新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十八平面向量的概念及线性运算含解析
2020年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：4-1平面向量的概念及其线性运算 Word版含解析
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．在△ABC 中，AD →＝2DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是( )A ．c ＝2b －aB ．c ＝2a －bC ．c ＝32a －12bD ．c ＝32b －12a解析：依题意得BD →－BA →＝2(BC →－BD →)，即BC→＝32BD →－12BA →＝32b －12a . 答案：D2．下列四个结论：①AB→＋BC →＋CA →＝0；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝0；③AB →－AC →＋BD →－CD →＝0；④NQ→＋QP →＋MN →－MP →＝0，其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①AB →＋BC →＋CA →＝A C →＋CA →＝0，①正确；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋MO→＋OM →＝AB →，②错；③AB →－AC →＋BD →－CD →＝CB →＋BD →＋DC →＝CB →＋BC →＝0，③正确；④NQ→＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0，④正确．故①③④正确．答案：C3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE→等于( )A.12b －a B ．12a －b C ．－12a ＋bD ．12b ＋a解析：BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C. 答案：C4．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12. 答案：B5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：∵D 为AB 的中点， 则OD →＝12(OA →＋OB →)， 又OA→＋OB →＋2OC →＝0， ∴OD→＝－OC →，∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.答案：B6．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，则p ⇒q ， 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故qp .所以p 是q 的充分不必要条件，故选A. 答案：A7．(2017届石家庄市第一次模考)已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ>0，μ>0)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(0，2)解析：由题意可得OD→＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k >1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．答案：B8．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD→＝( )A.13a ＋23bB ．23a ＋13bC.35a ＋45b D ．45a ＋35b解析：因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理得AD DB ＝CACB ＝2，即D 为AB 靠近B 的三等分点．∴AD→＝23AB →＝23(CB →－CA →)． ∴CD→＝CA →＋AD →＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b ，故选B.答案：B9．如图，正六边形ABCDEF 中，B A →＋CD →＋E F →等于( )A ．0B ．BE → C.AD→D ．CF→ 解析：∵DE →＝BA →.∴原式＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.故选D.答案：D10．已知P 为△ABC 所在平面内一点，当P A →＋PB →＝PC →时，点P 位于△ABC的( )A ．AB 边上 B ．BC 边上 C ．内部D ．外部解析：由题知P A →＝PC→－PB →＝BC →，如图所示，P 在△ABC 外部．答案：D11．若|AB→|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________． 解析：BC→＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC→|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上可知，3≤|BC →|≤13. 答案：[3,13]12．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE→＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________． 解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， 所以AB→＝2DC →. 因为点E 在线段CD 上， 所以DE→＝λDC →(0≤λ≤1)． 因为AE→＝AD →＋DE →， 又AE→＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →， 所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1213．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值． 解：(1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2， ∴AB→＝2BD →. 又∵AB→与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可得BD →＝e 1－4e 2，∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， 得⎩⎨⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12. [能 力 提 升]1. (2017届河南中原名校3月联考)已知a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)D ．[－3,3)解析：根据平面向量基本定理，得向量a ，b 不共线，∵a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，∴2m －3－3m ≠0，∴m ≠－3.故选C.答案：C2．(2018届湖北黄石质检)已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM→＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为( ) A.12 B ．