薛定谔方程
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程
v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程，因此它的解， ② 薛定谔方程是复数方程，因此它的解，即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波，因此， 自由粒子的波动性对应于平面波，因此，描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数： 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数：
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应， 动能与动量的关系： 不考虑相对论效应，则动能与动量的关系： 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢， 波矢 大小等于角波数，沿着波传播方向。 k——波矢，大小等于角波数，沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k
9-4薛定谔方程
隧道效应
贯穿势垒的概率定义为在 x a处透射波的强度与
入射波的强度之比：
T
3(a) 2
2a
e
2m(U0 E )
A2
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
扫描隧道显微镜(STM)
原理： 利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层 电子云，电子云的密度随着 与表面距离的增大呈指数形 式衰减，将原子线度的极细 的金属探针靠近样品，并在 它们之间加上微小的电压， 其间就存在隧道电流，隧道 电流对针尖与表面的距离及 其敏感，如果控制隧道电流 保持恒定，针尖的在垂直于 样品方向的变化，就反映出 样品表面情况。
z z 为 轴，角动量在 轴上的投影 Lz 只能取
Lz ml ml 0, 1, 2,..., l
ml 称为磁量子数。对于一定的角量子数l, ml 可以取 2(l 1) 个值。
B(z)
2 角动量的空间量子化 o 2
L 6
l2
三、电子的自旋
1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck ) 和古兹密特(S.A.Goudsmit)提出电子自旋假说。把 电子绕自身轴线的转动称为自旋。
4 E1
n 1
0
a2
ax 0
a2
aEE1x0
四、一维势垒 隧道效应
一维方势垒如图
U
U
(x)
U0
0xa
0 x 0, x a
U0 E
粒子沿 x 方向运动,当
Ⅰ E U0
ⅡⅢ
粒子可以通过势垒。
oa x
当 E U0，实验证明粒子也能通过势垒,这只有 由量子力学的到解释。
设三个区域的波函数分别为 1, 2,3
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
薛定谔方程及其在量子力学中的应用
薛定谔方程及其在量子力学中的应用量子力学是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程是量子力学的基石之一，它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，是描述微观粒子的波函数随时间演化的数学方程。
薛定谔方程的形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数（ħ=h/2π，h为普朗克常数），Ψ是波函数，t是时间，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V是势能。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化，通过求解薛定谔方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而了解微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。
首先，它可以用来描述粒子的定态和非定态。
定态是指粒子的能量和其他性质都是确定的状态，非定态是指粒子的能量和其他性质都不是确定的状态。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的定态波函数，从而得到粒子的能量和其他性质。
而非定态波函数则描述了粒子的能量和其他性质在不同状态之间的转变。
其次，薛定谔方程还可以用来解释粒子的波粒二象性。
根据薛定谔方程，波函数Ψ可以表示粒子的概率幅，即波函数的模的平方|Ψ|²表示在某个位置上找到粒子的概率。
这就是波粒二象性，即微观粒子既具有粒子性又具有波动性。
薛定谔方程还可以用来解释量子力学中的量子纠缠现象。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在着一种特殊的关系，它们的状态是相互依赖的，无论它们之间的距离有多远。
薛定谔方程可以描述量子纠缠现象，通过求解薛定谔方程，我们可以得到纠缠态的波函数，从而了解量子纠缠的本质和特性。
此外，薛定谔方程还可以应用于量子力学中的量子力学力学中的研究。
量子力学力学是一种研究微观粒子运动规律的方法，它可以通过求解薛定谔方程得到粒子的运动轨迹和动力学性质。
总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，它描述了微观粒子的波函数随时间演化的规律。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程是一个重要的理论模型，它使物理学家们能够更进一步地了解和解释量子力学中的现象。
它于1926年被提出，由荷兰物理学家薛定谔提出。
薛定谔方程描述了量子力学中描述双原子共振和双原子退相干特性时所需的方程，从而解释普朗克定律中自由粒子的行为。
薛定谔方程是一个基于能量的矩阵方程，它是由薛定谔推导出来的。
它的公式是：
HΨ = EΨ
其中，H是原子的能级矩阵，Ψ是量子态的矢量，E是能量的标量。
薛定谔方程有三个重要的功能：
