量子力学 第一章 态矢量
态矢量和力学量的表示
G p
G p
'
=
δ
(
G p
−
pG ' )
任意态矢G α 在G动量表象中的投影系数为：
ψα ( p) = p α
高等量子力学
③、动量算符的本征矢在坐标表象中的表示
首先动量表象中：
G p
G p
'
=
δ
(
G p
−
G p
'
)
在坐标表象中，动量空间的归一化条件表示为：
∫ G
p
G p
'
=
GG px
G x
G p
'
i =1
i =1
∑ ∑ N
=i
i =1
iα
=
⎛ ⎜⎝
N i =1
i
i
⎞ ⎟⎠
α
∑ 显然
：⎜⎝⎛
N i =1
i
i
⎞ ⎟⎠
=
Iˆ,
⎛ ⎜
N
∑
i
ij
⎝ i, j=1
j
⎞ ⎟
=
Iˆ
⎠
定义Pˆi = i i 算符对任意状态矢 α 的作用为：
Pˆi α = i i α = Ci i
算符Pˆi 为对 i 轴的投影算符。
α α ≥0
高等量子力学
2、力学量算符
力学量算符：在量子力学中，所有物理量都是用作用于态 矢量的算符进行表示的，是一种操作。
线性算符：Aˆ αi = βi ,
( ) Aˆ C1 α1 + C2 α2 = Aˆ C1 α1 + Aˆ C2 α2
厄密算符： Aˆ † = Aˆ
= C1 β1 + C2β α2
量子力学基础波函数态矢量与算符的运算
量子力学基础波函数态矢量与算符的运算量子力学是描述微观粒子行为的一种物理理论，其中波函数态矢量和算符是基础概念之一。
本文将介绍波函数态矢量与算符的运算，探讨它们在量子力学中的重要性和应用。
一、波函数态矢量在量子力学中，波函数是描述微观粒子在不同状态下的概率幅度的数学表达式。
波函数可以用复数表示，通常用ψ来表示。
波函数的平方的模的立方和为1，表示粒子的全部可能性。
波函数态矢量可以表示为：|ψ⟩波函数态矢量的内积可以用来计算两个不同态矢之间的相似度。
内积的定义如下：⟨φ|ψ⟩二、算符的运算在量子力学中，算符是对态矢量进行操作的数学对象。
算符可以用来描述对某一物理量的测量或变换。
算符的运算可以通过对应的数学表达式作用于波函数态矢量上实现。
1. 线性算符线性算符是量子力学中常见的算符类型。
线性算符满足加法和乘法的封闭性，并遵循线性叠加原理。
具体而言，对于线性算符A，满足以下两个性质：A(α|ψ⟩+ β|φ⟩) = αA|ψ⟩+ βA|φ⟩A(α|ψ⟩) = αA|ψ⟩2. 基本算符量子力学中常见的基本算符有位置算符、动量算符和能量算符。
它们分别用X、P和H表示，对应的数学表达式如下：X|ψ⟩= x|ψ⟩P|ψ⟩= p|ψ⟩H|ψ⟩= E|ψ⟩3. 算符的本征态和本征值算符的本征态表示在特定算符作用下不发生变化的态矢量，相应的本征值是该态矢量所对应的量子力学量的取值。
用A表示算符，本征态矢量记作|a⟩，本征值记作a，那么有以下关系：A|a⟩ = a|a⟩4. 算符的乘积两个算符的乘积可以通过将第一个算符作用于第二个算符及其参数上实现。
例如，对于算符A和算符B，它们的乘积C可以表示为：C = ABC|ψ⟩= A(B|ψ⟩)三、波函数态矢量与算符运算的应用波函数态矢量与算符的运算在量子力学中有着广泛的应用。
1. 波函数的演化通过算符作用于波函数态矢量，可以得到波函数态矢量随时间演化的表达式。
这对于描述粒子在不同时刻的行为具有重要意义。
量子力学中的波函数与态矢量
量子力学中的波函数与态矢量量子力学是揭示微观世界的定律和规律的理论框架，其核心概念之一就是波函数与态矢量。
波函数是对量子体系状态的数学描述，而态矢量则是波函数所在向量空间的表示。