13 C ．2D ．3解析：解法一：由已知得M ，G ，N 三点共线， ∴AG→＝λAM →＋(1－λ)AN →＝λx AB →＋(1－λ)yAC →. ∵点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13·(AB→＋AC →)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13x ，1－λ＝13y ，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13. 解法二(特例法)：利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ＝23，y ＝23，∴xy x ＋y＝13.3．(2017届湖南邵阳一模)如图，在△ABC 中，设AB→＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →＝m a ＋n b ，则m ，n 对应的值为( )A.27，47 B ．12，14C.16，27D ．16，37解析：根据已知条件得，BQ→＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(m a ＋n b )－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1b ，∴QP →＝m 2a ＋n2b ， RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ， RP→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b . ∵RQ→＋QP →＝RP →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝27，n ＝47，故选A.4．(2017届河南豫北重点中学第二次联考)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |＝|a ＋b －c |＝1，则|c |的最大值M ＝________.解析：由于|a |＝|b |＝|a －b |＝1，根据向量运算的几何意义，知|a |，|b |，|a －b |组成一个边长为1的等边三角形，如图所示．由|a ＋b －c |＝1可知，c 的终点位于以D 为圆心，半径为1的圆上，|c |＝|AE →，故其最大值M ＝|AD→|＋1＝3＋1. 答案：3＋1。
2020版高考数学(文)新设计一轮复习 第四章 课时跟踪检测(三十二) 平面向量的概念及线性运算
课时跟踪检测（三十二） 平面向量的概念及线性运算1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( ) A ．AD ―→B.12AD ―→C.12BC ―→ D ．BC ―→解析：选A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.4．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝－4CD ―→，则AD ―→＝( ) A.14AB ―→－34AC ―→ B.14AB ―→＋34AC ―→C.34AB ―→－14AC ―→ D.34AB ―→＋14AC ―→解析：选B 法一：设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，由BC ―→＝－4CD ―→可得，BA ―→＋AC ―→＝－4CA―→－4AD ―→，即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝34，即AD ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.法二：在△ABC 中，BC ―→＝－4CD ―→，即－14BC ―→＝CD ―→，则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，则|BC ―→||AC ―→|等于( )A ．1B ．2C ．3D.32解析：选C 因为BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OB ―→＝34BA ―→，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OA ―→＝14AB ―→，所以|BC ―→||AC ―→|＝3.故选C.6．已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点G 满足GA ―→＋BG ―→＋CG ―→＝0，且AG ―→＝λGD ―→，则λ的值是( )A.12 B ．2 C ．－2D ．－12解析：选C 由GA ―→＋BG ―→＋CG ―→＝0，得G 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AG ―→＝－2GD ―→，则λ＝－2.故选C.7．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错误；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CD ―→＋DC ―→＝0，③正确；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．8.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM ―→＝34AB ―→，AN ―→＝23AD ―→，AC ，MN 交于点P .若AP ―→＝λAC ―→，则λ的值为( )A.35B.37C.316D.617解析：选D ∵AM ―→＝34AB ―→，AN ―→＝23AD ―→，∴AP ―→＝λAC ―→＝λ(AB ―→＋AD ―→)＝λ⎝⎛⎭⎫43AM ―→＋32AN ―→＝43λAM ―→＋32λAN ―→.∵点M ，N ，P 三点共线，∴43λ＋32λ＝1，则λ＝617. 故选D.9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以可设λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.答案：1210．若AP ―→＝12PB ―→，AB ―→＝(λ＋1)BP ―→，则λ＝________.解析：如图，由AP ―→＝12PB ―→，可知点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB ―→＝－32BP ―→，结合题意可得λ＋1＝－32，所以λ＝－52.答案：－5211．已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b .答案：b －a －a －b12．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λ－μ＝________.解析：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，所以AB ―→＝AM ―→＋MB ―→＝AM ―→＋12CB ―→＝AM ―→＋12(DB ―→－DC ―→)＝AM ―→＋12(DB ―→－AB ―→)＝AM ―→＋12DB ―→－12AB ―→，所以32AB ―→＝AM ―→＋12DB ―→，所以AB ―→＝23AM ―→＋13DB ―→，所以λ＝23，μ＝13，所以λ－μ＝13.答案：1313．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴存在实数λ，使BF ―→＝λBD ―→， 即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.。