首先，它可以用来描述量子力学中的双原子共振，它可以用来解释双原子间的能量级和轨道混合情况，从而解释量子力学中双原子结构的概念。
其次，它可以用来解释双原子退相干特性。
双原子退相干指的是，在两个原子相互作用时，他们的总能量会减少，这一特性由薛定谔方程可以解释。
最后，薛定谔方程还可以应用于电子结构性质的计算，用来计算杂化理论中的电子结构性质。
薛定谔方程对于量子力学的研究有重要意义，它为物理学家们提供了量子力学中最基本的模型，使他们能够更深入地了解和研究相关
现象。
薛定谔方程也为建立一个现实世界中可行的量子力学模型打下了基础，从而为量子力学的研究提供了一条新的发展道路。
总之，薛定谔方程是一个重要的理论模型，它可以用来描述量子力学中的双原子共振和双原子退相干特性，并且可以用来计算杂化理论中的电子结构性质。
它的出现，是量子力学研究的一个重大突破，也为量子力学的未来发展提供了指引。
薛定谔方程一般表达式
薛定谔方程一般表达式
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和性质的方程。
一般表达式为：
Hψ = Eψ
其中，H是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。
在一维情况下，薛定谔方程可以写成：
-ħ²/2m * ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ = Eψ
其中，ħ是普朗克常数除以2π，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，E是粒子的能量。
在三维情况下，薛定谔方程可以写成：
-ħ²/2m * (∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y² + ∂²ψ/∂z²) + V(x, y, z)ψ = Eψ
其中，x、y、z是空间坐标，V(x, y, z)是势能函数，E是粒子的能量。
这些方程描述了波函数随时间和空间的变化，通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数以及与波函数相关的物理量，如能量、位置、动量等。
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波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度 I A2 微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多， I
N
电子衍射实验解释:二者皆可. 这意味着粒子与波一一对应
物质波 波动：电子波的强度
I
2
（波函数模的平方）
微粒： W（单个电子在该处出现的几率） I N（电子数）
某时刻，在空间某地点，粒子出现的几率，正 结论 比于该时刻、该地点的波函数的模的平方。
i ( Et px )
( r , t ) 0e
自由粒子德布罗 意波的波函数
(r ,t )
2 i ( Et Pr ) h 0e
波函数
‘波函数’是什么？
3.波函数的物理意义：(Born解释)
光波
它既不是位移y； 又不是电*在势场中运动质量为m的一个粒子,有一个波函数
运动的稳定状态相联系,这个波函数满足定态薛定谔方程. 相应的常数E (参数),就是粒子在这个稳定状态的能量.
**方程的解 ( r )表示粒子运动的某一个稳定状态.与这个解
只有 E 为一些特定的值时，方程才有解，这些 E值叫本征值， ( r ) 叫本征函数. 与这些 E值对应的波函数
w
2
*
波函数是什么呢？
2
w *
2
与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
物质波是什么呢？
物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！
几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的 单次过程。 对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是 结论 没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒 运动的统计规律。 宏观物体：讨论它的位置在哪里。 区别 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大。
要研究电子出现的空间区域，则要去寻找一个函数，
用该函数的图象与这个空间区域建立联系。这种函数就是
微观粒子运动的波函数 。 1926 年奥地利物理学家 E. Schrö dinger 建立了著名 的微观粒子的波动方程，即 Schrö dinger 方程。描述微观 粒子运动状态的波函数 ，就是解 Schrodinger 方程求出 的。
2
自由粒子满足的方程
i A e xp ( p r Et )
描写自由粒子波函数:
应是所要建立的方程的解。 将上式对 t 微 商，得：
i E t i E t （ 1 ）
• 这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。 将Ψ 对坐标二次微商，得：
2
( r )e
2 i Et
2 (r )
——与时间无关
即：粒子的几率分布不随时间改变，则粒子处于定态
2）粒子的定态能级的能量值就是E
定态是指
能量有确定值状态
几率分布是确定的
—与玻尔理论对应
定态薛定谔方程的意义:
i Et (r , t ) (r )e
* 1 * 2
第三项为 相干项
量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性， 出现了干涉图样。
它是由微观粒子波粒二象性所决定的。
波函数的一些概念总结
（1） 波函数是几率波 （2） 波函数是波粒二象性的体现：测不准关系； （3） 波函数模的平方表示在（x,y,z)附近处单位体积内 找到粒子的几率； （4） 波函数满足的三个条件：归一化、连续和有限； 和10 描述的是同一个波函数。
以看成是电子的粒子性的统计结果。
这种统计的结果表明，对于微观粒子的运动，虽然不
能同时准确地测出单个粒子的位置和动量，但它在空间某
