量子力学_7.1量子态的不同表象和幺正变换
合集下载
量子力学 第7章-2(第20讲)
H
p' p"
p2 2m
p
'
p "
V
i
p
'
p
'
p
"
2． 力学量的表象变换
力学量 Fˆ 在表象A中的表示矩阵：
Fmn
m
(
x)Fˆ
n
(
x)d
x
在表象B中的表示矩阵：
F (x)Fˆ (x)d x
F Fmn
F F
Sm
m
(
x)
Fˆ
n
(
x)d
x Sn
mn
Sm FmnSn
问题？
坐标算符、动量算符、动能算符、任意力 学量算符在坐标表象、动量表象、 Q表象 （任一力学量表象）中分别如何表示？
力学量算符从一个表象如何变换到另一个 表象？
幺正变换有何主要性质和特点?
力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示
坐标表象
xˆ x
Pˆx i
x
Tˆ
2
2m
2 x2
动量表象
xˆ i p x
a1(t)
(q, t)
an
(t
)
任一态矢 (x, t) an (t)un (x)
n 1
(r, t)
an (t)
un*
(r)
(r ,
t
)
d
3
r
(q, t)是粒子状态波函数 (r , t) 在Q 表象中的表示，
称为Q 表象波函数
量子力学表象与几何空间坐标系的比较
量子力学表象
Ai Aei
矢量:
A1
A
A2
幺正变换在量子力学中的作用
幺正变换在量子力学中的作用量子力学是描述微观世界中粒子行为的一门物理学理论。
在这个领域中，幺正变换是一种重要的数学工具，它在量子力学的各个方面都发挥着重要的作用。
幺正变换是指保持向量长度不变的线性变换。
在量子力学中，一个物理系统的状态可以用一个向量表示，这个向量称为态矢量。
幺正变换可以将一个态矢量映射到另一个态矢量，而保持它们的长度不变。
这种性质使得幺正变换在量子力学中的应用非常广泛。
首先，幺正变换在量子力学中的一个重要应用是描述量子态的演化。
根据量子力学的演化方程，一个量子态在时间演化中会发生变化。
而幺正变换可以用来描述这种演化过程。
通过对演化算符进行幺正变换，我们可以得到一个新的算符，它描述了系统在不同时间点的态矢量之间的关系。
这种描述方式不仅简洁，而且符合量子力学的基本原理。
其次，幺正变换还在量子力学中的对称性研究中起到了重要的作用。
对称性是自然界中普遍存在的一种规律，而幺正变换可以用来描述物理系统的对称性。
通过对态矢量进行幺正变换，我们可以得到一个新的态矢量，它描述了系统在对称操作下的行为。
这种对称性的研究不仅有助于我们理解物理现象，还为我们设计新的实验方法和技术提供了指导。
此外，幺正变换还在量子力学中的测量理论中发挥着重要的作用。
量子力学中的测量是一个复杂的过程，而幺正变换可以用来描述测量过程中的变换关系。
通过对测量算符进行幺正变换，我们可以得到一个新的算符，它描述了测量结果与原始态矢量之间的关系。
这种描述方式有助于我们理解测量的本质，并为我们设计新的测量方法和技术提供了思路。
最后，幺正变换还在量子力学中的量子计算和量子通信中发挥着重要的作用。
量子计算和量子通信是量子信息科学的两个重要分支，它们利用量子力学中的幺正变换来进行信息的处理和传输。
通过对量子态进行幺正变换，我们可以实现量子比特之间的相互作用和信息的传递。
这种幺正变换的应用不仅有助于我们提高计算和通信的效率，还为我们开辟了新的信息处理和传输的前沿领域。
第7章 量子力学的矩阵形式与表象变换
这组数(a1,a2, … an, …)就是态ψ在Q表象中 的表示。可用列矩阵表示。设ψ是归一化的， 那么就有
* * d a a u m n mun d 2 mn
a an mn a an 1
* m * n mn n
9
由此可见，|an|2是ψ所描述的态中测量力学量Q所
ˆ 的共同本征态un(n代表 的任何一个力学量完全集 Q
一组完备的量子数，并先考虑分立谱情况)可以用
来构成此态空间的一组正交归一完备基矢，称为Q
表象。基矢满足正交归一性
(u m , u n ) mn
8
按态叠加原理，体系的任何一个态ψ可以用它们 展开
an u n
n
其中an (u n , )
为λ。可见，幺正变换不改变算符的本征值。
ˆ 自身的表象， 如果F' 是对角矩阵，即B表象是 F ˆ 本征值的问题归结为寻找一个幺正变换把算符 F
ˆ 的本征值。于是求算符 那么F' 的对角元素就是 F ˆ 自身的表象，使 F ˆ 的矩阵 从原来的表象变换到 F 表示对角化。解定态薛定谔方程求定态能级的问
ˆ 在A表象中的本征值方程为Fa=λa。λ为本 设F
征值，a为本征矢。通过幺正变换将F和a从A表 象变换到B表象，则有
F ' SFS ; b Sa
1
在B表象中有
F ' b (SFS1 )Sa
SFa Sa b
即 F'b b
19
ˆ 在B表象中的本征值仍 这个本征值方程说明算符 F
am ' u m ' an u n
第五章量子力学的矩阵形式和表象变换
例题： 例题：一维粒子运动的状态是
