《量子力学》课程教学大纲

一、课程说明

（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；

课程名称：量子力学

所属专业：物理学专业

课程性质：专业基础课

学分：4

（二）课程简介、目标与任务；

课程简介：

量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人

类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。

本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公

设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构，

如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结

构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中

的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原

理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基

本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。

本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态

问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。

课程目标与任务：

1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方

法。

2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。

3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。

（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；

本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一

了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19

世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及

紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与

半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。

《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中

有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特

空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。

（四）教材与主要参考书。

[1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材）

[2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社;

[3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum

Mechanics;

[4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford

University Press 1958;

二、课程内容与安排

第一章微观粒子状态的描述

第一节光的波粒二象性

第二节原子结构的玻尔理论

第三节微观粒子的波粒二象性

第四节量子力学的第一公设：波函数

（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时

（二）内容及基本要求

主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。

【重点掌握】：

1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射

实验;

2.微观粒子的波粒二象性；

3.微观粒子状态的波函数描述。

【了解】：

1.单电子单缝衍射实验和双缝干涉实验；

2.玻尔互补原理。

【难点】：

1.对微观粒子的波粒二象性的理解；

2.对微观粒子状态的波函数描述及其几率解释的理解。

第二章量子力学中的力学量

第一节量子力学的第二公设：算符

第二节量子力学的第三公设：测量算符的本征值和本征函数

第三节力学量完全集算符的对易关系

第四节海森堡不确定关系

（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；8学时

（二）内容及基本要求

主要内容：主要介绍微观粒子力学量的算符描述方法及其性质；介绍量子系统的测量结果及其不确定性。

【重点掌握】：

1. 算符表示力学量的线性性和厄米性；

2. 算符本征值和本征态及其性质；

3．量子系统的测量结果；

4．海森堡不确定关系。

【掌握】：

1.如何求任意算符的本征解；

2.如何利用不确定关系估算量子系统基态能。

