量子力学变换幺正变换
幺正变换在量子力学中的作用
幺正变换在量子力学中的作用量子力学是描述微观世界中粒子行为的一门物理学理论。
在这个领域中，幺正变换是一种重要的数学工具，它在量子力学的各个方面都发挥着重要的作用。
幺正变换是指保持向量长度不变的线性变换。
在量子力学中，一个物理系统的状态可以用一个向量表示，这个向量称为态矢量。
幺正变换可以将一个态矢量映射到另一个态矢量，而保持它们的长度不变。
这种性质使得幺正变换在量子力学中的应用非常广泛。
首先，幺正变换在量子力学中的一个重要应用是描述量子态的演化。
根据量子力学的演化方程，一个量子态在时间演化中会发生变化。
而幺正变换可以用来描述这种演化过程。
通过对演化算符进行幺正变换，我们可以得到一个新的算符，它描述了系统在不同时间点的态矢量之间的关系。
这种描述方式不仅简洁，而且符合量子力学的基本原理。
其次，幺正变换还在量子力学中的对称性研究中起到了重要的作用。
对称性是自然界中普遍存在的一种规律，而幺正变换可以用来描述物理系统的对称性。
通过对态矢量进行幺正变换，我们可以得到一个新的态矢量，它描述了系统在对称操作下的行为。
这种对称性的研究不仅有助于我们理解物理现象，还为我们设计新的实验方法和技术提供了指导。
此外，幺正变换还在量子力学中的测量理论中发挥着重要的作用。
量子力学中的测量是一个复杂的过程，而幺正变换可以用来描述测量过程中的变换关系。
通过对测量算符进行幺正变换，我们可以得到一个新的算符，它描述了测量结果与原始态矢量之间的关系。
这种描述方式有助于我们理解测量的本质，并为我们设计新的测量方法和技术提供了思路。
最后，幺正变换还在量子力学中的量子计算和量子通信中发挥着重要的作用。
量子计算和量子通信是量子信息科学的两个重要分支，它们利用量子力学中的幺正变换来进行信息的处理和传输。
通过对量子态进行幺正变换，我们可以实现量子比特之间的相互作用和信息的传递。
这种幺正变换的应用不仅有助于我们提高计算和通信的效率，还为我们开辟了新的信息处理和传输的前沿领域。
量子力学的幺正演化与幺正算符
量子力学的幺正演化与幺正算符量子力学是描述微观世界的一种理论框架，它以概率的形式描述粒子的行为。
在量子力学中，幺正演化与幺正算符是非常重要的概念。
本文将深入探讨量子力学中幺正演化与幺正算符的含义、性质以及在实际应用中的重要性。
首先，我们来了解一下幺正演化的概念。
在量子力学中，系统的演化是通过一个幺正算符来描述的。
幺正算符是指满足幺正条件的线性算符，即它的伴随算符等于它的逆算符。
幺正演化是指系统在时间演化过程中，由一个幺正算符所描述的变换。
幺正演化保持了量子力学中重要的性质，如概率守恒和内积守恒。
幺正算符的性质使得幺正演化在量子力学中具有重要的地位。
首先，幺正算符保持了态矢量的长度不变，即它们是单位长度的。
这一性质保证了概率守恒，因为概率是通过态矢量的模的平方来描述的。
其次，幺正算符保持了态矢量之间的内积不变。
内积在量子力学中有着重要的意义，它可以用来计算概率幅和期望值。
幺正算符的这一性质保证了量子力学中的测量结果是可靠的。
幺正演化与幺正算符在量子力学中的应用非常广泛。
例如，在量子力学中，我们可以用幺正演化来描述系统在外界作用下的演化过程。
在这种情况下，幺正算符可以通过系统的哈密顿算符来构造。
哈密顿算符描述了系统的能量和相互作用，通过求解薛定谔方程可以得到系统的能量本征态和能量本征值。
利用这些本征态和本征值，我们可以构造系统的幺正算符，从而描述系统在不同时间点的演化。
另一个重要的应用是量子计算。
量子计算是一种利用量子力学中的幺正演化进行计算的方法。
在量子计算中，量子比特的演化是通过幺正算符来实现的。
通过设计合适的幺正算符，我们可以实现量子比特之间的相互作用、量子门操作等。
这些操作可以用来进行量子算法的实现，如量子搜索算法、量子因子分解算法等。
幺正演化在量子计算中的应用为实现量子计算的高效性提供了基础。
除了上述应用之外，幺正演化与幺正算符还在量子光学、量子信息等领域有着广泛的应用。
例如，在量子光学中，幺正演化可以用来描述光的传播和干涉等现象。
