第七章-量子力学的矩阵形式与表象变换

结语
谢谢大家！
ak(j,L ˆk) ak(j,k)
k
k
ak(j,L ˆk) ak(j,k)
k
k
Ljkak ak jk
k
k
即
(Ljkjk)ak0 (I)
k
L11 L12
或
L21
L22
a1
a
2
0
此为算符L的本征值方程在表象中的矩阵形式。
线性方程组(I)有非零解得条件是系数行列式等于0：
k
k
bkk akLˆk
k
k
左乘j 再取标积
bk(j,k) ak(j,L ˆk)
k
k
bj ak(j,L ˆk)
k
令
Ljk (j,Lˆk)
则有
bj Ljkak
k
写成矩阵形式：
bj Ljkak
k
b 1 L11 L12
b2
L21
L22
a1
a
2
相应的矩阵元
a'(',)
a'(',)
a '1
a
'2
F'表象下的 具体表示
（四）表象之间的变换—幺正变换
F表象： akk; F'表象： a''
k
a''akk
k
左乘' 再取标积
a' (',k)ak
k
令
Sk (',k)
两个表象的基矢的 标积，反映基矢之
间的关系
反映表象之间的变换关系？
则 a' Skak
§2 力学量算符的矩阵表示
力学量算符 Lˆ 作用于量子态后变成另一态
Lˆ (不涉及表象)
因此，在Hilbert空间力学量算符相当于一个线性映射。
一旦在Hilbert空间建立具体的表象，力学量算符 （线性映射）就有了具体的数学表示：
F 表象 基矢{k}
bkk
akk
k
k
bkk akL ˆk
k
写成矩阵形式
a ' 1 S11 S12
a
'2
S 21
S 22
Sk (',k)
a1
a
2
F'表象中 的表示
表象间的 变换矩阵S
F表象中 的表示
变换矩阵S是幺正矩阵
SSSSI S S1
相应的表象变换称为幺正变换。
幺正变换的特点：变换后不改变矢量的长度(模)。 因此态矢量（波函数）在表象变换下不改变模的 大小，即相应的概率不变。
Ψ(r,t) (p,t)
以坐标为自变量—坐标表象中 的波函数表示
以动量为自变量—动量表象中 的波函数表示
表象=“坐标 系”
问题：量子态在其他力学量表象下的表示？
表象之间的联系或变换关系？
（二）希尔伯特（Hilbert）空间
一个微观体系所有可能的量子态的态函数张成 一个抽象的函数空间，称为希耳伯特空间，每一个 量子态（不涉及表象）看成希耳伯特空间的一个 “矢量”，称为态矢量。
体系的任何一组对易力学量完全集F有完备的
共同的本征函数组{ k } （其本征值谱可离散或连
续），可以用来构成该态空间的一组正交、归一 完备的基矢（称为F表象）。
(k,j )kj
因为体系的任何量子态（对应Hilbert空间的一个
抽象矢量）可以按 { k } 展开
akk; ak (k,)
k
这组数（a1, a2 , …）就是量子态在F表象下的表示。
若在此空间内建立坐标表象，则此态矢量表示为
x(x)，这就是薛定谔用以描述电子波
动状态的波函数(x,t)。
若在此空间内建立F 表象， a1
则此态矢量表示为：
a2
;
ak
k
此即海森堡的矩阵。
2. 另外，描述粒子运动状态的力学量L 可用Hilbert 空间中的线性映射表示：
Lˆ '
只要在此空间内建立不同的坐标系(即“表象”) ,则 同一力学量L可有不同的表示方式。
L11 L12
L13
L21 L22 L23
0
L31
L32 L33
久期方程的解是一组值：
— 久期方程
1，2，3， ... （即算符L的本征值谱）
再将每个本征值代入方程(I)可解出相应的本征函数。
（三）力学量平均值的矩阵形式
在任意量子态下，力学量L的平均值
L=(, Lˆ)
akk
= ak*aj(k,Lˆj ) k
j
（六）表象变换的Dirac符号表示
考虑任意量子态
F表象（基矢 k ）中的表示： ak k
F' 表象（基矢 ）中的表示: b
b k k （封闭性）
k
Skak
k
变换矩阵元 Sk k
薛定谔波动力学与海森堡矩阵力学的等价性