本文将从基本概念、数学表达以及物理解释等方面，对量子力学中的波函数与态矢量进行详细探讨。
一、波函数的基本概念与性质波函数是量子力学中描述量子体系状态的核心概念。
它通常用ψ(x,t)表示，其中x为位置，t为时间。
波函数的平方模|ψ(x,t)|²代表了在某个位置和时间上找到粒子的概率密度。
对于一维自由粒子来说，其波函数可以用平面波形式表示：ψ(x,t) = Ae^(i(kx-ωt))，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率。
波函数的一些基本性质也值得注意。
首先，波函数必须是归一化的，即∫|ψ(x,t)|²dx = 1，这意味着粒子在整个空间中被找到的概率为100%。
其次，波函数满足薛定谔方程，即iħ∂ψ(x,t)/∂t = -ħ²/(2m)∂²ψ(x,t)/∂x²，其中ħ为约化普朗克常量，m为粒子质量。
这个方程描述了量子体系的演化规律。
二、态矢量的数学表达与物理解释态矢量是波函数所在向量空间的表示。
一般用符号|ψ⟩表示，其中ψ是波函数的数学表达式。
态矢量具有一些重要性质。
首先，态矢量可线性叠加，即如果|ψ₁⟩和|ψ₂⟩是两个态矢量，那么它们的线性组合a|ψ₁⟩+ b|ψ₂⟩（其中a和b是复数）也是一个合法的态矢量。
这种叠加可以用来描述量子体系的叠加态和纠缠态等现象。
其次，态矢量可以表示物理量的测量结果。
在量子力学中，物理量由算符表示，而每一个物理量对应于一系列本征态，即特定的态矢量。
当测量某个物理量时，观测到的结果是对应本征值的概率。
例如，对于位置算符，其本征态是一个delta函数，即|δ(x-x₀)⟩，其中x₀是粒子的位置。
测量结果为x₀的概率就是|⟨x₀|ψ⟩|²，其中⟨x₀|ψ⟩是态矢量|ψ⟩在位置表象下的表示。
量子力学中的波函数与态矢量
量子力学中的波函数与态矢量量子力学是物理学中一门探讨微观世界的极其重要的学科。
在量子力学中，波函数和态矢量起着核心的作用，它们描述了微观粒子的性质和行为。
本文将深入探讨波函数和态矢量在量子力学中的意义和应用。
量子力学中的波函数是一个复数函数，用来描述微观粒子的状态。
在波函数里，我们可以获取关于粒子位置、能量等物理量的概率分布。
波函数可以用波动方程得到，其中包含了波函数本征态的信息。
波函数的模方给出了测量某一物理量时，粒子处于该物理量特定取值的概率。
态矢量则是描述了量子系统的状态，它可以用波函数来表示。
一个态矢量代表了一个量子体系可取的所有可能状态，并且可由一组基矢量线性表示。
态矢量中的每一个分量对应了一种可能的状态，可以通过测量得到系统所处的具体状态。
波函数和态矢量之间存在着密切的联系。
波函数可以通过态矢量的展开系数来表示，而态矢量则是由各个波函数线性组合而成。
波函数和态矢量在数学上是等价的，它们都提供了对量子体系状态的完整描述。
在实际应用中，波函数和态矢量起着重要的作用。
通过波函数，我们可以预测粒子在不同位置和能量上的分布情况。
通过态矢量，我们可以描述量子体系中多粒子的相互作用和整体行为。
量子力学的基本方程薛定谔方程就是通过波函数和态矢量来描述微观粒子的运动和变化。
波函数和态矢量的概念在许多物理实验中也得到了验证和应用。
例如，通过干涉实验，我们可以观察到波函数的叠加性和干涉现象。
通过量子纠缠实验，我们可以验证两个粒子之间的态矢量的关联性。
这些实验证明了波函数和态矢量在解释和预测量子现象方面的有效性。
虽然波函数和态矢量在量子力学中起着重要的作用，但是它们的物理意义并不直观。
波函数并不是实际存在的物质，而是用来描述粒子行为的数学工具。