幺正变换和酉矩阵
幺正变换和酉矩阵幺正变换和酉矩阵是量子力学中与矩阵和向量运算密切相关的概念。
它们在量子力学中具有重要的地位和应用。
本文将介绍幺正变换和酉矩阵的基本概念、性质和应用，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、幺正变换的定义和性质幺正变换是指在向量空间中的线性变换，它保持内积不变，并且保持向量的模不变。
设有一个幺正变换U，对于任意的两个向量|x>和|y>，有以下性质：1. 内积不变性： <x|y> = <Ux|Uy>，其中<|>表示内积运算。
2. 模不变性： ||x|| = ||Ux||。
幺正变换在量子力学中具有广泛应用，特别是在描述量子态演化时。
它能够保持态矢量的归一性，同时保持量子态之间的内积关系，具有非常重要的物理意义。
二、酉矩阵的定义和性质酉矩阵是一类具有特殊性质的方阵。
如果矩阵U满足U†U = I，其中U†表示矩阵U的厄米共轭转置，I表示单位矩阵，那么矩阵U就被称为酉矩阵。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 逆存在性：对于任意的酉矩阵U，它的逆矩阵也是酉矩阵，即U†也是酉矩阵。
2. 特征值性质：酉矩阵的特征值的模等于1，即|λ| = 1，其中λ表示酉矩阵的特征值。
3. 列正交性：酉矩阵的列向量两两正交，并且模长为1。
酉矩阵在量子力学中广泛应用于变换算符的表示、量子系统的演化和测量等方面。
由于酉矩阵的特殊性质，它能够保持向量的长度和内积，保证量子力学中的概率守恒和信息的完整性。
三、幺正变换与酉矩阵的关系幺正变换和酉矩阵是密切相关的概念。
实际上，幺正变换可以通过酉矩阵来表示。
设U是一个幺正变换，它可以表示为U = e^(iH)，其中H是一个厄米矩阵。
通过数学推导和证明，我们可以得知，对于幺正变换U来说，其对应的矩阵表示就是一个酉矩阵。
在量子力学中，我们常常通过酉矩阵来描述量子态的变换和演化过程。
对于一个量子系统，如果我们知道了它的初始态和变换算符（或演化算符），那么我们可以通过酉矩阵的性质来计算系统的最终态。
弦理论中的幺正变换
弦理论中的幺正变换弦理论（String Theory）是一种试图统一所有力的物理理论，它假设基本粒子不是点状的，而是由一维的弦状物体组成。
幺正变换（Unitary Transformation）在弦理论中扮演着重要的角色，它是一种保持概率守恒的线性变换。
本文将探讨幺正变换在弦理论中的应用及其重要性。
一、基本概念幺正变换是量子力学中的一个重要概念，它描述了量子系统在状态空间内的变换。
在弦理论中，我们将弦的位置和动量等物理量表示为算符，幺正变换将这些算符进行线性变换，保持物理量的关系不变。
二、幺正性质幺正变换具有一些重要的性质。
首先，幺正变换是可逆的，即存在逆变换，其逆变换也是幺正的。
其次，幺正变换保持内积，即两个态之间的内积在变换后保持不变。
最后，由于幺正变换保持概率守恒，它是保持物理观察的一种变换方式。
三、幺正变换的应用幺正变换在弦理论中有广泛的应用。
首先，它用于描述弦的运动。
幺正变换将弦的位置和动量变换为新的量子态，从而描述了弦的演化过程。
其次，幺正变换用于描述不同弦的相互作用。
通过幺正变换，我们可以将不同弦的相互作用转化为弦的内部相互作用，从而简化了计算过程。
四、幺正变换的重要性幺正变换在弦理论中具有重要的地位。
首先，幺正变换保持了量子态的性质，从而保证了描述物理过程的可靠性。
其次，幺正变换是构建弦的数学框架的基础，它为我们研究弦的运动和相互作用提供了有效的方法和工具。
最后，幺正变换是保持物理规律普适性的重要手段，它使得我们可以将已有的物理学理论与弦理论相结合，以求解更加深奥的物理问题。
总结：弦理论中的幺正变换是一项重要的数学工具，它描述了弦的运动和相互作用。
通过幺正变换，我们可以研究弦理论中更加复杂的物理现象，探索宇宙的奥秘。
幺正变换的应用不仅局限于弦理论，而是具有普适性的数学概念，在物理学的其他领域中也有重要的应用。
