高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第一章集合与函数的概念习题课 Word版含解析

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高中数学第一章集合与函数概念 1 集合的含义课时作

课时作业(一) 集合的含义一、选择题1．①某班视力较好的同学；②方程x 2－1＝0的解集；③漂亮的花儿；④空气中密度大的气体．其中能组成集合的是( )A. ②B. ①③C. ②④D. ①②④答案：A 解析：求解这类题目要从集合元素的确定性、互异性出发．①③④不符合集合元素的确定性，故不能组成集合．2．若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：D 解析：△ABC 的三边长两两不等，故选D. 3．设不等式3－2x <0的解集为M ，下列结论正确的是( ) A. 0∈M,2∈M B. 0∉M,2∈M C. 0∈M,2∉MD. 0∉M,2∉M答案：B 解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是不是不等式3－2x <0的解即可．当x ＝0时，3－2x ＝3>0，所以0不属于M ，即0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1<0，所以2属于M ，即2∈M .4．已知2a ∈A ，a 2－a ∈A ，若集合A 中含有2个元素，则下列说法中正确的是( ) A ．a 取全体实数B ．a 取除0以外的所有实数C ．a 取除3以外的所有实数D ．a 取除0和3以外的所有实数答案：D 解析：根据集合中的元素具有互异性知，2a ≠a 2－a ，∴a ≠0且a ≠3.故选D. 5．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A. 1 B. －2 C. 6D. 2答案：C 解析：由题设知，a 2,2－a,4互不相等，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≠2－a ，a 2≠4，2－a ≠4，解得a ≠±2且a ≠1.当实数a 的取值是6时，三个数分别为36，－4,4，可以构成集合，故选C.6．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( ) A. 2B. 2或4C. 4D. 0答案：B 解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；若a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B. 二、填空题7．设集合A 是由1，－2，a 2－1三个元素构成的集合，集合B 是由1，a 2－3a,0三个元素构成的集合，若A ＝B ，则实数a ＝________.答案：1 解析：由集合相等的概念，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.8．已知集合A 由方程(x －a )(x －a ＋1)＝0的根构成，且2∈A ，则实数a ＝________. 答案：2或3 解析：由(x －a )(x －a ＋1)＝0得x ＝a 或x ＝a －1.又∵2∈A ，∴当a ＝2时，a －1＝1，集合A 中的元素为1,2，符合题意；当a －1＝2时，a ＝3，集合A 中的元素为2,3，符合题意．综上可知，a ＝2或a ＝3.9．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠0，1，2，1±52 解析：由元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.10．设a ，b ∈R ，集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有三个元素0，b a， b ，且A ＝B ，则a ＋b ＝________.答案：0 解析：由于B 中元素是0，b a，b ，故a ≠0，b ≠0. 又A ＝B ，∴a ＋b ＝0.11．由实数t ，|t |，t 2，－t ，t 3所构成的集合M 中最多含有________个元素．答案：4 解析：由于|t |至少与t 和－t 中的一个相等，故集合M 中至多有4个元素，如当t ＝－2时，t ，－t ，t 2，t 3互不相同，集合M 中含有4个元素．三、解答题12．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a 的值．解：由－3∈A ，得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，符合题意．∴a ＝－32.13．设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋ Q 中元素的个数是多少？解：∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 14．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x 的值．解：(1)由集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3，x 2－2x ≠x ，x 2－2x ≠3，解得x ≠－1，x ≠0且x ≠3.(2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以x ＝－2. 尖子生题库15．设S 是由满足下列条件的实数所构成的集合： ①1∉S ；②若a ∈S ，则11－a ∈S .请回答下列问题：(1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数； (2)求证：若a ∈S ，则1－1a∈S ；(3)在集合S 中元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由． (1)解：∵2∈S,2≠1，∴11－2＝－1∈S . ∵－1∈S ，－1≠1，∴11－－1＝12∈S .∵12∈S ，12≠1，11－12＝2∈S . ∴集合S 中另外两个数为－1和12.(2)证明：∵a ∈S ，∴11－a ∈S ，∴11－11－a∈S ，即11－11－a ＝1－a 1－a －1＝1－1a ∈S (a ≠0)．若a ＝0，则11－a ＝1∈S ，不合题意．∴a ＝0∉S .∴若a ∈S ，则1－1a∈S .(3)解：集合S 中的元素不能只有一个．理由：假设集合S 中只有一个元素a ，则根据题意知a ＝11－a ，即a 2－a ＋1＝0，此方程无实数解，所以a ≠11－a.因此集合S 中不能只有一个元素．。

