量子力学 薛定谔方程的建立和定态问题
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
2.3.2、 薛定谔方程的建立 1、自由粒子满足的微分方程: 由自由粒子波函数
i ( p⋅r − Et ) ψ p ( r , t ) = Ae
（1）
将上式两边对时间 t 求一次偏导，得：
∂ψ p
i ( p⋅r − Et ) i i = − EAe = − Eψ p ∂t
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
经典力学和量子力学关于描述粒子运动状态的差别。 经典力学 质点的状态用 r , p 描述。 量子力学
微观粒子状态用波函数 Ψ (r , t ) 描述。
每个时刻， r , p 均有确定值， 波函数 Ψ 描述的微观粒子不可能同
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
2.3、 薛定谔方程
在 2.1 节中， 我们讨论了微观粒子在某一时刻 t 的状态， 以及描写这个状态的波函数 Ψ 的性质， 但未涉及当时间改 变时粒子的状态将怎样随着变化的问题。本节中我们来讨 论粒子状态随时间变化所遵从的规律。
。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明
2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明 （1）薛定谔方程是建立的，而不是推导出来的，建立的 方式有多种。 （2）薛定谔方程是量子力学最基本的方程，也是量子力 学的一个基本假定。薛定谔方程正确与否靠实验检验。 （3）薛定谔方程描述了粒子运动状态随时间的变化，揭 示了微观世界中物质的运动规律。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
令： 则有,
= J
i [Ψ∇Ψ ∗ − Ψ ∗∇Ψ ] 2µ
(7)
∂ω + ∇ ⋅ J =0 ∂t
这方程具有连续性方程的形式，是概率（粒子数）守恒定 律的微分形式。
为了说明（7）式和矢量 J 的意义，下面考察（7）式
t 时刻， r 附近单位体积内粒子出现的概率，
ω (r , t ) = Ψ ∗ (r , t )Ψ (r , t ) = | Ψ (r , t ) |2
概率密度随时间的变化为，
∂ω ∂Ψ ∂Ψ * = Ψ* + Ψ ∂t ∂t ∂t
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
(8)
面积分是对包围体积 V 的封闭面 S 进行的。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
∂ω − ∫v ∂t dτ = ∫ s J ⋅ ds
(8)
左边：表示单位时间内体积V 中几率的增加；
所以， J ：几率流密度矢量。
（10）
上式两边乘以波函数ψ ( r , t ) 得：
p2 = ψ + U ( r )ψ Eψ 2µ ∂ψ 2 2 将（8） 、 （9）式代入得： i = − ∇ ψ + U ( r )ψ 2µ ∂t
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
3、多粒子体系的薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
或,
i
∂ψ p ∂t
= Eψ p
（2）
故不是我们所要求的方程。 由于上式还包含状态参量( E )， 将（1）式两边对 x 求二次偏导，得到：
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
(2) (6)
（7）
显然（7）式满足前面所述条件。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
由（2）式，可看出 E 与 i
E → i
2
∂ 对波函数的作用相当： ∂t
∂ （能量算符） ∂t
(8)
p2 − 2 ψ p ，式改写成： ∂t
+ ∇ ⋅ Jµ =0 。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.4.3、 波函数的标准条件
电荷密度： ωe ≡ eω ， 电流密度： J e ≡ eJ ， 电荷守恒定律:
∂ωe + ∇ ⋅ Je =0 。 ∂t
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.4.3、 波函数的标准条件
(1)
用分离变量法，考虑一特解
Ψ (r , t ) = ψ (r ) f (t )
将（2）代入（1）式中：
(2)
第二章 波函数和薛定谔方程 2.5、 定态薛定谔方程 2.5.1、 U=U(r)时薛定谔方程的解
对空间任意的一个体积V 的积分：
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
∂ω ∂ ∫v ∂t dτ = ∂t ∫v ωdτ = − ∫v ∇ ⋅ Jdτ
由高斯定理：
可得到：