通过对幺正变换的深入研究，我们可以进一步理解弦理论的本质，并为我们寻求探索自然规律的道路提供新的思路。
幺正变换和复共轭
幺正变换和复共轭幺正变换是量子力学中一个重要的概念，它在描述物理系统的过程中起到了至关重要的作用。
复共轭则是在复数运算中常常用到的操作，它与幺正变换有着密切的联系。
本文将从幺正变换和复共轭的概念入手，详细探讨它们的关系和应用。
我们先来介绍一下幺正变换的概念。
在量子力学中，幺正变换是指保持内积不变的线性变换。
简单来说，就是当我们对一个量子态进行幺正变换后，它的内积不会发生变化。
这意味着幺正变换是一个保持量子态之间的概率关系不变的变换。
幺正变换可以用一个幺正算符来描述，这个算符满足厄米共轭条件，即其厄米共轭等于其逆。
幺正变换在量子力学中的应用非常广泛。
例如，在量子测量中，我们可以通过幺正变换将待测量的物理量转化为某个已知物理量的本征值问题，从而简化计算。
另外，在量子通信中，幺正变换可以用来对量子比特进行编码和解码，实现信息的传输和处理。
接下来，我们来了解一下复共轭的概念。
在复数运算中，复共轭是指将一个复数的虚部取负得到的新的复数。
例如，对于复数z=a+bi，其复共轭为z*=a-bi。
复共轭在复数运算中有着重要的作用，它能够用来求解复数的模、求解复数的实部和虚部，以及进行复数的除法等。
复共轭与幺正变换有着密切的联系。
事实上，我们可以将幺正变换看作是对量子态的复共轭操作。
在量子力学中，一个量子态可以表示为一个复数的线性组合，即波函数。
当我们对波函数进行幺正变换时，实际上就是对波函数进行了复共轭操作。
这是因为幺正变换保持了量子态之间的概率关系不变，而这种概率关系正是由波函数的模的平方给出的。
幺正变换和复共轭的关系还可以通过厄米算符来体现。
在量子力学中，厄米算符是指满足厄米共轭条件的算符。
我们可以将幺正变换表示为一个厄米算符的指数形式，即U=e^(iH)，其中H是一个厄米算符。
这个表达式中的复数i实际上就是一个复共轭操作，它将厄米算符H变换为了其厄米共轭。
幺正变换和复共轭的应用不仅仅局限在量子力学中，它们在其他领域也有着广泛的应用。
第五章量子力学的表象与表示§51幺正变换和反幺正变换
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r ϕ、)(rψ，定义内积r d r r)()(),(ψϕψϕ*⎰=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()rψ时，找到粒子处在状态()rϕ的概率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符 U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U (5.2)而且有逆算符1ˆ-U存在，使得I U U U U ==--11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定ˆˆ(,)(,)A A ϕψϕψ+= (5.3)由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ-+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆUU +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
2, 幺正算符的性质幺正算符有如下几条性质：i, 幺正算符的逆算符是幺正算符证明：设 1-+=U U ， 则()()(),111--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正1这里强调了 U-1既是对 U右乘的逆又是对 U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U-1。
量子力学的协变形式和幺正性
量子力学的协变形式和幺正性量子力学是描述微观粒子行为的理论，它在20世纪初由诺贝尔物理学家们共同发展而成。
