概念教学必须体现概念的形成过程_平面向量的概念_的教学与反思_章建跃

概念教学必须体现概念的形成过程)))/平面向量的概念0的教学与反思章建跃陶维林(人民教育出版社中数室100081南京师范大学附属中学210003)当前,不重视章节起始课的教学,概念教学走过场,以解题教学代替概念教学的现象比较普遍.在章节起始时,许多老师没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中;概念教学常常采用/一个定义,几项注意0的方式,在概念的背景引入上着墨不够,没有给学生提供充分的概括本质特征的机会,认为让学生多做几道题目更实惠.更令人担忧的是,有些老师不知如何教概念.李邦河院士认为,/数学根本上是玩概念的,不是玩技巧.技巧不足道也!0[1]以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨,必须纠正.否则,学生在数学上耗费大量时间、精力,结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少,/数学育人0终将落空.本文是我们继/函数的概念0教学案例[2]后做的又一个案例,主要指导思想是/数学概念,,首要表现在概念的形成0[1],概念教学必须让学生经历概念的形成过程;基本想法是聚焦概念教学,探索概念教学的基本规律.期待我们的案例能抛砖引玉,希望广大教师积极参与/如何教好数学概念0的讨论.1对教学内容的基本认识5平面向量6是/人教A版0数学4的一章,本节课包括/章引言0和/2.1平面向量的实际背景及基本概念0两部分.在配套的5教师教学用书6中,介绍了章头图和章引言的编写意图,其中有这样的叙述:/章引言说明了向量的研究对象及研究方法,揭示了向量与几何、代数之间的关系,运用向量法可将几何性质的研究转化为向量的运算,使几何问题通过向量运算得到解决,,0.因此,/章引言0(包括/章头图0)起/导游图0作用,是本章学习的/先行组织者0,应有充分的重视.教学时,可以渗透在具体内容中,不必作抽象讲解,以避免空洞说教.许多老师认为,/平面向量的实际背景及基本概念0一节/概念多但不难理解0,但我们认为/其实不然0.事实上,从/概念的形成0的角度看,本节内容,重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法,蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径,这是一个带有/本源0性质的过程.这里,为了帮助学生建立向量的概念,与数、形的相关概念(数及其运算、直线(段)的平行关系等)类比与联系是值得重视的.在学生的已有经验中,与本节内容相关的有:数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度)、数的相等、0和1的特殊性、线段的平行或共线等,这些将为学生自觉、有序、有效地认知向量概念提供/固着点0.具体教学时,要设计一个能让学生开展概括活动的过程,引导他们经历从具体事例(位移、力、速度等)中领悟向量概念的本质特征,类比数的概念获得向量概念的定义及表示,类比数的集合认识/向量的集合0,类比直线(段)的基本关系认识向量的基本关系.要使学生从中体会到认识一个数学概念的/基本套路0:从具体背景中抽象出共同本质特征)))定义)))表示)))定义/相等0(这件事情很重要,但往往不被注意)、/单位元0、/0元0)))某些特殊关系.由此看来,向量概念的形成并不是一件容易的事情.2教学过程概述2009年11月初,在河南省举办的高中数学课标教材跟进式培训中,我们以本节课为载体开252010年第49卷第1期数学通报26数学通报2010年第49卷第1期问题4 观察图1中的正六边形AB CDE F .给图中的一些线段加上箭头表示向量,并说说你所标注的向量之间的关系.(举例)图1意图:不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义,再做练习巩固,而是让学生参与概念的定义过程,使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物.留给学生足够的时间,并提出问题5,组织学生交流.问题5 你是怎样研究的?比如,你画了哪几个向量?你认为它们有怎样的关系?意图:不仅关注结果,更要关注过程.尤其要挖掘学生用向量概念思维的过程.(课堂中,有的学生首先关注大小;有的学生首先画出向量ED 与A B ,认为它们长度相等且方向相同,是相等的向量;也有学生首先画出向量EO 与OB ,认为它们是共线的向量;等.教师适时介入,解释数学中的向量是自由向量,可以平移,因此,ED 与A B 也称为共线向量./平行向量0的产生比较顺利,但/相反向量0的产生有困难,其间还类比了/相反数0.)归纳得到:(1)从/方向0角度看,有方向相同或相反的,就是平行向量,记为a M b ;(2)从/长度0角度看,有模相等的向量,|a |=|b |;(3)既关注方向,又关注长度,有相等向量a =b ,相反向量a =6b .T :我们规定:零向量与任意向量都平行,即0M a .