态矢量也只是在数学上表示一个状态，并没有直接的物理实体。
所以，波函数和态矢量常常被解释为对粒子状态的概率描述，而非实际存在的物质。
在量子力学的发展历程中，波函数和态矢量的概念经历了多次的演化和解释。
什么是量子力学的量子力学力学量和态矢量
什么是量子力学的量子力学力学量和态矢量？量子力学中的量子力学力学量和态矢量是描述量子体系的重要概念。
下面我将详细解释量子力学力学量和态矢量，并介绍它们的特性和相互关系。
1. 量子力学力学量:量子力学力学量是指描述量子体系物理性质的可观测量，例如位置、动量、角动量、能量等。
在量子力学中，每个力学量都对应一个线性厄米算符，称为观察算符。
观察算符是一个作用在波函数上的算符，用于计算量子体系在给定力学量上的测量结果。
观察算符的本征值问题是量子力学中的重要问题，它涉及到观察算符的本征值和本征态。
观察算符的本征值是对应于量子体系在给定力学量上的可能测量结果，而本征态是对应于观察算符的本征值的态。
量子力学力学量具有以下特性：-量子力学力学量的测量结果是离散的，而非连续的。
这是与经典物理的区别之一。
-量子力学力学量的测量结果是随机的，遵循概率分布。
这是与经典物理的另一个区别。
-量子力学力学量的测量会导致波函数的坍缩，即波函数从可能的态坍缩到与测量结果相对应的本征态上。
2. 态矢量:态矢量是量子力学中描述量子体系的数学工具，它是一个复数的矢量，通常用符号|ψ⟩表示。
态矢量包含了量子体系的所有信息，包括位置、动量、自旋等性质的概率分布。
它可以表示量子体系的可能态和相应的概率。
态矢量具有以下特性：-态矢量是在希尔伯特空间中的向量，它可以进行线性组合和叠加。
-态矢量的模长的平方给出了量子体系处于某个状态的概率。
即，对于态矢量|ψ⟩，|⟩ψ|ψ⟩|^2表示量子体系处于态矢量|ψ⟩的概率。
-态矢量的归一化条件要求其模长的平方等于1，即⟩ψ|ψ⟩=1。
态矢量与量子力学力学量之间的关系可以通过观察算符进行描述。
观察算符作用在态矢量上，可以得到观察算符对应的物理量的期望值和本征值的概率分布。
量子力学力学量和态矢量是量子力学中关键的概念，它们帮助我们描述和理解量子体系的物理性质和行为。
它们的研究和应用对于量子信息科学、量子计算和量子通信等领域具有重要意义。
量子力学中的态矢量与态空间解析
量子力学中的态矢量与态空间解析量子力学是描述微观粒子行为的理论，它的基本概念之一是态矢量和态空间。
在量子力学中，态矢量是描述一个量子系统的状态的数学工具，而态空间则是所有可能的态矢量构成的向量空间。
本文将详细解析量子力学中的态矢量与态空间。
首先，我们来了解一下态矢量的概念。
态矢量通常用符号表示，比如|ψ⟩。
它是一个复数向量，可以表示一个量子系统的状态。
态矢量的模长的平方表示该系统处于某个状态的概率，即|ψ|²。
态矢量的方向则表示该系统的相位信息。
态矢量可以在一个向量空间中表示。
这个向量空间就是态空间。
态空间是一个复数向量空间，它的维度由系统的自由度决定。
比如，对于一个自旋为1/2的粒子，它的态空间是一个二维复数向量空间。
态空间中的每个向量对应着系统的一个可能状态。
态矢量和态空间之间的关系可以用一个简单的例子来说明。
考虑一个自旋为1/2的粒子，它的态空间是一个二维复数向量空间。
我们可以用两个基矢量来表示这个态空间，比如|↑⟩和|↓⟩，分别表示自旋向上和自旋向下的状态。
那么，任意一个态矢量|ψ⟩可以写成这两个基矢量的线性组合，即|ψ⟩=α|↑⟩+β|↓⟩，其中α和β是复数系数。
这样，态矢量就可以表示为一个二维复数向量。