【难点】：

1.厄密算符本征函数的正交性和完备性；

2.量子系统测量结果及其所伴随的波包塌缩；

3.量子力学中的不确定关系及其物理意义和物理后果。

第三章量子力学的动力学和守恒量

第一节量子力学的第四公设：薛定谔方程

第二节力学量平均值随时间的演化守恒量

第三节一维定态问题：无限深势阱；有限深势阱；δ势阱；一维谐振子；

势垒贯穿和扫描隧道显微镜

（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；10学时

（二）内容及基本要求

主要内容：主要讲授量子力学的动力学演化方程-薛定谔方程及其求解；讲授定态薛定谔方程及其典型的一维问题求法。

【重点掌握】：

1.量子力学的动力学演化：薛定谔方程及其求解方法；

2.几类典型一维定态薛定谔方程的求法；

【一般了解】：

1.理解守恒量和对称性的关系；

2.无限深势阱的应用：量子点；

3.势垒贯穿的应用：扫描隧道显微镜及其发展

【难点】：定态薛定谔方程和时间相关薛定谔方程的求法。

第四章三维定态问题：氢原子和类氢原子

第一节中心力场的一般分析

第二节自由粒子球面波解

第三节氢原子定态能级

第四节碱金属原子能级

（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；8学时

（二）内容及基本要求

主要内容：主要介绍三维定态薛定谔方程的球坐标求法；介绍氢原子和碱金属原子能级结构特征及其不同。

【重点掌握】：氢原子能级结构。

【掌握】：碱金属原子能级结构中的量子数亏损。

【难点】：氢原子能级结构、其简并度及其与玻尔氢原子模型的对比。

第五章量子力学的表述形式

第一节希尔伯特空间

第二节态矢和算符

第三节表象和表象变换

第四节几种常见的表象：坐标表象；动量表象；能量表象；角动量表象

第五节量子力学中的绘景：薛定谔绘景；海森堡绘景

（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；10学时

（二）内容及基本要求

主要内容：主要介绍量子力学的抽象表述：希尔伯特空间、态矢和算符；介绍量子力学的表象理论及其表象变换；介绍几类典型的表象。

【重点掌握】：

1.希尔伯特空间和态矢；

2.表象和表象变换、能量表象和角动量表象。

【掌握】：量子力学中的绘景及其物理等价性。

【了解】：坐标表象和动量表象及其联系。

【难点】：

1.表象的物理意义；表象变换的物理目的；不同表象所反映出来的同一态矢的物

理相关性。

2.利用能量表象和角动量表象对具体问题进行处理的方法。

第六章量子力学的近似方法

第一节定态微扰方法

第二节变分法

第三节 WKB方法

（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时

（二）内容及基本要求

主要内容：主要介绍定态微扰方法和变分法及其应用。

【重点掌握】：定态微扰方法对量子力学问题的求解。

【一般了解】：变分法和WKB方法对相关量子力学问题的求解。

【难点】：理解量子力学的不可解问题及其近似方法；理解微扰近似方法的基本原理和物理思想。

第七章自旋

第一节电子自旋

第二节电子的总角动量

第三节原子的精细结构：L-S耦合

第四节带电粒子在电磁场中的运动：正常塞曼效应；反常塞曼效应；朗

道能级和量子霍尔效应

（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；10学时

（二）内容及基本要求

主要内容：主要介绍电子自旋及其所导致的碱金属原子的精细结构；介绍带点粒子在电磁场中运动的哈密顿量以及磁场导致的原子能级劈裂（塞曼效应）。

【重点掌握】：掌握电子的自旋的发现实验和理论描述；掌握自旋轨道耦合导致的原子能级的精细结构；掌握磁场导致的原子能级劈裂的塞曼效应；掌握角动量耦合规则。

【一般了解】：了解量子霍尔效应及其最新进展。

【难点】：掌握微扰法对原子能级劈裂（精细结构和塞曼效应）的计算方法；掌握自旋轨道耦合导致的原子能级劈裂的物理机制；掌握正常塞曼效应和反常塞曼效应能级

分裂的特征。

第八章散射

第一节散射问题的一般描述

第二节分波法

第三节玻恩近似

（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；4学时

（二）内容及基本要求

主要内容：简要介绍散射问题的一般描述；介绍基于玻恩近似的分波法对散射问题的描述。

【掌握】：散射问题的微观描述。

【难点】：分波法对平面波的球面波展开。

第九章量子跃迁

第一节含时微扰方法

第二节周期性外场引起的量子跃迁

第三节光的辐射和吸收

第四节激光原理

（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时

（二）内容及基本要求

主要内容：主要介绍含时微扰方法及其对原子跃迁的处理；介绍原子跃迁选择定则的量子力学基础。

【重点掌握】：含时微扰方法和原子跃迁的选择定则。

【难点】：含时微扰方法对原子受激辐射的处理。

第十章多粒子体系的全同性原理

第一节量子力学的第五共设：全同性原理

第二节玻色子系统波函数的对称化

第三节费米子系统波函数的反对称化

（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；4学时

（二）内容及基本要求

主要内容：主要介绍量子力学的第五公设及其对全同微观粒子的分类；介绍全同性原理对两类微观粒子的波函数的限制：对称化和反对称化。

【重点掌握】：微观全同粒子的不可区分性；玻色子和费米子波函数的对称化与反对称化。

【一般了解】：氢分子的本征波函数中的全同性原理。