问题6 由相等向量的概念知道,向量完全由它的方向和模确定.由此,你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗?另外,向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么联系与区别?意图:让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分,真正抓住向量的本质特征,完成/数学化0的过程.2.3 阅读课本请同学们把课本看一遍,看看我们的讨论过程与课本讲的是否一致,有什么遗漏?有什么不同?意图:通过阅读,对本课的内容再一次进行归整、明晰.引导学生重视课本.2.4 课堂练习教科书P 77中的/练习0部分.2.5 课堂小结问题7 (引导学生自己小结)能否画个图,把今天学的内容梳理一下?(有的学生提出可以把本课的内容分为三个部分,与图2所呈现的内容基本一致,只是把/特殊关系0说成了/向量的性质0,这也是正确的.教师肯定了她的结论,展示了图2.)图2T :今天我们学习了向量的概念及其表示方法,并初步研究了向量这个集合,发现了其中的两个特殊向量,以及向量之间的一些特殊关系.同学们要认真体会其中的基本思路,即:从同类具体事例中抽象出共同本质特征)))下定义)))符号表示)))认识特殊对象)))考察某些特殊关系.这里特别要注意,因为向量带有方向,所以只用代数的形式已无法表示,必须结合几何的形式.因此,向量具有代数形式和几何形式的/双重身份0.随着学习的深入,我们会看到这种身份给向量带来的力量.另外,我们用类比数集的方法初步认识了向量的集合.我们知道,数与运算分不开,数的概念的发展也与运算不可分割.例如,为了解方程x 2272010年 第49卷 第1期 数学通报=2,我们需要有无理数概念,于是要有/开方0运算.引进一种新的数,就要研究关于它的运算;引进一种运算,就要研究相应的运算律.今天我们引进了一个新的量)))向量,下面我们该研究它的哪些问题?如何研究?请同学们课后认真考虑,下节课来交流.(说罢,教师在/特殊关系0的右边增加了省略号/,,0.)2.6布置作业(略).3教学反思3.1起始课应把/基本套路0作为核心目标本课是/平面向量0的起始课,具有/统领全局0的作用.因此,本课的目标应体现出这一地位.具体有如下三个方面:(1)形成平面向量的概念,特别是要让学生体会/向量集形与数于一身0的特征;(2)让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量(主要是联系数及其运算、直线(段)的平行和共线等);(3)通过类比/数及其运算0而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路(思路).如果从更深层次考虑,上述目标更本质的是/数学育人0.数学课堂应始终把育人目标放在首位,当然要将它融入知识的教学中.本课似乎/没什么东西可讲0,也没什么难点,因此不愁完不成教学任务,但这只能指陈述性(或明确)知识目标的实现.向量概念的重要性不言而喻,而作为/起始0,本课的教学必须要有/交代问题背景、引入基本概念、构建研究蓝图0的大气.要让学生感受到数学概念产生、发展的基本过程,体会到研究数学问题的基本套路,进而提高提出问题、研究问题的能力,这才算充分挖掘了本课内容的育人资源,才算体现了向量概念的教学价值.3.2概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动前已述及,许多老师认为本课概念多但不难理解.多次观摩本课的教学,看到的大多是沉闷的课堂,教师讲得乏味,学生学得无趣.事实上,许多概念课都有这种弊端.有的老师可以把解题讲得头头是道,但概念教学就没词、没招了.我们认为,概念再多也不能成为/讲起来枯燥乏味0的理由.让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键.这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾,激发认知冲突,把学生卷入其中;另一方面要让学生有参与的时间与机会,特别是有思维的实质性参与.概念的形成过程充满矛盾冲突,这是激发学生学习兴趣与热情的内在条件.比如,考察司空见惯的/量0,有的/只有大小没有方向0,有的/既有大小又有方向0,在比较中就产生了区别的需要,这就是向量概念的生长点.与人出生后要起名字一样,我们要给新的数学对象命名,并且要与它的本质相吻合,要区别于其他概念,/方向0就成了区别的标准,没有/方向0的叫数量,有/方向0的叫向量,概念的产生自然而然.概念抽象需要典型实例.谁来找例子?教师自作自画,自己举例、概括,自己给定义,就可能枯燥乏味.比如,告诉学生什么叫平行向量、相等向量、相反向量等,学生被动听,没有参与机会,不仅枯燥乏味,而且会使学生理解不透.如果让学生举例,要求尽量举不同的例,就会迫使他们开动脑子,就有可能举出不同的、有趣的例,就会百花齐放.