Axe , x ≥ 0 ψ ( x) = { 0, x ≤ 0
求1）粒子动量的几率分布； ）粒子动量的几率分布； 2）粒子的平均动量 ）
∞
− λx
∫x
0
ν −1 − µx
e
dx =
1
µ
ν
(ν − 1)! (ν ∈ N 0 )
解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化 由于波函数为归一化，
∫
∞
0
( x − λx )e
2
− 2 λx
dx
3. 能量表象
考虑任意力学量Q本征值为λ 考虑任意力学量 本征值为λ1, λ 2,…, λ n…,对应的正交本 本征值为 对应的正交本 则任意波函数ψ ） 征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数ψ（x）按Q的 的 本征函数展开为 本征函数展开为
P2 H = T +V = + Fx 2m
在动量表象中， 的 在动量表象中，x的 算符表示为
1 ψ p (x) = e 1/ 2 (2πh)
i px x h
i px x h
d i 1 ψ p ( x) = x e 1/ 2 dp h (2πh )
d i ˆ = xψ p ( x) x = ih dp h
总结
直角坐标系中，矢量 的方向由 三个单位矢量基 直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基 三个单位矢量 决定，大小由 三个分量（基矢的系数）决定。 矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。
在量子力学中，选定一个 表象 表象， 在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数 的本征函数 u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢，有无限多个。 看作一组基矢 看作一组基矢，有无限多个。 大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。 大小由 系数决定。 系数决定 所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的 所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的 空间函数，基矢是正交归一的波函数。 空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为 希尔伯特（ 希尔伯特（Hilbert）空间 ）空间. 常用的表象有坐标表象、动量表象、 常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角 动量表象
量子力学变换幺正变换
4.4 幺正变换
对角线上的元素就是它的本征值。现在又证明了表象变换不
改变算符的本征值。因此如果通过表象变换，使算符变回到
自身表象，或者说，通过一个幺正变换 ，使S得并不对角化
的 矩阵，F变成对角化的 矩阵，F 则
F S矩1阵FS对
角线上的元素，就是相应的本征值。于是，求本征值的问题
就归结为使矩阵对角化的问题。
= Sm Sm (S S ) m
（4.4.11）
4.4 幺正变换
或写成
SS I
I 是单位矩阵。
由
Sn Sm Sn Sm*
=
* n
(
x)
(
x)dx
m (x)* (x)dx
再将m (x) 按 { (x)}展开
m (x) Cm (x)
将（4.4.14）式代入（4.4.13）式得
S
4.4 幺正变换
或简写为
S
（4.4.9） （4.4.10）
以 Sn为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。这个矩阵把 A表
象的基矢 n变换为 B表象的基矢 n。
下面我们讨论变换矩阵 S 一个基本性质：
* (x) (x)dx
=
* m
(
x)Sm*
n
(
x)Sn
dx
nm
= Sm* Sn mn nm
0
1
ei
1
1 0
=
0
1
因此一般说来要使算符对应的矩阵对角化就要求出对应得的本征函数系然后把对应于不同本征值的本征函数按列排好以构成幺正矩阵在某一表象中的矩阵为其中为常数求
4.4 幺正变换
和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子 态或者同 一个算符也可以在不同表象中表示。在高等数学中，这些不同坐标 系的表示可通过同一个坐标变换把它们联系起来。在量子力学中， 这些态或算符的不同表示也可以用表象变换把它们联系起来。而且， 物理规律应当具有协变性：即物理规律与所选择的用以描述它们的 坐标系无关。同样，在量子力学中算符的本征值也应与所选用的表 象无关，因为本征值就是在相应的本征态中观测算符所对应的力学 量时的观测值，是实验测量所得到的值。
量子力学__07量子力学的矩阵形式与表象变换