【难点】：理解微观全同粒子的不可区分性和宏观全同粒子的可区分性的物理根源；掌握波函数（反）对称化的基本过程。

制定人：安钧鸿

审定人：

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量子力学论文

量子理论及技术的发展【摘要】本文简述了在量子力学的发展过程中所带动的激光、半导体、扫描隧道显微镜、量子信息等技术的形成及影响，并借此强调了基础理论对于技术发明的重要性。【关键词】量子力学激光半导体扫描隧道显微镜量子信息回顾科技史，以量子论、相对论为代表的近代物理学掀起了以能源、材料、信息为代表的现代技术革命，其中量子理论在形成中便带动了相关技术群的出现并促进了自身研究的深入和拓展。一、从“光量子假说”到激光技术１９００年，德国物理学家普朗克为了解决有关热辐射现象的“黑体辐射”难题，提出了“普朗克假设”，其“能量子”概念的提出标志着量子力学的诞生。随后，爱因斯坦于１９０５年提出了“光量子假说”以解释“光电效应”，使人们对能量量子化的认识更深入了一步的认识。１９１６年，爱因斯坦指出辐射有两种形式：自发辐射和受激辐射，从而为激光器的发明奠定了理论基础。激光器在技术上的最终实现得益于二战后对与雷达相关的微波的深人研究。其中标志性的工作有：１９３３年拉登伯格观测到了负色散现象；１９３９年法布里坎特指出辐射放大的必要条件是实现粒子数反转；１９４６年布洛赫观察到了粒子数反转的信号；１９５１年珀塞尔第一次在实验中实现了粒子数反转并观察到了受激辐射；１９５１年汤斯首次提出实现微波放大的可能性；１９５４年汤斯等人成功地制成了世界上第一台“辐射的受激发射微波放大”的装置（简称脉塞Ｍａｓｅｒ）；１９５８年汤斯和肖洛论证了把微波激射技术扩展到论的又一重大课题。在量子力学建立前，特鲁特于１９００提出了经典的金属自由电子气体模型，定性的解释了金属的电导和热导行为，但得到的定量比热关系在低温时与实验偏离较大。１９０７年爱因斯坦应用了量子假说，所得结果得到了能斯特的实验验证和大力宣传，使量子论开始被人们认识，从而打开了迅速发展的局面。从１９１３年玻尔提出半经典的量子论原子模型到１９２８年狄拉克发表电子的相对红外区和可见光区的可能性。最终，美国休斯研究所的梅曼于１９６０年成功制造并运转了第一台激光器——红宝石脉冲激光器，同年１２月贾万研制出第一台气体激光器——氦氖激光器。这两种激光器的相继问世引起了全世界科技界研究激光的热潮，各种激光器陆续出现。其中有可获得大功率脉冲的钕激光器，连续输出大功率的二氧化碳激光器，可在室温下工作的小型半导体激光器，从化学反应获得能量的化学激光器，光谱线很宽的可以连续改变激光输出波长的染料激光器。后来，还出现了自由电子激光器、准分子激光器、离子激光器等等。激光的波长范围已扩展到从红外到紫外以至ｘ射线的所有波段，激光的应用更涉及到从日常生活到高新科技各个领域．如工业上的激光切割、焊接、打孔、表面改性、测距、大气污染分析；生物上的激光育种、水产养殖、品种改良、生命活细胞的全息照相；医疗上的激光外科手术、诊断；军事上的激光制导炸弹、强激光武器；此外，激光还应用于通信、光盘、分离同位素、激光核聚变等许多方面。

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答第一章量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ，（1）以及 c v =λ，（2） λρρd dv v v -=，（3）有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学考试大纲

876 量子力学考试大纲一、考试性质与范围本《量子力学》考试大纲用于北京科技大学物理学相关各专业硕士研究生的入学考试。本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定性关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利不相容原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。二、考试基本要求（一）波函数和薛定谔方程 1．了解波粒二象性的物理意义及其主要实验事实。 2．熟练掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性和单值性。深入理解波函数的概率解释。 3．理解态叠加原理及其物理意义。 4．熟练掌握薛定谔方程的建立过程。深入了解定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相互关系。了解连续性方程的推导及其物理意义。（二）一维势场中的粒子 1．熟练掌握一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论，掌握一维有限深方势阱束缚态问题的求解方法。 2．熟练掌握势垒贯穿的求解方法及隧道效应的解释。掌握一维有限深方势阱的反射、透射的处理方法。 3．熟练掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点及其应用。 4．了解 --函数势的处理方法。（三）力学量的算符表示 1. 掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。 2．熟练掌握厄米算符的基本性质及相关的定理。 3．熟练掌握坐标算符、动量算符以及角动量算符，包括定义式、相关的对易关系及本征值和本征函数。 4．熟练掌握力学量取值的概率及平均值的计算方法，理解两个力学量同时具有确定值的条件和共同本征函数。 5．熟练掌握不确定性关系的形式、物理意义及其一些简单的应用。 6．理解力学量平均值随时间变化的规律。掌握如何根据哈密顿算符来判断该体系的守