量子力学的协变形式和幺正性是该理论的两个重要方面，它们分别涉及到量子力学的数学形式和物理原理。
量子力学的协变形式是指该理论在不同参考系下保持不变的性质。
在经典力学中，物理规律的表达式通常会依赖于特定的参考系，而在不同参考系下，这些表达式会发生变化。
然而，量子力学的协变形式却具有更高的普适性，它能够在不同参考系下保持不变。
这得益于量子力学的数学形式，即波函数。
波函数是量子力学中的核心概念，它描述了粒子在空间中的状态。
波函数的协变性体现在其变换规则上。
根据量子力学的基本原理，波函数在不同参考系下的变换应满足幺正变换。
幺正变换是指变换后的波函数仍然满足波函数的归一化条件，即它的模长为1。
这意味着无论在哪个参考系下观察，波函数的概率密度分布都是相同的。
量子力学的幺正性是其理论框架的基石，它保证了量子力学的一些重要性质。
首先，幺正性保证了量子力学中的概率守恒。
根据量子力学的基本假设，粒子的运动是由波函数的演化所决定的。
由于幺正变换保持波函数的归一化条件不变，因此粒子在演化过程中的概率分布总和保持不变。
这意味着无论粒子在何时何地，其概率总是守恒的。
其次，幺正性还保证了量子力学中的可逆性。
在经典力学中，物理过程是可逆的，即可以通过逆向的运动方程还原出初始状态。
而在量子力学中，由于波函数的幺正性，粒子的演化过程也是可逆的。
这意味着在任意时刻，我们都可以通过逆向的演化过程还原出初始的波函数。
这为量子力学的研究提供了更多的可能性，例如可以通过逆向演化推断出粒子的初始状态。
另外，量子力学的幺正性还与其它物理理论的统一有关。
量子力学是一种与经典力学不同的理论，它描述了微观粒子的行为。
然而，当我们考虑到相对论效应时，经典力学无法解释一些现象，例如粒子的自旋。
在这种情况下，我们需要将量子力学与相对论相结合，形成量子场论。
量子力学中的幺正变换描述量子系统的变换
量子力学中的幺正变换描述量子系统的变换量子力学是研究微观粒子行为的理论框架，它揭示了微观世界的非经典性质。
量子系统的变换是其中一个重要的研究方向，而幺正变换是描述量子系统变换的数学工具之一。
本文将重点探讨幺正变换在量子力学中的应用以及其在描述量子系统变换中的作用。
一、幺正变换的概念与性质幺正变换又称为幺正操作，是指在量子力学中保持内积不变的线性变换。
对于一个量子态向量ψ，经过幺正变换U后，可以表示为Uψ。
幺正变换具有以下性质：1. 保持内积不变：幺正变换保持内积的不变性，即⟨ψ1|ψ2⟩经过幺正变换U后，仍为⟨Uψ1|Uψ2⟩。
2. 保持归一性：若原始态矢量ψ经过幺正变换后，幺正变换矩阵U 满足U†U=I，其中I为单位矩阵，则经过幺正变换后的态矢量Uψ仍然被归一化。
3. 保持可逆性：幺正变换具有可逆性，即存在逆变换U†，使得UU†=U†U=I。
二、幺正变换的应用1. 表示量子力学中的可观测量：在量子力学中，可观测量由厄米算符表示。
一个厄米算符A可以通过幺正变换U与一个对角化算符D联系起来，即A=UDU†。
这种对角化的过程简化了对可观测量的研究。
2. 描述量子系统的变换：幺正变换是描述量子系统变换的重要工具。
例如，当一个量子系统受到外界干扰或作用时，可以用幺正变换来描述系统从一个状态变换到另一个状态的演化过程。
这种变换可以应用于描述粒子的位置、动量、自旋等物理量的变化。
三、幺正变换的数学表示幺正变换的数学表示可以通过矩阵运算来实现。
幺正变换矩阵满足以下条件：1. 形式上为一个幺正矩阵：幺正变换矩阵U满足U†U=UU†=I，其中U†为U的厄米共轭矩阵。
2. 厄米算符的指数函数：若H为一个厄米算符，幺正变换可以表示为U=e^(iHt)，其中t为时间参数。
幺正变换的数学表示使得我们可以通过矩阵运算来描述系统的变换，同时保持量子态的归一性和内积不变。
四、实例：量子比特的旋转量子比特是量子计算中最基本的单位，通常用二维希尔伯特空间来描述。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
满足上式得矩阵称为幺正矩阵。由幺正矩阵所表示的变 换称为幺正变换。所以，从一个表象到另一个表象的变 换为幺正变换.