在量子力学中，态矢量的演化可以用薛定谔方程来描述。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，它描述了量子系统的时间演化。
薛定谔方程可以写成iħ∂/∂t|ψ⟩=H|ψ⟩，其中ħ是约化普朗克常数，H是系统的哈密顿算符。
薛定谔方程告诉我们，态矢量随时间的演化是由哈密顿算符决定的。
态矢量还可以进行叠加和测量。
当两个态矢量叠加时，它们的模长平方的和表示系统处于这两个态的概率。
测量一个态矢量时，我们可以得到一个确定的结果，这个结果对应着系统塌缩到某个特定的态上。
态空间的另一个重要性质是正交性。
在量子力学中，如果两个态矢量正交，即内积为零，那么它们表示的是互相不可区分的状态。
正交性是量子力学中很重要的概念，它与测量和观测的结果密切相关。
-第1章-量子力学基础详细讲解
1.3.4 表象变换 设有两个表象A和B，其基矢分别为、。 （a）态矢的表象变换 在表象A中，可将任意态矢展开为 ，； 在表象B中，可将同一个态矢展开为 ，。 所谓态矢的表象变换，就是要建立和之间的关系。
（1.28） （1.29）
， （1.30） 其中
（1.31） 矩阵称为表象A和表象B之间的变换矩阵。（1.30）式可简写成
态矢量的归一化条件为 （1.23）
在连续变量表象中，完备性条件为 （1.24）
任意态矢量可展开为 （1.25a）
其中 （1.25b）
是态矢在表象中的表示，也就是通常讲的波函数。可见，态矢量在连续 表象中表现为一个普通函数。
态矢量的归一化条件为
（1.26） 可见，选定了一组基矢，就选定了一个表象；这类似于，选定了一 组单位矢量，就选定了一个坐标系。常用的连续表象有坐标表象和动量 表象；常用的离散表象有能量表象和角动量表象。
由于线性厄密算符的上述性质，在实验上可观测的力学量（如：坐 标、动量、能量、角动量、自旋等）均用线性厄密算符表示。不过，我 们也会遇到一些非常重要的非厄密算符，如光子产生算符、光子湮灭算 符等。
算符在量子态中的期望值（平均值）记为 （1.12a）
平均值为c数。若将态矢量按（1.11a）式用算符的本征态展开，则平均 值的计算如下：
1.4.2 纯态和混合态举例 (a) 纯态： 光子数态（photon-number state） ，其密度算符为 （1.51）
其中为光子数。 相干态（coherent state），其密度算符为 （1.52）
（1.18） 其中 。例如，坐标和动量的对易关系为
其不确定度关系为
（5） 全同粒子假设 作为量子力学的一条基本假设，认为所有的同一类粒子（例如所有 的电子、所有的光子等）的各种固有属性都是相同的，即同一类粒子是 全同的粒子。因而，在由全同粒子组成的系统中，交换其中任意两个粒 子不会改变系统的状态，这导致描述全同粒子系统的波函数对粒子的交 换要么是对称的，要么是反对称的。 研究发现，全同粒子可分为两大类，一类称为玻色子，其自旋为零 或正整数（，…）；另一类称为费米子，其自旋为半奇数（，…）。玻 色子和费米子具有完全不同的性质，例如，描述玻色子系统的波函数对 粒子的交换是对称的，而描述费米子系统的波函数对粒子的交换是反对 称的；玻色子服从玻色-爱因斯坦统计，而费米子服从费米-狄拉克统 计。
量子物理学10-态矢量20170106
它们之间的变换关系为
其中
∑ bi = a j a j bi
j
∑ ai = bj bj ai
j
∗
bj ai = ai bj
考虑量子力学中的复数对偶空间，着眼于态矢量的表象变换，即采用被动观点。
在 n 维矢量空间中选取一套基矢 e(i) ，每个矢量 a 可按它展开为