量子力学论文

从波函数到薛定谔方程摘要：本文从波函数出发，阐述薛定谔的推导过程，并且根据哈特里福克方程，克莱因戈尔登方程完善薛定谔方程的泡利不相容原理，洛伦兹不变性。关键词：波函数薛定谔方程哈特里福克方程克莱因戈尔登方程一．波函数：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）并且，玻恩指出：德布罗意波或波函数不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。（1）推导过程：在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程，即：应用欧拉公式，可以推广到复数域：再通过德布罗意公式，可以得到自由粒子的波函数：（2）波函数性质 1.自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。 2.对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 3.外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。（3）波函数的统计假设设描述粒子运动状态的波函数为，则 1.空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比； 2.在该处单位体积内发现粒子的概率（概率密度）与的模的平方成正比。（4）波函数统计意义的具备条件 1.连续- 因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续； 2.单值- 因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的； 3.有限- 因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；

二．薛定谔方程： 1.1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程,质量为m的粒子，在势能函数为的势场中运动，当其运动速度远小于光速时，它的波函数所满足的方程为：这就是薛定谔方程，它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律，又称含时薛定谔方程。其中，为哈密顿算符。 2.若粒子所在的势场只是空间函数，那么对应于一个可能态有一个能量值E，即可得到定态薛定谔方程： 3.定态是指波函数具有的形式。它的特点是其概率密度与时间无关。 4.定态波函数中振幅函数满足统计的条件： (1)连续，单值，有限的标准条件 (2)归一化条件 (3)对坐标的一阶导数存在并且连续 5.可以看出定态波函数和定态薛定谔方程可以通过势能函数互相导出。三．哈特里-福克方程： 1.为了解决多电子体系薛定谔方程近似求解的问题量子化学家道格拉斯·哈特里在1928年提出了哈特里假设，他将每个电子看做是在其他所有电子构成的平均势场中运动的粒子，并且首先提出了迭代法的思路。哈特里根据他的假设，将体系电子哈密顿算子分解为若干个单电子哈密顿算子的简单代数和，每个单电子哈密顿算子中只包含一个电子的坐标，因而体系多电子波函数可以表示为单电子波函数的简单乘积，这就是哈特里方程。 2.由于哈特里没有考虑电子波函数的反对称要求，事实上他的方程还是有问题的。1930年，哈特里的学生弗拉基米尔·福克，提出了考虑泡利原理的自洽场迭代方程和单行列式型多电子体系波函数，这就是今天的哈特里—福克方程。 3.所以，在薛定谔没有解决的情况下，哈特里福克方程使得量子力学是满足泡利原理的。

高等量子力学复习题

上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6）阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称偶宇称（7）阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ，将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9）即2 22202π n a mV = （10）这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12）也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。

量子物理课程教学大纲

量子物理课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；课程名称：量子物理所属专业：材料物理课程性质：专业基础课学分：4 （二）课程简介、目标与任务；课程简介：量子理论和相对论是20世纪物理学取得的两个最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。本课程着重介绍非相对论量子力学的基本概念、基本原理和基本方法。首先从量子力学发展简史、黑体辐射实验等出发，讲述量子力学Schrodinger 方程和一维定态问题，着重讲述周期场和Bloch定理、能带结构。在此基础上讲述量子力学的基本原理，包括波函数统计解释、线性厄米算符、本征值问题、测不准关系、力学量完全集、Heisenberg方程等。中心力场部分主要讲电磁场相互作用下氢原子的能级结构。矩阵力学主要讲力学量算符的矩阵表示和本征值问题。定态微扰论和量子跃迁主要讲原子的几个效应和量子系统在外场微扰情况下的光的吸收和辐射。最后讲多粒子全同性问题。课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．掌握电子在周期势场情况下的运动规律，为学习固体物理打好基础。