x
')
k
则任一态函数 在F表象中的具体形式： ak k
k
a1
a
2
或者
ak
其中 ak ( k , )
在 F 表象中 F 的基矢集 { , 1, 2,...} 满足
( , )
正交归一性
*(x ') (x) (x x ')
完备性
则任一态函数 在 F 表象中的具体形式： a
具有分立本征值的情况
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn , ...。 相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函 数展开：
证：
( x, t) an(t)un( x)
n
an(t) un *(x)(x.t)dx
证明：变换矩阵 S 为一幺正矩阵。即 S S I , SS I
描述基矢之间的关系。
因此，当R矩阵给定后，任何矢量在两个坐标系中的表示 之间的关系，也随之确定。
4. 变换矩阵R的性质 由于变换矩阵具有如下性质：
R( )R( ) R( )R( ) 1 det R( ) 1
这种矩阵称为真正交矩阵。
又由于 R*( )=R( ) 所以 R ( )R( )=R( )R ( )=1
an(t)
aq (t )
a1(t)* a2(t)* an(t)* aq(t)*
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
量子态在不同表象中具体形式的变换
在F表象中 F的基矢集 { k , k 1, 2,...} 满足
( k , j ) kj
正交归一性 完备性
* k
(
x
量子力学讲义第七章讲义
(8)
是|>在F表象中的基矢|j>方向的投影。式(8)即的本征方程在F表象中的表
述形式。
(6) A2=0，但A=0不一定成立
5、对角矩阵 6、单位矩阵
除对角元外其余为零 即
单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A，并且与任何矩阵都是可
对易的：IA=AI
7、转置矩阵：把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转
置矩阵。
m列n行n列m行 共轭矩阵： m列n行n列m行转成共轭复数
8、厄密矩阵：
矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标
系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展
开系数，在F表象中态矢量可用这组分量来表示。
F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的 抽象的函数空间，称为Hilbert空间。
§7.2 力学量(算符)的矩阵表示
它就是与本征值相应的本征态在F表象中的表示。 给定算符如何求本征值与本征函数 ——（1）先求用矩阵表示的本征 方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程 求本征函数。
4、 举例： 例1、已知体系的哈密顿算符Ĥ与某一力学量算符在能量表象中的矩阵 形式为：
， 其中和b为实常数，问
(1)、H和B是否是厄密矩阵； (2)、H和B是否对易； (3)、求算符的本征值及相应的本征函数； (4)、算符的本征函数是否也是Ĥ的本征函数。
态矢与的标积记为，
而记为
若，则称与正交；若，则称为归一化态矢。 设力学量完全集F的本征态（离散）记为|k>，它们的正交归一性表
示为
连续谱的本征态的正交“归一性”，则表成函数形式。 例如动量本征态，，坐标本征态，等。
量子力学中的幺正变换描述量子系统的变换
量子力学中的幺正变换描述量子系统的变换量子力学是研究微观粒子行为的理论框架，它揭示了微观世界的非经典性质。
量子系统的变换是其中一个重要的研究方向，而幺正变换是描述量子系统变换的数学工具之一。
本文将重点探讨幺正变换在量子力学中的应用以及其在描述量子系统变换中的作用。
一、幺正变换的概念与性质幺正变换又称为幺正操作，是指在量子力学中保持内积不变的线性变换。
对于一个量子态向量ψ，经过幺正变换U后，可以表示为Uψ。
幺正变换具有以下性质：1. 保持内积不变：幺正变换保持内积的不变性，即⟨ψ1|ψ2⟩经过幺正变换U后，仍为⟨Uψ1|Uψ2⟩。
2. 保持归一性：若原始态矢量ψ经过幺正变换后，幺正变换矩阵U 满足U†U=I，其中I为单位矩阵，则经过幺正变换后的态矢量Uψ仍然被归一化。
3. 保持可逆性：幺正变换具有可逆性，即存在逆变换U†，使得UU†=U†U=I。
二、幺正变换的应用1. 表示量子力学中的可观测量：在量子力学中，可观测量由厄米算符表示。
一个厄米算符A可以通过幺正变换U与一个对角化算符D联系起来，即A=UDU†。
这种对角化的过程简化了对可观测量的研究。
2. 描述量子系统的变换：幺正变换是描述量子系统变换的重要工具。