∂ω − − ∫v ∂t dτ = ∫ s J ⋅ ds = ∫ J n ds
由薛定谔方程和其复共轭方程，
U (r ) i 2 ∂ Ψ = ∇ Ψ+ Ψ 2µ i ∂t ∂Ψ ∗ i 2 ∗ 1 =− ∇ Ψ − U ( r ) Ψ∗ 2µ ∂t i
可得，
∂ω i = Ψ * ∇ 2 Ψ − Ψ∇ 2 Ψ *) ( ∂t 2 µ i = ∇ ⋅ ( Ψ * ∇Ψ − Ψ∇Ψ *) 2µ
px 2 ∂ 2ψ P i = px ψ p = − 2 ψ p ∂x 2
2
同理：
py2 ∂ 2ψ P = − 2 ψ p, 2 ∂y
∂ 2ψ P pz 2 = − 2 ψ p, 2 ∂z
∂2 p2 ∂2 ∂2 − 2 ψ p （3） 上三式相加得： 2 + 2 + 2 ψ p = ∂x ∂y ∂z
若ψ
∞
= 0 ，[如ψ (r , t ) r→∞ → 0 ]，则，
（9）
d d d = ω τ = ψ *ψ dτ 0 dt ∫∞ dt ∫∞
即：在整个空间内找到粒子的概率与时间无关。 若波函数ψ 是归一的，即，
∫ ψ *ψ dτ = 1，
∞
也有：
∂ω = 0， ∂t
即：ψ 将保持归一的性质，而不随时间改变。
( p ⋅ p )ψ =( −i∇ ) ⋅ ( −i∇ )ψ
由此知：
p → −i∇ （动量算符）
(9)
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
2、力场中粒子波函数所满足的微分方程 粒子在力场中的势能为U ( r ) ，则：
p2 = +U (r ) E 2µ
右边：是矢量 J 在体积 V 的边界 S 上法向分量的面积分，
J n ：表示单位时间内流过 S 面上单位体积的几率。
（8）式也说明单位时间内体积 V 中增加的几率，等于 从体积V 的边界 S 上而流进V 内的几率。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
τ0
。 是包围 r0 在内的任何体积）
（3）连续性：保证概率密度和概率流密度的连续性。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.5、 定态薛定谔方程 2.5.1、 U=U(r)时薛定谔方程的解
2.5、 定态薛定谔方程 2.5.1、 U=U(r)时薛定谔方程的解
∂ 2 2 i Ψ ( r , t ) = [ − ∇ + U (r )]Ψ (r , t ) 2µ ∂t
且随时间 t 连续变化， L, Ek , E p 等都可以表示成 r , p 的函数。 时具有确定的 r 和 p 值， 但能给出粒 子出现在 r 或具有 p 的概率。波函 数 Ψ 决定微观粒子的一切力学量和 行为规律变化。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
2.4.3、 波函数的标准条件
* （1）单值性：粒子出现的概率 ω = Ψ Ψ 应该是( r , t )的单 值函数，这样才能使粒子的概率在( r , t )点是唯一确定的值。
（2）有限性：保证概率密度不能无限大（不能保证空间
2 τ0 只要保证 ∫ |Ψ | dr =有限值， 某些孤立奇点处 | Ψ |→ ∞ ，
（5）
将（5）代入（4）得：
2 2 − ∇ψp = Eψ p 2µ
（6）
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
∂ψ p i = Eψ p ∂t 比较（2） 、 （6）两式， 2 − ∇ 2ψ = Eψ p p 2µ
得：
2 2 i = − ∇ψp 2µ ∂t ∂ψ p
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.2、 粒子数,质量,电荷守恒定律
2.4.2、 粒子数,质量,电荷守恒定律 （7）式即为粒子数守恒定律。
∂ω + ∇ ⋅ J =0 。 ∂t
2 质量密度： ωµ ≡ µω =µ | Ψ (r , t ) | ，
i 质量流密度： J µ ≡ µ= J (Ψ∇Ψ * − Ψ *∇Ψ ) ， 2
经典力学
质点运动规律遵从牛顿第二 定律。
量子力学
Ψ 的变化规律遵从薛定谔方程。
薛定谔方程及其解法
关于薛定谔方程一． 定义及重要性薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。
是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
二． 表达式三． 定态方程()()222V r E r m ηψψ+⎡⎤-∇=⎢⎥⎣⎦所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。
其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。