（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。（四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 曾谨言,《量子力学》I,第四版,科学出版社, 2006年 [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排第一章绪论第一节量子论发展简史第二节黑体辐射实验与Plank常数的量纲分析，原子物理中的量纲结构（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；4学时（二）内容及基本要求主要内容：主要介绍量子力学的发展简史、研究对象和微观粒子的基本特性及其量纲分析。【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射实验;

量子力学论文

量子力学论文集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)

2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。答：QM 原理一描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而物理量 A 在中出现的几率与 C i 成正比。原理三一个微观粒子在直角坐标下的位置算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证： 2 2

量子力学的数学准备

量子力学的数学准备(暑期读物) 写在前面的话 06光信、电科的同学们：暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时，加之学期缩短(由18-19周缩短为16-17周)，实际教学时间缩减近三分之一。无论是从学校的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看，都不允许减少教学内容。为此我编写了一个暑期读物，以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习和预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。我知道大家暑假都很忙，要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬父母帮着做一些事情，要游览大好河山感受大自然的美，要准备考托考吉考这考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物，此处所说的看决不是指“Look ”，而是指“Read, Deduce and Consider ”，即阅读、推导、思考。为此，带上数学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。有人说19世纪是机器的世纪，20世纪是信息的世纪，而21世纪将是量子的世纪。让我们为迎接量子世纪的到来做好准备吧！刘骥谨此 I. 一个积分的计算计算积分?+∞ ∞ --≡ dx e I x 2 ??+-+∞ ∞ --+∞ ∞--=≡ e dy e dx e I x y x (2 22 2 θπ = +∞-? ? 020 2 r dr rd e π=∴I 由此我们可以得到积分公式： πn x n n dx e x 2 ! )!12(2 2-=?+∞ ∞ -- 02 21221222! )!12(2)32)(12(212212212 22 I n I n n I n dx e x n de x dx e x I n n n x n x n x n n -==--=-= -=-=≡ --∞ ∞ ---∞ ∞---+∞ ∞ --???Λ 问题：对于积分?--≡1 1 2 dx e J x 可以仿照上述方法计算吗？为什么？如果不能，该如何计算其近似值？

《量子力学》课程教学大纲

《量子力学》课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；课程名称：量子力学所属专业：物理学专业课程性质：专业基础课学分：4 （二）课程简介、目标与任务；课程简介：量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构，如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。

（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19 世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。（四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社; [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排第一章微观粒子状态的描述第一节光的波粒二象性第二节原子结构的玻尔理论第三节微观粒子的波粒二象性第四节量子力学的第一公设：波函数（一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时（二）内容及基本要求主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射

量子力学课程论文由薛定谔方程引发的深思

量子力学课程论文题目：《由薛定谔方程引发的深思》学院：数理信息工程学院专业：物理112班学生姓名：徐盈盈王黎明学号：11260124 11180216 完成时间： 2013年12月20日

