x)节点的区域中，用ψ 1ψ 2除上式， 的 积分得 V(x)无奇点， ψ(x)和ψ’(x)连续。 ψ 1(x), ψ 2(x)代表同一量子态。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第13页
3.2
方势
精确求解一些简单的方形势的本征值问题。
经典运动和量子运动的主要不同点 特别是束缚态能量量子，以及非束缚“粒子”的运动中，波的反
射、共振和势垒贯穿现象。
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第15页
当一个粒子处在与时间无关的势场中运动时，如果在比其波长短
的路径上，势能的变化是显著的，那么，就应出现典型的量子效
应（起因于波动性的量子效应），这时波长已是不可忽略的了。 因此，为了使典型的量子效应得以出现，势V(x)在一个波长数量 级的距离内必须具有明显的相对变化。 满足这些条件的最简单的势是方形势，其特点是在某些点上出现 不连续性，而其它地方保持为常数的势。这样x轴被分为几个间隔， 在每个间隔中保持为常数。于是，不论波长多么短，它在与波长 同数量级的区间上一定有显著的变化，因此量子效应总是会表现 出来的。
量子力学 02一维势场中的粒子
2 d 2 Z V3 ( z ) E 2 dz2
2 d 2 [ V1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 2 d x 2 d 2 [ V2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 2 d y 2 d 2 [ V3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 2 d z
虽然，波函数ψ(-x) 也是满足S方程的，且也属于能 量E的波函数。
空间反演算符P
定义 一维
P ( r ) ( r ) P ( x ) ( x )
对于任意波函数，满足
P ( x) P ( x) ( x)
2
本征值方程
P ( x) C ( x)
V * ( x) V ( x)
2 d 2 [ V ( x)] * ( x) E * ( x) 2 2 dx
• 即ψ*(x)也满足同一个能量本征方程，并且对应的能 量本征值也是E。
• 无简并：能量本征方程的解只有一个，即一个E对应一 个波函数。 • 简并：能量本征方程的解不止一个，即一个E对应多 个波函数，称为多重简并。 推论：按定理1，假设对应于能量的某个本征值是E，能量 本征方程的解无简并，则可取为实解。 • 证明 若ψ(x)是能量本征值为E的一个解， ψ*(x)也是能量 本征值为E的一个解，由于无简并，必有： ψ(x)= Cψ*(x)， 且ψ* (x)= C*（ψ*(x）)*= C*ψ (x）=C* Cψ*(x) 故C* C=1，即C=e ia,a可取任易实数，则取a=0 ψ(x)= Cψ*(x)= ψ*(x)， ψ(x)为实函数
2 2 2 2 d d d [ 1 ( x ) V2 ( y ) V 3 ( z )] ( x , y , z ) V 2 2 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z ) 2 dx dy dz
量子力学_21一维势场中粒子能量本征态的一般性质
对于能级有简并的情况,要用到此定理.
定理3 设 V x 具有空间反射不变性，V x V x.
如 x 是方程（1）的对应于能量本征值 的
解，则 x 也是方程（1）的对应于能量 的
解.
定义
P
空间反射算符
P r r
即把空间坐标 r r .
定理4
设 V x V x, 则对应于任何一个能量
本征值 , 总可以找到方程(1)的一组解 (每个
解都有确定的宇称), 而属于能量本征值 的任
何解，都可用它们来展开.
适用范围
对于能级有简并的情况，能量本征态并不一 定就具有确定宇称.此时，可以用定理（4）来处 理
在坐标表象中, 涉及波函数 x 及其各阶
!
但对于某些不规则势阱,如一维氢原
子 V x 1/ x , 除基态外,其他束缚态均
为二重简并.
其特征是波函数的节点出现在 V x
的奇异点处,两个简并态具有不同宇称.
量量子子力学力教学程教程(第二版)
2.2 方势阱
2.2.1 无限深方势阱,离散谱
先考虑一个理想的情况——无限深方势阱中的粒子.
势阱表示为
k 2 2 sh2a 4k 2 2
可以看出
R 2 S 2 1
R表2示粒子被势垒反弹回去的概率, 表示粒子透过势垒的S概2率.
粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象, 成为隧穿效应.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量量子子力学力教学程教程(第二版)
对于 情V况0,从 式可以看2出3,只需在式 中,把
对于一维粒子,则为 P x x.