一轮复习课时训练§4.1：平面向量的概念及其线性运算
第四章§1：平面向量的概念及其线性运算(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图e 1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－2e 2D ．3e 1－e 22．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|等于A ．8B ．4C ．2D ．13．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若P A →＋P B →＋P C →＝A B →，则A ．点P 在△ABC 外部B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上4．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b(k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足O P →＝O A →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C.若O A →－3OB →＋2OC →＝0，则|A B →||B C →|等于________．7．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．8．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若A B →＝mAM →，A C →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）如图，已知在▱ABCD 中，AH ＝HD ，BF ＝MC ＝14BC ，设AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b分别表示AM →，MH →，AF →.10．（本小题满分18分）设i 、j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA →＝－2i ＋mj ， OB →＝ni ＋j ，OC →＝5i －j ，若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m 、n 的值．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：a －b ＝A B →＝e 1－2e 2.答案：C2．解析：∵|BC →|2＝16，∴|BC →|＝4，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|＝|BC →|＝4，而|AB →＋AC →|＝2|AM →|，∴|AM →|＝2. 答案：C3．解析：∵P A →＋P B →＋P C →＝A B →，∴P A →＋P B →＋P C →－A B →＝0，∴P A →＋(PB →＋BA →)＋P C →＝0∴P A →＋P A →＋P C →＝0，∴2PA →＝C P →， ∴点P 在线段AC 上． 答案：D4．解析：由已知得ka ＋b ＝m(a －b)，由a ，b 不共线可得，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝mm ＝－1⇒k ＝－1.而当k ＝－1时，c ＝－a ＋b ＝－(a －b)＝－d ，c 与d 反向． 答案：D5．解析：∵O P →＝O A →＋λ(AB →＋AC →)∴O P →－O A →＝λ(AB →＋A C →)，λ∈[0，＋∞) ∴A P →＝λ(AB →＋A C →)．以AB ，AC 为斜边作平行四边形ABDC(如图)则A P →＝λAD →，又λ≥0所以P 的轨迹是射线AD ，又AD 平分BC ，所以AD 过△ABC 的重心． 答案：D二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由已知得O A →－O B →＝2(OB →－O C →)，∴B A →＝2CB →，∴|AB →||BC →|＝2. 答案：27．解析：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →.OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，由已知|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴以AB 、AC 为邻边的平行四边形的对角线相等，∴此平行四边形为矩形. ∴△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形8．解析：方法一：如图，过点O ，作OE ∥AM 且交AC 于点E ，则|EO →||AM →|＝|EN →||AN →|，又因为点O 是BC 的中点， 所以EO →＝12AB →＝12mAM →，EN →＝AN →－AE →＝AN →－12AC →＝2－n 2AN →，故有12m ＝2－n 2，所以m ＋n ＝2.方法二：(特殊值法)：当点M 、N 分别与点B 、C 重合时，易知m ＋n ＝2. 答案：2三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：∵在▱ABCD 中，BF ＝MC ＝14BC ，∴FM ＝12BC ＝12AD ＝AH ，∴FM 与AH 平行且相等， ∴四边形AHMF 也是平行四边形， ∴AF ＝HM ，又∵BM →＝34BC →＝34AD →＝34b ，而FB →＝－14BC →＝－14b ，∴AM →＝AB →＋BM →＝a ＋34b ，MH →＝FA →＝FB →＋BA →＝－14b －a ，AF →＝－FA →＝－(－14b －a)＝14b ＋a.10.（本小题满分18分）解：AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2)i ＋(1－m)j ， BC →＝OC →－OB →＝(5－n)i －2j. ∵点A 、B 、C 在同一条直线上， ∴AB →∥BC →，即AB →＝λBC →，∴(n ＋2)i ＋(1－m)j ＝λ[(5－n)i －2j]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2＝λ(5－n )1－m ＝－2λm ＝2n，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝32.。
2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试：平面向量的概念及其线性运算