1. 粒子的状态波函数可用Hilbert空间中一个抽象 的矢量 （称为态矢量) 表示，只要在此空间内建 立不同的坐标系( 即“表象”) ，则同一态矢量可 有不同的表示方式。
若在此空间内建立坐标表象，则
L ˆ L ˆ(r ˆ,p ˆ) L ˆ(r ˆ, i )
此为薛定谔的线性厄米算符。
L11 L12
若在此空间内建立F 表象，则
Lˆ
L21
L22
此为海森堡的矩阵。
3. 求力学量L 的可能取值问题转化为求Hilbert空间 中算符L的广义本征值问题:
Lˆ
在坐标表象中
* 和 互为共轭态矢
（二）标积
任意两个态矢量和标积记为
定 义 于
(
,
)
使用Dirac 符号
简记为
脱 离 了
坐
具
标 表
(,)*(,)
*
体 表
象
象
正交归一化条件
(k,j )kj
kj kj orkj kj
以上各式均不涉及表象。
（三）态矢量在表象中的表示
F表象的基矢记为 k ，任意态矢 可按基矢展开
dx' x' x' I dp' p' p' I
（四）算符在表象中的表示
Lˆ kkL ˆ
（F表象的基矢 k ）
kkL ˆ j j （封闭性）
j
矩阵元
k Lkj j
j
（五）本征值方程在表象中的表示
Lˆ kL ˆk
kL ˆj jk （封闭性）
j
Lkjaj ak
j
(Lkj kj)aj 0
例如，用坐标算符x的本征函数系 (xx')（本征值
谱x'连续）构成Hilbert空间的基矢，就是坐标表象。 Hilbert空间的任意态矢量在坐标表象下的表示：
(k ,) ( x x ')d x ( x ') ( x )
常用的表象：坐标表象，动量表象，能量表象。
（三）量子态在不同表象中的矩阵表示
第七章-量子力学的矩阵形式与表 象变换
*第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换
教学内容
§1 量子态在不同表象下的矩阵表示与 幺正变换
§2 力学量算符的矩阵形式 §3 量子力学公式的矩阵形式 §4 Dirac符号
§1 量子态在不同表象下的矩阵表示与幺正变换
（一）例子
同同 表一 象个 下状 的态 表在 示不
L ˆ(r ˆ, i )(r ) (r )
此即薛定谔的偏微分方程。
在F表象中
L11
L21
L12
L22
a 1

a
2
0
此即海森堡 矩阵形式的 本征方程。
由此可见，波动力学与矩阵力学实际上是同一 个形式理论的两种不同的表示方式。冯·诺意曼将 这两大学说统一到Hilbert空间中，将量子力学在 数学上归结为抽象空间论，也就是说，将量子力 学的物理内容用抽象的空间表示出来。
ak k
k
展开系数 ak (k,)记为
态矢在表象中的表示
ak k
k k k k
k
k
定义投影算符（projection operator）
Pk k k
其意义就是对任意态矢 作用后，得到态矢量在基 矢 k 方向上的分量，即
P kkkakk
k k I （单位算符） 基矢的封闭性
k
对于连续谱的情形，求和换为积分，例如
算符Lˆ 在F表象中
的矩阵表示
Ljk (j,Lˆk)
特别地，在算符L的自身表象中
Ljk (j,Lˆk)(j, Lkk) Lk jk （*）
（基矢k是算符L的本征态，对应本征值Lk）
因此，算符在其自身表象中是一个对角矩阵，即
L11 0
0
L 22
且由(*)式，对角元就是其本征值。
§3 量子力学公式的矩阵表示
在F表象(或Q表象)中，任意量子态的具体表示
可以写成一个列矩阵：
a1
ak (k,)
a
2
考虑另一力学量完全集F' ( 或者另一力学量算符
Q' )，其正交、归一完备的共同本征态 { ' } 构成
新的基矢组：
(',') —F ' 表象或Q'表象
任意态矢量
a'';
在F' 表象下的矩阵表示
当表示某个确定的量子态时，在右矢内写上该态 的符号即可，例如
表示量子态态
对于本征态，常用本征值(或相应的量子数)标在 右矢内，例如
x'
表示坐标本征态(本征值x' )
En or n lm