例如，当一个量子系统受到外界干扰或作用时，可以用幺正变换来描述系统从一个状态变换到另一个状态的演化过程。
这种变换可以应用于描述粒子的位置、动量、自旋等物理量的变化。
三、幺正变换的数学表示幺正变换的数学表示可以通过矩阵运算来实现。
幺正变换矩阵满足以下条件：1. 形式上为一个幺正矩阵：幺正变换矩阵U满足U†U=UU†=I，其中U†为U的厄米共轭矩阵。
2. 厄米算符的指数函数：若H为一个厄米算符，幺正变换可以表示为U=e^(iHt)，其中t为时间参数。
幺正变换的数学表示使得我们可以通过矩阵运算来描述系统的变换，同时保持量子态的归一性和内积不变。
四、实例：量子比特的旋转量子比特是量子计算中最基本的单位，通常用二维希尔伯特空间来描述。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(10)
0 1/ 2 ( pmn ) ia 0 0
1/ 2 0 2/2 0
0 2/2 0 3/ 2
0 3 / 2 0 0
(11)
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
而
( k , j ) kj (10)
ak k (11)
对于任意态矢量 ，可以用它们展开 其中
k
ak ( k , )
这一组数 （a1 , a2 ,）就是态(矢)在F表象中的表示， 它们分别是态矢与各基矢的标积. 与平常解析几何不同的是： ①这里的“矢量”(量子态)一般是复量； ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的. 现在考虑同一个态在另一组力学量完全集 F′中的表示. F′表象的基矢,即F′的本征态 'a ,它们满足正交归一性
四、不同表象中基矢的关系 量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。
形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量 子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一 组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的一组 正交归一完备的基矢（称为F表象）
或记为
A1 A1 R ( ) A2 A2
cos R( ) sin sin cos (6)
把A在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵 矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积， 它表示基矢之间的关系.故当R 给定，则任何一个矢 量 在 两 坐 标 系 间 的 关 系 也 随 之 确 定 .
(12)
是一个对角矩阵 任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵.
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
三、力学量的表象变换
ˆ ) Lkj ( k , L F表象（基矢k）中，力学量L表示为矩阵（Lkj）,矩阵 j 元 ˆ ) ( a ,L F′表象（基矢a）中，力学量L表示为矩阵（L'a）,矩阵元 La
L12 L22
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
7.3 量子力学的矩阵形式
7.3.1 Schrö dinger方程
ˆ i H t (1)
在F表象中(设F本征值为离散)
(t ) ak (t ) k
k
(2)
代入（1）式得
, ) a (12) ( a
对于任意态矢量 ，可以用它们展开
a aa
a
(13)
( a , ) aa , ） 就是态(矢)在F'表象中的表示， 这一组系数（a1, a2
, a2 , ） 有何关系 （a1 , a2 ,） 与 （a1 显然 a ak k aa
kj kj
L SLS SLS 1
(14)
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
L ( Lkj ) ˆ 在 F 和 F′表象中的矩阵表示 分别表示力学量 L L ' ( L 'a )
S ( Sa k ) 是从F表象→F′表象的么正变换 , k ) Sa k ( a
pmn
n 1 d n ( m , i n ) ia m,n 1 m,n 1 dx 2 2
注意：这里的m、n都是由0开始取值.这样
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
0 1/ 2 0 1/ 2 1 ( xmn ) 0 2/2 a 0 0 0 2/2 0 3/ 2 0 3 / 2 0 0
1 n n 1 x n n 1 n 1 a 2 2 (9)