高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第一章集合与函数的概念习题课

规律与方法
1.要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系. 2.在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.
第一章集合与函数概念
习题课集合
学习目标
1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握； 2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算.
问题导学
题型探究
达_定__性____，互__异__性____，_无__序__性___. 2.元素与集合有且只有两种关系：__∈______，__∉______. 3. 已经学过的集合表示方法有列__举__法____ ，描__述__法____ ，V_e_n_n_图____ ，常__用__数__集__字__母__代__号____.
4.
符号
子集 A⊆B
定义 x∈A⇒x∈B
真子集 A B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A
并集 A∪B
{x|x∈A或x∈B}
交集 A∩B
补集 ∁UA(A⊆ U)
{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}
Venn图
5.常用结论 (1)∅___⊆___A； (2)A∪∅＝___A___；A∪A＝___A___；A∪B＝A⇔___A_⊇_B____. (3)A∩∅＝___∅___；A∩A＝___A___；A∩B＝A⇔___A_⊆_B_____. (4)A∪(∁UA)＝____U_；A∩(∁UA)＝____∅；∁U(∁UA)＝_____. A

人教A版高中数学必修课后习题及答案(第一章集合与函数概念) 副本

高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，印度_______A，英国_______A；（2）若2A x x x==，则1-_______A；{|}（3）若2=+-=，则3_______B；{|60}B x x x（4）若{|110}C x N x=∈≤≤，则8_______C，9.1_______C．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x-=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x=-+的图象的交点组成的集合；=+与26y x（4）不等式453x-<的解集．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c的所有子集．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ；（2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=；（4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =；（6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ；（2）23______N ；（3）π_______Q ；（4_______R ；（5Z ；（6）2_______N ．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉”符号填空：（1）5_______A ；（2）7_______A ；（3）10-_______A ．3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B ．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ， A C ，()A B C ，()A B C ．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ．．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C ，A B ð，S A ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有个．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？ 3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ．。

人教版高中数学必修一课后习题配套参考答案(解析版)

人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2（第24页）练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3（第39页）1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-，当162405012()50x=-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为xm ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ，则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题（第44页）A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320xx -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P POcm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a=时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a=，而B A ⊆，则11a =-，或11a =，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭I ，即{(0,0)}A B =I ；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I，即A C =∅I ；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I；则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-IU I .6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞U ．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+，所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++，即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x=，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数；（4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3．解：由(){1,3}U A B =U ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =U ，集合A B U 里除去()U A B I ð，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． .5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+，所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。

高中数学第一章集合与函数概念1.1.3.1并集与交集课时作业(含解析)新人教A版必修1

1.1.3.1 并集与交集[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知集合A ＝{x |x ≥－3}，B ＝{x |－5≤x ≤2}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x ≥－5}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－3<x ≤2} D．{x |－5≤x ≤2}解析：结合数轴(图略)得A ∪B ＝{x |x ≥－5}．答案A2．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a －1，a ∈N *}，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{1,2}C ．{1}D ．{2}解析：因为N ＝{1,3,5，…}，M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1}．答案：C3．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|2x －y ＝－4}，则A ∩B 等于( )A ．{x ＝－1，y ＝2}B ．(－1,2)C ．{－1,2}D ．{(－1,2)}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，2x －y ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2.所以A ∩B ＝{(－1,2)}，故选D.答案：D4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，又A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．答案：C5．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >－2C ．a >－1D ．－1<a ≤2解析：在数轴上表示出集合A ，B 即可得a 的取值范围为a >－1.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．设集合A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∩B ＝________.解析：∵A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }＝{x |x ≥3}，∴A ∩B ＝{x |3≤x <5}．答案：{x |3≤x <5}7．设集合A ＝{1,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∩B ＝B ，则实数a 允许取的值有________个．解析：由题意A ∩B ＝B 知B ⊆A ，所以a 2＝2，a ＝±2，或a 2＝a ，a ＝0或a ＝1(舍去)，所以a ＝±2，0，共3个．答案：38．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围为________．解析：由A ∪B ＝R ，得A 与B 的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a 必须在1的左侧，或与1重合，故a ≤1.答案：{a |a ≤1}三、解答题(每小题10分，共20分)9．设A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∪B ，A ∩B .解析：如图所示：A ∪B ＝{x |－1<x <2}∪{x |1<x <3}＝{x |－1<x <3}．A ∩B ＝{x |－1<x <2}∩{x |1<x <3}＝{x |1<x <2}．10．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：由x 2＋x －6＝0，得A ＝{－3,2}，∵B ⊆A ，且B 中元素至多一个，∴B ＝{－3}，或B ＝{2}，或B ＝∅.(1)当B ＝{－3}时，由(－3)m ＋1＝0，得m ＝13； (2)当B ＝{2}时，由2m ＋1＝0，得m ＝－12； (3)当B ＝∅时，由mx ＋1＝0无解，得m ＝0.∴m ＝13或m ＝－12或m ＝0.[能力提升](20分钟，40分)11．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是( )A ．t <－3B ．t ≤－3C ．t >3D ．t ≥3解析：B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t <－3.答案：A12．定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，则N －M ＝________. 解析：关键是理解A －B 运算的法则，N －M ＝{x |x ∈N ，且x ∉M }，所以N －M ＝{6}．答案：{6}13.设A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋a 2－a ＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．解析：由x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝2.所以A ＝{0,2}．(1)因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，B ＝∅，{0}，{2}，{0,2}．当B ＝∅时，Δ＝4a 2－4(a 2－a )＝4a <0，所以a <0.当B ＝{0}或{2}时，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a ＝0，a 2－a ＝0⇒a ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＝0，4－4a ＋a 2－a ＝0无解，所以a ＝0，B ＝{0,2}，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a ＝04－4a ＋a 2－a ＝0⇒a ＝1，综上，a 的取值范围为{a |a ≤0或a ＝1}．(2)因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以B ＝{0,2}，所以a ＝1.14．已知集合A ＝{x |2m －1<x <3m ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，是否存在实数m ，使A ∩B ≠∅？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：若A ∩B ＝∅，分A ＝∅和A ≠∅讨论：(1)若A ＝∅，则2m －1≥3m ＋2，解得m ≤－3，此时A ∩B ＝∅；(2)若A ≠∅，要使A ∩B ＝∅，则应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1<3m ＋2，2m －1≥－2，3m ＋2≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－3，m ≥－12，m ≤1.所以－12≤m ≤1. 综上，当A ∩B ＝∅时， m ≤－3或－12≤m ≤1，所以当m 取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－13<m <－12或m >1时， A ∩B ≠∅.。