4.4 幺正变换
现在我们讨论幺正变换下算符、波函数和本征值的变化。
1. 算符的变换
在 B 表象中，算符 F 的矩阵元是 F ，在 A表象中， 算符 F 的矩阵元是 Fmn ，它们两者之间的关系是
l 列正是算符 F 对应于本征值为 l
0 F i e
ei 0
其中 为常数，求：
（1）F 的本征值和在 A 表象中的正交归一本征函数；
（2）求使矩阵 F 对角化的幺正变换 S 。
4.4 幺正变换
（1） F 在 A 表象中的本征方程为 解：
0 i e ei 0 a1 a1 a2 a2
（4.4.24）
上式写成矩阵形式 b S a S 1 a 或
a Sb
（4.4.25） （4.4.26）
4.4 幺正变换
3. 幺正变换不改变算符的本征值
设 F 在 A 表象中的本征值方程为 （4.4.27） Fa a 为相应的本征值。作表象变换，使得从 A表象经过一 b 个幺正变换 S 换到 B 表象，由于F b S 1 FS ， S 1 a 因 此在 B表象中，算符 F 相应的矩阵F满足
* * = n ( x) ( x) dxC m = n ( x) m ( Nhomakorabeax)dx
= nm
（4.4.15）
SS I 即 （4.4.16） 利用（4.4.12） 和（4.4.16），我们得出结论：两个表象之间 的变换矩阵 S 满足
S S 1
（4.4.17）
（4.4.2）
为找出 A 表象和 B 表象之间的关系，将 B 表象中的本征函 * 数 ( x)及 ( x) 按 A 表象的本征函数系展开
( x) Sn n ( x)
* * * ( x) m ( x) Sm m
n
（4.4.3） （4.4.4） （4.4.5） （4.4.6）
F b (S 1 FS )S 1a S 1 Fa S 1a b 所以，表象变换不改变算符 F 的本征值。
（4.4.28）
利用这个性质，又找到了另一个求算符本征值的方 法。前面曾证实，算符在自身表象中对应对角矩阵，而且
4.4 幺正变换
对角线上的元素就是它的本征值。现在又证明了表象变换 不改变算符的本征值。因此如果通过表象变换，使算符变 回到自身表象，或者说，通过一个幺正变换 S ，使得并不 对角化的 F矩阵，变成对角化的 F矩阵，则 F S 1 FS 矩阵对角线上的元素，就是相应的本征值。于是，求本征 值的问题就归结为使矩阵对角化的问题。 为此，必须探讨一下要使 F 对角化的幺正变换 S 倒 底如何选取？为使 F 对角化，必须 （4.4.29） Fkl (S 1 FS )kl (S FS )kl k kl 或写作
（4.4.8）
S
4.4 幺正变换
或简写为
S
（4.4.9） （4.4.10）
以 S n 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。这个矩阵把 A 表 象的基矢 n 变换为 B表象的基矢 n 。
下面我们讨论变换矩阵 S 一个基本性质：
* ( x) ( x)dx * * = m ( x) S m n ( x) S n dx * = S m S n mn = S m S m ( S S ) m nm nm
（4.4.33）
4.4 幺正变换
（4.4.33）表明， 矩阵的第 S
的本征函数。因此，一般说来，要使算符F 对应的矩阵对角 化，就要求出 F 对应得的本征函数系，然后把对应于不同 本征值的本征函数按列排好以构成幺正矩阵 S ，则 S 1 FS 必 为对角阵。 例：设算符 F 在某一表象 A 中的矩阵为
设算符 的正交归一本征函数系为 1 ( x), 2 ( x), ，算 A 符 B 的正交归一本征函数系为 1 ( x), 1 ( x), ，则算符 F 在 A 表象中的矩阵元为： F * ( x)F ( x)dx （4.4.1）
mn
m
n
4.4 幺正变换
在 B 表象中的矩阵元为： * F ( x)F ( x)dx
a1 ei a2 将 1 代入方程（1）可得：
则本征函数为
ei 1 a2 1
利用归一化条件 1 得：
则
1 e 1 2 1
i
a2
1 2
同理，当 1 时，代入方程，得：
1 ei 2 2 1