如果对应于某能量 , 方程(1)的解无简并,
中国科学院大学811量子力学2020年考研专业课初试大纲
2020年中国科学院大学考研专业课初试大纲中国科学院大学硕士研究生入学考试《量子力学》考试大纲本《量子力学》考试大纲适用于中国科学院大学物理学相关各专业（包括理论与实验类）硕士研究生的入学考试。
本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。
掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
一．考试内容：（一）波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。
波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化。
能量本征值方程，定态与非定态。
态叠加原理，测量与波包的塌缩。
（二）一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振。
δ-势的穿透和δ-势阱中的束缚态，一维谐振子。
（三）力学量用算符表示各种算符的定义及算符的运算规则。
厄米算符的本征值与本征函数。
不确定关系，共同本征函数，对易力学量的完全集。
箱归一化，连续本征函数的归一化。
力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。
波包的运动，Ehrenfest 定理。
薛定谔-图像与海森伯-图像。
（四）中心力场和电磁场中粒子的运动两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维谐振子，氢原子及类氢离子。
电磁场中的薛定谔方程，电磁场的规范不变性。
正常Zeeman效应，Landau能级。
（五）量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，一维谐振子的占有数表象。
（六）自旋及角动量的耦合电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。
§2.1一维能量本征态的一般性质
第2章 一维势场中的粒子教材第2章P27～49§ 2.1一维能量本征态的一般性质§ 2.2方势§ 2.3 一维谐振子§ 2.1一维能量本征态的一般性质质量为m 的粒子在一维势)(x V 中运动，能量本征方程为)()(ˆx E x Hψ=ψ )(2ˆ222x V xm H +-=d d 或写成)()()(2222x E x x V x m ψ=ψ+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d d注意)(x V 为实。
问题一般分为两类：给定)(x V 求E 和ψ，给定)(x V 和E 求ψ。
下面讨论能量本征方程解的一般性质定理1 . 设)(x ψ是能量本征方程的一个解，对应的能量本征值为E ，则)(*x ψ也是方程的一个解，对应的能量也是E 。
证明：设)(x ψ是能量本征方程的一个解，方程两边取复共轭，因E 和)(x V 为实，则)()()(2**222x E x x V x m ψ=ψ+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d d即)(*x ψ也是方程的一个解，对应的能量也是E 。
若能量的某一本征值E 无简并，即只有一个独立的本征波函数)(x ψ，则)(x ψ可取为实函数。
这是因为：由定理1，)(x ψ和)(*x ψ均为与E 对应的本征波函数。
因E 无简并，则)()(*x C x ψ=ψ其中C 为常数。
上式取复共轭)()()(2**x C x C x ψ=ψ=ψ 12=C αi C e =，α为实若取0=α，则)()(*x x ψ=ψ，即)(x ψ可取为实函数。
对于能级有简并情况，有定理2 定理2 . 对应于能量的某个本征值E ，总可以找到能量本征方程的一组实解，属于E 的任何解均可表示为这一组实解的线性叠加。
证明：设)(x ψ是对应能量E 的一个解，若为实解，则可归入实解的集合中去。
若为复解，按定理1， )(*x ψ也是方程的一个解，同属于能量E 。
由线性方程解的叠加定理，实函数)()()(*x x x ψ+ψ=ϕ)]()([)(*x x i x ψ-ψ-=χ也是方程的解，同属于能量E ，并彼此独立。
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x 总是向
x 0 区域 , 区域 , x 0
曲线向下弯 x ; x 曲线向上弯 0, . x 0, x
x
结论
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
与此不同, 在经典的禁区 指数上升或下降的函数 由于 弯曲，即 与 的正负号相同 ,
为势阱高度,以下讨论 0
x
a 2 a x 2
束缚态情况.
10
0 V0
a 为阱宽,
在阱外(
V
a ,经典禁区 ),能量本征方程为 x 2
d 2m 2 V0 0 2 dx
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
2
11
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
5
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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联合式(5)和(3)
2 2 n 2 n , n 1, 2,3 2 2ma
结论
6
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱 是离散的． 称为体系的能量本征值.与En 对应的波函数 记为 n 称为能量本征函数，
a
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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先考虑 程表示为 情况 .在势垒外( V 0 ,经典允许区 ),x 能量的本征方 x 0, a
d2 2m 2 0 2 dx 由于势垒的存在, 在 区域中 既有入射波 , 也有反射 x, 0 波 , 而在 区域中只有透射波 所以 ikx ikx xa e e eikx ,
所 以
ikx ikx e R e , x ikx S e ,
0 xa xa
17
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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ikx 式 17 中 和 ikx 分别表示反射波与透射波 , 相应的反射流密 R e 度和透射流密度分别为
P
空间反射算符
P r r
即把空间坐标
r r .
x x . 对于一维粒子,则为 P
如果对应于某能量 , 方程(1)的解无简并, 则解必有确定的宇称(parity).
P x x x
偶宇称解 (even parity) 奇宇称解 (odd parity)
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则方程(2)的解可表示为
x sin kx δ
A
4
δ
,得 a 0 即
按边条件 0 0, 则要求 δ 0.