由薛定谔方程引发的深思【摘要】薛定谔方程的提出揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具[1]。作为量子力学之魂，薛定谔方程完整的向我们诠释了微观世界的魅力。为更加深入地学习薛定谔方程和量子力学，我们将分析薛定谔方程的推导过程、介绍其在求解粒子问题中的应用以及其在原子物理、核物理、固体物理等学科的应用，最后谈谈自己的想法。【引言】随着“任何粒子都具有波粒二象性”的德布罗意假说成功被戴维森-革末实验所证实，薛定谔思考着会有一个波动方程可以反应粒子的这种量子行为。于是，基于众多前人研究成果，薛定谔于1926年提出薛定谔方程，完美的解释了波函数的行为。正是因为薛定谔方程在量子力学进程中起着举足轻重的作用，所以我们必须深入学习其推导过程和应用。并且由薛定谔方程出发，深刻思考我们在物理学习过程中所必须具备的思维方式和学习态度。【关键词】薛定谔方程玻尔理论波函数深思【正文】一、薛定谔方程的提出与推导 1、薛定谔方程的历史背景爱因斯坦认为普朗克的量子为光子，并且提出了奇妙的“波粒二象性”。1924年，路易·德布罗意提出“物质波”的概念，认为任何粒子都具有波粒二象性，并且这个假说于1927年成功被戴维森-革末实验所证实。薛定谔由此认为一定会有一个波动方程能够恰当的描述粒子的这种性质。最后他借助于经典力学的哈密顿原理以及光学的费马原理，将牛顿力学与光学类比，并且以哈密顿-雅克比方程为工具，成功建立了薛定谔方程，并且准确的计算了氢原子的谱线。 2、薛定谔方程的推导思路 ①首先自由粒子可用平面波来表示，可当粒子收到随时间或位置变化的力场的作用时，应该用波函数来表示。波函数描写体系的量子状态。波函数是指在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的概率成比例[2]。 ②当讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律时，必须建立波函数随时间变化的方程。 ③用平面波描写自由粒子的波函数ψ(r,t)=Ae i(p.r-Et)/h,并且对时间求偏微商，对位置求二次偏微商，再利用能量和动量的关系式E=p2/2m+V(r),最终可得到薛定谔方程： ④从一维薛定谔方程出发，可以得出三维薛定谔方程和定态薛定谔方程：

北京大学物理学院量子力学系列教学大纲

北京大学物理学院量子力学系列教学大纲课程号： 00432214 新课号： PHY-1-044 课程名称：量子力学开课学期：春、秋季学分： 3 先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、理论力学（PHY-1-051）、电动力学（PHY-1-043）基本目的：使得同学掌握量子力学的基本原理和初步的计算方法，适合于非物理类专业的同学选修。内容提要： 1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律 2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、三维方势阱、三维谐振子、氢原子 4. 量子力学中的近似方法：定态微扰论、跃迁、散射。 5．全同粒子与自旋：全同性原理、自旋的表述、自旋与统计的关系、两个自旋的耦合、磁场与自旋的相互作用教学方式：课堂讲授教材与参考书：曾谨言，《量子力学教程》，北京大学出版社, 1999. 学生成绩评定方法：作业10％、笔试90％课程号： 00432214 新课号： PHY-1-054 课程名称：量子力学I 开课学期：春、秋季学分： 4 先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、高等数学、数学物理方法（PHY-1-011或以上）基本目的：使得同学掌握量子力学的基本理论框架和计算方法。适合物理学院各类型同学以及非物理类的相关专业同学选修。内容提要： 1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律 2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、

量子力学复习提纲

1. 粒子的双缝实验的结论是什么？答：粒子具有波动性 2. 在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？答：量子力学中波函数的波动方程是),()](2[),(2 2t r r V m t r t i →→→+?- =??ψψ ，它不是定态薛定谔方程，定态薛定谔方程是假设势能V 不显含时间t ，其形式是： )()](2[)(2 2→→→ +?-=r r V m r E ψψ 3. 波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？答：单值、连续、有限。 4. 写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。答： 5. 写出一维线性谐振子的能量本征函数及能量本征值。答： 6. 什么叫做粒子的共振穿透？请举例说明。答：当粒子射入势阱时，将发生反射和折射，当粒子的能量满足一定的条件时会使透 2 ,1n n a μ={} 2 2 22222 21 ()2?,()()()(),0,1,2, ?11 (),0,1,2,2 ?22 n n n x n n n n x U x x H x E x x P H x N H x e n E n n α μωψμωψψ ωμα-= ====+ ==+