课时跟踪检测（二十八）平面向量的概念及其线性运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.已知O , A , B 是同一平面内的三个点，直线 AB 上有一点C 满足2 AC + CB = 0, 则6=（） A . 2~O A - 0E3C .2OA -3OlB ------- B -------------- B ----------- B ------------ B --------------- B ------------ B ----- B ------------- B ------- B解析：选 A 依题意，得 OC = 0B + BC = OB + 2 AC = OB + 2(0C — OA),所以 OC 2-O A -"O B .2. (2019石家庄质检)在厶ABC 中，点D 在边AB 上，且 晶=舟-恳，设"盲=a , "C A =b ，贝V CD =() 1 2時+3b ^3,4.C. a + b 5 5 解析：选 B •/"B D = 2"X ,.・.——B =3"B A ,二-= _C B + "BD ="? +B A = "C B + 23 3 ——B 2——B 1——B 2 1C B )=2 CB + 3 CA = 2a +3b . 3.在四边形 ABCD 中，AB = a + 2b , BC = — 4a — b , CD = — 5a — 3b ,则四边形 ABCD 的形状是() A •矩形B .平行四边形C .梯形D .以上都不对—B B B B-- B B 解析：选 C 由已知，得 AD = AB + BC + CD =- 8a - 2b = 2( — 4a — b )= 2 BC ,故 AD // "B —.又因为AB 与C D 不平行，所以四边形 ABCD 是梯形.-- — 1 -- B4. （2018扬州模拟）在厶ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN =" NC , P 是BN 上一点, 若A — = mAB + 2A —，则实数m 的值是 ________________ .9解析：如图，因为A — = 2 "N C C , P 是"BN 上一点.所以AN = 1 AC ,.-vtiB .- 6)A + 2—O B D . - 3"O A + 315B2 1 B.2a + 1b D .43+ 3 b 1 —B 1(CA ――A P = m A!B + 2—AC = m瓦B + £——N，因为B, P, N 三点共线，所以m +£= 1,贝U m=£9 3 3 31答案：1---- B 1 ---- >5.在△ ABC中，/ A= 60° / A的平分线交BC于点D，若AB = 4，且AD =- AC +4-- C入AB （入€ R），则AD的长为____1 3解析：因为B, D, C三点共线，所以寸+入=1,解得匸3如图，4 4过点D分别作AC, AB的平行线交AB, AC于点M , N,则4-- C 3 ---- CAM= 3AB,因为在△ ABC中, / A = 60° / A的平分线交BC于点D,所以四边形ANDM为菱形，因为AB= 4，所以AN = AM = 3, AD = 3 3.答案：3 3二保咼考，全练题型做到咼考达标1.已知向量a, b，且AB = a+ 2b, BC =- 5a+ 6b, CD = 7a—2b，则一定共线的三点是（）A. A, B, DB. A, B, CC. B, C, DD. A, C, D--- C ----- C --- C ---- C --- C --- C ---- C解析：选A AD = AB + BC + CD = 3a + 6b = 3 AB .因为AB与AD有公共点A,所以A, B, D 三点共线.2.已知向量a, b不共线，且c= ?a+ b, d= a + (2 :—1)b，若c与d共线反向，则实数入的值为()A. 1B.—11 1C. 1或—2 D . —1或—2解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c = k d(k v 0)，于是七+ b =k [a+ 2 Z—1 b].整理得扫+ b= k a+ (2入k k)b.X= k,由于a, b不共线，所以有/|2 入k k = 1,整理得2 Z2—入一1= 0，解得 =1或Z= —2.又因为k v 0，所以入V 0,故Z=—:…S A PAB =------ D ------------ D ------------ D ------------ D -------------- D6.已知 O ABC 内一点，且 2 AO = OB + OC , AD = tAC ，若 B , O , D 三点共 线，贝U t 的值为 ___________________ .-- > --- > ---- >解析：设线段BC 的中点为M ，则OB + OC = 2OM.因为 2—OO = _OB + CJC ，所以；A O = OM , 3. （2019浙江六校联考）在平行四边形 ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交 点为F , 设-AB = a ,瓦D = b ，则向量-?=( )B . - 1 a -3b 3 3D . £a — 3b 3 3解析：选C 如图，因为点E 为CD 的中点，CD // AB ，所以BFAB = 2,所以"B ? = 3"BE ? = 3(I B C +_C B) = 3 b -2a =-3a +3b . 4. （2018遂昌期初）已知a , b 是两个不共线的非零向量， 且起点在同一点上， 若a , t b , 1亍（a + b ）三向量的终点在同一直线上，则t 的值为（解析：选D 由题可设 1+ b ）=扫+ 讪，因为a , t b , -（a + b ）三向量的终点在同一直线上，所以有卅尸1•所以3=入尸2，所以1=ft ,解得t =2.---- T -------- T -------- T5. （2019丹东五校协作体联考）P 是厶ABC 所在平面上的一点， 满足PA + PB + PC = 2 -AB ，若 S A ABC = 6，则△ PAB 的面积为（B . 3解析：选 - > ---- > --- > ---- > ----- > --- > --------> ---- > --- > --- > A •/ PA + PB + PC = 2 AB = 2( PB - PA ),• 3 PA = PB - PC = CB ,-- > --- > ••• PA // CB , 且方向相同，••• ABC BC | ~CE B| C S APAB AP D ' s PAB | PA |11 1由B , O , D 三点共线，得-+ -- = 1,解得t =-. 4 4t 31答案：1- 》2 ----------- 》 - 》 ---- 》 -- 》7. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 夕卜，BC 2= 16 , | AB + AC|=|AB — AC ------- >|,则 |AM |= _________ .------- > -------------- > --------------- > ----------- > ----------------------------- > ------------ >解析：由 | AB + AC|=|AB — AC |可知，AB 丄 AC ,则AM 为Rt △ ABC 斜边BC 上的中线，因此，-1 = 2|1B C |= 2. 答案：28. 已知 D ，E ，F 分别为△ ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且"B(C = a ，"CA = b ，给-- A 1 ------------------- A 1 ----------------- A 1 1 ------------------- A ----- A ---- A出下列命题：① AD = ?a — b ;② BE = a + ?b :③ CF = — ?a + ?b :④ AD + BE + CF = 0. 