n
∑ a = αi e(i)
i =1
选取另一套基矢 e′( j) ，同一矢量 a 又可展开为
i, j
i, j
i, j
∑ ∑ = Ci*Ciai = Ci 2 ai
i
i
这表明在个别测量中出现本征值 ai 的概率为概率幅的模方 Ci 2 。
量子力学有关测量的基本假设还认为：测量后被测的量子态立即坍缩到相应的本征态。
在第一次测量时得到一个结果 ai ，紧接着进行第二次测量必然也会得到 ai 的结果而不可能
把代表概率幅的尖括号拆成两半的方法首先由狄拉克（P.A.M.Dirac）提出。英文中括号
叫做 braket，狄拉克把它拆开为 bra 和 ket，分别称为左矢和右矢，记作 χ 和 φ 。在量子
力学中，左矢 χ 和右矢 φ 与态基的选择无关； χ i 和 i φ 则表示态矢量在特定坐标架
上的分量。态矢量 χ φ 表示处于 φ 的量子系统处在 χ 态的概率幅， χ φ 2 为该量子
Hˆ
⎩ ∂t
有
∂
φ(t) Aˆ φ (t)
∂ φ (t)
=
Aˆ φ (t) +
φ (t) Aˆ ∂ φ(t)
∂t
∂t
∂t
=
i h
φ (t) HˆAˆ φ (t)
+
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序章基本背景知识1、量子力学得基本要素就是:「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」(简单解说:粒子在任一时刻都具有一个「状态」,粒子具有得某些可测量得性质(位置、动量、角动量、自旋,etc)称为「可观测量」,而测量粒子得这些性质得过程就就是「观测行为」,俗称“做实验”)2、初等量子力学得任务就是:(1)预测「对一个系统(“态”)进行实验(“观测”)得到得实验结果(观测结果)」(2)寻找“态”随时间得「演化」规律3、从旧量子论到现代量子力学:(1)普朗克能量量子化假设(1900年) (2)爱因斯坦光量子假说(1905年)(3)光得波粒二象性(1909年) (4)玻尔模型(1913年)(5)斯特恩-盖拉赫实验(1922年)(6)德布罗意假设:物质波假说,粒子动量(1924年)(7)乌伦贝克-古兹米特自旋假说;泡利不相容原理;海森堡-矩阵力学(1925年)(8)薛定谔-波动力学(1926年)波函数统计诠释:就是概率密度函数,(1926年)(9)海森堡不确定性原理;玻尔得互补原理:观测影响状态(1927年)(10)态叠加原理;《量子力学原理》(狄拉克,1930年)4、量子力学与经典力学得比较:量子力学经典力学研究对象在t时刻得位置无法确定只能确定在得出现概率可以确定t时刻得动量与速度无法确定,速度无意义只能确定具有得概率且不可同时确定位置与动量位置、动量与速度同时确定研究对象得状态得描述波函数(复函数)或态矢量(复矢量)(实矢量函数)状态得演化方程薛定谔方程(复系数方程) 牛顿第二定律(实系数方程)观测行为会影响对象(只有时间测量不影响)不会影响对象测量精度受不确定性原理限制且“某些”量无法同时测定可达到任意高可以同时测定所有物理量预测得测量结果某个结果出现得概率确定得值实际得测量结果确定得值或可能取值得统计平均确定得值*量子力学得测量:在量子领域,在实验中通常事先准备好大量具有相同状态得粒子(这称为「系综」(esemble)),同时测量它们得「物理量」Q,然后考察统计平均值。