射系数T=1，这种现象就叫做共振穿透。如上图所示，粒子在有限深势阱中，我们设 22222 1 ) (2,2 o V E k E k -==μμ则透射系数l k k k k k k k T 22 2222122212 221sin )(44-+= 当πn L k =2即02 2)(2V L n E n += πμ 时，1=T ，产生共振穿透。 7. 什么叫做粒子的遂穿效应？请举例说明。答：粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。金属电子冷发射和ɑ衰变等现象等都是隧道效应产生的，还有基于两字隧道效应的扫描隧道显微镜。 8. 粒子的共振穿透与粒子的遂穿效应有何区别？答：共振穿透的物理意义是，入射粒子进入势阱后，碰到两侧阱壁时将发生反射和透射，如粒子能量合适，使它在阱内波长'λ满足a n 2' =λ（a 为阱的宽度），则经过各次反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干叠加，使透射波波幅大增，从而出现共振透射。而遂穿效应其实是粒子具有波动性的表现。 9. 什么叫做厄米算符？它有什么性质？答：如果算符∧F 满足??()F dv F dv ψ?ψ?* *=??，则称算符∧ F 为厄米算符。厄米算符有三点性质，一是体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数；二是厄米算符的本征值必为实数；三是厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。 10. 量子力学中两个基本力学量是什么？在坐标表象中，用什么算符表示？答：量子力学中两个基本力学量是坐标→r 和动量→p ，在坐标表象中，坐标→r 用坐标算符∧ r 表示，动量用动量算符?-=∧ 2 p 表示。 11. 动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？答：动量算符的本征函数是：)ex p( ) 2(1)(2 3r p i r p ?= πψ ，其本征值为p 。其只能归以为函数δ函数，即 )()()('*' p p d r r p p -=?∞ δτ??。 12. 在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和本征值是什么？答：???????????????x z y y x z z y x L yp zp i y z z y L zp xp i z x x z L xp yp i x y y x ????=-=-- ? ????????=-=-- ?????????=-=-- ? ???? h h h

计算物理课程论文

微分方程的数值模拟及应用本文介绍了matlab、Mathematica等软件在微分方程数值模拟上的应用。作为基础论文首先介绍了用库塔-龙格方法和有限元差分方法求解一阶微分方程组及高阶微分方程的方法并给出了实现的matlab代码，在了解解微分方程的基本原理之后，本文用Mathematica 软件研究了一维深势阱、谐振子的波函数以及有心力场下的量子力学现像，如原子轨道、分子轨道。接着介绍了一类特殊的微分方程—非线性薛定谔方程NLSE，这类方程不同与其他微分方程之处在于它存在孤子解，比较复杂。本文介绍了求这类方程数值解得有限元差分方法及分步傅里叶方法，并给出了一个后者的matlab实例代码。最后用mathematica对其进行了数值模拟，研究了其在光波导和光孤子中的应用。 1.求解一阶微分方程组及高阶微分方程的方法。（1）亚当斯预测-校正法求一阶常微分方程。 function [k,X,Y,wucha,P]=dAdamsyx(funfcn,x0,b,y0,h) x=x0;y=y0;p=128; n=fix((b-x0)/h); if n<5, return, end; X=zeros(p,1); Y=zeros(p,length(y)); f=zeros(p,1);k=1; X(k)=x; Y(k,:)=y'; for k=2:4 c1=1/6;c2=2/6;c3=2/6; c4=1/6;a2=1/2; a3=1/2; a4=1;b21=1/2;b31=0;b32=1/2; b41=0;b42=0;b43=1; x1=x+a2*h; x2=x+a3*h; x3=x+a4*h; k1=feval(funfcn,x,y); y1=y+b21*h*k1; x=x+h; k2=feval(funfcn,x1,y1); y2=y+b31*h*k1+b32*h*k2; k3=feval(funfcn,x2,y2); y3=y+b41*h*k1+b42*h*k2+b43*h*k3; k4=feval(funfcn,x3,y3);