其中正确命题的个数为 ___________ .--- A -------- A --------- A 1 ------ A --- A 1解析：BC = a ， CA = b ， AD = 2 CB + AC = — -a — b ，故①错；BA = "B e + 2 CA = a + 2b ，故②正确；--- A 1 ---- A ----- A 1 1 1CF = CB + CA )= 2(— a + b )=—尹 +，故③正确; ------ A ---------------- A ---------- A 1 111AD + BE + CF =— b — - a + a + 二 b +匚 b —： a = 0，故④正确. 2 2 2 2•••正确命题为②③④.答案：39.设 e 1， e ?是两个不共线的向量，已知 AB = 2e 1—8e 2， CB = e i + 3e 2， CD = 2e 1 — e ?.(1) 求证：A ，B ，D 三点共线；(2) 若-？ = 3e 1 — k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求 k 的值.------ A ------------ A ----------- A 解：(1)证明：由已知得 BD = CD — CB = (2e 1 — e ：)— (e 1 + 3e 2)= e 1 — 4e ：，—AAB = 2e 1— 8e 2，• ；AB = 21B D .又•/ ^AB 与BA 有公共点B ，则 (O = AM = 4( AB + AC) =—B 1 —B 4AB + 4t AD .> 1 4 +1 A D T 」•A，B，D三点共线.------- A(2)由(1)可知BD = e1 —4e2，•••"B己=3e 1—k e2,且B, D, F 三点共线,••• BF = XB D （入€ R）, 即3一k e2= ^e 1 —4 ?e2,入=3, 得.—k=—4 入解得k = 12.------- D------ D ------ D ------ D 、10. 已知a, b 不共线，OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, OE —= e,设t€ R, 如果3a = c,2b= d, e = t(a+ b)，是否存在实数t使C, D, E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.解：由题设知，CD = d—c= 2b—3a, 能=e—c= （t—3）a + t b, C, D , E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得6D = k C D T，即(t—3)a+ t b=—3k a+ 2k b, 整理得（t—3+ 3k）a = （2k—t）b.t—3+ 3k= 0, 6因为a, b不共线，所以有t—2k=0,解得t= i故存在实数t= 6使C, D, E三点在一条直线上.5三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，在△ ABC中，点D在线段BC上，且满足BD = 过点D的直线分别交直线AB, AC于不同的两点M , N，若AM T =A N = n ^AC，则（）A. m+ n是定值，定值为2B. 2m + n是定值，定值为3C/Z + £是定值，定值为2m nD.~ +1是定值，定值为3m n解析：选D 因为M , D, N三点共线，所以^AD = ?AM+ (1 —升-T又-M =m—B , 6N = n 6C，所以A D =入m-B + (1 —^n-AC.又-=殳"CC，所以"J -— = AC —丁——D , 所以6J = 3"A C + B.比较系数知入m= 2，(1—为n = 1，所以叮+ 1= 3，故选D.------ C --------------- C ------- C2. (2019长沙模拟)在平行四边形ABCD中，M为BC的中点.若AB = ^AM + QB , 贝V —(1= _______________ .解析：如图，在平行四边形ABCD中，1AB = "D C，所以瓦B =--- C ------- C ----- C 1 ---- C ------ C 1 --- C -- C ----- C 1 ---- C --- CAM + MB = AM + © CB = AM + Q(DB—DC ) = AM + 空(DB —AB )=- C 1 ----- C 1 ------ C 3 ---- > -- C 1 ------ C -- C 2 ---- > 1 --- C 2 1 AM + © D B —© AB，所以3 AB = A M+ - D B,所以A B = 3AM + - D B，所以入=尸3，1所以「尸-.3 1答案：-—C ------- C----- C3.已知O, A, B是不共线的三点，且OP = mOA + nOB (m, n€ R).(1) 若m + n = 1,求证：A, P, B三点共线；(2) 若A, P, B三点共线，求证：m+ n = 1.证明：(1)若m+ n = 1,则O— =m OA + (1 —m) OB = OB + m( OA —OB ),------ C------------- C ----- C------------ C••• OP —OB = m( OA —OB),------ C ---- C -------- C ------------ C即BP = mBA , • BP 与BA 共线.又••• B?与B—有公共点B,• A, P, B三点共线.(2)若A, P, B三点共线，------- C---------------- C则存在实数入使BP = XBA ,• O? —O? = X O? —OB ). 又O— =m O— + n O—.故有mO? + (n—1) O? = xO? —XOB ,—C ------- C即(m — X OA + (n+ X—1)OB = 0.•/ O, A, B不共线，• O? , O?不共线,m— X= 0, n+ X—1=0,• m+ n = 1.。
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 含答案
1．(配合例2使用)已知P为△ABC所在平面内一点， ＋ ＋ ＝0，| |＝| |＝| |＝2，则△ABC的面积等于( )
A． B．2
C．3 D．4
解析由| |＝| |得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又 ＋ ＋ ＝0，所以 ＝－( ＋ )＝－2 ，所以PD＝ AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由| |＝2，PD＝1可得| |＝ ，则| |＝2 ，所以△ABC的面积为 ×2×2 ＝2 。故选B。
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
答案(1)A(2)D
考点三共线定理及应用微点小专题
方向1：共线定理
【例3】已知e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝( )
平面向量的概念及线性运算-高考数学复习
相反 的向量；
目录
（6）平行向量：方向相同或
相反 的非零向量，也叫做共线向
量，规定：零向量与任意向量平行.
提醒
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相
同；与向量 a 平行的单位向量有两个，即向量
｜｜
｜｜
和－
.