这就是由于测量行为会直接改变粒子得状态(所谓得“坍缩”),导致重复实验得结果平均值失去意义(一旦某粒子坍缩到了状态A,之后得一切实验结果也都只会就是A)关于力学量测量结果得详细讨论,见第三章*不确定性原理:位置与动量无法同时确定,严格来说就是指其之一得测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果,这就是不确定性原理得结果,详见第二章第7节第一章态矢量与态空间本章提要:本章讨论量子力学得研究对象——态矢量与态空间。
沿着三维实空间→复空间→内积空间&函数空间→无穷维空间得路线,将三维线性空间中得向量展开、矩阵形式、坐标、基、内积、长度、正交性等概念推广到高维向量空间及函数空间,最后再到无穷维空间。
然后介绍态矢量得相关性质。
在这过程中,引入了简洁得狄拉克符号重新表示这些概念。
最后给出量子力学第一条公设作为总结。
1、态矢量:狄拉克指出粒子得量子态满足叠加原理。
在经典物理学,用向量来描述符合叠加原理得物理量(如电场强度、力…)就是惯用得做法。
叠加原理适用于任何线性空间,于就是,考虑在向量空间(又称线性空间)中处理量子力学。
简单来说,用一个称为「态矢量」得矢量来描述粒子得状态,一般记作。
考虑到波函数就是复变函数,它应该就是一个复矢量。
①在介绍量子力学使用得数学空间(希尔伯特空间)前,先来回顾线性代数得基本理论:②实线性空间得定义:见同济高数第六章第一节③复线性空间得定义:在上述定义基础上,把条件改写成(复数域)2、三维实线性空间:三维实向量全体构成三维实线性空间,为我们所熟知得空间①向量得展开:一个向量可以被表示为,其中称为基(向量),称为向量在基下得坐标。
需要指出这样得分解就是唯一得。
②向量得矩阵表示:一个向量还可以被表示为一个列矩阵,注意矩阵表示中不出现基向量③基:空间里得一组向量构成基向量组得条件就是(1)这组向量线性无关(2)任一向量在这组基下得坐标就是唯一得④维数:空间得维数就是最大基向量组中向量得个数⑤点积:又称数量积,两个向量得点积被定义为,它也有矩阵形式;点积(内积)具有得性质就是(同济线代第五版P111)⑥向量得长度:定义为模长。
特别地,若,称其为单位向量⑦垂直:时称两个向量垂直。
至此可对直角坐标系得常用基下精确定义:如果基向量组内任意两向量满足,就称为这组基为「标准正交基」,比如3、三维复线性空间:在基础上,在标量乘向量得规则中允许标量为复数,这时向量也就成为复向量(「坐标」就是复数得矢量),这样就得到三维复线性空间。
这时,要注意引入复共轭带来得变化4、复线性空间:现在考虑n维复线性空间,把这空间里得一个矢量记作,称为右矢主要性质:在此列举几条重要性质()(1) (2)(3)(4) (5)(6)展开:, 称为基,称为坐标矩阵表示:5、内积空间:现在我们在里定义内积,它可瞧作中两个复向量与得“点积”①内积定义:定义运算,若运算满足下列四条性质就称为内积(1) (2)(3)且(4)②范数:仿照中向量长度得定义,定义(广义得)长度称为范数(norm),若就称为单位向量/标准化向量(normalized vector)③正交性:仿照中向量垂直关系得定义,定义(广义得)垂直,称为正交至此可定义两矢量标准正交(orthonormal)得条件:④向量在标准正交基下展开:我们在高中就知道向量用标准正交基展开就是非常简便得,从这一节开始往后,凡就是涉及到向量展开,都只讨论在标准正交基下得展开⑤对偶空间:之前提到复空间中引入了「复共轭」操作,现在就来讨论它。
对复数取共轭得到共轭复数,那么对复矢量取共轭应该也得到共轭向量。
可以证明,完备内积空间内得每个右矢得共轭向量构成一个,这空间称为对偶空间,且对偶空间与原空间同构(即两空间得向量一一对应)⑥左矢:不妨称右矢得复共轭为左矢。