新人教版高中数学第1章集合与函数概念1.2.1函数的概念课时作业新人教A版必修1

§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )①y是x的函数②对于不同的x，y的值也不同③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A．1个 B．2个C．3个 D．4个2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x2－1x ＋1 B ．y ＝x 0和y ＝1 C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝x x 和g (x )＝xx4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≤1} B．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0} D．{x |0≤x ≤1}6．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：____________.8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则＋＋＋＋…＋＝________.9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．三、解答题11．已知函数f (1－x1＋x)＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题： (1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A 中的任一个值，按照对应关系所对应数集B 中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数． 2．由函数式求函数值，及由函数值求x ，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题． 3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →By ＝f (x )，x ∈A 自变量定义域函数值值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <ba <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.]3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]5．D [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x≥0，解得0≤x ≤1.]6．B7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2，g [f (3)]＝g (1)＝1.8．2 010解析由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1，∴f (a ＋1)＝f (a )，即＋＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2 010时，得＝＝…＝＝1.故答案为2 010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7.10．[0，13]解析由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤1，0≤x＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤12，－23≤x≤13，即x ∈[0，13]．11．解由1－x 1＋x ＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋＋2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0<h <1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0<h <1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大， ∴0<A <6.84.故值域为{A |0<A <6.84}．(3)由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h <1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．。