个区域内出现的机会的多与少，却是符合统计性规律的。 从电子衍射的环纹看，明纹就是电子出现机会多的区 域，而暗纹就是电子出现机会少的区域。所以说电子的运 动可以用统计性的规律去进行研究。
代 入
两边同除 (r ) f (t )
1 d 1 2 2 i f (t ) [ V ] ( r ) f ( t ) dt ( r ) 2
E
整理后,可以得到如下两个方程:
d i f ( t ) Ef ( t ) dt 2 [ 2 V ] ( r ) E ( r ) 2
2
1 2 2 2 p
(1)–(2)式
或
2 2 p2 2 2
(2)
2 2 p2 (i ) ( E ) t 2 2
p2 对自由粒子， E 2
所以
2 2 i t 2
（3）
i E i E t t
二、定态Schrodinger方程 现在让我们讨论外场不含时间情况下的 Schrodinger 方程：
2 2 i (r , t ) [ U (r )](r , t ) t 2 可分离变量令： (r , t ) (r ) f (t )
d 2 2 i ( r ) f ( t ) f ( t )[ V ] ( r ) dt 2
§16-1 波函数及其统计诠释
量子力学基本假设之一——自由粒子的波函数
由经典物理知：频率为n、波长为l、沿x 方向传播的平面机械 t kx) 波可表示为： y y0 cos2 (nt x / l ) y0 cos( 用复数的表示：
[ y y0 cos( t kx) i sin2 (t kx)]
i ( p x x p y y p z z Et ) i Ae px x x 2 2 px 2 ， 2 x
同理有 2 2 y
2
py
2
2 pz 2 2 z 2 2 2 1 2 2 2 [ p p p x y z ] 2 2 2 2 x y z
环纹。
若控制该实验的速度，使电子一个一个地从射出，这
时屏幕上会出现一个一个的亮点，忽上忽下忽左忽右，毫
无规律可言，难以预测下一个电子会击中什么位置。这是 电子的粒子性的表现。但随着时间的推移，亮点的数目逐 渐增多，其分布开始呈现规律性 得到明暗相间衍射 环纹。这是电子的波动性的表现。所以说电子的波动性可
p2 E V (r ) 2
将其作用于波 函数得：
p2 E [ V (r )] 2
做（4）式的 算符替换得：
2 2 i (r , t ) [ U (r )](r , t ) t 2
• 该方程称为 Schrodinger 方程，也常称为 波动方程。
(r , t ) Ae
i ( Et pr )
体系势能
薛定谔方程
量子力学的 第二个重要假定
注： 1）同牛顿定律一样，此方程也不是从理论上推出，
它的正确性来自实践。 2）此方程只对V<<C的粒子成立
讨论:
ˆ i r , t H r , t t
满足态叠加原理
C11 C2 2 2 W1 | C1 1 | , 处于态1和态2的几率分别为：
组合：
双缝同时打开时，电子的几率分布为：
2 1 * 1 2 2 * 2 * 1
W2 | C2 2 |2
W | 2 |
* 2
W C 1 C 2 C1C 2 ( 2 1 ) W1 W2 C1C 2 ( 2 1 )
1 2 2 p ( p p) (i) (i)
2
E p 2 p
i t ˆ i p ˆ 2 2 2 p
（4）
若粒子处于势场 U(r) 中运动，则能动量关系变为：
W
dw
d 1
波函数的 归一化条件
1）归一性： 2）连续性: 3）有限性:
在空间各点都有粒子出现的可能。 保证波函数是平方可积。
4）单值性： 波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值
性。一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的 几率应有一定的量值。
波函数的归一性 波函数的连续性 波函数的有限性 波函数的标准化条件
1 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；
2 .薛定谔方程是线性齐次常微分方程，保证了态的线性叠加 性在时间进程中保持不变。 3 .薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程； 知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻的波函数. 4. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式解 要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数. 5. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写
但是，对于自由粒子而言，其对应的平面波，还具有微粒性 (波粒二像性) E hn 德布罗意关系式
y y0e
i (t kx )
P h/ l k
得： y
y0e
i ( Et px )
( x, t ) 0e
i ( Et P r )
• 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的 状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时 间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
（2）量子情况 1．因为，t = t0 时刻，已知的初态是ψ ( r, t0) 且只知 道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足 的方程只能含ψ 对时间 的一阶导数。 2．另一方面，ψ 要满足态叠加原理，即，若ψ 1( r, t ) 和ψ 2( r, t )是方程的解，那末。 ψ ( r, t)= C1ψ 1( r, t ) + C2ψ 2( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说 方程中只能包含ψ , ψ 对时间的一阶导数和对坐标各阶导 数的一次项，不能含它们的平方或开方项。 3．方程不能包含状态参量，如 p, E等，否则方程只能被 粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。