2222222z y x ∂∂∂∂∂∂++=∇可化为d 0)(222=-+ψψv E h m dx薛定谔方程的解法一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法龙格库塔法（对欧拉法的完善）给定初值问题).()()((3)),(),()( ,,(2))(),( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dyi i i i i i i i =-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββαβα.))(,(,,(3) )()(2)()( ,))(,())(,())(,()( ))(,()( )()(2)()()( )( 3213211处的函数值分别表示相应函数在点其中得代入上式将处展成幂级数在首先将i i y t y t i i y t i i i i i i t y t f f f h O ff f h hf t y t y t y t f t y t f t y t f t y t y t f t y h O t y h t y h t y t y t t y '++++=+'=''='+''+'+=+++.)(21 1 ,,021,01 ),()()())(21()1()( ,)( 3221212213113222111的计算公式局部截断误差为可得到但只有两个方程，因此方程组有三个未知数，满足条件即常数当且仅当要使局部截断误差得下假设在局部截断误差的前提h O c c c c c c c c h O y t y h O ff f c h f c c h y t y t y y i i y t i i i i ==+=-=-+=-++-+-+-=-=++++ββββ有限元方法有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。
量子力学试题定态与叠加态的计算与解释
量子力学试题定态与叠加态的计算与解释量子力学试题：定态与叠加态的计算与解释量子力学是描述微观世界中物质与能量相互作用的理论框架。
在量子力学中，我们遇到的一个重要概念是量子态。
量子态描述了一个粒子或者系统的状态，可以通过数学形式来表示。
在本篇文章中，我们将讨论定态和叠加态的计算与解释。
一、定态的计算和解释定态是指一个量子系统在某一给定时间的特定状态。
在量子力学中，确定一个定态需要求解薛定谔方程，然后根据波函数计算相关物理量。
考虑一个简单的例子，一个自由粒子在一维空间中运动。
我们假设它的波函数为Ψ(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
薛定谔方程可以写作：iħ∂Ψ(x,t)/∂t = -ħ²/2m ∂²Ψ(x,t)/∂x²这个方程描述了波函数随时间变化的规律。
通过解这个方程，我们可以得到自由粒子的定态。
当薛定谔方程被解析求解后，我们可以计算定态下的一些物理量。
例如，粒子的位置、动量、能量等。
这些物理量由波函数的模方来表示，即|Ψ(x,t)|²。
通过积分计算波函数的模方，我们可以得到粒子在一维空间中的概率分布。
二、叠加态的计算和解释叠加态是指一个量子系统处于多个定态的叠加状态。
在量子力学中，叠加态可以用线性组合的方式来表示。
考虑一个简单的例子，一个自旋为1/2的粒子在一个以 z-轴为参考轴的测量中。
自旋可以取两个可能的态：向上|↑⟩或者向下|↓⟩。
那么，我们可以构造一个叠加态：|ψ⟩= α|↑⟩+ β|↓⟩其中，α和β为复数，且满足归一化条件：|α|² + |β|² = 1。
这样的叠加态表示了粒子既可能处于向上自旋态，也可能处于向下自旋态。
对于叠加态，我们可以计算某个物理量的期望值。
以自旋为例，我们可以计算自旋在 z-轴上的期望值⟨S_z⟩ = ⟨ψ|S_z|ψ⟩，其中 S_z 是自旋在 z-轴上的算符。
另外，量子力学中，测量完一个叠加态后，系统会塌缩到一个定态。
高级中学奥赛-薛定谔方程及其求解方法
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为一名 研究生便提出了非对易代数理论，而成为 量子力学的创立者之一。第二年提出全同 粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出 了电子的相对论性运动方程，奠定了相对 论性量子力学的基础，并由此预言了正负 电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的 存在，使人们对物质世界的认识更加深入。 他还有许多创见（如磁单极子等）都是当 代物理学中的基本问题。由于他对量子力 学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933 年诺贝尔物理学奖金。
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2
E为一常数
i df (t) Ef (t) dt
df (t) f (t)
i
Edt
解出：
f
(t
)
Ce
i
Et
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
――定态波函数
1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量
2．定态中粒子的几率密度不随时间变化
(r ,
t
)
*
(r ,
爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思 想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕 的一角”。
德布罗意假设
一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E
和动量P所描述的粒子性，也具有以频率n和波长l所描述的
波动性。 德布罗意波，也叫物质波。
E hn
P＝ h
l
(p
h
n
k )
l
德布罗意 公式
l＝ h
例1. 计算下列运动物质的德布罗意波长
(1) 质量100g, v = 10m·s1运动的小球。
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程，一维定态问题
本章主要介绍量子力学的基础概念和薛定谔方程的推导及其在
一维定态问题中的应用。
量子力学是描述微观世界中物质及其运动规律的理论。
在量子力学中，粒子的运动状态由波函数描述，波函数可以用来计算粒子在不同位置的概率密度。
薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，它描述了波函数随时间的演化规律。
一维定态问题是指一个粒子在一维空间中的运动状态是定态的，即粒子的波函数只包含一个能量本征态。
在一维定态问题中，薛定谔方程可以简化为一维薛定谔方程，可以通过求解该方程得到粒子的能量本征态和能量本征值。
本章将详细介绍薛定谔方程的推导过程和一维定态问题的求解
方法，包括定态薛定谔方程的解法和粒子在势阱和势垒中的运动规律。
同时还将介绍相关的数学工具和物理概念，如波函数、能量本征态、能量本征值和概率密度等。
通过学习本章内容，读者将能够了解量子力学的基本概念和薛定谔方程的应用，掌握一维定态问题的求解方法，为后续学习量子力学的进阶内容奠定基础。
- 1 -。
量子物理 第二章 薛定谔方程
v v Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) f (t )
ih df 1 ⎡ h2 2 v ⎤ （1） ⇒ = − ⎢− ∇ + U ( r ) ⎥ψ = E f dt ψ ⎣ 2μ ⎦
（2）
⎡ h2 2 v ⎤ v v ∇ + U ( r ) ⎥ψ ( r ) = Eψ ( r ) ⎢− ⎣ 2μ ⎦
当
A≠0 B=0 nπ αn =
2a
，有
sin αa = 0
(6)
（n为偶数） ，有
当
A=0 B≠0
nπ αn = 2a
cos αa = 0
(7)
（n为奇数）
(6)和(7)两式统一写成
nπ αn = , 2a
n = 1,2,3, L
（8）
22
2.3 一维无限深势阱 The infinite potential well
（3）
10
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
df ih = Ef (t ) dt
（4） （2） 令 则 （4）
i − Et h
⇒
f (t ) = Ce
（5）
i − Et h
v ⇒ Ψ ( r , t ) = ψ ( r )e
（6）
ω = E/ h E =hω
9
2.2 定态薛定谔方程 Time independent Schrödinger equation
1．定态，定态波函数 v ∂Ψ(r , t ) ⎡ h 2 2 v ⎤ v = ⎢− ∇ + U (r , t )⎥ Ψ(r , t ) ih ∂t ⎣ 2μ ⎦ 若
（1）
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。
量子6薛定谔方程
0<x<a时,V=0
h d E 2 2m dx
～2
2
2mE 令 k ～2 h
2
d 2 2 得 k 2 dx
通解：
C sin kx D cos kx
(0) (a) 0
由波函数连续性要求：
( x) C sin kx D cos kx
(0) 0 D 0
( x) C sin kx
(a) 0 C sin ka 0
sin ka 0 ka n (n 1.2.) n 2mE 2 k k ～2 a h
n 2mE ～2 2 a h
2 2
En
～2 2 n 2 h
2ma
2
(n 1,2,3,)
E2 E1
E2 E1
2
2
x
一维势阱中粒子运动的特征：
1、粒子能量是量子化的。称n为粒子能量的量子数。 2、粒子的最小能量不等于零。
经典认为粒子的能量可以为零。
3、粒子在势阱中出现的概率不均匀。 经典认为匀速运动粒子应该在各处均匀出现。 4、薛定谔方程的解为驻波形式，即粒子的物质波在势 阱中形成驻波。阱壁处为波节，粒子概率为零。
令
2
x0 x0
2m 2 E U 0 2
>0
d 2 ( x) 2 2 ( x) 0 2 dx
x0
3.薛定谔方程通解
d 21 ( x) 2 2 k 1 ( x) 0 2 dx
ikx
x0
ikx
通解 1 ( x) Ae Be
三、隧道效应的应用 隧道二极管 金属场致发射 核的衰变…
U
薛定谔方程及其在量子力学中的应用