高中数学人教版A版必修一配套课时作业第一章集合与函数的概念 1.3.1第2课时含解析

第2课时函数的最大(小)值课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．1．函数的最大值、最小值最值最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有__________．(2)存在x0∈I，使得__________.(3)对于任意的x∈I，都有__________．(4)存在x0∈I，使得__________．结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值2.函数最值与单调性的联系(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．一、选择题1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是()A．a≤－3B．a≥－3C．a≤5D．a≥32．函数y＝x＋2x－1()A．有最小值12，无最大值B．有最大值12，无最小值C．有最小值12，最大值2D．无最大值，也无最小值3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞) B．[0,2]C．(－∞，2] D．[1,2]4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么()A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2) D．f(0)<f(2)<f(－2)5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的()A．最小值是0，最大值是4B．最小值是－4，最大值是0C．最小值是－4，最大值是4D．没有最大值也没有最小值6．函数f(x)＝11－x(1－x)的最大值是()A.45B.54C.34D.43二、填空题7．函数y＝2|x|＋1的值域是________．8．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝__________. 9．若y ＝－2x ，x ∈[－4，－1]，则函数y 的最大值为________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值； (2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．能力提升12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)<g(x)时，F(x)＝f(x)，那么F(x)()A．有最大值3，最小值－1B．有最大值3，无最小值C．有最大值7－27，无最小值D．无最大值，也无最小值13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a ∈R.(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．1．函数的最大(小)值(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解．(2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥M 成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．拓展对于函数y＝f(x)的最值，可简记如下：最大值：y max或f(x)max；最小值：y min或f(x)min. 2．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．3．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．第2课时函数的最大(小)值知识梳理1．(1)f(x)≤M(2)f(x0)＝M(3)f(x)≥M(4)f(x0)＝M 2．(1)f(b)f(a)(2)f(a)f(b)作业设计1．A[由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，解得a≤－3.]2．A[∵y＝x＋2x－1在定义域[12，＋∞)上是增函数，∴y ≥f (12)＝12，即函数最小值为12，无最大值，选A.] 3．D [由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知，当x ＝1时，y 的最小值为2，当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2. 由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.]4．D [依题意，由f (1＋x )＝f (－x )知，二次函数的对称轴为x ＝12，因为f (x )＝x 2＋bx ＋c 开口向上，且f (0)＝f (1)，f (－2)＝f (3)，由函数f (x )的图象可知，[12，＋∞)为f (x )的增区间，所以f (1)<f (2)<f (3)，即f (0)<f (2)<f (－2)．]5．C[y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 (x ≥3)－2x ＋2(－1≤x <3)4(x <－1).因为[－1,3)是函数y ＝－2x ＋2的减区间，所以－4<y ≤4，综上可知C 正确．] 6．D [f (x )＝1(x －12)2＋34≤43.]7．(0,2]解析观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，所以当x＝0时，y的最大值为2，即0<y≤2，故函数y的值域为(0,2]．8．－20解析y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0(b＝6不合题意，舍去)－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．9．2解析函数y＝－2x在[－4，－1]上是单调递增函数，故y max＝－2－1＝2.10．解(1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[1 2，3]，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f(12)＝54，f(3)＝5，所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，即f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6. 故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．11．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ， ∴⎩⎨⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.12．C [画图得到F (x )的图象：射线AC 、抛物线»AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎨⎧ y ＝2x ＋3，y ＝x 2－2x ，得x A ＝2－7，代入得F (x )的最大值为7－27，由图可得F (x )无最小值，从而选C.]13．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎨⎧x 2＋x ＋1， x <0x 2－x ＋1，x ≥0.作图(如右所示)．(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.若a >0，则f (x )＝a (x －12a )2＋2a －14a －1，f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a .当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数， g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f (12a )＝2a －14a －1，当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6a －3， 0≤a <142a －14a －1， 14≤a ≤123a －2，a >12。

高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义课时作业(含解析)新人教A版必修1

1.1.1.1 集合的含义[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是( )A．－1∈A B．－11∈AC．15∈A D．32∈A解析：－11＝3×(－4)＋1，故选B.答案：B3．已知集合A中元素x满足－5≤x≤5，且x∈N*，则必有( )A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．1∈A解析：x∈N*，且－5≤x≤5，所以x＝1,2.所以1∈A.答案：D4．设A是方程x2－ax－5＝0的解集，且－5∈A，则实数a的值为( )A．－4 B．4C．1 D．－1解析：因为－5∈A，所以(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4.故选A.答案：A5．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．判断下列说法正确的是________．(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；(2)1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，12这些数组成的集合含有五个元素； (3)由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合；(4)方程(x －3)(x －2)2＝0的解组成的集合有3个元素．解析：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能组成集合．(2)不正确．根据互异性知，这个集合是由三个元素1，32，12组成的． (3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们表示同一个集合．(4)不正确．方程(x －3)(x －2)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝2，因此写成集合时只有3和2两个元素．答案：(3)7．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的是________．解析：13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数，(4)正确．答案：(1)(4)8．已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，则实数x ＝________.解析：因为x 2∈A ，所以x 2＝1，或x 2＝0，或x 2＝x ，所以x ＝±1，或x ＝0.当x ＝0，或x ＝1时，不满足集合中元素的互异性，所以x ＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)大于3的所有自然数组成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)接近于0的数的全体组成一个集合．解析：(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故(1)正确；(2)和(4)中的“高科技”、“接近于0”都是标准不确定的，所以不能构成集合，故(2)、(4)错误；由于0.5＝12，所以1,0.5，32，12组成的集合含有3个元素，故(3)错误．10．数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素．解析：因为13∈A ，所以1＋131－13＝2∈A ，所以1＋21－2＝－3∈A ，所以1－31＋3＝－12∈A ，所以1－121＋12＝13∈A . 故当13∈A 时，集合中的其他元素为2，－3，－12. [能力提升](20分钟，40分)11．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，a ＝2∈A,6－a ＝4∈A ，所以a ＝2，或者a ＝4∈A,6－a ＝2∈A ，所以a ＝4，综上所述，a ＝2或4.故选B.答案：B12．设直线y ＝2x ＋3上的点集为P ，点(2,7)与点集P 的关系为(2,7)________P (填“∈”或“∉”)．解析：直线y ＝2x ＋3上的点的横坐标x 和纵坐标y 具有y ＝2x ＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P 的元素．由于当x ＝2时，y ＝2×2＋3＝7，故(2,7)∈P .答案：∈13．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．解析：因为a ∈A 且3a ∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，所以a ＝0或1.14．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且a b∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．解析：数集N ，Z 不是“闭集”，数集Q ，R 是“闭集”．例如，3∈N,2∈N ，而32＝1.5∉N ； 3∈Z ，－2∈Z ，而3－2＝－1.5∉Z ，故N ，Z 不是闭集．由于两个有理数a 与b 的和，差，积，商，即a ±b ，ab ，a b (b ≠0)仍是有理数，故Q 是闭集．同理R 也是闭集．。