这样,生动活泼的场面自然形成,而且在举例过程中,有独立思考、合作交流,甚至有争辩,这就形成了促进概念理解的机制.让学生举例可以促进学生思维的深度参与,因为好例子需要以理解概念的本质属性为基础.实际上,概念教学中的/参与0,其关键是参与从典型实例中概括概念本质特征的活动.举例后,还要让学生讲理由,让其他同学来补充,相互启发、交流互动,生动活泼的局面自然就出现了.比如,探索/向量的表示0时,一个学生在黑板上画了带箭头的线段表示力,但没有用字母标注起点、终点.笔者没有替他标上,而是问:/大家有什么要补充的吗?0有几位同学不请自来,有的标上字母,有的标出大小,,经过教师启发和全班努力,终于明确了向量的几何表示的正确方法.在这个过程中,全体同学热情参与,自我教育,互帮互学,想让课堂不生动活泼都难.也许有人认为,这是小题大做,浪费时间.但我们认为这样做不仅使课堂生动活泼,更重要的是体现概念的形成,这才是落实双基的教学,长期坚持可以让学生养成好的学习习惯.如果总是老师替学生完善表达,不仅生动活泼的局面难以形成,更糟糕的是剥28数学通报2010年第49卷第1期夺了学生的思考机会.事实上,由于数学概念的高度抽象性,对任何一个貌似简单的概念,学生往往都要费很大周折才能理解.许多教师对此不能保持高度警觉,常常认为自己容易的学生也然,没有意识到自己的/容易0是经历了千辛万苦、长期积累才得到的.这种心理导致了师生交流的许多障碍,是造成教师不是从学生的角度出发,针对学生的理解困难展开教学的主要原因.因此,教师要对这种心理保持高度警惕,努力从学生的认知水平出发,保证学生参与概念本质特征的概括活动,确保学生有自己想明白的机会和时间,这是非常要紧的.3.3概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现/概念的形成0/人教A版0的主编寄语中说:/数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的.如果有人感到某个概念不自然,是强加于人的,那么只要想一下它的背景,它的形成过程,它的应用,以及它与其他概念的联系,你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物,不仅合情合理,甚至很有人情味.0我们认为,这应该成为概念教学的基本指导思想.概念课就应该使概念出得自然、水到渠成,否则就不叫做/教数学0、/学数学0.本课的教学,我们力求使学生了解向量概念的背景和形成过程,了解为什么要引入这个概念,怎样定义这个概念,怎样入手研究一个新的课题.从课堂教学的要求看,概念教学的自然和水到渠成应包括两方面:一是知识的逻辑顺序自然;二是学生心理逻辑的自然,主要是思维过程的自然./自然的概念教学过程0是上述两方面的融合.因此,向量概念的教学中,我们注意了从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路,使学生能/抬头看路0,知道往哪里走,这是起始课的重要任务;微观上,引导学生通过类比,有序地给出向量的定义(区别于/只有大小没有方向的量0)、讨论向量的表示(重点是几何表示)、定义特殊的向量、研究特殊的关系(特别是相等向量).在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中,主要强调了/让学生参与到定义概念的活动中来0,不轻易打断学生的思维和活动,恰时恰点地/以问题引导学习0,在/追问(质疑))))反思0的过程中深化概念的理解,使/概念的理解0成为学生自己主动思维的结果.3.4/创造性地使用教材0的前提是深刻理解教材本次课改提出/用教材教0/创造性地使用教材0的理念,这对教师理解和处理教材提出了更高要求.我们认为,深刻理解教材的编写意图是/创造性地使用教材0的前提./平行向量0、/共线向量0等概念,教材是这样呈现的:先介绍概念,然后以一个例子作为概念的应用与巩固;/相反向量0在向量的减法运算中给出.教科书按知识的逻辑顺序呈现,无疑是正确的.如果按教材顺序组织教学,一定能顺利完成任务,学生也会掌握得不错.但这是/教师告诉,提醒注意,练习巩固0的办法,学生的主动思维无法调动.因此我们根据教材的基本思路,先让学生研究问题4,目的是给学生参与概括概念本质特征的机会,实实在在地经历概念的形成过程.观察过程中,必然要利用向量的定义,要从/方向0和/大小0两个方面展开思考.于是,平行向量(共线向量)就很容易被概括出来;相等向量、相反向量等概念的产生也比较自然.教师适时介入,强化本质特征、规范概念表达,与学生一起完成概念的定义.值得指出的是,这样处理教材,自然而然地要求学生联系相关概念.比如,由图形呈现的/平行直线段0自然产生了/平行向量0;再增加长度相等、方向相同或相反,就产生了相等向量或相反向量.属差决定了向量之间的区别,就有了引入新概念的必要性.这里,学生还经历了对向量的关系进行分类的思考:以是否平行为标准,一类是共线向量(平行向量),另一类是不共线向量(不平行向量),这是由向量的/方向0属性决定的.如何区分不平行的向量?又有了引入新概念的必要性,这就是向量的夹角(这是后话).