但就是,若我们再把右矢得矩阵表示考虑进来,知道右矢可表示为一n列矩阵,内积就是一个数,则左矢应该要表示为一n行矩阵。
综合转置与共轭得要求,重新定义:左矢为右矢得共轭转置,记作⑦左矢与右矢得理论综述:(1)左矢与右矢得关系:左矢为右矢得共轭转置,记作(2)左右矢得展开:,,(3)左右矢与范数得矩阵表示:,则(4)内积得矩阵表示:,当(5)向量在标准基下得坐标:,;,(6)两个常用投影形式:,6、函数空间:波函数就是复变函数,且根据玻恩得统计诠释,它还就是(模)平方可积得。
我们先不详细研究波函数,考察所有平方可积函数(它们显然满足加法与标量乘规则)构成得复线性空间(暂不讨论定义域),并试图按内积得四条性质给函数定义“函数得内积”(您可以把函数理解为:①在第(比如2、3)个基方向上坐标恰为②分量式中指标可取一切正实数得无穷维向量,虽然这说法不严密,但它能帮助您更快理解后几章得内容)①函数得内积:仿照向量得内积,不妨定义函数内积为这样就要求范数平方可积,从而去掉了所有平方不可积得函数②函数得正交性:称两函数正交,这概念已经与“垂直”无关③函数得归一化:称函数可归一化于就是一族正交归一得函数定义如下:④函数在标准正交基下展开:7、无穷维希尔伯特空间:定义在复数域上得、完备得、无穷维内积空间,就就是量子力学所要求得空间,又称「态空间」。
①态矢量得基本概念:(1)定义:态矢量就是态空间中得矢量,描述粒子得一个状态(量子态)(2)狄拉克符号:把称为右矢(ket),称为左矢(bra),合起来就就是,表示内积左右矢关系:,物理上称两量子态共轭(3)范数:规定,这就是因为(见第三章第三节)(4)相位:规定与描述粒子得同一个状态,由范数要求知,但相位无影响(5)态矢量得展开:这个问题涉及到表象得相关理论,将在第三章讨论②第一公设——量子态公设:量子系统在任意时刻得状态(量子态)可以由无限维希尔伯特空间中一个范数为1得态矢量来描述,这态矢量完整地给出系统得所有信息,并且遵守态叠加原理8、(附录)完备性:从内积空间到我们得目标,希尔伯特空间,它们之间只相隔一个完备性。
现在就从数学观点来讨论什么就是完备性。
(1)向量集得完备性:若一组标准正交矢量并不包含在一个比它更大得标准正交矢量集合中,就称这标准正交矢量集就是完备得,简称「完备基」。
换而言之,在有限维向量空间中,若标准正交矢量集得元素数=空间维数,就一定就是完备得性质:向量空间中得任意向量都可用同一组完备基展开(或“一组完备基生成这个空间”) 对一个空间来说,完备基得选择不就是唯一得示例:在中,就是标准正交矢量集但不完备(包含于,无法展开带z分量得向量),才就是一个完备基,也就是完备基(2)内积空间得完备性:数学上对空间完备性得定义就是——空间中得任何柯西序列都收敛在该空间之内。
有限维内积空间都就是完备得(证明见泛函分析);数学上把一切完备内积空间统称为希尔伯特空间,记作。
无穷维内积空间中,只有希尔伯特空间就是完备得(3)函数系得完备性:函数空间中有一标准正交函数系,若对任何连续函数,都有,就称就是完备得,简称「完备基」。
性质:任意连续函数都可用同一完备基展开,即(条件为)对一个空间来说,完备函数基得选择不就是唯一得示例:勒让德多项式、三角函数系、拉盖尔多项式、厄米多项式(4)函数空间得完备性:函数空间就是以函数为元素得内积空间。
故当空间内得函数组成得任何柯西序列都收敛在空间内,就称该函数空间就是完备得(5)函数空间完备化:把所有得柯西列得极限(函数)都“扔进”空间里把“洞”填上示例:所有多项式组成得空间中,包含一个函数序列,但却没有包含序列得极限,所以就是不完备空间。