高中数学第一章集合与函数概念 1.2.2 第1课时函数的表示法课后习题新人教A版必修1

1.2.2 第1课时函数的表示法一、A组1.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)等于()x1≤x<2 2 2<x≤4f(x) 1 2 3A.1B.2C.3D.不存在解析:因为2<3≤4,所以由题中表格可知f(3)=3.答案:C2.已知f=x,则f(x)=()A. B. C. D.解析:令=t,则x=,故f(t)=,即f(x)=.答案:B3.若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式为()A.g(x)=2x+1B.g(x)=2x-1C.g(x)=2x-3D.g(x)=2x+7解析:∵g(x+2)=f(x)=2x+3=2x+4-1=2(x+2)-1,∴g(x)=2x-1.答案:B4.已知函数f(x)是反比例函数,且f(-1)=2,则f(x)=.解析:设f(x)=(k≠0),∵f(-1)=2,∴-k=2,即k=-2.∴f(x)=- .答案:-5.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-5)=,f(f(2))=.解析:由题图可知f(-5)=,f(2)=0,f(0)=4,故f(f(2))=4.答案: 46.已知集合A={1,2,3},B={4,5},则从A到B的函数f(x)有个.解析:抓住函数的“取元任意性,取值唯一性”,利用列表方法确定函数的个数.f(1) 4 4 4 4 5 5 5 5f(2) 4 4 5 5 4 4 5 5f(3) 4 5 4 5 4 5 4 5 由表可知,这样的函数有8个,故填8.答案:87.作出下列函数的图象,并指出其值域:(1)y=x2+x(-1≤x≤1);(2)y=(-2≤x≤1,且x≠0).解:(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图所示.由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为.(2)用描点法可以作出函数的图象如图所示.由图可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).8.已知f(x)为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,求f(x)的解析式.解:(方法一)由于函数图象的顶点坐标为(1,3),则设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0).∵函数图象过原点(0,0),∴a+3=0,∴a=-3.故f(x)=-3(x-1)2+3.(方法二)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依题意得解得∴f(x)=-3x2+6x.二、B组1.“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事:领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s1和s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,s为路程,则下列图象中与故事情节相吻合的是()答案:D2.已知正方形的周长为x,它的外接圆的半径为y,则y关于x的函数解析式为()A.y=x(x>0)B.y=x(x>0)C.y=x(x>0)D.y=x(x>0)解析:正方形外接圆的直径是它的对角线,因为正方形的边长为,由勾股定理得(2y)2=,所以y2=,即y=x(x>0).答案:C3.定义两种运算:a b=,a b=,则函数f(x)=的解析式为()A.f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2]B.f(x)=,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)C.f(x)=-,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)D.f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2]解析:∵f(x)=.由得-2≤x≤2,且x≠0.∴f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2].答案:D4.已知f=1+x2,则f(x)=.解析:令=t(t≠0),则x=-1.所以f=f(t)=1++2.故f(x)=+2.答案:+25.已知函数f(x),g(x)由下表给出:x 4 5 6 7 8f(x) 5 4 8 7 6x8 7 6 5 4g(x) 6 5 8 7 4则g(f(7))=;不等式g(x)<f(x)的解集为.解析:f(7)=7,g(f(7))=g(7)=5.当x=4时,f(4)=5,g(4)=4,所以f(4)>g(4),满足不等式;当x=5时,f(5)=4,g(5)=7,不满足不等式;当x=6时,f(6)=8,g(6)=8,不满足不等式;当x=7时,f(7)=7,g(7)=5,满足不等式;当x=8时,f(8)=6,g(8)=6,不满足不等式,所以不等式g(x)<f(x)的解集为{4,7}.答案:5{4,7}6.已知函数f(x)=2x+3,g(2x-1)=f(x2-1),则g(x+1)=.解析:∵f(x)=2x+3,∴f(x2-1)=2(x2-1)+3=2x2+1.∴g(2x-1)=2x2+1.令t=2x-1,则x=,∴g(t)=2+1=+1.∴g(x)=+1.∴g(x+1)=+1=x2+2x+3.答案:x2+2x+37.如图所示,用长为l的铁丝弯成下半部分为矩形,上半部分为半圆形的框架,若矩形的底边长为2x,求此框架围成的图形的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.解:由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形,而矩形的边AB=2x,设AD=a,则有2x+2a+πx=l,即a=x-x,其中半圆的直径为2x,半径为x.所以框架围成的图形的面积y=πx2+·2x=-x2+lx.根据实际意义知x-x>0,又x>0,解得0<x<.故函数y=-x2+lx,其定义域为.8.已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式,并求f(f(-3))的值.解:由f(x)=x,得=x,即ax2+(b-1)x=0.∵方程f(x)=x有唯一解,∴Δ=(b-1)2=0,即b=1.∵f(2)=1,∴=1.∴a=.∴f(x)=.∴f(f(-3))=f(6)=.。