（4.4.23）
4.4 幺正变换
利用（4.4.4）、 （4.4.21） 、 正交归一性，得
（4.4.22）和本征函数系{ ( x)} 的
* b (t ) ( x) ( x, t )dx * * = m ( x) Sm ( x, t )dx * = Sm am (t ) S m am m m m
* * * F F dx m S m FS n n dx mn * * = S m m F n dxSn * = S m Fmn S n S m Fmn S n mn mn mn
（4.4.18）
上式写成矩阵形式是 F S FS S 1 FS 或 F SF S 1
Skm Fmn Snl k kl mn
（4.4.30）
4.4 幺正变换
在方程（4.4.30） 式的两边同时乘上 S mk 后，在对 k 求和得 ( Smk Skm ) Fmn Snl k Smk kl l Sml （4.4.31）
Smk Skm mm，代入上式， 利用 S 的幺正性 SS 1 ，即
（4.4.11）
4.4 幺正变换
或写成
SS I
（4.4.12）
I 是单位矩阵。
由
S S
n
m
* S n S m
* * = n ( x) ( x)dx m ( x ) ( x )dx
（4.4.13）
再将 m ( x) 按 { ( x )}展开
4.4 幺正变换
征函数 1 、 列排列，得：
1 ei S 2 1 ei 1
为找出能使矩阵 （2）
F 对角化的幺正矩阵 S，我们将本
1 ei S i 2 e
i
1 1
ei ei 0 1 ei 1
mn k k
得
F
n
k
mn
S nl l S ml
（4.4.32）
其矩阵形式为
F11 F12 F21 F22 S1l S1l S 2l l S 2l
（4.4.19） （4.4.20）
4.4 幺正变换
2. 波函数的变换
考察波函数 ( x, t ) 从 A表象到 B 表象的变化。将( x, t ) 分别按 A 表象和 B 表象的本征函数系 { n ( x)}及 {n ( x)}展 开： ( x, t ) an (t ) n ( x)
m ( x) C m ( x )
（4.4.14）
将（4.4.14）式代入（4.4.13）式得
4.4 幺正变换
S S =
n m * n * ( x) ( x)dx C m ( x ) ( x )dx
* n
( x), ( x),, ( x),
* 1 * 2
S21 Sn1 1 (t ) S22 Sn 2 2 (t ) S2 n Snn n (t )
4.4 幺正变换
和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子 态或者同一个算符也可以在不同表象中表示。在高等数学 中，这些不同坐标系的表示可通过同一个坐标变换把它们 联系起来。在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可 以用表象变换把它们联系起来。而且，物理规律应当具有 协变性：即物理规律与所选择的用以描述它们的坐标系无 关。同样，在量子力学中算符的本征值也应与所选用的表 象无关，因为本征值就是在相应的本征态中观测算符所对 应的力学量时的观测值，是实验测量所得到的值。
（4.4.7）
* S 11 * S 21 * * * 1 ( x), 2 ( x),, n ( x), S* n1
* S 12 S 1*n * * S 22 S 2 n * * S n 2 S nn
即 或写作
i e
ei a1 0 a2
（1）
a1 ei a2 0 i e a1 a2 0
ei 2 1 0
上式有非平庸解的条件是 ei
解得
1 -1
4.4 幺正变换
所以 F S 1 FS S FS 1 e
1 0 = 0 1
2 e i
1 0 1 e i
n
（4.4.21） （4.4.22）
( x, t ) bn (t ) ( x)
( x, t ) 在 A 表象和 B 表象的表示分别为两个列矩阵：
a1 (t ) b1 (t ) a2 (t ) b2 (t ) a b= an (t ) bn (t )