目录
2. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量
b ＝5（ a ＋ b ）＝5 ，∴ ， 共线.
又它们有公共点 B ，∴ A ， B ， D 三点共线.
目录
（2）试确定实数 k ，使 ka ＋ b 和 a ＋ kb 共线.
解：∵ ka ＋ b 与 a ＋ kb 共线，
∴存在实数λ，使 ka ＋ b ＝λ（ a ＋ kb ），即 ka ＋ b ＝λ a ＋λ kb ，
＝（
）
目录
1
解析：如图所示，∵ D 为 BC 的中点，∴ ＝ （ ＋
2
2
1
1
），∵ ＝2 ，∴ ＝ ＝ ＋ ，
3
3
3
1பைடு நூலகம்
1
1
∴ ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝－ ＋
3
3
3
2
，故选A.
3
目录
解题技法
目录
1.
1
若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点，则 ＝ （ ＋
2
）.
2.
1
若 G 为△ ABC 的重心，则 ＋ ＋ ＝0； ＝ （ ＋
3
）.
3. ＝λ ＋μ （λ，μ为实数），若点 A ， B ， C 共线，则λ
2020届高三数学(文)一轮总复习课时跟踪检测 平面向量的概念及其线性运算Word版含答案
课时跟踪检测平面向量的概念及其线性运算1．(2019·嘉兴测试)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB ＝a ，CA ＝b ，则AM ＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12b D ．a ＋12b 解析：选A AM ＝AC ＋CM ＝－CA ＋12CB ＝－b ＋12a ，故选A. 2．在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选 C 由已知，得AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ，故AD ∥BC .又因为AB 与CD 不平行，所以四边形ABCD 是梯形．3．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ＋CB ＝0，则向量OC 等于( )A.23 OA －13OB B ．－13OA ＋23OB C ．2OA －OB D ．－OA ＋2OB解析：选C 因为AC ＝OC －OA ，CB ＝OB －OC ，所以2AC ＋CB ＝2(OC －OA )＋(OB －OC )＝OC －2OA ＋OB ＝0，所以OC ＝2OA －OB .λAO ，则4.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＋AD ＝λ＝________.解析：因为ABCD 为平行四边形，所以AB ＋AD ＝AC ＝2AO ，已知AB ＋AD ＝λAO ，故λ＝2.答案：25．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解析：由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝12|BC |＝2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a解析：选B 对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( ) A．a B．bC．c D．0解析：选D 依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a 与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.3．设M是△ABC所在平面上的一点，且MB＋32MA＋32MC＝0，D是AC的中点，则|MD||BM|的值为( )A.13B.12C．1 D．2解析：选A ∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴MD＝1 2ME＝12(MA＋MC)．∵MB＋32MA＋32MC＝0，∴MB＝－32(MA＋MC)＝－3MD，∴|MD||BM|＝|MD||－3MD|＝13，故选A.4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD ＋BE＋CF与BC ( )A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC ， BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ， CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB ) ＝CB ＋23BC ＝－13BC ， 故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ＋OB ＋2OC ＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ＝12(OA ＋OB )， 又OA ＋OB ＋2OC ＝0，∴OD ＝－OC ，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ， 则S △ABC S △AOC＝4. 6．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC ，得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b 7．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB －OC |＝|OB ＋OC －2OA |，则△ABC 的形状为________．解析：OB ＋OC －2OA ＝OB －OA ＋OC －OA ＝AB ＋AC ，OB －OC ＝CB ＝AB －AC ， ∴|AB ＋AC |＝|AB －AC |.故AB ⊥AC ，△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ＝a ，CA ＝b ，AD ＝12CB ＋AC ＝－12a －b ，故①错； BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确； CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；∴AD ＋BE ＋CF ＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0. ∴正确命题为②③④.答案：32GE ，设AB 9.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AD ，AG .解：AD ＝12(AB ＋AC )＝12a ＋12b . AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BE ＝AB ＋13(BA ＋BC )＝23AB ＋13(AC －AB ) ＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b . 10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ＝CD －CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵AB ＝2e 1－8e 2，∴AB ＝2BD .又∵AB 与BD 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD ＝e 1－4e 2，∵BF ＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，∴BF ＝λBD (λ∈R)，即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ＝AD ＋μAB ，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ＝2DC .∵点E 在线段CD 上，∴DE ＝λDC (0≤λ≤1)．∵AE ＝AD ＋DE ，又AE ＝AD ＋μAB ＝AD ＋2μDC ＝AD ＋2μλDE ， ∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12. 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 2．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ＝m OA ＋(1－m ) OB＝OB ＋m (OA －OB )，∴OP －OB ＝m (OA －OB )，即BP ＝m BA ，∴BP 与BA 共线． 又∵BP 与BA 有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，存在实数λ，使BP ＝λBA ，∴OP －OB ＝λ(OA －OB )．又OP ＝m OA ＋n OB .故有m OA ＋(n －1) OB ＝λOA －λOB ， 即(m －λ) OA ＋(n ＋λ－1) OB ＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ，OB 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。
新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十八平面向量的概念及线性运算含解析
课时跟踪检测（二十八）平面向量的概念及线性运算1.（2019 •山东省实验中学高三摸底测试）已知a ,b 是两个非零向量，且|a + b| = |a| + |b|，则下列说法正确的是（）A. a + b = 0B. a = bC. a 与b 反向共线D.存在正实数入，使得a =^ b解析：选D 由已知得，向量 a 与b 为同向向量，即存在正实数 入，使得a =入b ,故选D.2.设a o 为单位向量，下述命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则a = |a|a 0；②若a与a o 平行，则a = |a|a o ；③若a 与a o 平行且|a| = 1，则a = a o .假命题的个数是（）A. oB. 1C. 2D. 3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量， a 与| a | a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a =— -| a | a °,故②③也是假命题. 综上所述，假命题的个数是 3. 3. （2019 •广东仲兀中学期中 ）在平行四边形 ABCD 中，下列结论错误的是（ A.| ~A A | = | AD | 一定成立 B. AC = AB + AD 一定成立C. "AD = B C —定成立 D. "BD = "AD — "AB 一定成立解析：选A 在平行四边形 ABCD 中, ^AC=^A B + —D —定成立，N D ="BC 一定成立，--- > ----- > ------ > ----------------------- > --------- >BD = AD — AB 一定成立，但| AB | = | AD |不一定成立.故选 A.4. （2019 •石家庄高三一检 ）在厶ABC 中，点D 在边AB 上，且"Bt D = 1"D A ，设-B = a ,CA = b ，贝V CD =(B.|a + 如 3 33 4 C. a + b 5 5--- A 1 ----- 1---- A 1 ----- 1 --- 1 --- 1 --- 1 --- A 1 ------ 1 --- A解析：选 B••• BD = 1 DA,••• BD = 3 BA ,••• CD = CB + BD = CB + 3 BA = CB +1（_CA — _CB ） = 2 曲 += |a + 3b ,故选 B.4 3 D. a + b5 55. （2019 •长春模拟）如图所示，下列结论正确的是（QA.矩形A.矩形6. （2019 •嘉兴调研）已知点0为厶ABC 外接圆的圆心, --> ---- > --- > 且 OA + OB + CO =0,则厶ABC 的内角A 等于（A. 30B. 45C. 60D. 90°-- > --- > --- > --------- > ---- > --- >解析：选A 由OA + OB + CO = 0得，OA + OB = OC ,由。