总之,这样处理教材后,我们构建了一个真正的问题情境,学生可以从中学习如何获得研究的对象、如何提出研究的问题、如何找到研究的方法.从课堂小结看,这一目标已经实现.学生不仅能说出具体知识,而且还能准确地说出/分成三个部分0)))向量的表示、特殊向量、特殊关系(说成向量的性质).这些是课本中找不到的,需要具有一定概括能力.3.5明确零向量的意义与作用,(下转第33页)如案例2,通过归纳猜想,探究猜想的证明,值得思考.而案例7则不具备这一原则.(6)时代性强调这一点是为着使教学跟上日益变化的社会发展,一方面教学必须快速反映客观现实,与时俱进;另一方面通过富有时代气息的案例教学,引导学生更好地关注现实社会,培养奉献社会的责任感.富有时代感的数学案例教学,具有鲜活生动的教学特色,能充分显示数学教学的强大生命力.如案例2符合人教A版教材的要求,容易与学生的思维产生共鸣.而案例6和案例7则相反(适合老教材,不适合人教A版教材).通过以上分析,笔者以为案例2(教材上的案例)是最理想的数学归纳法新课引入教学设计案例.同时也验证了陶维林教授的一句话:/这部分教材是写得比较好的,大家只要按照教材教就可以了0.我的理解是:在教了这部分内容之后,你就会慢慢地感觉到这部分教材写得好,并且好在哪里.这正是这次课题会议给我的切身体会!参考文献1章建跃.课题为载体,有效促进教师专业化成长)))暨/中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践0第八次课题会成果综述.2/中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践0第八次课题会反思材料.3钱珮玲,马波等.高中数学新课程教学法.北京:高等教育出版社,2007年3月第1版.4曹才翰,章建跃.中学数学教学概论.北京:北京师范大学出版社,2008年4月第2版.5何豪明./中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践0第八次课题会研究课的教学设计.6李柏青./中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践0第八次课题会研究课的教学设计.7何豪明.例谈案例选编的原则.数学通讯,2004,13(上接第29页)不过分纠缠于细节本课的教学中,大多数教师都不恰当地在/零向量与任意向量平行0上狠下功夫,原因是/这是考试中的一个陷阱0.我们认为这是对零向量的意义和作用理解不到位的表现.首先,规定/零向量与任意向量平行0是完善概念系统的需要./平行向量0是向量间的关系定义,自然应针对全体向量而言,不能排斥零向量.因此,需要对平行向量的概念加以补充定义.由于零向量的长度为零方向任意,因此,规定/零向量与任意向量平行0也在情理之中.其次,就像数0的作用在于运算一样,零向量的作用在于运算及其表达的几何意义.例如,A B, CD,EF都是非零向量,如果A B+CD=0,则A B 与CD是相反向量;如果A B+CD+EF=0,则AB,CD,E F首尾相接围成三角形;等.这些结论在解决几何问题时作用很大.因此,孤立地讨论零向量与任意向量平行没有多少意义,更不应作为考题津津乐道地考学生.本节课上,我们只明确了这一规定,没有耗费过多笔墨.否则,把注意力吸引到这里,就把简单问题复杂化了.4结束语:追求概念教学的本来面目我们在/中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践0课题研究中提出,一定要重视概念教学,核心概念的教学更要/不惜时、不惜力0.这是因为/数学概念高度凝结着数学家的思维,是数学地认识事物的思想精华,是数学家智慧的结晶,蕴含了最丰富的创新教育素材.数学是玩概念的,数学是用概念思维的,在概念学习中养成的思维方式、方法迁移能力也最强.所以数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握-书本知识.,更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程,领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛,学会用概念思维,进而发展智力和培养能力.0[3]概念教学要返璞归真,在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目.要让学生参与概念本质特征的概括过程,这是概念教学中培养学生的创新精神和实践能力的必由之路.参考文献1李邦河.数的概念的发展[J].数学通报,2009,48(8):1-32章建跃,陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J].数学通报,2009,48(6):19-24,48(7):29-313章建跃.数学概念教学中培养创造能力[J].中小学数学(高中版),2009(11),封底4普通高中课程标准实验教科书#数学必修4(A版)[M].北京:人民教育出版社,2007,2.第2版。