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§1.1习题课课时目标1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于()A．{x|x>－1}B．{x|x<3}C．{x|－1<x<3}D．{x|1<x<3}2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于() A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}3．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么()A．a A B．a∉AC．{a}∉A D．{a}A4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁M)∩(∁I N)等于()IA．∅B．{d}C．{b，e}D．{a，c}5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为____________．6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩(∁A(B∪C))．一、选择题1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．符合条件{a}P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2B．3C．4D．53．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是()A．M＝P B．M PC．P M D．M与P没有公共元素4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩S)∩(∁S P) D．(M∩P)∪(∁V S)5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的范围是()A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．∅题号1234 5二、填空题6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，∁U A＝{5}，则a＝________.9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(∁U M)∪(∁U N)＝________________.三、解答题10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？能力提升12．对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N 的长度的最小值．1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．2．集合运算的法则可借助于Venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．3．熟记一些常用结论和性质，可以加快集合运算的速度．4．在有的集合题目中，如果直接去解可能比较麻烦，若用补集的思想解集合问题可变得更简单．§1.1习题课双基演练1．C[∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{x|－1<x<3}，故选C.]2．A[画出数轴，将不等式－3<x≤5，x<－5，x>5在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]3．D4．A[∵∁I M＝{d，e}，∁I N＝{a，c}，∴(∁I M)∩(∁I N)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.]5．A＝B解析4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.6．解∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}(1)又∵B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}∴A∩(∁A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．作业设计1．B[Q＝{x|－2<x<2}，可知B正确．]2．B[集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．]3．B[∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴M P.]4．C [阴影部分是M ∩S 的部分再去掉属于集合P 的一小部分，因此为(M ∩S )∩(∁S P )．]5．B [根据题意可画出下图．∵a ＋2>a －1，∴A ≠∅.有⎩⎨⎧a －1≤3，a ＋2≥5.解得3≤a ≤4.]6．a ≤2解析如图中的数轴所示，要使A ∪B ＝R ，a ≤2. 7．1解析当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ；当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ；当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ；当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ；综上可知，A 中只有一个孤立元素5. 8．4解析 ∵A ∪(∁U A )＝U ，由∁U A ＝{5}知，a 2－2a －3＝5， ∴a ＝－2，或a ＝4.当a ＝－2时，|a －7|＝9,9∉U ，∴a ≠－2. a ＝4经验证，符合题意． 9．{x |x <1或x ≥5}解析 ∁U M ＝{x |x <1}，∁U N ＝{x |x <0或x ≥5}，故(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x <1或x ≥5}或由M ∩N ＝{x |1≤x <5}，(∁U M )∪(∁U N )＝∁U (M ∩N ) ＝{x |x <1或x ≥5}． 10．解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)∵C＝{x|x>－a2}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴－a2<2，∴a>－4.11.解由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B 表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．12．解依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．13．解在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－13＝0且m＋34＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|23≤x≤34}，长度为34－23＝112；当n＝13且m＝14时，M∩N＝{x|14≤x≤13}，长度为13－14＝112.综上，M∩N的长度的最小值为1 12.§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是()A．M＝A，N＝B B．M⊆A，N＝BC．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为()A.3B．－ 3C．±3D．以上均不对5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为()A．[－1,2]B．[－2,2]C．[0,2]D．[－2,0]6．函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为() A．k<0或k>4B．0≤k<4C．0<k<4D．k≥4或k≤0一、选择题1．函数f(x)＝xx2＋1，则f(1x)等于()A．f(x) B．－f(x)C.1f(x)D.1f(－x)2．已知f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则f(x)的定义域为() A．[－2,2]B．[0,2]C．[－1,2]D．[－3，3]3．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是()4．与y＝|x|为相等函数的是()A．y＝(x)2B．y＝x2C．D．y＝3x35．函数y＝2x＋1x－3的值域为()A．