2020版高考数学大一轮复习-5.1平面向量的概念及线性运算教案(文)(含解析)新人教A版
§5.1平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念2.向量的线性运算3.平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解平行向量基本定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 故填③.2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |，其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |答案 A解析 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.命题点2 向量的线性运算例2(1)(2019·包头模拟)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →等于( ) A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD.13a －23b 答案 C解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b ， 故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A.命题点3 根据向量线性运算求参数例3在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y＝________.答案 3解析 由题意得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →， 亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故x y＝3.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →等于( ) A.13a ＋512b B.13a －1312b C ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b答案 C解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA →＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C.(2)(2018·营口模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 平行向量基本定理的应用例4设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.引申探究1．若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？ 解 BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ， 即BD →＝4a ＋(m －3)b .若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →. 即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解 因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，kλ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b . 若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →，∴BD →与AB →共线，由于BD →与AB →有公共点B ， 因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 答案 D解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 4．(2018·锦州模拟)在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA→＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于( ) A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案 D解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1，故选D.5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析 连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.6.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911 B.511 C.311 D.211答案 B解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.7．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________. 答案 2 3解析 因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2， 所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍， 所以|AB →＋AC →|＝2 3.8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________． 答案 直角三角形解析 因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， 所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， 即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，△ABC 为直角三角形．9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________． 答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.10．(2019·包头质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________. 答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线， 所以存在实数k 使得MN →＝kNP →， 所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)， 又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →， ∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点， ∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线， 可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →) ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0.又a ，b 不共线， 所以⎩⎪⎨⎪⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b .所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．方法二 延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点， 所以AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )．13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14C ．1D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则点P 一定为△ABC 的( ) A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．BC 边的中点 答案 B解析 设BC 的中点为M ， 则12OC →＋12OB →＝OM →， ∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →，即3OP →＝OM →＋2OA →，也就是MP →＝2PA →， ∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题： ①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(二十八)平面向量的概念及其线性运算含解析