薛定谔方程及其在量子力学中的应用引言：量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，薛定谔方程是量子力学的基础方程之一。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理和其在量子力学中的应用。
一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，它描述了微观粒子的波函数随时间的演化。
薛定谔方程的数学表达式为：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数，∂ψ/∂t表示波函数对时间的偏导数，Ĥ是哈密顿算符。
二、薛定谔方程的解释薛定谔方程的解释是基于波粒二象性的理论。
根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
波函数ψ描述了微观粒子的波动性质，而薛定谔方程描述了波函数随时间的演化。
三、薛定谔方程的应用1. 粒子在势场中的行为薛定谔方程可以用来描述粒子在势场中的行为。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在特定势场下的波函数，从而了解粒子的能级结构和波动性质。
例如，薛定谔方程可以用来解释电子在原子中的分布和能级跃迁。
2. 粒子的散射问题薛定谔方程还可以用来描述粒子的散射问题。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在散射过程中的波函数，从而了解粒子的散射概率和散射角度。
散射实验是研究物质结构和相互作用的重要手段之一，薛定谔方程在该领域有着广泛的应用。
3. 量子力学中的量子态薛定谔方程还可以用来描述量子力学中的量子态。
量子态是描述量子系统的状态，可以用波函数表示。
通过求解薛定谔方程，可以得到量子系统的波函数，从而了解量子系统的性质和行为。
量子态的概念在量子力学中具有重要的地位，薛定谔方程为研究量子态提供了数学工具。
结论：薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，它描述了微观粒子的波函数随时间的演化。
薛定谔方程在量子力学中有着广泛的应用，可以用来描述粒子在势场中的行为、粒子的散射问题以及量子力学中的量子态等。
薛定谔方程的研究对于理解微观世界的行为规律具有重要意义。
量子力学-第二章-定态薛定谔方程详解
需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n (x)eiEnt , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程
[
2
2
V ] (r )
E (r )
2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
本征值问题，得：
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2
V
]
(r )
E
(r )
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
(r ,
t
)
(
r
)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
量子力学习题解答-第2章
计算出
反射系数 和透射系数 之和为1.
*习题2.1证明下列三个定理
解：（a）证：假设在定态解把实数 改为复数 ，则
若在 时刻，波函数是归一化的，即
在以后时刻
所以要求在任何时候都有
必须有 ，即 必须为实数。
（b）设 满足定态薛定谔方程
把这个式子取复共轭，注意到 是实的，得到
显然 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
或
也是同一薛定谔方程的解。显然 是实函数，所以一维定态薛定谔方程的解总可以取为实函数。
（c）对
进行空间反演 ，得到
如果势能 是偶函数，则有
因此 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
也是同一薛定谔方程的解。 ，所以当势能是偶函数，定态薛定谔方程的解总可以取为有确定宇称的解。
*习题2.2
解：如果 ，那么 和它的二次导数有同样的符号。如果 是正值，它将一直增加，这与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。如果 是负值，它将一直减少（绝对值在增大），这同样与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。
能量本征函数为
能量本征值为
含时薛定谔方程的一般解为
当 时，
显然对 测量能量，不可能得到 ，因为现在的能量本征态中，没有这个本征值，所以测量能量得到 的几率为零。现在体系基态的能量为 ，所以测量能量得到 的几率是 ，由
代入
（注意在 时刻，体系的能量期待值不是 ，因为体系的哈密顿是频率为 的谐振子哈密顿。）
，
由波函数 的归一性，可以得到系数 的归一性
对 态测量能量只能得到能量本征值，得到 的几率是 ，能量的期待值可由
求出。这种方法与用
方法等价。
2.一维典型例子：