(－∞，43)∪(43，＋∞)B．(－∞，2)∪(2，＋∞) C．RD．(－∞，23)∪(43，＋∞)6．若集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B等于() A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)题号12345 6答案二、填空题7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．8．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为___________________________________.9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.三、解答题10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．能力提升12．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x－a)＋f(x＋a)(0<a<12)的定义域为()A．∅B．[a,1－a]C．[－a,1＋a]D．[0,1]13．已知函数(1)求f(－3)，f[f(－3)]；(2)画出y＝f(x)的图象；1(3)若f(a)＝2，求a的值．1．函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应关系确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2习题课双基演练1．C[C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]2．C[值域N应为集合B的子集，即N⊆B，而不一定有N＝B.]3．C[当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A[当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；当－1<a<2时，有a2＝3，∴a＝3，a＝－3(舍去)；当a≥2时，有2a＝3，∴a＝32与a≥2矛盾．综上可知a＝ 3.]5．B[由－1≤x2≤4，得x2≤4，∴－2≤x≤2，故选B.]6．B[由题意，知kx2＋kx＋1≠0对任意实数x恒成立，当k＝0时，1≠0恒成立，∴k＝0符合题意．当k≠0时，Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4，综上，知0≤k <4.]作业设计1．A [f (1x )＝1x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]5．B [用分离常数法．y ＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 6．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]7．(52，－12)解析由题意⎩⎨⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52y ＝－12.8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25.即f (x )＝2x ＋25.11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0. 当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．B [由已知，得⎩⎨⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎨⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a . 又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a ，故选B.]13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5，∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1；当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)；当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12，a ＝14∉[1，＋∞)，舍去．故a 的值为－92或±22.§1.3 习题课课时目标 1.加深对函数的基本性质的理解.2.培养综合运用函数的基本性质解题的能力．1．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则( )A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－122．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0成立，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．函数f (x )先减后增C ．f (x )在R 上是增函数D ．f (x )在R 上是减函数3．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则有( )A ．f (a )＋f (b )>－f (a )－f (b )B ．f (a )＋f (b )<－f (a )－f (b )C ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )D ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )4．函数f (x )的图象如图所示，则最大、最小值分别为( )A ．f (32)，f (－32)B ．f (0)，f (32)C ．f (0)，f (－32)D ．f (0)，f (3)5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1， x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是______________．一、选择题1．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x 1>0，x 2<0，且f (x 1)<f (x 2)，那么一定有( )A ．x 1＋x 2<0B ．x 1＋x 2>0C ．f (－x 1)>f (－x 2)D ．f (－x 1)·f (－x 2)<02．下列判断：①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数； ②对于定义域为实数集R 的任何奇函数f (x )都有f (x )·f (－x )≤0；③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．其中正确的序号为( )A ．②③④B ．①③C ．②D ．④3．定义两种运算：a ⊕b ＝ab ，a ⊗b ＝a 2＋b 2，则函数f (x )＝2⊕x (x ⊗2)－2为( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数也是偶函数4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t的值为()A．－2B．2C．－1D．15．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是()A．增函数且最小值为3B．增函数且最大值为3C．减函数且最小值为－3D．减函数且最大值为－36．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是()A．(－1,0) B．(－∞，0)∪(1,2)C．(1,2) D．(0,2)二、填空题7．若函数f(x)＝－x＋abx＋1为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为____．8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＋f(0)＝________.9．函数f(x)＝x2＋2x＋a，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0.(1)求证：函数f(x)在(－∞，0)上是增函数；(2)解关于x的不等式f(x)<0.11．已知f(x)＝x2＋ax＋bx，x∈(0，＋∞)．(1)若b≥1，求证：函数f(x)在(0,1)上是减函数；(2)是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：①在(0,1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是3.