课时跟踪练(二十八)A 组 基础巩固1．已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题知结果为零向量的是①④. 答案：B2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．观察选项，C 项中a ，b 共线且方向相反． 答案：C3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD→有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．答案：B4．(2019·葫芦岛模拟)在△ABC 中，G 为重心，记AB →＝a ，AC →＝b ，则CG →＝( )A.13a －23bB.13a ＋23bC.23a －13b D.23a ＋13b 解析：因为G 为△ABC 的重心， 所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .答案：A5．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．答案：B6．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上．答案：B7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.答案：B8．(2019·广州模拟)设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：因为D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，所以OD →＝－OC →，所以O 为CD 的中点． 又因为D 为AB 的中点， 所以S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC ＝4. 答案：B9.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个．答案：310．(2019·河北武邑中学质检)在锐角△ABC 中，CM →＝3 MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R)，则xy＝________．解析：由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)，即4AM →＝3AB →＋AC →， 亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.答案：311．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以 λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1212．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案：12B 组 素养提升13．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k <0)成立，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝ka ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.答案：B14．(2019·孝感二模)设D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( )A.12AD → B.32AD → C.12AC → D.32AC → 解析：因为D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC →＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →.答案：D15．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．解析：由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D点，则D 为BC 的中点．同理，E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 因此点M 是△ABC 的重心．所以AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，则m ＝3.答案：316．(2019·中原名校联考)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝116＋916＝58.答案：58。
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课时跟踪检测（二十八） 平面向量的概念及线性运算1．(2019·山东省实验中学高三摸底测试)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 反向共线D ．存在正实数λ，使得a ＝λ b解析：选D 由已知得，向量a 与b 为同向向量，即存在正实数λ，使得a ＝λb ，故选D.2．设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a|a 0；③若a 与a 0平行且|a|＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．(2019·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A ．|AB ―→|＝|AD ―→|一定成立 B ．AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立 C ．AD ―→＝BC ―→一定成立D ．BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立解析：选A 在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立，AD ―→＝BC ―→一定成立，BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立，但|AB ―→|＝|AD ―→|不一定成立．故选A.4．(2019·石家庄高三一检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b ，故选B.5.(2019·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C.6．(2019·嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0得，OA ―→＋OB ―→＝OC ―→，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.7.(2019·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB ，若点C 满足AC ―→＝2CB ―→，OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，则1λ＋1μ＝( )A.13 B.23 C.29D.92解析：选 D ∵OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋23AB ―→＝OA ―→＋23(OB ―→－OA ―→)＝13OA ―→＋23OB ―→，∴λ＝13，μ＝23，∴1λ＋1μ＝3＋32＝92.故选D.8．(2019·张家口月考)在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形解析：选B ∵2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→，∴2(OA ―→－OD ―→)＝OB ―→－OC ―→，即2DA ―→＝CB ―→，∴DA ∥CB ，且2|DA ―→ |＝|CB ―→|，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.9．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝－4CD ―→，则AD ―→＝( ) A.14AB ―→－34AC ―→ B.14AB ―→＋34AC ―→C.34AB ―→－14AC ―→ D.34AB ―→＋14AC ―→ 解析：选B 法一：设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，由BC ―→＝－4CD ―→可得，BA ―→＋AC ―→＝－4CA―→－4AD ―→，即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝34，即AD ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.法二：在△ABC 中，BC ―→＝－4CD ―→，即－14BC ―→＝CD ―→，则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.10.(2019·曲阜模拟)如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值为( )A.13B.19 C ．1D ．3解析：选B 因为AN ―→＝13NC ―→，所以AC ―→＝4AN ―→.所以AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋89AN ―→，因为B ，P ，N 共线，所以m ＋89＝1，m ＝19.11．(2019·河南三市联考)若AP ―→＝12PB ―→，AB ―→＝(λ＋1)BP ―→，则λ＝________.解析：由AP ―→＝12PB ―→可知，点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB ―→＝－32BP ―→，所以λ＋1＝－32，解得λ＝－52.答案：－5212．(2019·石家庄高三摸底考试)平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λμ＝________.解析：∵DB ―→＝AB ―→－AD ―→＝AB ―→－BC ―→＝AB ―→－2BM ―→＝3AB ―→－2AM ―→，∴AB ―→＝λAM ―→＋3μAB ―→－2μAM ―→，∴(1－3μ)AB ―→＝(λ－2μ)AM ―→，∵AB ―→和AM ―→是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3μ＝0，λ－2μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝13，λ＝23，∴λμ＝29.答案：2913．(2019·盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 314．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上，∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12， 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1215．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m)OB ―→ ＝OB ―→＋m(OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m(OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。