而按照边条件
sin ka 0,
注意
ka n, n 1, 2,3 ,无物理意义 ,而 0 n 给出的波函数 0 取负值与 取正值所给出的波函数描述的 是同一个量子态 . n
P x x x
一维谐振子和一维对称方势阱都是具有空间反射 对称性，它们的能量本征态都有确定的宇称。
定理4
设 V x V x , 则对应于任何一个能量 本征值 , 总可以找到方程(1)的一组解 (每个 解都有确定的宇称), 而属于能量本征值 的任 何解，都可用它们来展开.
Se
j反 R v，
但是如 V x 不连续, 或有某种奇异性, 则 x 及其各阶导数的连续性问题需要具体分析.
定理5
对于阶梯形方位势
V1 , V ( x) V2 , xa xa
（2）
V2 V1 有限
能量本征函数 x 及其导数 x 必定是 连续的(但如 V2 V1 ，则定理不成立). 对于一维有限深方势阱，这个定理明显成立.
则方程
11
的解具有如下指数函数形式
~ e x
但考虑到束缚条件 （要求 处
x
），波函数应取如下形式
x 0
a x e , x 2 n x e x , x a 2
12
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
适用范围 对于能级有简并的情况，能量本征态并不一 定就具有确定宇称.此时，可以用定理（4）来处 理
在坐标表象中, 涉及波函数 x 及其各阶 导数的连续性问题, 应从能量本征方程(1)出发, 根据 V x 的性质进行讨论. 如V x 是 x 的连续函数, 则 x 与 x 必 为 x 的连续函数.
m
0 xa 0, V x x 0, x a , 在阱内 a , 0 x能量本征方程为 d2 2m 2 0 2 dx 为粒子质量, 0.令
1
2
k 2m /
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
3
(b)奇宇称态
x ~ sin kx
利用
a x 2
与偶宇称态类似,
ln的连续条件可求出
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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k cot ka / 2
引进无量纲参数, 则上式化为 cot
第 2章
一维势场中的粒子
引言
本章主要是用Schrö dinger方程来处理一维粒子的 能量本征态问题.
下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的 特点.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
设质量为m的粒子在一维势场 V x 中(考虑 定态的情况下)的能量本征方程为
2 d 2 2m dx 2 V x x x
2 nx sin , 0 x a a a n x x 0, x a 0,
9
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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2.2.2 有限深对称方势阱
设
0, V x V , 0
0
2m x 2 V x x
在经典允许区
sin kx,cos kx , 而且在
此外,由于 与
x , 的振荡函数 V 波函数是
x
的正负号相反 , 轴弯曲.
愈大的地方 ,振荡愈快. V x
n x
n x sin nx / a 0 x a
7
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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利用归一化条件
2
x
n 0
a
dx 1
8
取 为实数. A A ,2 / a. 则归一化的波函数表示为
引入无量纲参数
x a / 2
ln e x
xa / 2
ka / 2,
a / 2
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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得到
tan
2 2 mV0a2 / 22
15
对于超越方程组(15), 可用数值计算求解或用图解法近似求解.
从而能确定能量本征值. 奇宇称态与偶宇称态不同, 只当
16
即
2 2 mV0a2 / 22 2 / 4
V0a2 22 / 2m
时, 才可能出现最低的奇宇称能级.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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2.2.3 束缚态与离散态
束缚能量本征态 按照能量本征方程 的能量是离散的 , V
* 在上式中， V x V x (实数值)
（1）
为能量本征值.
x 为相应的能量本征态.
在求解能量本征方程(1)时，要根据具体物理问 题的边条件来定解．如束缚态条件, 散射态的边条件 等.
下面先对该方程的解的一般性质进行讨论． 为此先讨论其一般解有关的七条基本性质．其 中前4条, 不仅对一维问题成立, 对于三维问题也同 样适用.
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
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2.2.4 方势垒的反射与透射
设具有一定能量 方向射向方势垒
V0 , V x 0,
x 的粒子沿
0 xa x 0, x a
轴正
从量子力学观点来看，考虑到粒子的波动性,此问题与波碰到一层 厚度为 的介质相似, 即有一部分波透过,一部分波被反弹回去.
定理1
设 x 是能量本征方程(1)的一个解,
对应的能量本征值为 ,则 * x 也是方程(1) 的一个解,对应的能量也是 .
假设对应于能量的某个本征值 ,方程(1) 解无简并,(即只有一个独立的解),则可取为实 解(除了一个无关紧要的常数因子之外).
定理2
对应于能量的某个本征值 ,总可以找到
!
但对于某些不规则势阱,如一维氢原 子 V x 1/ x , 除基态外,其他束缚态均 为二重简并. 其特征是波函数的节点出现在 V x 的奇异点处,两个简并态具有不同宇称.
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2.2 方势阱
2.2.1 无限深方势阱,离散谱 先考虑一个理想的情况——无限深方势阱中的粒子. 势阱表示为
定理6
x 2 x 1 x 常数与x无关 . （3） 1 x 2
注意
对于束缚态(bound state), 当 x 时, 0, 所以式(3)中常数必为0.