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．能力提升12．设函数f(x)＝1－1x＋1，x∈[0，＋∞)(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是增函数；(2)设g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判断g(x)在[0，＋∞)上的单调性(不用证明)，并由此说明f(x)的增长是越来越快还是越来越慢？13．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x，梯形ABCD 的周长为y.(1)求出y关于x的函数f(x)的解析式；(2)求y的最大值，并指出相应的x值．1．函数单调性的判定方法(1)定义法．(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f (x )，g (x )的单调性判断－f (x )，1f (x )，f (x )＋g (x )的单调性等．(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性．2．二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上最值问题，有以下结论：(1)若h ∈[m ，n ]，则y min ＝f (h )＝k ，y max ＝max{f (m )，f (n )}；(2)若h ∉[m ，n ]，则y min ＝min{f (m )，f (n )}，y max ＝max{f (m )，f (n )}(a <0时可仿此讨论)．3．函数奇偶性与单调性的差异．函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只是对函数定义域内的每一个值x ，都有f (－x )＝－f (x )[或f (－x )＝f (x )]，才能说f (x )是奇函数(或偶函数)．双基演练1．D [由已知，令2k ＋1<0，解得k <－12.] 2．C [由f (a )－f (b )a －b>0，知f (a )－f (b )与a －b 同号，由增函数的定义知选C.]3．C [∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a .由函数的单调性可知，f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )．两式相加得C 正确．]4．C[由图象可知，当x＝0时，f(x)取得最大值；当x＝－32时，f(x)取得最小值．故选C.]5.130解析偶函数定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝1 3.∴f(x)＝13x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0. 6．(－∞，－1)解析若a≥0，则12a－1>a，解得a<－2，∴a∈∅；若a<0，则1a>a，解得a<－1或a>1，∴a<－1.综上，a∈(－∞，－1)．作业设计1．B[由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此由f(x1)<f(x2)，则f(－x1)<f(x2)得－x1<x2，x1＋x2>0.故选B.]2．C[判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.判断③，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1 [0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有f(x)≠f(－x)．故③错误．判断④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．综上可知，选C.]3．A[f(x)＝2xx2＋2，f(－x)＝－f(x)，选A.] 4．D[当t>0时f(x)的图象如图所示(实线)对称轴为x＝－t2，则t2＝12，∴t＝1.]5．D[当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上是减函数．故选D.]6．D[依题意，因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)<0化为f(|x－1|)<0，又x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，所以|x－1|－1<0，即|x－1|<1，解得0<x<2，故选D.]7．1解析f(x)为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(0)＝0，故a＝0.又f(－1)＝－f(1)，所以－－1－b＋1＝1b＋1，故b＝0，于是f(x)＝－x.函数f(x)＝－x在区间[－1,1]上为减函数，当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1. 8．－1解析∵f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，且f(2)＝22－3＝1.∴f(－2)＝－f(2)＝－1，∴f(－2)＋f(0)＝－1.9．a>－3解析∵f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，∴[1，＋∞)为f(x)的增区间，要使f(x)在[1，＋∞)上恒有f(x)>0，则f(1)>0，即3＋a>0，∴a>－3.10．(1)证明设x1<x2<0，则－x1>－x2>0.∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(－x1)>f(－x2)．∵f(x)是奇函数，∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，∴－f(x1)>－f(x2)，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．(2)解若x>0，则f(x)<f(1)，∴x<1，∴0<x<1；若x<0，则f(x)<f(－1)，∴x<－1.∴关于x的不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．11．(1)证明设0<x1<x2<1，则x1x2>0，x1－x2<0.又b>1，且0<x1<x2<1，∴x1x2－b<0.∵f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1x2－b)x1x2>0，∴f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0,1)上是减函数．(2)解设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1x2－b)x1x2由函数f(x)在(0,1)上是减函数，知x1x2－b<0恒成立，则b≥1. 设1<x1<x2，同理可得b≤1，故b＝1.x∈(0，＋∞)时，通过图象可知f(x)min＝f(1)＝a＋2＝3.故a＝1.12．(1)证明设x1>x2≥0，f(x1)－f(x2)＝(1－1x1＋1)－(1－1x2＋1)＝x1－x2(x1＋1)(x2＋1).由x1>x2≥0⇒x1－x2>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以f(x)在定义域上是增函数．(2)解g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝1(x＋1)(x＋2)，g(x)在[0，＋∞)上是减函数，自变量每增加1，f(x)的增加值越来越小，所以f(x)的增长是越来越慢．13．解(1)作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，连结OD.由圆的性质，H是中点，设OH＝h，h＝OD2－DH2＝4－x2.又在直角△AND中，AD＝AN2＋DN2＝(2－x)2＋(4－x2)＝8－4x＝22－x，所以y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋42－x，其定义域是(0,2)．(2)令t＝2－x，则t∈(0，2)，且x＝2－t2，所以y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，当t＝1，即x＝1时，y的最大值是10.。

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最新高中数学(人教A版,必修一) 第一章集合与函数概念 1.1.1第1课时 课时作业(含答案)