n d n 1 n a n 1 n 1 dx 2 2
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
可以计算出
x mn 1 n 1 n ( m , x n ) m,n 1 m,n 1 a 2 2
(i, j 1, 2)
(1')
在此坐标系中,矢量A表示成
e1 A2 e2 A A1
其中投影分量是
, A)， A1 (e1
(e2 , A) A2
(2')
同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系？ 根据(2)和(2')式
e1 A2 e2 A1e1 A2e2 (3) A A1
所以
H mn 1 ˆ ( m , H n ) E n mn (n ) mn 2
0 0 1/ 2 0 0 0 3/ 2 0 ( H mn ) 0 0 5/ 2 0 0 0 7/2 0
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
三、总结与比较
F 表象（基矢 k）
量子态
a1 a a2 , ak ( k , )
） F 表象（基矢 a
a1 a a2 , aa ( a , )
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
二、例：求一维谐振子的坐标 x、动量 p以及Hamilton量 H 在能量表象中的表示. [分析]：不同体系的Hamilton量不一样，能量表象的基矢 也不一样.这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamilton量 的本征函数 n ( x) 解：利用一维谐振子波函数的递推关系
ˆ 运算后变成另一个态f 与上类比,设量子态经过算符 L
ˆ fL
在F表象中,上式表示为
k k
(5)
k
b
ˆ ak L k
k
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
两边左乘 j ,取标积，得
ˆ )a L a bj ( j , L k k jk k
仍以平面矢量作类比
AB
（逆时针转动角） 在坐标系x1x2中，它们分别表示成
A A1e1 A2e2 A ( A1 , A2 )
B B1e1 B2e2 B ( B1 , B2 ) (1)
令பைடு நூலகம்
B R( ) A
(2)
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
三、变换矩阵的性质 变换矩阵R 具有下述性质：
RR I RR
(7)
是R的转置矩阵 R
cos det R sin
sin 1 (8) cos
真正交矩阵
R * R （实矩阵）
~ 1 R R R R
*
RR R R I (9)
*第 7 章 量子力学中的矩阵形式 与表象变换
7.1 量子态的不同表象，么正变换
一、直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1，彼此正交
(ei , e j ) ij
(i, j 1, 2)
(1)
标积
我们将其称之为基矢的正交归一关系.
平面上的任一矢量 A 可以用它们来展开
k ( k , a ) Sa k k a
* k k
, k ) Sa k ( a j ( j , ) S j j
*
(13)
得 即
j
j
ˆ )S * S L S (SLS ) Sa k ( k , L La j j a k kj j a
ˆ 力学量 L
L11 L ( Lkj ) L21 ˆ ) L ( , L
kj k j
L12 ... L22 ...
L11 ) L21 L ( La ˆ ) ( a ,L La
A1 (e1 , e1 ) A2 (e1 , e2 ) A1
上式分别用e1′和 e2′点乘,得
A1 (e2 , e1 ) A2 (e2 , e2 ) A2
表成矩阵的形式为
(4)
(5)
, e1 ) (e1 , e2 ) A1 A1 (e1 , e2 ) A2 A2 (e2 , e1 ) (e2
ˆ k (t ) k ak H i a k
两边左乘 j ，取标积，得
7.1 量子态的不同表象，么正变换
k
k
量子力学教程(第二版)
a
k
(14)
(15)
(取标积),得 (14)左乘 a
， k）ak Sa k ak aa （ a
k k
， k） （ a 其中 Sa k
(16)
F′表象基矢与F表象基矢的标积
(15)式也可以写成矩阵的形式：
a1 S11 a2 S 21 aa S12 S 22 a1 a2 ak
k k
(6)
(7)
其中
ˆ ) L jk ( j , L k
式(6)表示成矩阵形式则为
b1 L11 b L 2 21
L12 L22
... a1 ... a2
(8)
(3)
7.1 量子态的不同表象，么正变换
量子力学教程(第二版)
把矢量逆时针方向旋转角的操作可用R( )刻画