《量子力学》课程研究生入学考试大纲

《量子力学》课程研究生入学考试大纲一、考试性质量子力学考试是长春理工大学物理学科为招收全国统一入学考试硕士研究生而设置的具有选拔性质的专业课考试科目，其目的是科学、公平、有效地测试考生掌握量子力学课程大学本科阶段专业基础知识、基本理论、基本方法的水平和分析问题、解决问题的能力，评价的标准是高等学校本科物理相关学科优秀毕业生所能达到的及格或及格以上水平，以利于所在专业择优选拔，保证招生质量。二、考查目标量子力学是物理类和信息类的一门基础理论课，是学习相关专业课程的专业基础课。要求考生系统掌握量子力学的基本理论、基本知识和基本方法，能够运用所学的基本理论、基本知识和基本方法分析和解决有关理论问题和实际问题。三、考试内容 1. 波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实，波函数及其统计解释，薛定谔方程，态叠加原理。 2.一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，δ--函数和δ-势阱中的束缚态，一维简谐振子。 3.力学量用算符表示坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定关系，角动量算符，力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。 4.中心力场两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。 5.量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，狄拉克符号，表象变换。 6.自旋电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。 7.定态问题的近似方法定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。 8.多体问题全同粒子系统

量子力学论文(1)

量子力学和物质波量子力学是20世纪最成功的理论之一，物质波是量子力学从建立到完成过程中起决定性作用的概念之一。本文从量子力学的建立和发展过程出发，对量子力学与物质波的关系给出了论证：量子力学的建立过程就是对物质波的认识过程；量子力学的框架就是围绕粒子的波动性（波函数）来完成的；量子力学的含义就是给物质波一个物理解释。文章最后作者根据自己的观点给出了解决“量子物理论战”的一条可能途径。量子力学是关于微观粒子运动的一门科学，其核心内容是描述微观粒子的波粒二象性——微观粒子的运动规律类似于波的运动；而微观粒子在被一些实验手段测量时又体现经典粒子的性质，如，具有动量、质量、电荷——这看似矛盾的性质被统一于物质波的概念中。虽然我们对量子力学仍有疑问，但是它的成功已经被无数实验确认，而且数学证明它也是自洽的，它自身的内部体系已经变得几乎无懈可击；所以我们要有所突破只能从外部，从它的假设入手。我想，最有可能突破的就是它的统计解释，也就是量子力学的主要任务——描述物质波。当然这一切需要实验的支持。由此可见物质波对于量子力学的意义。。量子力学是20世纪最成功的物理理论之一，熟悉它的建立过程对我们更好的理解量子力学会有很大的帮助。我们将会看到，量子力学的建立过程就是对物质波的认识过程。 1914年，密立根用实验完全确认了爱因斯坦的光量子理论。1923年，康普顿的X射线散射实验证实了辐射的粒子性；在康普顿的“X射线在轻元素上的散射的量子理论”中写道：“这个实验非常令人信服的指出，辐射量子确实既带有能量，也带有定向的动量。” 至此能量的量子化观念就完全建立起来了。需要说明的是，普朗克、爱因斯坦等人的关于能量量子化的工作虽然与物质波没有直接联系，但是确实为物质波的提出提供了很好的启示。能量量子化观念建立以后，考虑到光子和实物粒子的类比，1923年9月到10月间，德布罗意在《法国科学院通报》上先后发表了分别题为《辐射——波与量子》、《光学——光量子、衍射和干涉》、《量子、气体分子运动论和费马原理》的论文，逐步阐述了他关于物质波的思想，随后在1924年向巴黎大学科学院提交的博士论文《量子理论研究》中完善了物质波的理论：能量子(光子)的波粒二象性同样也适应于物质，写出了有关物质波的关系式物质波的概念在量子物理学发展过程中起了纽带的作用，它既深化了量子化的观念，把量子化推广到所有物质，使我们对世界物质有了新的认识；又是波动力学的出发点，正是对于物质波的追问，才导致了量子力学的诞生。物质波的概念提出后，接下来的任务就是找到一个描述它的数学理论，这就导致了量子力学的建立。我们将看到量子力学的体系是怎样围绕物质波的概念建立的。波函数，确定力学量的取值情况

量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。四、计算题。 1、

第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε